專(zhuān)題01 勾股定理中的最短路徑模型（原卷版）

專(zhuān)題01勾股定理中的最短路徑模型勾股定理中的最短路線問(wèn)題通常是以“兩點(diǎn)之間，線段最短”為基本原理推出的。人們?cè)谏a(chǎn)、生活實(shí)踐中，常常遇到帶有某種限制條件的最近路線即最短路線問(wèn)題。對(duì)于數(shù)學(xué)中的最短路線問(wèn)題可以分為兩大類(lèi)：第一類(lèi)為在同一平面內(nèi)；第二類(lèi)為空間幾何體中的最短路線問(wèn)題，對(duì)于平面內(nèi)的最短路線問(wèn)題可先畫(huà)出方案圖，然后確定最短距離及路徑圖。對(duì)于幾何題內(nèi)問(wèn)題的關(guān)鍵是將立體圖形轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，然后構(gòu)造直角三角形，利用勾股定理求解。模型1.圓柱中的最短路徑模型【模型解讀】圓柱體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟圓柱有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要注意圓柱的側(cè)面展開(kāi)圖為矩形，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意展開(kāi)后兩個(gè)端點(diǎn)的位置，有時(shí)候需要用底面圓的周長(zhǎng)進(jìn)行計(jì)算，有時(shí)候需要用底面圓周長(zhǎng)的一半進(jìn)行計(jì)算。注意：1）運(yùn)用勾股定理計(jì)算最短路徑時(shí)，按照展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理的步驟進(jìn)行計(jì)算；2）纏繞類(lèi)題型可以求出一圈的最短長(zhǎng)度后乘以圈數(shù)?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，已知圓柱底面的周長(zhǎng)為，圓柱高為，在圓柱的側(cè)面上，過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)嵌有一圈金屬絲，則這圈金屬絲的周長(zhǎng)最小為（

）

A． B． C． D．例2．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考一模）如圖，這是一個(gè)供滑板愛(ài)好者使用的形池，該形池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是弧長(zhǎng)為的半圓，其邊緣（邊緣的寬度忽略不計(jì)），點(diǎn)在上，一滑板愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)，則他滑行的最短距離為（

）

A． B． C． D．例3．（2023春·四川德陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為_(kāi)__________cm．模型2.長(zhǎng)方體中的最短路徑模型【模型解讀】長(zhǎng)方體中最短路徑基本模型如下：計(jì)算跟長(zhǎng)方體有關(guān)的最短路徑問(wèn)題時(shí)，要熟悉長(zhǎng)方體的側(cè)面展開(kāi)圖，利用兩點(diǎn)之間線段最短結(jié)合勾股定理進(jìn)行求解，注意長(zhǎng)方體展開(kāi)圖的多種情況和分類(lèi)討論。注意：1）長(zhǎng)方體展開(kāi)圖分類(lèi)討論時(shí)可按照“前+右”、“前+上”和“左+上”三種情況進(jìn)行討論；2）兩個(gè)端點(diǎn)中有一個(gè)不在定點(diǎn)時(shí)討論方法跟第一類(lèi)相同?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2022·貴州貴陽(yáng)·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，在正三棱柱中，已知，，一只螞蟻從A點(diǎn)出發(fā)繞三棱柱側(cè)面兩圈到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻爬行的最短距離為（

）A． B． C． D．例2．（2023·廣東·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為．如果一只小蟲(chóng)從點(diǎn)開(kāi)始爬行，經(jīng)過(guò)兩個(gè)側(cè)面爬行到另一條側(cè)棱的中點(diǎn)處，那么這只小蟲(chóng)所爬行的最短路程為（）

A．5 B．4 C．6 D．7例3．（2023秋·綿陽(yáng)市·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，其中，，為上靠近的三等分點(diǎn)，在大長(zhǎng)方體盒子上有一個(gè)小長(zhǎng)方體盒子，，，，一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體盒子的表面從點(diǎn)爬行到點(diǎn)，它爬行的最短路程為．

例4．（2023·湖北十堰·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)在墻面上，若米，點(diǎn)到的距離是6米，有一只螞蟻要從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它的最短行程是（

）米A．16 B． C．15 D．14模型3.階梯中的最短路徑模型【模型解讀】階梯中最短路徑基本模型如下：注意：展開(kāi)—定點(diǎn)—連線—勾股定理【最值原理】?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023秋·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別是4米、0.7米、0.3米，A、B是這個(gè)臺(tái)階上兩個(gè)相對(duì)的頂點(diǎn)，A點(diǎn)處有一只螞蟻，它想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿臺(tái)階面爬行到B點(diǎn)最短路程是________米．例2．（2023春·四川成都·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖所示，是長(zhǎng)方形地面，長(zhǎng)，寬．中間豎有一堵磚墻高．一只螞蚱從點(diǎn)爬到點(diǎn)，它必須翻過(guò)中間那堵墻，則它要走的路程s取值范圍是________．例3．（2023春·重慶八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在一個(gè)長(zhǎng)為米,寬為米的長(zhǎng)方形草地上,如圖堆放著一根正三棱柱的木塊，它的側(cè)棱長(zhǎng)平行且大于場(chǎng)地寬，木塊的主視圖是邊長(zhǎng)為1米的正三角形，一只螞蟻從點(diǎn)處到處需要走的最短路程是______米．模型4.將軍飲馬與最短路徑模型【模型解讀】將軍飲馬與最短路徑基本模型如下：解決線段之和最小值問(wèn)題：對(duì)稱+連線，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短解決。注意：立體圖形中從外側(cè)到內(nèi)側(cè)最短路徑問(wèn)題需要先作對(duì)稱，再運(yùn)用兩點(diǎn)之間線段最短的原理結(jié)合勾股定理求解?！咀钪翟怼?jī)牲c(diǎn)之間線段最短。例1．（2023春·湖北武漢·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿且與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為（

）．（杯壁厚度不計(jì)）A．20 B．25 C．30 D．40例2.（2022·陜西·八年級(jí)期中）有一個(gè)如圖所示的長(zhǎng)方體透明玻璃水缸，高，水深，在水面線上緊貼內(nèi)壁處有一粒食物，且，一只小蟲(chóng)想從水缸外的處沿水缸壁爬到水缸內(nèi)的處吃掉食物．（1）你認(rèn)為小蟲(chóng)應(yīng)該沿怎樣的路線爬行才能使爬行的路線最短，請(qǐng)你畫(huà)出它爬行的最短路線，并用箭頭標(biāo)注．（2）求小蟲(chóng)爬行的最短路線長(zhǎng)（不計(jì)缸壁厚度）．例3．（2023春·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，高速公路的同一側(cè)有A，B兩城鎮(zhèn)，它們到高速公路所在直線的距離分別為，，．要在高速公路上C，D之間建一個(gè)出口P，使A，B兩城鎮(zhèn)到P的距離之和最小，則這個(gè)最短距離為（

）A． B． C． D．課后專(zhuān)項(xiàng)訓(xùn)練1．（2023·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┯幸粋€(gè)如圖所示的上底面是敞口的長(zhǎng)方體透明玻璃魚(yú)缸，其長(zhǎng)，高，寬，在頂點(diǎn)處有一塊面包屑，一只螞蟻想從魚(yú)缸外的點(diǎn)沿魚(yú)缸側(cè)面吃面包屑，螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)是（

）．A．B．C．D．2．（2023春·廣西玉林·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，圓柱形玻璃杯高為，底面周長(zhǎng)為，在杯內(nèi)壁離杯底的點(diǎn)處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)處，則螞蟻從外壁處到內(nèi)壁處的最短距離（杯壁厚度不計(jì)）為（）

A． B． C． D．3．（2023春·山西呂梁·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長(zhǎng)為，已知點(diǎn)B與點(diǎn)C之間的距離為，一只螞蟻沿著正方體的表面從點(diǎn)A爬到點(diǎn)C，需要爬行的最短距離為（）A． B． C． D．4．（2023·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┯幸粓A柱體如圖，高，底面周長(zhǎng)，處有一螞蟻，若螞蟻欲爬行到處，求螞蟻爬行的最短距離為(

)

A．3 B． C．8 D．55．（2023·陜西榆林·八年級(jí)校考期中）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為，是底面圓的直徑，在圓柱表面的高上有一點(diǎn)，且，．一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱體的表面爬行到點(diǎn)的最短路程是．

6．（2023·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一個(gè)長(zhǎng)為6cm、寬為3cm、高為4cm的長(zhǎng)方體木塊．一只螞蟻要沿著長(zhǎng)方體的表面從左下角的點(diǎn)A處爬行至右上角的點(diǎn)B處，那么這只螞蟻所走的最短路線的長(zhǎng)為cm．7．（2023春·湖南永州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有一個(gè)長(zhǎng)方體，長(zhǎng)、寬、高分別為6，4，4，在長(zhǎng)方體的底面A處，有一螞蟻，它想吃長(zhǎng)方體上面與A相對(duì)的B點(diǎn)處的食物，那么最短需要爬行的路程是．

8．（2023春·陜西西安·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，桌上有一個(gè)圓柱形玻璃杯（無(wú)蓋），高厘米，底面周長(zhǎng)厘米，在杯口內(nèi)壁離杯口厘米的處有一滴蜜糖，在玻璃杯的內(nèi)壁，的相對(duì)方向有一小蟲(chóng)，小蟲(chóng)離杯底的垂直距離為厘米，小蟲(chóng)爬到蜜糖處的最短距離是厘米．

9．（2023春·重慶江津·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，圓柱的底面周長(zhǎng)為10，，動(dòng)點(diǎn)從A點(diǎn)出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面移動(dòng)到點(diǎn)，則移動(dòng)的最短距離為

10．（2023春·吉林·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，已知圓柱底面直徑，高．小蟲(chóng)在圓柱表面爬行，先從點(diǎn)C爬行到點(diǎn)A．再沿另一面爬回C點(diǎn)，則小蟲(chóng)爬行的最短路程為．

11．（2023春·安徽蕪湖·八年級(jí)校考階段練習(xí)）已知，且x，y均為正數(shù)，則的最小值是．12．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是寸．13．（2023秋·江蘇·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，圓柱底面半徑為，高為，點(diǎn)A，B分別是圓柱兩底面圓周上的點(diǎn)，且A，B在同一條豎直直線上，用一根棉線從A點(diǎn)順著圓柱側(cè)面繞3圈到B點(diǎn)，則這根棉線的長(zhǎng)度最短為cm．14．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖是某滑雪場(chǎng)U型池的示意圖，該U型池可以看作是一個(gè)長(zhǎng)方體去掉一個(gè)“半圓柱”而成，中間可供滑行部分的截面是半徑為3的半圓，其邊緣，點(diǎn)在上，．一名滑雪愛(ài)好者從點(diǎn)滑到點(diǎn)時(shí)，他滑行的最短路程約為（取3）．15．（2023春·河北承德·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)方體盒子的長(zhǎng)、寬、高分別為4，3，5．（1）一根長(zhǎng)7的木棒能否放人盒子里？__________（選填“能”或“不能”）（2）一只螞蟻想從盒底的A點(diǎn)爬到盒頂?shù)腂點(diǎn)，螞蟻爬行的最短行程為_(kāi)_________．16．（2023春·山東臨沂·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，透明圓柱的底面半徑為6厘米，高為12厘米，螞蟻在圓柱側(cè)面爬行．從圓柱的內(nèi)側(cè)點(diǎn)爬到圓柱的外側(cè)點(diǎn)處吃食物，那么它爬行最短路程是厘米．

17．（2022·內(nèi)蒙古包頭·九年級(jí)統(tǒng)考自主招生）圓柱的高為，底面半徑為，點(diǎn)B離地面，一只蜘蛛以的速度從底面上的點(diǎn)A處繞曲面到達(dá)點(diǎn)B捕食被網(wǎng)到的昆蟲(chóng)，蜘蛛到昆蟲(chóng)所在點(diǎn)B所用最短時(shí)間是多少？（π取3）

18．（2023春·廣西賀州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，某工廠前面有一條筆直的公路，原來(lái)有兩條路，可以從工廠到達(dá)公路，經(jīng)測(cè)量，，，現(xiàn)需要修建一條路，使工廠到公路的路程最短．請(qǐng)你用尺規(guī)作圖畫(huà)出最短路徑（不寫(xiě)畫(huà)法，保留作圖痕跡），并求出新建路的長(zhǎng)．

19．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，A、B兩個(gè)村子在筆直河岸的同側(cè)，A、B兩村到河岸的距離分別為，，，現(xiàn)在要在河岸上建一水廠E向A、B兩村輸送自來(lái)水，要求水廠E到A、B兩村的距離之和最短．(1)在圖中作出水廠E的位置（要求：尺規(guī)作圖，不寫(xiě)作法，保留作圖痕跡）；(2)求水廠E到A、B兩村的距離之和的最小值．20．（2022秋·四川成都·八