專題08 最值模型之將軍飲馬（遛馬、過橋）模型（原卷版）

專題08最值模型之將軍飲馬（遛馬、過橋）模型將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型是將軍飲馬的姊妹篇，它是在將軍飲馬的基礎上加入了平移的思想，主要還是考查轉化與化歸等的數學思想。在各類考試中都以中高檔題為主，本專題就將軍遛馬模型和將軍過橋（造橋）模型進行梳理及對應試題分析，方便掌握。在解決將軍遛馬和將軍過橋（造橋），不管是橫向還是縱向的線段長度（定長），只要將線段按照長度方向平移即可，即可以跨越長度轉化為標準的將軍飲馬模型，再依據同側做對稱點變異側，異側直接連線即可。利用數學的轉化思想，將復雜模型變成基本模型就簡單容易多了，從此將軍遛馬和將軍過橋（造橋）再也不是問題！模型1.將軍遛馬模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】已知A、B是兩個定點，P、Q是直線m上的兩個動點，P在Q的左側,且PQ間長度恒定,在直線m上要求P、Q兩點，使得PA+PQ+QB的值最小。(原理用平移知識解)（1）點A、B在直線m兩側：（2）點A、B在直線m同側：如圖1如圖2（1）如圖1，過A點作AC∥m,且AC長等于PQ長，連接BC,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點。（2）如圖2，過A點作AE∥m,且AE長等于PQ長，作B關于m的對稱點B’,連接B’E,交直線m于Q,Q向左平移PQ長，即為P點，此時P、Q即為所求的點?！咀钪翟怼績牲c之間線段最短。例1．（2023·西安·統(tǒng)考一模）問題提出：在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝4，點E、F分別為邊AD、BC上的點，且AE＝1；BF＝2．（1）如圖①，P為邊AB上一動點，連接EP、PF，則EP+PF的最小值為；（2）如圖②，P、M是AB邊上兩動點，且PM＝2，現要求計算出EP、PM、MF和的最小值．九年級一班某興趣小組通過討論得出一個解決方法：在DA的延長線上取一點E'，使AE'＝AE，再過點E'作AB的平行線E'C，在E'C上E”的下方取點M，使E'M'＝2，連接M'F，則與AB邊的交點即為M，再在邊AB上點M的上方取P點，且PM＝2，此時EP+PM+MF的值最?。麄儾淮_定此方法是否可行，便去請教數學田老師，田老師高興地說：“你們的做法是有道理的”．現在請你根據敘述作出草圖并計算出EP+PM+MF的最小值；問題解決：（3）聰聰的爸爸是供電公司的線路設計師，公司準備架設一條經過農田區(qū)的輸電線路，為M、N兩個村同時輸電．如圖所示，農田區(qū)兩側AB與CD平行，且農田區(qū)寬為0.5千米，M村到AB的距離為2千米，N村到CD的距離為1千米，M、N所在的直線與AB所夾銳角恰好為45°，根據架線要求，在農田區(qū)內的線路要與AB垂直．請你幫助聰聰的爸爸設計出最短的線路圖，并計算出最短線路的長度．（要求：寫出計算過程，結果保留根號）例2．（2023春·山東煙臺·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在矩形中，，點P、點Q分別在邊上，且，連接和，則的最小值是_______．例3．（2023春·江蘇淮安·八年級?？计谥校┤鐖D，矩形中，，矩形的對角線相交于點O，點E，F為邊上兩個動點，且，則的最小值為_________．例4．（2023·重慶·九年級專題練習）如圖，正方形的邊長為4，、為對角線上的動點，且，連接、，求周長的最小值．

例5．（2023秋·河南南陽·九年級校聯考期末）如圖，在邊長為的正方形中將沿射線平移，得到，連接、．求的最小值為______．例6．（2023·貴州黔東南·統(tǒng)考一模）如圖，在菱形中，對角線，的長分別為，，將沿射線的方向平移得到，分別連接，，，則的最小值為______．模型2.將軍過橋（造橋）模型【核心思路】去除定量，組合變量（通過幾何變換將若干段原本彼此分類的線段組合到一起）?！灸Ｐ徒庾x】【單橋模型】已知，如圖1將軍在圖中點A處，現要過河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？考慮MN長度恒定，只要求AM+NB最小值即可．問題在于AM、NB彼此分離，所以首先通過平移，使AM與NB連在一起，將AM向下平移使得M、N重合，此時A點落在A’位置（圖2）．問題化為求A’N+NB最小值，顯然，當共線時，值最小，并得出橋應建的位置（圖3）．圖1圖2圖3【雙橋模型】已知，如圖4，將軍在圖中點A處，現要過兩條河去往B點的軍營，橋必須垂直于河岸建造，問：橋建在何處能使路程最短？圖4圖5圖6考慮PQ、MN均為定值，所以路程最短等價于AP+QM+NB最小，對于這彼此分離的三段，可以通過平移使其連接到一起．AP平移至A'Q，NB平移至MB'，化AP+QM+NB為A'Q+QM+MB'．（如圖5）當A'、Q、M、B'共線時，A'Q+QM+MB'取到最小值，再依次確定P、N位置．（如圖6）【最值原理】兩點之間線段最短。例1．（2023.北京西城八年級期中）作圖題（不寫作法）（）如圖，一個牧童從點出發(fā)，趕著羊群去河邊喝水，則應當怎樣選擇飲水路線，才能使羊群走的路程最短？請在圖中畫出最短路線．（）如圖，直線是一條河，，是兩個村莊，欲在上的某處修建一個水泵站，向，兩地供水，要使所需管道的長度最短，在圖中標出點．（保留作圖過程）（）如圖，在一條河的兩岸有，兩個村莊，現在要在河上建一座小橋，橋的方向與河岸方向垂直，橋在圖中用一條線段表示．試問：橋建在何處，才能使到的路程最短呢？請在圖中畫出橋的位置．（保留作圖過程）例2．（2022上·湖北襄陽·九年級聯考自主招生）如圖有一條直角彎道河流，河寬為2，、兩地到河岸邊的距離均為1，，，，現欲在河道上架兩座橋、，使最小，則最小值為

A． B． C．14 D．12例3．（2023·內江·中考模擬）如圖，已知直線，、之間的距離為8，點P到直線的距離為6，點Q到直線的距離為4，PQ=，在直線l1上有一動點A，直線上有一動點B，滿足AB⊥，且PA+AB+BQ最小，此時PA+BQ=．例4．（2023·陜西西安·?？寄M預測）如圖，中，，，，，；垂足分別為點F和E．點G和H分別是和上的動點，，那么的最小值為______．

例6．（2023·山東濟南·統(tǒng)考二模）如圖，在矩形中，，，若點E是邊上的一個動點，過點E作且分別交對角線、直線于點O、F，則在點E移動的過程中，的最小值為．

課后專項訓練1．（2023上·安徽宣城·九年級?？茧A段練習）如圖，矩形中，，，是的中點，線段在上左右滑動，若，則的最小值是（

）A．5 B． C．6 D．2．（2023下·江蘇無錫·八年級?？计谥校┤鐖D，E為正方形ABCD中BC邊上的一點，且AB＝3BE＝3，M、N分別為邊CD、AB上的動點，且始終保持MN⊥AE，則AM+NE的最小值為（

）A．4 B． C． D．3．（2023·安徽·統(tǒng)考一模）如圖，在矩形中，，，點在上，點在上，且，連接，，則的最小值為（

）A．25 B．24 C． D．134．（2023上·江蘇無錫·八年級校考階段練習）如圖，在平面直角坐標系xOy中，已知直線AB與y軸交于點A（0，6），與x軸的負半軸交于點B，且∠BAO＝30°，M、N是該直線上的兩個動點，且MN＝2，連接OM、ON，則△MON周長的最小值為（

）A．2＋3 B．2＋2 C．2＋2 D．5＋5．（2023上·江蘇南通·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，，若D，E是邊上的兩個動點，F是邊上的一個動點，，則的最小值為（）A．3 B． C． D．36．（2023下·遼寧鞍山·八年級統(tǒng)考期末）如圖，河的兩岸有，兩個水文觀測點，為方便聯絡，要在河上修一座木橋（河的兩岸互相平行，垂直于河岸），現測得，兩點到河岸的距離分別是5米，4米，河寬3米，且，兩點之間的水平距離為12米，則的最小值是米．

7．（2023·江蘇無錫·統(tǒng)考二模）如圖，在中，，，M、N分別是、邊上的動點，且，則的最小值是．

8．（2023.廣東省深圳市九年級期中）如圖1，已知平行四邊形ABCO，以點O為原點，OC所在的直線為x軸，建立直角坐標系，AB交y軸于點D，AD=2，OC=6，∠A=60°，線段EF所在的直線為OD的垂直平分線，點P為線段EF上的動點，PM⊥x軸于點M點，點E與E′關于x軸對稱，連接BP、E′M．（1）請直接寫出點A的坐標為_____，點B的坐標為_____；（2）當BP+PM+ME′的長度最小時，請直接寫出此時點P的坐標為_____；9．（成都市2022-2023學年八年級期末）如圖，在平面直角坐標系中有，兩點．將直線：向上平移個單位長度得到直線，點在直線上，過點作直線的垂線，垂足為點，連接，，，則折線的長的最小值為．10．（2023·廣西·九年級專題練習）如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，AB=4，BC=12，∠ABC=60°，E，F是AD邊上的動點，且EF=2，則四邊形BEFC周長的最小值為．11．（2023下·江蘇·八年級統(tǒng)考期末）如圖，已知菱形的對角線，相交于點，點，在對角線上，且，過點作的垂線，與邊交于點，連接．若，，則的最小值為．

12．（2023下·四川宜賓·八年級?？茧A段練習）如圖，在正方形中，，點E為的中點，點M、N為邊上兩個動點，且，則的最小值是．

13．（2023·陜西西安·校聯考模擬預測）如圖，在菱形中，，，在邊上有一線段由向運動，點到達點后停止運動，在的左側，，連接，，則周長的最小值為．

14．（2023上·陜西寶雞·九年級統(tǒng)考期末）如圖，在菱形中，，，點，在上，且，連接，，則的最小值為15．（2022下·江蘇·八年級?？茧A段練習）如圖，在中，，，將沿射線平移，得到，再將沿射線翻折，得到，連接、，則的最小值為16．（2023·福建·校聯考一模）如圖，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝9，E、F為矩形內部的兩動點，且滿足EF∥BC，EF＝4，S四邊形BEFC＝26，則BE+EF+FC的最小值等于．17．（2023.廣東八年級專項訓練）如圖所示，某條護城河在處角轉彎，河寬相同，從處到達處，須經過兩座橋（橋寬不計，橋與河垂直），設護城河以及兩座橋都是東西、南北走向的，恰當地造橋可使到的路程最短，請確定兩座橋的位置．

18．（2023上·陜西西安·九年級校考階段練習）（1）問題提出如圖①，在中，，點D，E分別是的中點