專題07分段函數(shù)的研究(原卷版+解析)

專題07分段函數(shù)的研究一、題型選講題型一、分段函數(shù)的求值問(wèn)題由于分段函數(shù)的解析式與對(duì)應(yīng)的定義域有關(guān)，因此求值時(shí)要代入對(duì)應(yīng)的解析式。含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對(duì)函數(shù)圖象的影響）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，其中a為常數(shù)，則的值為（）A．2 B． C． D．變式1、（遼寧省沈陽(yáng)市2020-2021學(xué)年高三聯(lián)考）函數(shù)，則______．變式2、（2021·山東臨沂市·高三二模）已知奇函數(shù)，則（）A． B． C．7 D．11變式3、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）對(duì)于給定正數(shù)k，定義，設(shè)，對(duì)任意和任意恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1題型二、與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解。另一種是通過(guò)作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點(diǎn)解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．變式1、（2021·浙江高三期末）已知，則______；若，則______．變式2、（2021·山東煙臺(tái)市·高三二模）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6變式3、（2021·山東高三其他模擬）已知，，則方程的解的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．題型三、分段函數(shù)的單調(diào)性分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開(kāi)的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點(diǎn)出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。例3、已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________變式1、（2020·河南羅山縣教學(xué)研究室高三其他（理））已知函數(shù)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.變式2、（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，則滿足的取值范圍是______.題型四分段函數(shù)的定義型問(wèn)題本題考查函數(shù)的新定義，關(guān)鍵在于抓住函數(shù)的定義，把握住間減函數(shù)的實(shí)質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得以解決問(wèn)題．例4、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet），當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象都沒(méi)有完全的嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺(jué)和想象來(lái)描述數(shù)學(xué)對(duì)象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無(wú)理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開(kāi)始展現(xiàn)出來(lái)，這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為（其中a，且），以下對(duì)說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)锽．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無(wú)理數(shù)均不是的周期C．為偶函數(shù)D．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性變式1、（2021·全國(guó)高三月考（理））如果函數(shù)在區(qū)間上和區(qū)間上都是減函數(shù)，且在上也是減函數(shù)，則稱是上的間減函數(shù)，如是上的間減函數(shù)．是即上的間減函數(shù)，是上的間減函數(shù)，不是上的間減函數(shù)，不是上的間減函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)中：①，②，③，④．其中是間減函數(shù)的是______（寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào)）．1、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）若,則__________．2、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知，若，則_______，______；3、（2021·山東日照市·高三其他模擬）已知函數(shù)，若，那么實(shí)數(shù)的值是（）A．4 B．1 C．2 D．34、（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．5、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈(-1，1]時(shí)，，其中m∈R.若f()=f()，則m的值是___________.6、（2021·山東濟(jì)寧市·高三二模）已知函數(shù)，若，則的最小值是（）A． B． C． D．7、（2021·山東高三其他模擬）已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有5個(gè)不同的實(shí)根，則實(shí)數(shù)可能的取值有（）A． B． C． D．8、（2021·上海高一（2021·山東高三二模）已知函數(shù)，則關(guān)于的方程的實(shí)根的個(gè)數(shù)是___.9、（2021·山東濱州市·高三二模）某同學(xué)設(shè)想用“高個(gè)子系數(shù)k”來(lái)刻畫(huà)成年男子的高個(gè)子的程度，他認(rèn)為，成年男子身高160及其以下不算高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)k應(yīng)為0；身高190及其以上的是理所當(dāng)然的高個(gè)子，其高個(gè)子系數(shù)k應(yīng)為1，請(qǐng)給出一個(gè)符合該同學(xué)想法?合理的成年男子高個(gè)子系數(shù)k關(guān)于身高的函數(shù)關(guān)系式___________.專題07分段函數(shù)的研究一、題型選講題型一、分段函數(shù)的求值問(wèn)題由于分段函數(shù)的解析式與對(duì)應(yīng)的定義域有關(guān)，因此求值時(shí)要代入對(duì)應(yīng)的解析式。含有抽象函數(shù)的分段函數(shù)，在處理里首先要明確目標(biāo)，即讓自變量向有具體解析式的部分靠攏，其次要理解抽象函數(shù)的含義和作用（或者對(duì)函數(shù)圖象的影響）例1、（2021·江西南昌市·高三期末（理））已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，且當(dāng)時(shí)，，其中a為常數(shù)，則的值為（）A．2 B． C． D．【答案】B【解析】由題意，函數(shù)滿足，所以函數(shù)的周期為，又由當(dāng)時(shí)，，因?yàn)楹瘮?shù)奇函數(shù)，所以，所以，則，，令，可得，可得，所以.故選：B變式1、（遼寧省沈陽(yáng)市2020-2021學(xué)年高三聯(lián)考）函數(shù)，則______．【答案】1【解析】根據(jù)題意，，則；故答案為1．變式2、（2021·山東臨沂市·高三二模）已知奇函數(shù)，則（）A． B． C．7 D．11【答案】C【解析】，故選：C.變式3、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）對(duì)于給定正數(shù)k，定義，設(shè)，對(duì)任意和任意恒有，則（）A．k的最大值為2 B．k的最小值為2 C．k的最大值為1 D．k的最小值為1【答案】B【解析】因?yàn)閷?duì)任意和任意恒有，根據(jù)已知條件可得：對(duì)任意恒成立，即，，，當(dāng)時(shí)有，即故選：B題型二、與分段函數(shù)有關(guān)的方程或不等式含分段函數(shù)的不等式在處理上通常是兩種方法：一種是利用代數(shù)手段，通過(guò)對(duì)進(jìn)行分類討論將不等式轉(zhuǎn)變?yōu)榫唧w的不等式求解。另一種是通過(guò)作出分段函數(shù)的圖象，數(shù)形結(jié)合，利用圖像的特點(diǎn)解不等式例2、【2018年高考浙江】已知λ∈R，函數(shù)f(x)=，當(dāng)λ=2時(shí)，不等式f(x)<0的解集是___________．若函數(shù)f(x)恰有2個(gè)零點(diǎn)，則λ的取值范圍是___________．【答案】(1,4)；【解析】由題意得或，所以或，即，故不等式f(x)<0的解集是當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，即在上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，，由在上只能有一個(gè)零點(diǎn)得.綜上，的取值范圍為.變式1、（2021·浙江高三期末）已知，則______；若，則______．【答案】41或【解析】∵，∴；∵，∴當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，解得.故答案為：4；1或.變式2、（2021·山東煙臺(tái)市·高三二模）已知函數(shù)是定義在區(qū)間上的偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，則方程根的個(gè)數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】要求方程根的個(gè)數(shù)，即為求與的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，由題設(shè)知，在上的圖象如下圖示，∴由圖知：有3個(gè)交點(diǎn)，又由在上是偶函數(shù)，∴在上也有3個(gè)交點(diǎn)，故一共有6個(gè)交點(diǎn).故選：D.變式3、（2021·山東高三其他模擬）已知，，則方程的解的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)?，所以，所以或，?huà)出的大致圖象，如圖，因?yàn)椋?，因?yàn)橹本€與函數(shù)的圖象有1個(gè)交點(diǎn)，直線與函數(shù)的圖象有2個(gè)交點(diǎn)，故方程的解的個(gè)數(shù)是3.故選：B.題型三、分段函數(shù)的單調(diào)性分段函數(shù)單調(diào)性的判斷：先判斷每段的單調(diào)性，如果單調(diào)性相同，則需判斷函數(shù)是連續(xù)的還是斷開(kāi)的，如果函數(shù)連續(xù)，則單調(diào)區(qū)間可以合在一起，如果函數(shù)不連續(xù)，則要根據(jù)函數(shù)在兩段分界點(diǎn)出的函數(shù)值（和臨界值）的大小確定能否將單調(diào)區(qū)間并在一起。例3、已知函數(shù)，若在單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_________【答案】【解析】思路：若在單調(diào)增，則在上任取，均有，在任取中就包含均在同一段取值的情況，所以可得要想在上單調(diào)增，起碼每一段的解析式也應(yīng)當(dāng)是單調(diào)遞增的，由此可得：，但僅僅滿足這個(gè)條件是不夠的。還有一種取值可能為不在同一段取值，若也滿足，均有，通過(guò)作圖可發(fā)現(xiàn)需要左邊函數(shù)的最大值不大于右邊函數(shù)的最小值。代入，有左段右端，即綜上所述可得：變式1、（2020·河南羅山縣教學(xué)研究室高三其他（理））已知函數(shù)單調(diào)遞減，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)____.【答案】【解析】由題意得，解得.所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為：變式2、（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（理））設(shè)函數(shù)，則滿足的取值范圍是______.【答案】【詳解】當(dāng)時(shí)，，因此函數(shù)是單調(diào)遞減函數(shù)，因此有.當(dāng)時(shí)，則有或或解（1）得：，解（2）得：，解（3）得：，綜上所述：的取值范圍是.故答案為：題型四分段函數(shù)的定義型問(wèn)題本題考查函數(shù)的新定義，關(guān)鍵在于抓住函數(shù)的定義，把握住間減函數(shù)的實(shí)質(zhì)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性得以解決問(wèn)題．例4、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）歷史上第一個(gè)給出函數(shù)一般定義的是19世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家狄利克雷（Dirichlet），當(dāng)時(shí)數(shù)學(xué)家們處理的大部分?jǐn)?shù)學(xué)對(duì)象都沒(méi)有完全的嚴(yán)格的定義，數(shù)學(xué)家們習(xí)慣借助于直覺(jué)和想象來(lái)描述數(shù)學(xué)對(duì)象，狄利克雷在1829年給出了著名函數(shù)：（其中為有理數(shù)集，為無(wú)理數(shù)集），狄利克雷函數(shù)的出現(xiàn)表示數(shù)學(xué)家們對(duì)數(shù)學(xué)的理解發(fā)生了深刻的變化，數(shù)學(xué)的一些“人造”特征開(kāi)始展現(xiàn)出來(lái)，這種思想也標(biāo)志著數(shù)學(xué)從研究“算”轉(zhuǎn)變到了研究“概念、性質(zhì)、結(jié)構(gòu)”．一般地，廣義的狄利克雷函數(shù)可定義為（其中a，且），以下對(duì)說(shuō)法正確的是（）A．當(dāng)時(shí)，的值域?yàn)?；?dāng)時(shí)，的值域?yàn)锽．任意非零有理數(shù)均是的周期，但任何無(wú)理數(shù)均不是的周期C．為偶函數(shù)D．在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性【答案】BCD【分析】根據(jù)值域的定義可判斷A；設(shè)任意，，利用周期的定義可判斷B；利用偶函數(shù)的定義可判斷C；實(shí)數(shù)的稠密性，函數(shù)值在和之間無(wú)間隙轉(zhuǎn)換可判斷D.【詳解】的函數(shù)值只有兩個(gè)，的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；設(shè)任意，，則，，故B選項(xiàng)正確；若，則，；若，則，；所以為偶函數(shù)，故C正確；由于實(shí)數(shù)具有稠密性，任何兩個(gè)有理數(shù)之間都有無(wú)理數(shù)，任何兩個(gè)無(wú)理數(shù)之間也都有理數(shù)，其函數(shù)值在之間無(wú)間隙轉(zhuǎn)換，所以在實(shí)數(shù)集的任何區(qū)間上都不具有單調(diào)性，故D正確．故選:BCD．變式1、（2021·全國(guó)高三月考（理））如果函數(shù)在區(qū)間上和區(qū)間上都是減函數(shù)，且在上也是減函數(shù)，則稱是上的間減函數(shù)，如是上的間減函數(shù)．是即上的間減函數(shù)，是上的間減函數(shù)，不是上的間減函數(shù)，不是上的間減函數(shù)．以下四個(gè)函數(shù)中：①，②，③，④．其中是間減函數(shù)的是______（寫(xiě)出所有正確答案的序號(hào)）．【答案】①③【分析】根據(jù)間減函數(shù)的定義逐一判斷可得答案．【詳解】對(duì)于①：是在R上的間減函數(shù)；對(duì)于②：在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，但在不是減函數(shù)，所以在R上不是間減函數(shù)；對(duì)于③：在上是減函數(shù)，在上是減函數(shù)，并且在上是減函數(shù)，所以在上是間減函數(shù)；對(duì)于④：在上是減函數(shù)，但在是增函數(shù)，所以在R上不是間減函數(shù)，所以是間減函數(shù)的是①③，故答案為：①③．1、（2020屆山東省棗莊市高三上學(xué)期統(tǒng)考）若,則__________．【答案】【解析】因?yàn)?，所以，?yīng)填答案.2、（2020屆浙江省杭州市建人高復(fù)高三4月模擬）已知，若，則_______，______；【答案】【解析】，，，，，故答案為：；3、（2021·山東日照市·高三其他模擬）已知函數(shù)，若，那么實(shí)數(shù)的值是（）A．4 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】，變成，即，解之得：.故選：C.4、（2020·全國(guó)高三專題練習(xí)（文））函數(shù)，若方程有且只有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令,畫(huà)出與的圖象,平移直線,當(dāng)直線經(jīng)過(guò)時(shí)只有一個(gè)交點(diǎn),此時(shí),向右平移,不再符合條件,故故選：A5、（2021·全國(guó)高三專題練習(xí)）設(shè)f(x)是定義在R上周期為2的函數(shù)，當(dāng)x∈(-1，1]時(shí)，，其中m∈R.若f()=f()，則m的值是___________.【答案】【分析】分別計(jì)算f()和f()，解方程求出m.【詳解】由f()=f()可得：，解得：故答案為：16、（2021·山東濟(jì)寧市·高三二模）已知函數(shù)，若，則的最小值是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】函數(shù)的圖像如圖所示，作出交兩點(diǎn)，其橫坐標(biāo)分別為a、b，不妨設(shè).由可得：，解得：，所以記，任取，則。因?yàn)椋?，所以，所以則在上單調(diào)遞減，所以故選：C7、（2021·山