專題07利用導數(shù)證明不等式(原卷版+解析)

專題07利用導數(shù)證明不等式一、單選題1．當時，有不等式（）A．B．C．當時，當時D．當時，當時2．已知是自然對數(shù)底數(shù)，若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．3．已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則（）A． B． C． D．4．若正實數(shù)，滿足，則（）A． B．C． D．5．若，則下列不等式恒成立的是()A． B．C． D．6．下列不等式正確的個數(shù)有（）個.①；②；③A．0 B．1 C．2 D．37．已知兩個不等的正實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．C． D．8．設(shè)，，．則（）A． B． C． D．二、多選題9．下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．10．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中不正確的是（）．A． B． C． D．11．已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點、，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．當時，三、填空題13．設(shè)函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則實數(shù)a的值為________．14．已知x>0，比較x與ln(1＋x)的大小，結(jié)果為________．15．不等式對恒成立，則的取值范圍是____________.16．若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命題：①；②；③；④；其中正確的有___________四、解答題17．已知，是函數(shù)的兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）證明：.18．已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求證：當時，．19．已知函數(shù)，，函數(shù)與函數(shù)的圖象在交點處有公共切線.（1）求、的值；（2）證明：.20．已知函數(shù)，其中.（1）當時，函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明：當時.21．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）當時，證明：．22．已知函數(shù)，為的導數(shù)．（1）若函數(shù)有兩個極值點，求實數(shù)a的取值范圍；（2）當時，求證：專題07利用導數(shù)證明不等式一、單選題1．當時，有不等式（）A．B．C．當時，當時D．當時，當時【解析】對于函數(shù)其導數(shù)，當時，當時，當時.2．已知是自然對數(shù)底數(shù)，若函數(shù)的定義域為，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．【解析】∵函數(shù)的定義域為，∴，當即時，令，則，令得x=0，令得x<0，令得x>0，可知在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故當x=0時，g(x)有最大值，所以，根據(jù)補集思想可知，當時，實數(shù)的取值范圍為，故選C3．已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則（）A． B． C． D．【解析】設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故選：A.4．若正實數(shù)，滿足，則（）A． B．C． D．【解析】先證明熟知的結(jié)論：恒成立，且當且僅當時取等號.設(shè),則,在(0,1)上，,單調(diào)遞減;在(1,+∞)上，,單調(diào)遞增.故,∴恒成立，且當且僅當時取等號.由,由已知，∴，且，解得,經(jīng)檢驗只有B正確，故選：B.5．若，則下列不等式恒成立的是()A． B．C． D．【解析】對于，當時，，而，所以A選項不正確；對于，當時，，所以B選項不正確；令，則，對恒成立，在上為增函數(shù)，所以的最小值為，所以，，故C正確；令，則，令，得.當時，，當時，.在時取得最小值，所以D不正確．故選：C6．下列不等式正確的個數(shù)有（）個.①；②；③A．0 B．1 C．2 D．3【解析】對于①，令，，則在上遞減，在上遞增，，，即，①正確；由知，恒成立，則有，即成立，②正確；對于③，令，，即在上單調(diào)遞減，而，則，所以有，③正確.故選：D7．已知兩個不等的正實數(shù)x，y滿足，則下列結(jié)論一定正確的是（）A． B．C． D．【解析】因為，所以，即，令函數(shù)，，則，時，單調(diào)遞減，時，單調(diào)遞增.函數(shù)在處取得極小值，如圖所示：依題意，，不妨設(shè)，由圖象可知，，故，A錯誤；假設(shè)成立，可取，則，易見不滿足題意，即B不正確；如圖取時，設(shè)，則由知，可有，故D錯誤；由函數(shù)（）中，時，，時，，可知，時極值點左偏，即，即一定成立，C正確.故選：C.8．設(shè)，，．則（）A． B． C． D．【解析】,所以;下面比較與的大小關(guān)系.記,則,，由于所以當0<x<2時，,即,,所以在上單調(diào)遞增，所以,即,即;令,則,,由于，在x>0時,,所以,即函數(shù)在[0,+∞)上單調(diào)遞減，所以,即,即b<c;綜上，,故選：B.二、多選題9．下列不等式中正確的是（）A． B． C． D．【解析】對于A，，故A錯誤；構(gòu)造函數(shù)，可得，則當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，對于B，由，可得，即，即，，即，得，故B正確對于C，，由，可得，故C錯誤；對于D，由，可得，即，則，，故D正確．故選：BD10．已知是自然對數(shù)的底數(shù)，則下列不等關(guān)系中不正確的是（）．A． B． C． D．【解析】令，則，當時，當時所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故則得，故A錯；得，故B正確；得，故C錯；對D項，令，則，當時，當時所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，得，化為，故D錯故選：ACD11．已知函數(shù)，為常數(shù)，若函數(shù)有兩個零點、，則下列說法正確的是（）A． B． C． D．【解析】由可得，可知直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點，，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，當時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，則，且當時，，如下圖所示：

當時，直線與函數(shù)在上的圖象有兩個交點.對于A選項，由已知可得，消去可得，A對；對于B選項，設(shè)，取，則，所以，，故，B錯；對于C選項，設(shè)，因為，則，所以，，，則，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，C對；對于D選項，，構(gòu)造函數(shù)，其中，則，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，則，D對.故選：ACD.12．已知函數(shù)，若，則下列結(jié)論正確的是（）A． B．C． D．當時，【解析】對于A選項，因為令，在上是增函數(shù)，所以當時，，所以，即．故A選項正確；對于B選項，因為令，所以，所以時，單調(diào)遞增，時，單調(diào)遞減．所以與無法比較大小．故B選項錯誤；對于C選項，令，所以時，在單調(diào)遞減，時，在單調(diào)遞增，所以當時，，故成立，當時，，．故C選項錯誤；對于D選項，由C選項知，當時，單調(diào)遞增，又因為A正確，成立，所以,故D選項正確.故選：AD．三、填空題13．設(shè)函數(shù)，若對于任意的，都有成立，則實數(shù)a的值為________．【解析】由題意得，當時，，所以在上為減函數(shù)，所以，解得（與矛盾，舍去）．當時，令可得，當時，，為減函數(shù)；當和時，，為增函數(shù)，由且，可得，又，可得4，綜上可知．14．已知x>0，比較x與ln(1＋x)的大小，結(jié)果為________．【解析】令f(x)＝x－ln(x＋1)．∵x>0，f′(x)＝，又因為函數(shù)f(x)在x＝0處連續(xù)，∴f(x)在[0，＋∞)上是增函數(shù)．從而當x>0時，f(x)＝x－ln(1＋x)>f(0)＝0.∴x>ln(1＋x)．15．不等式對恒成立，則的取值范圍是____________.【解析】變形為，設(shè),的單調(diào)增區(qū)間為，減區(qū)間為，最小值為16．若0<x1<x2<1，且1<x3<x4，下列命題：①；②；③；④；其中正確的有___________【解析】令，則，易知當時，單調(diào)遞增，由，，則存在使得，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；，當時，即，此時，故②錯誤；，即，，故①正確；令，，當時，，單調(diào)遞減；當時，，單調(diào)遞增；，與的大小無法確定即、的大小無法確定，故③錯誤；，即，，故④正確.故答案為：①④.四、解答題17．已知，是函數(shù)的兩個零點.（1）求的取值范圍；（2）證明：.【解析】（1），.當時，，即在上單調(diào)遞增；當時，，即在上單調(diào)遞減.所以，當時，，當時，，因為，是函數(shù)的兩個零點.所以，即，故的取值范圍為；（2）證明：由（1）可知函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.不妨設(shè)，則，令，，在上恒成立，則在上單調(diào)遞增，在上恒成立，所以，又，所以.因為，，在單調(diào)遞減，所以，即.18．已知函數(shù)，曲線在點處的切線與直線垂直．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值；（2）求證：當時，．【解析】（1）定義域：，∵，∴，當時，；當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；，無極大值．（2）證明：由（1）知，令，則，，，，∴，即在上單調(diào)遞減，，∴當時，．19．已知函數(shù)，，函數(shù)與函數(shù)的圖象在交點處有公共切線.（1）求、的值；（2）證明：.【解析】（1），，由題意得解得，；（2）證明：令，則，令，得，令，得，所以在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，所以，所以，即.20．已知函數(shù)，其中.（1）當時，函數(shù)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)的導函數(shù)在區(qū)間上存在零點，證明：當時.【解析】（1）當時，，，因為，所以由得或；由得，所以，的增區(qū)間是和；減區(qū)間是.（2），設(shè)在區(qū)間上存在零點為，則，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故，設(shè)，，則，設(shè)，，則，所以單調(diào)遞減，又，故在上恒成立，故單調(diào)遞減.所以，故當時，.21．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性．（2）當時，證明：．【解析】（1）的定義域為，.當時，，所以在上單調(diào)遞增.當時，若，則；若，則.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上所述，當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）當時，要證，即證，即證.令函數(shù)，則.令，得；令，得.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，令函數(shù)，則.當時，；當時，.所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以.因為，所以，即，從而得證.22．已知函數(shù)，為的