新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線綜合講義第4講三角形面積問題(原卷版+解析)

第4講三角形面積問題一、解答題1．已知橢圓（）的左、右頂點分別為，，且,為橢圓上異于，的點，和的斜率之積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為橢圓中心，，是橢圓上異于頂點的兩個動點，求面積的最大值．2．已知橢圓（）的離心率為，過橢圓的左焦點和上頂點的直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于、兩點，點與原點關(guān)于直線對稱，試求四邊形的面積的最大值.3．已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為圓的圓心．(1)求橢圓的方程；(2)若M，N為橢圓上的兩個動點，直線OM，ON的斜率分別為，當時，△MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．4．已知橢圓C：（a＞b＞0）過點，且它的焦距是短軸長的倍.（1）求橢圓C的方程.（2）若A，B是橢圓C上的兩個動點（A，B兩點不關(guān)于x軸對稱），O為坐標原點，OA，OB的斜率分別為k1，k2，問是否存在非零常數(shù)λ，使k1k2＝λ時，的面積S為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.5．已知分別是橢圓：的左右焦點，點在橢圓上，且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于兩點，且與橢圓相交于兩點，當時，求的面積.6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，過橢圓的上頂點的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點坐標為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，當△ABF2面積最大時，求直線l的方程.7．已知點，是橢圓的左，右焦點，橢圓上一點滿足軸，，.（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，當?shù)膬?nèi)切圓面積最大時，求直線的方程.8．已知橢圓的右焦點F到左頂點的距離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O是坐標原點，過點F的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不在x軸上），若，延長AO交橢圓與點G，求四邊形AGBE的面積S的最大值.9．已知P是圓上任意一點，F(xiàn)2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程.10．已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.11．已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.12．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓C上一點，以PF1為直徑的圓E：x2過點F2．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P且斜率大于0的直線l1與C的另一個交點為A，與直線x＝4的交點為B，過點（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x＝4交于點D，求△ABD面積的最小值．13．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．14．已知橢圓C：+=1（a＞b＞0）的離心率為，且過點（，）．（Ⅰ）求橢圓方程；（Ⅱ）設(shè)不過原點O的直線l：y=kx+m（k≠0），與該橢圓交于P、Q兩點，直線OP、OQ的斜率一次為k1、k2，滿足4k=k1+k2．（i）當k變化時，m2是否為定值？若是，求出此定值，并證明你的結(jié)論；若不是，請說明理由；（ii）求△OPQ面積的取值范圍．第4講三角形面積問題一、解答題1．已知橢圓（）的左、右頂點分別為，，且,為橢圓上異于，的點，和的斜率之積為．（1）求橢圓的標準方程；（2）設(shè)為橢圓中心，，是橢圓上異于頂點的兩個動點，求面積的最大值．【答案】（1）（2）【解析】試題分析：第（1）問首先由得到橢圓左、右頂點的坐標，再由和的斜率之積為求出幾何量的值即得橢圓標準方程；第（2）問先列出的面積，需要求直線被橢圓截得的弦長，計算點到直線的距離，再討論的面積最值．試題解析：（1）由，得，所以，．設(shè)，則，解得．于是橢圓的標準方程為．（2）①當直線垂直于軸時，設(shè)的方程為，由，得，，從而，當時，的面積取得最大值．②當直線線與軸不垂直時，設(shè)的方程為，由消去，得．，化簡得．設(shè)，，則，，，原點到直線的距離，所以．當且僅當時，取得最大值．綜合①②知，的面積取得最大值．考點：橢圓標準方程，直線和橢圓的位置關(guān)系，三角形面積．2．已知橢圓（）的離心率為，過橢圓的左焦點和上頂點的直線與圓相切.（1）求橢圓的方程；（2）過點的直線與橢圓交于、兩點，點與原點關(guān)于直線對稱，試求四邊形的面積的最大值.【答案】（1）；（2）2【分析】（1）由題得：過橢圓的左焦點和上頂點的直線方程為，又由該直線與圓相切得到：，聯(lián)立，解方程組即得；（2）由題得直線的斜率一定存在，可設(shè)直線，代入橢圓方程，消元化簡得：，由弦長公式求得，再求出點到直線的距離，算出，最后求出四邊形的面積的最大值.【詳解】（1）過橢圓的左焦點和上頂點的直線方程為，即，又該直線與圓相切，，又離心率，，，，橢圓的方程為.（2）由點與原點關(guān)于直線對稱，得.當直線的斜率不存在時，軸，四邊形不存在，不合題意.當直線的斜率存在時，設(shè)斜率為，則直線，設(shè)，，將代入，得，當，即時，，，從而，又點到直線的距離，，設(shè)，則，，當且僅當，即時等號成立，且滿足，四邊形的面積的最大值為2.【點睛】本題主要考查了橢圓的標準方程的求解，求橢圓的面積的最值等問題，運用了弦長公式，點到直線的距離公式，屬于難題；同時考查了學(xué)生的邏輯推理和運算求解能力.3．已知橢圓的四個頂點圍成的菱形的面積為，橢圓的一個焦點為圓的圓心．(1)求橢圓的方程；(2)若M，N為橢圓上的兩個動點，直線OM，ON的斜率分別為，當時，△MON的面積是否為定值?若為定值，求出此定值；若不為定值，說明理由．【答案】（1）（2）為定值，詳見解析【分析】(1)根據(jù)菱形的面積和焦點建立方程組，解方程組可得；(2)先求弦長和三角形的高，再求面積的表達式，求出定值.【詳解】解：（1）由題意可知，，圓的圓心為，所以，因此，聯(lián)立，解之，故橢圓的方程為.（2）設(shè)，當直線的斜率存在時，設(shè)方程為，由，消可得，則有，即，，所以.點到直線的距離，所以.又因為，所以，化簡可得，滿足，代入，當直線的斜率不存在時，由于，考慮到關(guān)于軸對稱，不妨設(shè)，則點的坐標分別為,此時，綜上，的面積為定值.法二：設(shè)，由題意，可得，所以，而因為，所以，故為定值.【點睛】本題主要考查橢圓方程的求解和定值問題，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運算的核心素養(yǎng).4．已知橢圓C：（a＞b＞0）過點，且它的焦距是短軸長的倍.（1）求橢圓C的方程.（2）若A，B是橢圓C上的兩個動點（A，B兩點不關(guān)于x軸對稱），O為坐標原點，OA，OB的斜率分別為k1，k2，問是否存在非零常數(shù)λ，使k1k2＝λ時，的面積S為定值？若存在，求λ的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【分析】（1）由橢圓過的點及焦距是短軸長的倍和之間的關(guān)系即可求出橢圓的方程；（2）設(shè)的直線方程與橢圓聯(lián)立求出兩根之和及兩根之積，進而求出弦長，及O到直線的距離，由直線OA，OB的斜率之積的值,得參數(shù)之間的關(guān)系，求出面積的表達式，由的面積S為定值，可得對應(yīng)比成比例，即可求出的值.【詳解】（1）因為橢圓過點所以又因為該橢圓的焦距是短軸長的倍，所以從而聯(lián)立方程組解得所以（2）設(shè)存在這樣的常數(shù)使的面積為定值.因為A，B兩點不關(guān)于x軸對稱，故斜率存在，設(shè)直線的方程為點點則由知即即所以①聯(lián)立方程組消去得由韋達定理有代入①得化簡得②點到直線的距離的面積將②代入上式，再平方得要使上式為定值,只需即需從而此時所以存在這樣的常數(shù)此時為定值.【點睛】本題的結(jié)論是：若A，B是橢圓上的兩個動點，O為坐標原點，OA，OB的斜率分別為k1，k2，若，則的面積S為定值.5．已知分別是橢圓：的左右焦點，點在橢圓上，且拋物線的焦點是橢圓的一個焦點.（1）求橢圓的標準方程；（2）過點作不與軸重合的直線，設(shè)與圓相交于兩點，且與橢圓相交于兩點，當時，求的面積.【答案】（1）（2）【分析】（1）由已知結(jié)合拋物線的性質(zhì)可得、，由橢圓性質(zhì)可得，進而可求出，，即可得解；（2）設(shè)直線方程為，聯(lián)立直線與圓的方程可以求出，再聯(lián)立直線和橢圓的方程，化簡后由根與系數(shù)的關(guān)系與三角形面積公式即可得解.【詳解】（1）由焦點為可得，，因為點在橢圓上，所以，所以，，所以，所以橢圓的標準方程為；（2）由已知，可設(shè)直線方程為，，，聯(lián)立得則，所以=，因為，所以，解得，聯(lián)立，可得，，設(shè)，，則，所以.【點睛】本題考查了拋物線性質(zhì)的應(yīng)用，考查了直線與橢圓的綜合問題以及運算求解能力，屬于中檔題．6．已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：（a＞b＞0）的左、右焦點，過橢圓的上頂點的直線x+y=1被橢圓截得的弦的中點坐標為.（Ⅰ）求橢圓C的方程；（Ⅱ）過F1的直線l交橢圓于A，B兩點，當△ABF2面積最大時，求直線l的方程.【答案】（Ⅰ）y2=1；（Ⅱ）x﹣y0或x+y0.【分析】（Ⅰ）根據(jù)直線橢圓的過上頂點，得b=1，再利用點差法以及弦中點坐標解得a2=3，即得橢圓方程；（Ⅱ）先設(shè)直線l方程并與橢圓方程聯(lián)立，結(jié)合韋達定理，并以|F1F2|為底邊長求△ABF2面積函數(shù)關(guān)系式，在根據(jù)基本不等式求△ABF2面積最大值，進而確定直線l的方程.【詳解】（Ⅰ）直線x+y=1與y軸的交于（0，1）點，∴b=1，設(shè)直線x+y=1與橢圓C交于點M（x1，y1），N（x2，y2），則x1+x2，y1+y2，∴1，1，兩式相減可得（x1﹣x2）（x1+x2）（y1﹣y2）（y1+y2）=0，∴，∴1，解得a2=3，∴橢圓C的方程為y2=1.（Ⅱ）由（Ⅰ）可得F1（，0），F(xiàn)2（，0），設(shè)A（x3，y3），B（x4，y4），可設(shè)直線l的方程x=my，將直線l的方程x=my代入y2=1，可得（m2+3）y2﹣2my﹣1=0，則y3+y4，y3y4，|y3﹣y4|，∴|F1F2||y3﹣y4|||y3﹣y4|，當且僅當，即m=±1，△ABF2面積最大，即直線l的方程為x﹣y0或x+y0.【點睛】本題考查橢圓標準方程、點差法、基本不等式求最值以及利用韋達定理研究直線與橢圓位置關(guān)系，考查綜合分析與求解能力，屬中檔題.7．已知點，是橢圓的左，右焦點，橢圓上一點滿足軸，，.（1）求橢圓的標準方程；（2）過的直線交橢圓于兩點，當?shù)膬?nèi)切圓面積最大時，求直線的方程.【答案】（1）；（2）或.【分析】（1）由軸，結(jié)合勾股定理可得，從而可求出，，則可知，結(jié)合，可求出，即可求出橢圓的標準方程.（2）設(shè)，，，與橢圓方程聯(lián)立，可得，，從而可用表示出，用內(nèi)切圓半徑表示出，即可知，結(jié)合基本不等式，可求出當半徑取最大時，的值，從而可求出直線的方程.【詳解】解：（1）因為軸，所以，則，由，，解得，，，由橢圓的定義知，，即，橢圓的標準方程為.（2）要使的內(nèi)切圓的面積最大，需且僅需其的內(nèi)切圓的半徑最大.因為，，設(shè)，，易知，直線l的斜率不為0，設(shè)直線，聯(lián)立，整理得，故，；所以，又，故，即，；當且僅當，即時等號成立，此時內(nèi)切圓半徑取最大值為，直線l的方程為或.【點睛】本題考查了橢圓的定義，考查了橢圓內(nèi)三角形周長的求解，考查了三角形的面積公式，考查了直線與橢圓的位置關(guān)系.本題的關(guān)鍵是用內(nèi)切圓半徑表示出三角形的面積.本題的難點是計算化簡.8．已知橢圓的右焦點F到左頂點的距離為3.（1）求橢圓C的方程；（2）設(shè)O是坐標原點，過點F的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不在x軸上），若，延長AO交橢圓與點G，求四邊形AGBE的面積S的最大值.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)橢圓方程中基本量的關(guān)系與右焦點F到左頂點的距離，即可求出橢圓基本量，即得橢圓方程；（2）首先聯(lián)立方程組，利用韋達定理表示出四邊形的面積，根據(jù)面積表達式的函數(shù)單調(diào)性求出面積的最值即可.【詳解】（1）由題知，，，解得，所以橢圓；（2）因為過點F的直線與橢圓C交于A，B兩點（A，B不在x軸上），設(shè)，聯(lián)立，設(shè)，，有，因為，所以四邊形AOBE是平行四邊形，所以，有，令，有，當時單調(diào)遞減，所以當時面積取最大值，最大值為.【點睛】本題主要考查了橢圓方程基本量的求解，橢圓中三角形的面積計算，屬于一般題.9．已知P是圓上任意一點，F(xiàn)2(1,0)，線段PF2的垂直平分線與半徑PF1交于點Q，當點P在圓F1上運動時，記點Q的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）過點的直線l與（1）中曲線相交于A，B兩點，O為坐標原點，求△AOB面積的最大值及此時直線l的方程.【答案】（1）.（2）面積的最大值為，此時直線l的方程為.【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，利用橢圓定義法可求得曲線C的方程；（2）設(shè)直線l的方程為x=ty與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x，利用韋達定理結(jié)合三角形的面積，利用換元法以及基本不等式求解最值，然后推出直線方程.【詳解】（1）由已知|QF1|+|QF2|=|QF1|+|QP|=|PF1|=4，所以點Q的軌跡為以為，焦點，長軸長為4的橢圓，則2a=4且2c=2，所以a=2，c=1，則b2=3，所以曲線C的方程為；（2）設(shè)直線l的方程為x=ty與橢圓交于點A(x1，y1)，B(x2，y2)，聯(lián)立直線與橢圓的方程消去x，得(3t2+4)y2﹣6ty﹣3=0，則y1+y2，y1y2，則S△AOB|OM|?|y1﹣y2|??，令，則u≥1，上式可化為，當且僅當u，即t=±時等號成立，因此△AOB面積的最大值為，此時直線l的方程為x=±.【點睛】本題主要考查橢圓的定義，直線與橢圓的位置關(guān)系以及基本不等式的應(yīng)用，還考查運算求解的能力，屬于中檔題.10．已知橢圓的離心率為，橢圓截直線所得的線段的長度為.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）設(shè)直線與橢圓交于兩點，點是橢圓上的點，是坐標原點，若，判定四邊形的面積是否為定值？若為定值，求出定值；如果不是，請說明理由.【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）見解析【分析】（Ⅰ）根據(jù)橢圓截直線所得的線段的長度為，可得橢圓過點，結(jié)合離心率即可求得橢圓方程；（Ⅱ）分類討論：當直線的斜率不存在時，四邊形的面積為；當直線的斜率存在時，設(shè)出直線方程，與橢圓方程聯(lián)立，由得，代入曲線C，整理出k，m的等量關(guān)系式，再根據(jù)寫出面積的表達式整理即可得到定值．【詳解】(Ⅰ)由解得得橢圓的方程為.（Ⅱ）當直線的斜率不存在時，直線的方程為或，此時四邊形的面積為．當直線的斜率存在時，設(shè)直線方程是，聯(lián)立橢圓方程，點到直線的距離是由得因為點在曲線上，所以有整理得由題意四邊形為平行四邊形，所以四邊形的面積為由得,故四邊形的面積是定值，其定值為．【點睛】本題考查了直線與橢圓相交問題轉(zhuǎn)化為方程聯(lián)立可得根與系數(shù)的關(guān)系、點到直線距離公式、面積計算公式、向量數(shù)量積的關(guān)系等基礎(chǔ)知識與基本技能方法，考查了推理能力和計算能力，考查了分析問題和解決問題的能力，屬于難題．11．已知圓M：及定點，點A是圓M上的動點，點B在上，點G在上，且滿足，，點G的軌跡為曲線C.（1）求曲線C的方程；（2）設(shè)斜率為k的動直線l與曲線C有且只有一個公共點，與直線和分別交于P、Q兩點.當時，求（O為坐標原點）面積的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【分析】（1）根據(jù)題意得到GB是線段的中垂線，從而為定值，根據(jù)橢圓定義可知點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，即可求出曲線C的方程；（2）聯(lián)立直線方程和橢圓方程，表示處的面積代入韋達定理化簡即可求范圍.【詳解】（1）為的中點，且是線段的中垂線，，又，∴點G的軌跡是以M，N為焦點的橢圓，設(shè)橢圓方程為（），則，，，所以曲線C的方程為.（2）設(shè)直線l：（），由消去y，可得.因為直線l總與橢圓C有且只有一個公共點，所以，.①又由可得；同理可得.由原點O到直線的距離為和，可得.②將①代入②得，當時，，綜上，面積的取值范圍是.【點睛】此題考查了軌跡和直線與曲線相交問題，軌跡通過已知條件找到幾何關(guān)系從而判斷軌跡，直線與曲線相交一般聯(lián)立設(shè)而不求韋達定理進行求解即可，屬于一般性題目.12．已知橢圓C：1（a＞b＞0）的左右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P是橢圓C上一點，以PF1為直徑的圓E：x2過點F2．（1）求橢圓C的方程；（2）過點P且斜率大于0的直線l1與C的另一個交點為A，與直線x＝4的交點為B，過點（3，）且與l1垂直的直線l2與直線x＝4交于點D，求△ABD面積的最小值．【答案】（1）；（2）22．【分析】（1）根據(jù)題意求得橢圓的焦點坐標，利用橢圓的定義求得a和b的值，即可求得橢圓方程；（2）設(shè)直線l1的方程，代入涂鴉方程，利用韋達定理求得A的橫坐標，求得直線l2方程，求得D點坐標，利用三角形的面積公式及基本不等式即可求得△ABD面積的最小值．【詳解】（1）在圓E的方程中，令y＝0，得到：x2＝4，所以F1（﹣2，0），F(xiàn)2（2，0），又因為，所以P點坐標為，所以，則，b＝2，因此橢圓的方程為；（2）設(shè)直線l1：yk（x﹣2）（k＞0），所以點B的坐標為，設(shè)A（xA，yA），D（xD，yD），將直線l1代入橢圓方程得：（1+2k2）x2+（4k﹣8k2）x+8k2﹣8k﹣4＝0，所以xPxA，所以xA，直線l2的方程為y（x﹣3），所以點D坐標為，所以S△ABD（4﹣xA）|yB﹣yD|??＝2k222，當且僅當2k，即k時取等號，綜上，△ABD面積的最小值22．【點睛】本題考查橢圓的標準方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理及基本不等式的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．13．如圖，在平面直角坐標系中，橢圓C過點，焦點，圓O的直徑為．（1）求橢圓C及圓O的方程；（2）設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P．①若直線l與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標；②直線l與橢圓C交于兩點．若的面積為，求直線l的方程．【答案】（1），；（2）【詳解】分析：（1）根據(jù)條件易得圓的半徑，即得圓的標準方程，再根據(jù)點在橢圓上，解方程組可得a,b，即得橢圓方程；（2）第一問先根據(jù)直線與圓相切得一方程，再根據(jù)直線與橢圓相切得另一方程，解方程組可得切點坐標.第二問先根據(jù)三角形面積得三角形底邊邊長，再結(jié)合①中方程組，利用求根公式以及兩點間距離公式，列方程，解得切點坐標，即得直線方程.詳解：解：（1）因為橢圓C的焦點為，可設(shè)橢圓C的方程為．又點在橢圓C上，所以，解得因此，橢圓C的方程為．因為圓O的直徑為，所以其方程為．（2）①設(shè)直線l與圓O相切