第11講正方形中的幾個(gè)常用模型探究（原卷版）

第11講正方形中的幾個(gè)常用模型探究ABABCDHGEF如圖，正方形ABCD中，E、F在其左右兩對(duì)邊上，G、H在其上下兩對(duì)邊上.如圖，正方形ABCD中，E、F在其左右兩對(duì)邊上，G、H在其上下兩對(duì)邊上.若有EF⊥GH，則必有EF=GH.證明方法：構(gòu)造全等；逆向應(yīng)用：見“十字架”想直角三角形全等【例題】：1．如圖，有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E，F(xiàn)分別從正方形ABCD的兩個(gè)頂點(diǎn)B，C同時(shí)出發(fā)，以相同速度分別沿邊BC和CD移動(dòng)，問：在E，F(xiàn)移動(dòng)過程中，AE與BF的位置和大小有什么關(guān)系嗎？并給予證明．【變式】去掉BE＝CF時(shí)，（1）若已知AE=BF，則AE⊥BF成立嗎？（2）若已知AE⊥BF，則AE=BF成立嗎？【針對(duì)練習(xí)】1．如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為5，點(diǎn)E、F分別在AD、DC上，AE＝DF＝2，BE與AF相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H為BF的中點(diǎn)，連接GH，則GH的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．4 D．2．如圖，E、F分別是正方形ABCD的邊CD，AD上的點(diǎn)，且CE＝DF，AE，BF相交于點(diǎn)O，下列結(jié)論①AE＝BF；②AE⊥BF；③AO＝OE；④S△AOB＝S四邊形DEOF中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)3．如圖所示，E、F、G、H分別為正方形ABCD的邊AB，BC，CD，DA上的點(diǎn)，且AE＝BF＝CG＝DH＝AB，則圖中陰影部分的面積與正方形ABCD的面積之比為（）A． B． C． D．4．如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是CD，BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，且CE+CF＝4，BE和AF相交于點(diǎn)G，在點(diǎn)E、F運(yùn)動(dòng)的過程中，當(dāng)△AGB中某一個(gè)內(nèi)角是另一個(gè)內(nèi)角的2倍時(shí)，△BCG的面積為．5．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點(diǎn)，AE與BF相交于點(diǎn)G，連接AC交BF于點(diǎn)H．若CE＝DF，BG＝GH，AB＝2，則△CFH的面積為．6．如圖，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G分別在CD、AD、BC上，且FG⊥BE，垂足為O．（1）求證：BE＝FG；（2）若O是BE的中點(diǎn)，且BC＝8，EC＝3，求AF的長(zhǎng)．模型二正方形中的“三垂定理”模型如圖，已知正方形ABCD，過點(diǎn)B、D兩點(diǎn)分別向過點(diǎn)C的直線作垂線，垂足分別為E、F，則有△BCE≌△CDF【例題】．（1）數(shù)學(xué)課上，張老師給出了一個(gè)問題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角∠DCG的平分線CF于點(diǎn)F．求證：AE＝EF．小明經(jīng)過思考展示了一種正確的解題思路：取AB的中點(diǎn)H，連接HE，則可以證明AE＝EF．請(qǐng)你寫出證明過程．（2）在此基礎(chǔ)上，小穎提出：如圖2，如果把“點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)”改為“點(diǎn)E是邊BC上（除B、C外）的任意一點(diǎn)”，其他條件不變，那么結(jié)論“AE＝EF”仍然成立，你認(rèn)為小穎的觀點(diǎn)正確嗎？如果正確，請(qǐng)寫出證明過程；如果不正確，請(qǐng)說明理由；（3）如圖3，如果點(diǎn)E是BC的延長(zhǎng)線上（除C點(diǎn)外）的任意一點(diǎn)，其他條件不變，結(jié)論“AE＝EF”仍然成立嗎？直接寫出結(jié)論，不用說明理由．【針對(duì)練習(xí)】1．如圖，直線l過正方形ABCD的頂點(diǎn)B，點(diǎn)A，C到直線l的距離分別是1和2，則正方形ABCD的面積是．2．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣3，0），則點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離是（）A．6 B．5 C．4 D．33．如圖，在△ABC中以AC，BC為邊向外作正方形ACFG與正方形BCDE，連結(jié)DF，并過C點(diǎn)作CH⊥AB于H并交FD于M．若∠ACB＝120°，AC＝3，BC＝2，則MD的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．4．如圖，已知四邊形ABCD為正方形，AB＝，點(diǎn)E為對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過點(diǎn)E作EF⊥DE．交射線BC于點(diǎn)F，以DE、EF為鄰邊作矩形DEFG，連接CG．①求證：矩形DEFG是正方形；②探究：CE+CG的值是否為定值？若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說明理由．5．[經(jīng)典問題回顧]如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是邊BC上一點(diǎn)，∠AEF＝90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點(diǎn)F，求證：AE＝EF．對(duì)于本題，我們常用的思路是在AB上截取BM＝BE，構(gòu)造全等三角形進(jìn)行證明．小明通過深度研究，又總結(jié)出了以下三種思路：思路一：如圖（1），在AB的延長(zhǎng)線上截取BN，使BN＝BE，連接NE，利用全等三角形和特殊四邊形，轉(zhuǎn)化得到線段之間的數(shù)量關(guān)系，獲證；思路二：如圖（2），連接AC，過點(diǎn)E作EP⊥AC于點(diǎn)P，EQ⊥CF于點(diǎn)Q，利用全等三角形，獲證；思路三：如圖（3），連接AC，作EG∥AB，交AC與點(diǎn)G，利用全等三角形，獲證．[進(jìn)一步探究]小明繼續(xù)對(duì)這道題目進(jìn)行了改編，請(qǐng)完成下面改編題目的解答．四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E是直線BC上一點(diǎn)，∠AEF＝β，EF交正方形外角平分線CF于點(diǎn)F．（1）如圖（4），若點(diǎn)E在邊BC延長(zhǎng)線上，β＝90°，線段AE與線段EF存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？并加以證明；（2）如圖（5），若點(diǎn)E在邊BC上，AE＝EF，求β的度數(shù)．條件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°結(jié)論：條件：①正方形ABCD，②∠EAF=45°結(jié)論：①EF=BE+DF；(△CEF的周長(zhǎng)=正方形ABCD周長(zhǎng)的一半）②EA平分∠BEF③FA平分∠DAE條件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°條件：①正方形ABCD；②∠EAF=45°結(jié)論：EF=DFBE☆：當(dāng)∠EAF旋轉(zhuǎn)到正方形ABCD外部時(shí)，則有：【例題】．如圖，在正方形ABCD中，E是AB上一點(diǎn)，F(xiàn)是AD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且DF＝BE．（1）求證：CE＝CF．（2）在圖1中，若G在AD上，且∠GCE＝45°，則GE＝BE+GD成立嗎？為什么？（3）運(yùn)用（1）（2）解答中所累積的經(jīng)驗(yàn)和知識(shí)，完成下題：如圖2，在直角梯形ABCG中，AG∥BC（BC＞AG），∠B＝90°，AB＝BC＝12，E是AB上一點(diǎn)，且∠GCE＝45°，BE＝4，求GE的長(zhǎng)．【針對(duì)練習(xí)】1．如圖，在四邊形ABCD中，∠ADC＝∠B＝90°，DE⊥AB，垂足為E，且DE＝EB＝5，則四邊形ABCD的面積．2．已知正方形ABCD中，M，N是邊BC，CD上任意兩點(diǎn)，∠MAN＝45°，連結(jié)MN．（1）如圖①，請(qǐng)直接寫出BM，DN，MN三條線段的數(shù)量關(guān)系：；（2）如圖②，過點(diǎn)A作AH⊥MN于點(diǎn)H，求證：AB＝AH；（3）如圖③，已知∠MAN＝45°，AH⊥MN于點(diǎn)H，且MH＝2，NH＝3，求AH的長(zhǎng)．3．已知：正方形ABCD中，∠MAN＝45°，∠MAN繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交CB、DC（或它們的延長(zhǎng)線）于點(diǎn)M、N．（1）如圖1，當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM＝DN時(shí)，有BM+DN＝MN．當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到BM≠DN時(shí)，如圖2，請(qǐng)問圖1中的結(jié)論還是否成立？如果成立，請(qǐng)給予證明，如果不成立，請(qǐng)說明理由；（2）當(dāng)∠MAN繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)到如圖3的位置時(shí)，線段BM，DN和MN之間有怎樣的等量關(guān)系？請(qǐng)寫出你的猜想，并證明．【其他模型練習(xí)】1．（1）如圖1，邊長(zhǎng)為a的正方形ABCD對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，且正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，OE交邊AB于點(diǎn)H，OG交邊BC于點(diǎn)R．則圖中陰影部分（四邊形BROH）的面積為；（用含a的代數(shù)式表示）（2）如圖2，已知△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝a，BD平分∠ABC，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)．正方形OEFG繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)時(shí)，OE交邊AB于點(diǎn)H，OG交邊BC于點(diǎn)R．求圖中陰影部分（即四邊形BROH）的面積；（3）如圖3，△ABC與△OEF均為等腰直角三角形，∠ABC＝∠EOF＝90°，AB＝BC，OE＝OF．BD是Rt△ABC斜邊AC上的中線，點(diǎn)O為BD的中點(diǎn)，OE交邊AB于點(diǎn)H，OF交邊BC于點(diǎn)R．設(shè)兩三角形重疊部分（陰影部分）的面積為S，已知EF＝3，當(dāng)兩三角形的空白部分（除去陰影部分）的面積差為2時(shí)，直接寫出陰影部分面積S的值．2．已知四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)F為射線AD上一點(diǎn)，連接CF并以CF為對(duì)角線作正方形CEFG，連接BE，DG．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，求證：BE＝DG；（2）如圖1，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD上時(shí)，求證：CD﹣DF＝BE；（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)F在線段AD的延長(zhǎng)線上時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段CD，DF與BE間滿足的關(guān)系式．3．【實(shí)踐與探究】操作一：如圖①，已知正方形紙片ABCD，將正方形紙片沿過點(diǎn)A的直線折疊，使點(diǎn)B落在正方形ABCD內(nèi)部，點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為點(diǎn)M，折痕為AE，再將