第二章直線和圓的方程夯實(shí)基礎(chǔ)-06直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

第二章直線和圓的方程06直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式問題導(dǎo)學(xué)：1.引人平面直角坐標(biāo)系后，我們用二元一次方程表示直線，那么如何借助直線方程確定兩條相交直線的坐標(biāo)呢？已知兩條直線相交，它們的交點(diǎn)坐標(biāo)與直線的方程有什么關(guān)系？2.如何利用坐標(biāo)思想求平面上兩點(diǎn)間距離、點(diǎn)到直線距離以及兩條平行線之間的距離呢？二、知識(shí)構(gòu)建知識(shí)點(diǎn)一兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)1.兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

一般地，將兩條直線的方程聯(lián)立，得方程組若方程組有唯一解，則兩條直線相交，此解就是交點(diǎn)的坐標(biāo)；若方程組無解，則兩條直線無公共點(diǎn)，此時(shí)兩條直線平行；若方程組有無窮多解，則兩條直線重合.2.兩條直線的位置關(guān)系與方程組的解的關(guān)系設(shè)兩直線,直線.方程組的解一組無數(shù)組無解直線l1和l2的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1和l2的位置關(guān)系相交重合平行3.兩條直線相交的條件(1)將兩個(gè)直線方程聯(lián)立解方程組，依據(jù)解的個(gè)數(shù)判斷兩條直線是否相交．當(dāng)方程組只有一解時(shí)，兩條直線相交．(2)設(shè)兩條直線l1：y＝k1x＋b1，l2：y＝k2x＋b2，則l1與l2相交?k1≠k2.4.直線系方程過直線與的交點(diǎn)的直線系方程為，但不包括直線.知識(shí)點(diǎn)二距離公式1.兩點(diǎn)間的距離平面上任意兩點(diǎn)，間的距離公式為特別地，原點(diǎn)與任一點(diǎn)的距離.2.點(diǎn)到直線的距離平面上任意一點(diǎn)到直線：的距離.注意(1)直線方程應(yīng)為一般式(2)點(diǎn)P在直線l上時(shí)，點(diǎn)到直線的距離為零，公式仍然適用，故應(yīng)用公式時(shí)不必判定點(diǎn)P與直線l的位置關(guān)系．3．兩條平行線間的距離一般地，兩條平行直線：（）和：（）間的距離.(1)求兩條平行直線間的距離可以轉(zhuǎn)化為求點(diǎn)到直線的距離，也可以利用公式．(2)利用公式求平行直線間的距離時(shí)，兩條直線的方程必須是一般式，且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等知識(shí)點(diǎn)三對(duì)稱問題1.點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：該點(diǎn)是兩對(duì)稱點(diǎn)連線段的中點(diǎn)．利用中點(diǎn)坐標(biāo)公式，面內(nèi)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為，平面內(nèi)點(diǎn)，關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱．2.直線關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱：實(shí)質(zhì)是兩直線平行法一：轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)”的對(duì)稱問題（在l上找兩個(gè)特殊點(diǎn)（通常取直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)），求出各自關(guān)于A對(duì)稱的點(diǎn)，然后求出直線方程）．法二：利用平行性質(zhì)解（求一個(gè)對(duì)稱點(diǎn)，且斜率相等或設(shè)平行直線系，利用點(diǎn)到直線距離相等）．3.點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱：實(shí)質(zhì)上軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線．當(dāng)直線斜率存在時(shí)：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為．4.直線關(guān)于直線對(duì)稱=1\*GB3①當(dāng)與l相交時(shí)：此問題可轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)關(guān)于直線”的對(duì)稱問題；求直線，關(guān)于直線（兩直線不平行）的對(duì)稱直線第一步：聯(lián)立算出交點(diǎn)；第二步：在上任找一點(diǎn)（非交點(diǎn)），求出關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)；第三步：利用兩點(diǎn)式寫出方程．=2\*GB3②當(dāng)與l平行時(shí)：對(duì)稱直線與已知直線平行．兩條對(duì)稱直線到已知直線的距離相等，利用平行線間距離公式建立方程即可解得．三、類型剖析題型一兩條直線的交點(diǎn)問題題型二兩點(diǎn)間的距離公式題型三點(diǎn)到直線的距離題型四兩條平行線間的距離題型五直線的對(duì)稱問題題型六入射光線反射關(guān)系問題四、類型應(yīng)用題型一兩條直線的交點(diǎn)問題（一）求直線交點(diǎn)坐標(biāo)【例1】（2223高二·全國·課堂例題）求下列兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出圖形：.【答案】交點(diǎn)，作圖見解析【分析】求得方程組的解，得到交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合直線方程，畫出圖形.【詳解】由方程組，解得得，所以與的交點(diǎn)是，如圖所示：

【跟蹤訓(xùn)練11】（2122高二·全國·課后作業(yè)）求下列各組直線的交點(diǎn)坐標(biāo)：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】分別聯(lián)立兩直線方程即可得解.【詳解】（1）聯(lián)立，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；（2）聯(lián)立，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為；（3）聯(lián)立，解得，所以交點(diǎn)坐標(biāo)為.【跟蹤訓(xùn)練12】（2324高二上·重慶渝中·期中）已知直線2x+y+5=0與直線kx+2y=0互相垂直，則它們的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A．-1,-3 B．-2,-1C．-12,-1【答案】B.【分析】先根據(jù)垂直關(guān)系求解出k的值，然后聯(lián)立直線方程可求交點(diǎn)坐標(biāo).【解析】因?yàn)?x+y+5=0與kx+2y=0互相垂直，所以2k+2=0，所以k=-1，所以2x+y+5=0x-2y=0，解得x=-2所以交點(diǎn)坐標(biāo)為-2,-1，故選：B.（二）由方程組解的個(gè)數(shù)判斷直線的位置關(guān)系【例2】（2024·高二課時(shí)練習(xí)）分別判斷下列直線與是否相交．如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)．(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2)不相交(3)不相交【分析】分別聯(lián)立方程組，解方程求解即可判斷.【詳解】（1）解方程組，得，所以與相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）解方程組，方程組無解，所以與無公共點(diǎn)，即與不相交．（3）解方程組，因?yàn)榉匠炭苫癁?，所以方程組有無數(shù)組解，所以與有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn)，即與不相交．【跟蹤訓(xùn)練2】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）判斷下列各組中直線的位置關(guān)系，若相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為(2)平行(3)重合【分析】（1）聯(lián)立直線方程得到方程組，求出方程組的解，即可得到兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線方程得到方程組，判斷方程組無解，即可得到兩直線平行；（3）聯(lián)立直線方程得到方程組，得到方程組有無數(shù)解，即可判斷.【詳解】（1）由，解得，因此直線和相交，交點(diǎn)坐標(biāo)為．（2）因?yàn)椋?，由，得，矛盾，由此可知方程組無解，因此直線與平行．（3）由，得，說明方程②是方程①的倍，方程①的解都是方程②的解．因此直線與重合．（三）由兩條直線的交點(diǎn)位置或個(gè)數(shù)求參數(shù)【例3】（2425高二上·湖南株洲·開學(xué)考試）已知直線與直線互相垂直，交點(diǎn)坐標(biāo)為，則的值為（

）A．20 B． C．0 D．24【答案】B【解析】已知直線的斜率為，直線的斜率為．又兩直線垂直，則，解得．，即，將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．將交點(diǎn)代入直線的方程中，得．所以，．故選：B．【跟蹤訓(xùn)練3】（2324高二上·北京豐臺(tái)·期中）若直線和直線的交點(diǎn)在第二象限，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】,所以交點(diǎn)為,由于在第二象限，所以，所以的取值范圍為，故選：D（四）求過交點(diǎn)的直線方程【例4】（2223高二·全國·課堂例題）已知直線l經(jīng)過原點(diǎn)，且經(jīng)過如下兩條直線，的交點(diǎn)，求直線l的方程．【答案】．【分析】利用兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法求出交點(diǎn)坐標(biāo)，再利用兩點(diǎn)式方程求解.【詳解】因?yàn)榉匠探M的解為，所以兩條直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為，從而由題意知直線l經(jīng)過點(diǎn)．又直線l經(jīng)過原點(diǎn)，所以直線l的方程為，即．【跟蹤訓(xùn)練41】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知直線l過直線與的交點(diǎn)，且平行于，求直線l的方程．【答案】【分析】根據(jù)兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法和兩直線平行與斜率的關(guān)系求解.【詳解】聯(lián)立，解得，即的交點(diǎn)為，設(shè)所求直線方程為，因?yàn)樗笾本€過點(diǎn)，所以，解得，所以所求直線方程為.【跟蹤訓(xùn)練42】（2122高二·江蘇·課后作業(yè)）已知直線l過兩條直線和的交點(diǎn)，且與直線垂直，求直線l的方程.【答案】【分析】兩直線方程聯(lián)立求得交點(diǎn)坐標(biāo)，由垂直得斜率，再由點(diǎn)斜式得直線方程并化簡．【詳解】由得，交點(diǎn)為，的斜率為，與它垂直的直線斜率為，所求直線方程為，即．【跟蹤訓(xùn)練43】（2324高二上·陜西寶雞·月考）已知直線l經(jīng)過直線和的交點(diǎn)，且直線l在坐標(biāo)軸上的截距相等，則直線l的方程是.【答案】或【解析】由，解得，即直線過點(diǎn)，當(dāng)直線過原點(diǎn)時(shí)，直線的方程為，當(dāng)直線不過原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線的方程為，則，解得，方程為，所以直線的方程為或.（五）三線圍成三角形問題【例5】（2324高二上·湖南·期末）若三條不同的直線，，不能圍成一個(gè)三角形，則a的取值集合為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分線線平行和三線共點(diǎn)討論即可.【詳解】若，則，解得．若，則，解得．若，，交于一點(diǎn)，聯(lián)立方程組，解得得，代入，得，解得，故a的取值集合為．故選：D.【跟蹤訓(xùn)練5】（2223高二上·安徽馬鞍山·期末）（多選）若三條直線可以圍成一個(gè)三角形，則實(shí)數(shù)的值可以為（

）A． B．0 C．1 D．3【答案】BD【解析】根據(jù)題意可知三條直線兩兩都不平行，且不同時(shí)過同一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)平行時(shí)可得，此時(shí)不合題意，因此；聯(lián)立，即，解得交點(diǎn)坐標(biāo)為0,1，因此0,1不在上，即可得，可得；所以若三條直線圍成一個(gè)三角形，只需且即可.故選：BD題型二兩點(diǎn)間的距離公式（一）求兩點(diǎn)間的距離【例6】（2223高二·全國·課堂例題）已知是的三個(gè)頂點(diǎn)，求這個(gè)三角形邊上中線的長.【答案】【分析】求出的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可得出這個(gè)三角形邊上中線的長.【詳解】由題意，在中，設(shè)的中點(diǎn)為，則，從而可知所求中線長為.

【跟蹤訓(xùn)練6】（2324高二·全國·課后作業(yè)）求下列兩點(diǎn)間的距離：(1)，；(2)，；(3)，．【答案】(1)(2)(3)【分析】由平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離公式可直接求解.【詳解】（1）因?yàn)?，，由兩點(diǎn)間的距離公式有；（2）因?yàn)?，，由兩點(diǎn)間的距離公式有；（3）因?yàn)椋?，由兩點(diǎn)間的距離公式有.（二）由兩點(diǎn)間的距離求參數(shù)【例7】（2024高二上·全國·專題練習(xí)）已知點(diǎn)，在y軸上求一點(diǎn)P，使，并求的值.【答案】【分析】通過兩點(diǎn)距離公式聯(lián)立求解即可.【詳解】設(shè)所求點(diǎn)為，則，，由得解得，所以，所求點(diǎn)，.【跟蹤訓(xùn)練7】（2324高二·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，在軸上的點(diǎn)與點(diǎn)的距離等于，求點(diǎn)的坐標(biāo)．【答案】或【分析】設(shè)，利用兩點(diǎn)間的距離公式得到方程，解得即可.【詳解】設(shè)，則，解得或，所以或（三）運(yùn)用坐標(biāo)法解決平面幾何問題【例8】（2324高二·人教版·例題）證明：平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和．【答案】證明見解析【分析】首先寫出已知、求證，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩點(diǎn)間的距離公式，即可證明．【詳解】已知平行四邊形，求證：.證明：如圖，四邊形是平行四邊形，以頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸建立直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，，由平行四邊形的性質(zhì)得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由兩點(diǎn)間的距離公式，得，，，，所以，．所以，又，，所以，即平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對(duì)角線的平方和．題型三點(diǎn)到直線的距離（一）求點(diǎn)到直線的距離【例9】（2223高二·全國·課堂例題）分別求點(diǎn)到下列直線的距離：(1)；(2)．【答案】(1)(2)【分析】利用點(diǎn)到直線距離公式分別計(jì)算.【詳解】（1）根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式，得（2）因?yàn)橹本€即平行于y軸，所以.【跟蹤訓(xùn)練91】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求下列點(diǎn)到直線的距離：（1），；（2），；（3），．【答案】（1）；（2）0；（3）【分析】由點(diǎn)到直線的距離公式對(duì)各小題進(jìn)行計(jì)算即可.【詳解】（1）；（2）；（3）；【跟蹤訓(xùn)練92】（2324高二下·全國·課堂例題）已知的頂點(diǎn)A-2,0，，.求的面積.【答案】5【分析】求出直線的斜率，直接利用點(diǎn)斜式得到直線的方程，然后求出點(diǎn)到直線的距離和，再結(jié)合三角形面積公式即可得結(jié)果.【詳解】直線的斜率，由直線方程的點(diǎn)斜式可得，化簡可得.所以點(diǎn)到直線的距離，且，則.【跟蹤訓(xùn)練93】（2324高二上·廣東東莞·階段練習(xí)）如圖，已知平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，.(1)求直線CD的方程；(2)求平行四邊形ABCD的面積.【答案】(1)(2)8【分析】（1）由平行四邊形ABCD的性質(zhì)求出CD的斜率，由此能求出直線CD的方程；（2）求出點(diǎn)到直線CD的距離d和，由此能求出平行四邊形的面積．【詳解】（1）∵平行四邊形ABCD的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，∴，∴直線CD的方程為：，整理得直線CD的方程為．（2）點(diǎn)到直線CD的距離，，∴平行四邊形的面積.（二）已知點(diǎn)到直線的距離求參數(shù)【例10】（2122高二·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)到直線的距離為3，求實(shí)數(shù)m的值．【答案】.【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】由，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為3，所以有【跟蹤訓(xùn)練10】（2122高二上·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)到直線的距離為1，求C的值．【答案】15或5【分析】直接利用點(diǎn)到直線距離公式列方程求解即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為，即，故，即或（三）與點(diǎn)到直線的距離有關(guān)的最值問題【例11】（2024·重慶·三模）當(dāng)點(diǎn)到直線l：的距離最大時(shí)，實(shí)數(shù)的值為（）A． B．1 C． D．2【答案】B【分析】先求得直線過的定點(diǎn)，再由點(diǎn)P與定點(diǎn)的連線與直線垂直求解.【詳解】直線l：，整理得，由，可得，故直線恒過點(diǎn)，點(diǎn)到的距離，故；直線l：的斜率，故，解得故選：B.【跟蹤訓(xùn)練11】（2324高二上·江西撫州·月考）點(diǎn)到直線的最大距離為（

）A．2 B． C． D．1【答案】C【解析】由題意知，直線即，所以該直線恒過定點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的最大距離即為點(diǎn)到定點(diǎn)的距離，即.故選：C.題型四兩條平行線間的距離（一）求平行線間的距離【例12】（2223高二·全國·課堂例題）已知兩條平行直線，，求與間的距離．【答案】【分析】在上選取一點(diǎn)，如與坐標(biāo)抽的交點(diǎn)，用點(diǎn)到直線的距離公式求這點(diǎn)到的距離，即與間的距離．或者直接利用平行線間距離公式求解.【詳解】設(shè)與x軸的交點(diǎn)為A，則A．點(diǎn)A到直線的距離所以與間的距離為．或者，，故平行線間的距離為【跟蹤訓(xùn)練121】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求下列兩條平行直線間的距離：（1），；（2），．【答案】（1）；（2）2【分析】根據(jù)平行線的距離公式分別求解即可.【詳解】（1）；（2）【跟蹤訓(xùn)練122】（2122高二上·全國·課后作業(yè)）已知兩條平行直線與間的距離為3，求C的值．【答案】或【分析】根據(jù)兩平行直線的距離公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)閮蓷l平行直線與間的距離為3，所以，解得或.【跟蹤訓(xùn)練123】（2324高二上·廣東汕頭·月考）已知直線與直線互相平行，則它們之間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由題知，因?yàn)閮芍本€平行，所以，所以兩直線方程分別為和，即和，所以兩直線距離為.故選：B（三）距離的綜合應(yīng)用【例13】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）求與直線平行且距離為3的直線的方程．【答案】或.【分析】根據(jù)題意，設(shè)直線方程為，再結(jié)合兩平行直線距離公式即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)與直線平行的直線方程為，因?yàn)閮善叫兄本€距離為3，即，解得或，故所求方程為或.【跟蹤訓(xùn)練13】（2425高二上·上海·課后作業(yè)）已知直線l過點(diǎn)，若原點(diǎn)到l的距離為2，求直線l的方程．【答案】或【分析】討論直線的斜率不存在和存在兩種情況，因?yàn)樵c(diǎn)到l的距離為2，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，得到直線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，即可得到直線l的方程．【詳解】當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，滿足題意；當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的斜率為，直線過點(diǎn)，直線的方程為，即，又原點(diǎn)到直線的距離為2，，，，，，直線的方程為，即，所以，直線l的方程為或．題型五對(duì)稱問題（一）求點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)【例14】（2324高二上·廣東佛山·期中）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為，故選：B【跟蹤訓(xùn)練141】（2324高二下·四川雅安·開學(xué)考試）點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)垂直平分列方程組求解即可.【詳解】設(shè)所求對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，解得，故點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為.故選：D.【跟蹤訓(xùn)練142】（2223高二上·江蘇淮安·階段練習(xí)）已知點(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，則的值為．【答案】【分析】將線段的中點(diǎn)代入直線的方程中可得答案.【詳解】因?yàn)?、，所以的中點(diǎn)為，因?yàn)辄c(diǎn)與點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱，所以的中點(diǎn)在此直線上，所以，即，故答案為：（二）求直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱直線【例15】關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】對(duì)于直線，將換為，換為得到，即，所以直線關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的直線是.故選：C【跟蹤訓(xùn)練151】（2223高二·江蘇·課后作業(yè)）已知直線，求：(1)直線l關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱的直線的方程；(2)直線關(guān)于直線l對(duì)稱的直線的方程．【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)直線關(guān)于的對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)為，求得點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)，代入直線，即可求解；（2）由，兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再在直線上取一點(diǎn)，求得關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，結(jié)合直線的點(diǎn)斜式方程，即可求解.【詳解】（1）解：設(shè)直線關(guān)于的對(duì)稱直線上任意一點(diǎn)為，則點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱為，則，解得，即,將點(diǎn)代入直線，可得，整理得，即對(duì)稱直線的方程為.（2）解：由，解得，即直線與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，再在直線上取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，又由，所以直線的方程為，整理得，即直線關(guān)于直線l對(duì)稱的直線的方程為.【跟蹤訓(xùn)練152】（2324高二上·四川內(nèi)江·期中）已知點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，則直線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由題意直線為線段的中垂線，先求出直線的斜率及中點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩直線垂直的性質(zhì)得到直線的斜率，最后利用點(diǎn)斜式求出方程，化簡即可得出.【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為，所以直線為線段的中垂線，因?yàn)?，中點(diǎn)為，且，所以直線的斜率為，所以直線的方程為即.故選：D（三）求直線關(guān)于直線的對(duì)稱直線【例16】（2024高三·全國·專題練習(xí)）求直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線的方程．【答案】【分析】法一，聯(lián)立方程解出和的交點(diǎn)坐標(biāo)，直線也過該點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，求出點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，由兩點(diǎn)式可得到直線的方程；法二，聯(lián)立方程解出和的交點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)直線的斜率為，由點(diǎn)斜式設(shè)出直線的方程，在直線l上取一點(diǎn)，則點(diǎn)Q到的距離與點(diǎn)Q到的距離相等，求出，即可求得直線的方程；法三，由于對(duì)稱軸的斜率為，可用直接代入的方法：把，代入的方程，即可求得直線的方程.【詳解】解法一：由，得兩直線的交點(diǎn)，在直線上取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)M關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，由題意知經(jīng)過此點(diǎn)，則由兩點(diǎn)式得，即，所以的方程為．解法二：由解法一得，設(shè)直線的方程為，即，在直線l上取一點(diǎn)，則點(diǎn)Q到的距離與點(diǎn)Q到的距離相等，即，解得或（舍去）．∴的方程為．解法三：由于對(duì)稱軸的斜率為，可用直接代入的方法：把，代入，得，即，∴的方程為．【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：解法三，凡對(duì)稱軸方程的斜率為，均可用代入法．如果對(duì)稱軸方程的斜率不為，則不能用此法，只能用上述的解法一和解法二．【跟蹤訓(xùn)練16】（2324高二上·江蘇常州·月考）兩直線方程為，則關(guān)于對(duì)稱的直線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】聯(lián)立直線和的方程，得到，故直線和的交點(diǎn)為，在上取一點(diǎn)，設(shè)它關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則有，整理得，解得，即，由，，可得所求直線方程為，即，故選：C.（六）反射光線問題【例17】（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知光線從點(diǎn)入射，經(jīng)過直線反射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)，則入射光線所在的直線方程為.【答案】【分析】根據(jù)題意，先求得點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，從而得到，再由點(diǎn)斜式即可得到結(jié)果.【詳解】直線的斜率為1，根據(jù)點(diǎn)關(guān)于斜率為的直線直接求對(duì)稱點(diǎn)的結(jié)論：知求，知求可得，當(dāng)時(shí)代入得；當(dāng)時(shí)代入得，即得關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)；入射光線所在直線方程為：；化簡得：.故答案為：.【跟蹤訓(xùn)練17】一條光線從點(diǎn)射出，與軸相交于點(diǎn)，經(jīng)軸反射，則反射光線所在直線的方程為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由題意利用反射定律，可得反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)，點(diǎn)，再用兩點(diǎn)式求得反射光線QP′所在的直線方程．【詳解】由題意可得反射光線所在直線經(jīng)過點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，則根據(jù)反射定律，點(diǎn)在反射光線所在直線上，故反射光線所在直線的方程為，即，故選：A．素養(yǎng)提升：1.（2324高二上·湖南衡陽·期末）已知點(diǎn)與到直線的距離相等，則的方程可以是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離相等，可得過的中點(diǎn)，或的斜率與的斜率相等，進(jìn)而兩種情況進(jìn)行判斷.【詳解】由題知，過的中點(diǎn)，或的斜率與的斜率相等，又的中點(diǎn)為，則過點(diǎn)的直線為AD選項(xiàng)；又的斜率為，則B選項(xiàng)符合條件.故選：ABD2.（2122高二·全國·課后作業(yè)）將一張坐標(biāo)紙折疊一次，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，則折痕所在直線的一般式方程為.【答案】【分析】利用折痕所在直線與兩點(diǎn)連線垂直可得所求直線斜率，利用中點(diǎn)在折痕所在直線上可得所求直線方程.【詳解】點(diǎn)與點(diǎn)連線斜率，折痕所在直線斜率，又點(diǎn)與點(diǎn)的中點(diǎn)為，折痕所在直線方程為：，即.故答案為：.3.“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”這是唐代邊塞詩人李頎的《古從軍行》中的詩句，詩句中隱含著一個(gè)著名的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍白天察看烽火臺(tái)之后，從山腳下的某處返回軍營，途中須到河邊飲馬然后再趕回軍營，將軍怎樣走才能使返回總路程最短？已知在平面直角坐標(biāo)系中，軍營所在位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)返回軍營，河岸線所在直線方程為．則返回總路程最短為．【答案】【分析】根據(jù)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱，進(jìn)而根據(jù)兩點(diǎn)距離公式即可求解.【詳解】過作關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)，設(shè)，所以，解得，所以，故最短距離為.故答案為：

六、隨堂檢測1．（2324高二上·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·階段練習(xí)）已知，則A，B兩點(diǎn)間的距離為（

）A．5 B． C．3 D．【答案】B【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式求出答案.【詳解】A，B兩點(diǎn)間的距離為.故選：B2．（2425高二上·全國·課后作業(yè)）直線和的交點(diǎn)坐標(biāo)為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】解二元一次方程組即得交點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】解方程組，得，所以所求交點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：B3．（2324高二下·全國·隨堂練習(xí)）點(diǎn)到直線的距離是（

）A．1 B．2 C． D．3【答案】A【分析】直接利用點(diǎn)到直線的距離公式可得答案.【詳解】由題意可得：點(diǎn)到直線的距離.故選：A.4．（2223高二上·江蘇連云港·期中）已知三點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】直接利用兩點(diǎn)間的距離公式列方程計(jì)算即可【詳解】由兩點(diǎn)間的距離公式，及可得：，解得.故選：A5．（2324高二上·全國·課后作業(yè)）已知到直線的距離等于3，則a的值為（

）A． B．或 C．或 D．【答案】C【分析】由距離公式，解方程得出a的值.【詳解】由距離公式可得，，即解得或.故選：C6．（2324高二下·上海·期中）直線，若三條直線無法構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)可取值的個(gè)數(shù)為（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【分析】分、、及三條直線相交于一點(diǎn)四種情況討論，分別求出所對(duì)應(yīng)的的值，即可得解.【詳解】①時(shí)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；②時(shí)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；③時(shí)，則，解得，經(jīng)檢驗(yàn)符合題意；④三條直線交于一點(diǎn)，解得或，則實(shí)數(shù)可取值的集合為，即符合題意的實(shí)數(shù)共6個(gè).故選：D7．（2324高二上·四川綿陽·期末）已知，兩點(diǎn)到直線：的距離相等，則（

）A． B．6 C．或4 D．4或6【答案】D【分析】求出點(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到直線的距離，二者相等求解方程即可.【詳解】點(diǎn)到直線的距離為，點(diǎn)到直線的距離為，因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離和點(diǎn)到直線的距離相等，所以，所以或.故選：D.8．（2223高二上·四川成都·階段練習(xí)），與直線平行，則直線與的距離為.【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行的條件列出方程即可求出m的值，求出直線的方程，再由兩平行線間的距離公式求出直線與的距離．【詳解】因?yàn)?/，所以，解得，，，由兩平行直線的距離公式可得：，故答案為：9．（2324高二下·全國·課后作業(yè)）已知點(diǎn)，P為x軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A的距離等于13，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為．【答案】或【分析】根據(jù)題意設(shè)，再利用兩點(diǎn)間的距離公式即可求出的值，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)．【詳解】點(diǎn)在軸上，設(shè)，點(diǎn)與點(diǎn)的距離等于13，，解得或，點(diǎn)的坐標(biāo)為或，故答案為：或．10．（2024·山東·二模）過直線和的交點(diǎn)，傾斜角為的直線方程為