高等數(shù)學(xué) 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用

2.4導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)函數(shù)的單調(diào)性的判別學(xué)習(xí)重點(diǎn)函數(shù)極值及最值的確定方法曲線凹凸性的判別及拐點(diǎn)的確定高等數(shù)學(xué)一、函數(shù)單調(diào)性的判別定理（1）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)遞增的。（2）如果函數(shù)在內(nèi)有，則函數(shù)在上是單調(diào)遞減的。設(shè)函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則其中導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)稱為駐點(diǎn)簡證：例1判別函數(shù)的單調(diào)性。解因?yàn)樗?，函?shù)在內(nèi)是單調(diào)遞增的。例2

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解因?yàn)榱畹民v點(diǎn)列表討論+0_0+3-1

所以，函數(shù)在及內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。例3

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不存在當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)增加，在內(nèi)單調(diào)減少。

小結(jié)：駐點(diǎn)（使一階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)）或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)可能將單調(diào)區(qū)間分開。例4：求函數(shù)單調(diào)區(qū)間解：當(dāng)時(shí)，不存在即在0處不可導(dǎo)所以，函數(shù)在定義域R內(nèi)單調(diào)增思考其圖像，并與函數(shù)圖像作比較例4

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間解：得到駐點(diǎn)，注：所以，函數(shù)在內(nèi)單調(diào)減，在內(nèi)單調(diào)增。確定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間還應(yīng)注意函數(shù)本身的定義域小結(jié)：求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的一般方法：（1）求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)；（2）找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）將上述點(diǎn)插入到定義域，分區(qū)間確定一階導(dǎo)數(shù)的符號(hào)；一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)決定函數(shù)的單調(diào)性二、函數(shù)的極值及判定極值的概念：如果函數(shù)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，對(duì)于該鄰域內(nèi)任意異于點(diǎn)的，都有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極小值；如果有，則稱為函數(shù)的一個(gè)極大值。極大值和極小值統(tǒng)稱為函數(shù)的極值。使函數(shù)取得極值的點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。

由于函數(shù)在不同的區(qū)間的單調(diào)性不同，因而在圖象上會(huì)出現(xiàn)“峰”與“谷”，使函數(shù)值在局部范圍內(nèi)出現(xiàn)“最大”、“最小”，稱之為函數(shù)的極大、極小值。-13（1）極值一定在區(qū)間內(nèi)部取得。如函數(shù)Y=x在區(qū)間[1，2]內(nèi)既無極大值，也無極小值。（2）某區(qū)間內(nèi)函數(shù)極值可以有多個(gè)。（3）極小值可以大于極大值。◆函數(shù)的極值說明函數(shù)的極值是一個(gè)局部特性，最值是全局特性定理如果函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，且在點(diǎn)處有極值，則函數(shù)在可導(dǎo)點(diǎn)取得極值時(shí)，則在該點(diǎn)的切線平行于x軸。即可導(dǎo)的極值點(diǎn)為駐點(diǎn)究竟如何判斷函數(shù)的極值？◆極值存在的第一充分條件設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)空心鄰域內(nèi)可導(dǎo)則在點(diǎn)處取得極大值；則在點(diǎn)處取得極小值；判斷函數(shù)單調(diào)性和極值的步驟：1、求函數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)2、找出函數(shù)的駐點(diǎn)或一階不可導(dǎo)點(diǎn)3、觀察這些點(diǎn)左右兩側(cè)一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)的變化從而判定例1

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間及極值解因?yàn)榱畹民v點(diǎn)列表討論+極小值極大值0_0+3-1所以，函數(shù)有極大值，有極小值。

一階導(dǎo)數(shù)由正到負(fù)，函數(shù)過極大值；一階導(dǎo)數(shù)由負(fù)到正，函數(shù)過極小值。例2

求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值解因?yàn)楫?dāng)時(shí)，不存在當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，函數(shù)有極小值。

小結(jié)：駐點(diǎn)或一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，可能是函數(shù)的極值點(diǎn)，關(guān)鍵是判斷這些點(diǎn)兩側(cè)的一階導(dǎo)數(shù)符號(hào)是否變化例3

求函數(shù)的極值所以，函數(shù)無極值。（雖然有）◆極值存在的第二充分條件例4

求函數(shù)的極值解因?yàn)樗?，函?shù)有駐點(diǎn)而所以所以，函數(shù)有極大值，有極小值。

注意：當(dāng)函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)較易求，且二階導(dǎo)數(shù)不為零時(shí)，使用第二充分條件判別極值較易；而二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，必須用第一充分條件判別。三、函數(shù)的最大值與最小值

已有結(jié)論：如果函數(shù)在[a,b]上連續(xù)，則函數(shù)在該區(qū)間上一定有最大值和最小值。求函數(shù)最值的一般步驟與方法（1）求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；（2）在給定區(qū)間（或定義域）內(nèi)找出所有的駐點(diǎn)及一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（3）計(jì)算函數(shù)在上述點(diǎn)處的函數(shù)值，以及在端點(diǎn)處的函數(shù)值，并比較其大小，其中最大者即為函數(shù)在區(qū)間上的最大值；最小者即為函數(shù)在區(qū)間上的最小值。例5

求函數(shù)在上的最值。解因?yàn)榱畹枚院瘮?shù)在上的最大值是最小值是生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中，常會(huì)遇到“最好”、“最省”、“最高”等這樣的實(shí)際問題。例如，在一定條件下，怎樣使用材料最省、利潤最大、投入最小等問題。在醫(yī)藥學(xué)中也會(huì)遇到類似的問題。比如口服或肌內(nèi)注射一定劑量的某種藥物后，血藥濃度何時(shí)達(dá)到最高值？一種疾病與年齡有關(guān)，則什么年齡的發(fā)病率最高？等等再轉(zhuǎn)化為求某一函數(shù)的最大值或最小值問題解決這些問題需借助數(shù)學(xué)模型展現(xiàn)其函數(shù)關(guān)系式例6（應(yīng)用題）某細(xì)菌群體的數(shù)量N(t)是由下列函數(shù)模型確定：其中t是時(shí)間，以周為單位。試問細(xì)菌的群體在多少周后數(shù)量最大，其最大數(shù)量的多少？解因?yàn)榱畹茫ㄉ崛ヘ?fù)值）由問題的實(shí)際意義，可知時(shí)，其數(shù)量為細(xì)菌群體的數(shù)量最大，例：某地沙眼的患病率與年齡（t）的關(guān)系為問：患病率最高的年齡是多少？最高患病率是多少？解：結(jié)合實(shí)際分析，t=16.6時(shí)為患病率最高代入函數(shù)，某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當(dāng)租金定為每月1800元時(shí)，公寓會(huì)全部租出去．當(dāng)租金每月增加100元時(shí)，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費(fèi)200元的整修維護(hù)費(fèi)．試問房租定為多少可獲得最大收入？例7每月總收入為設(shè)房租為每月元，解租出去的房子有套，（唯一駐點(diǎn)）故每月每套租金為3500元時(shí)收入最高。最大收入為

例8

某廠生產(chǎn)某種商品，某年銷售量為100萬件，每批生產(chǎn)需增加準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件產(chǎn)品的庫存費(fèi)為0.05元，如果年銷售率是均勻的，且上批銷售完后立即再生產(chǎn)下一批（此時(shí)商品庫存數(shù)為批量的一半），問應(yīng)分幾批生產(chǎn)，能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)之和最小？解設(shè)總費(fèi)用為y，共分x批生產(chǎn)，由題設(shè)可得函數(shù)關(guān)系令得唯一駐點(diǎn)由問題的實(shí)際意義，應(yīng)分5批生產(chǎn)，可使兩種費(fèi)用之和最小。

一般地，對(duì)于實(shí)際應(yīng)用問題，如果可以判斷目標(biāo)函數(shù)的最值存在，函數(shù)在定義域內(nèi)又只有唯一駐點(diǎn)，則該駐點(diǎn)即為最值點(diǎn)。四、曲線的凹凸向及拐點(diǎn)

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定義如果曲線弧總位于它的每一點(diǎn)的切線的上方，則稱該曲線弧是凹的；如果曲線弧總位于它的每一點(diǎn)的切線的下方，則稱該曲線弧是凸的凹弧凸弧◆凹凸弧的判別定理定理設(shè)函數(shù)在區(qū)間上具有二階導(dǎo)數(shù)，則在該區(qū)間上：（1）當(dāng)時(shí)，曲線弧是凹的；（2）當(dāng)時(shí)，曲線弧是凸的。凹、凸弧的分界點(diǎn)，稱為曲線的拐點(diǎn)(inflectionpoint)。

例1

試證明函數(shù)的圖形是凹的。所以，函數(shù)的圖形在內(nèi)是凹的。證明函數(shù)的定義域?yàn)榕袛嗲€y=lnx的凹凸性內(nèi)是凸的。解答解函數(shù)的定義域?yàn)槔?

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。令得列表因?yàn)樗伎计鋱D像例3

求曲線的凹凸區(qū)間及拐點(diǎn)。解因?yàn)樗?，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以，曲線在內(nèi)是凹的，在內(nèi)是凸的。有拐點(diǎn)。小結(jié)：二階導(dǎo)數(shù)為零或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，可能對(duì)應(yīng)為拐點(diǎn)；關(guān)鍵分析其左右兩側(cè)曲線的凹凸性是否發(fā)生變化，?！粞a(bǔ)充

曲線的漸近線：如果曲線上的點(diǎn)M沿曲線離坐標(biāo)原點(diǎn)無限遠(yuǎn)移時(shí)，點(diǎn)M與某一條直線L的距離趨于零，則稱直線L為曲線的一條漸近線。

（1）若或則為曲線的垂直漸近線。

（2）若或則為曲線的水平漸近線。函數(shù)作圖的一般步驟：（1）求出函數(shù)f(x)的定義域，確定圖形的范圍；（2）討論函數(shù)的奇偶性和周期性，確定圖形的對(duì)稱性和周期性；（3）找出漸近線，確定圖形的變化趨勢(shì)；（4）計(jì)算函數(shù)的一階、二階導(dǎo)數(shù)，并找出使一階或二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)，及一階或二階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)；（5）將上述點(diǎn)插入到定義域，列表討論函數(shù)的單調(diào)性、曲線的凹凸向，確定函數(shù)的極值和曲線的拐點(diǎn)