離散傅里葉變換與z變換的關(guān)系

由序列z變換表達序列DFT

由序列DFT表達序列z變換離散傅里葉變換與z變換的關(guān)系已知有限長序列x[k]，k=0,1,2,…,N-1，存在三種形式變換：1.z變換：收斂域(ROC)|z|>02.DTFT變換：3.DFT變換：問題提出DTFTX(ej

)DFTX[m]ZTX(z)單位圓上均勻抽樣?x[k]的X[m]等于其z變換X(z)在單位圓上等間隔取樣序列DFT與z變換的關(guān)系][mX????IDFT][kx?????變換Z)(zX(內(nèi)插公式)由序列DFT表示序列z變換已知DFT求ZT=？

兩個有限長序列的線性卷積利用DFT計算序列線性卷積的步驟長序列和短序列的線性卷積2.4利用DFT計算序列線性卷積*問題提出：實際需要：LTI系統(tǒng)響應(yīng)y[k]=x[k]

h[k]可否利用DFT計算線性卷積？兩個有限長序列的線性卷積線性卷積：有限長序列的線性卷積與循環(huán)卷積*x1[k]的長度為N1x2[k]的長度為N2能否用循環(huán)卷積代替有長序列的線性卷積？為什么不同？x1[k]的長度為N1x2[k]的長度為N2在線性卷積中，yl[k]

不為零長度是多少？yl[k]

不為零長度是N1+N2-1N點循環(huán)卷積：NN不足的部分補零x1[k]的長度為N1x2[k]的長度為N2討論循環(huán)卷積和線性卷積之間的關(guān)系：對x1[k]和x2[k]補零，使其長度均為N點對x2[k]周期延拓：循環(huán)卷積：代入x2[k]周期延拓交換求和次序例如:x1[k]x2[k]kkNx1[k]的長度為3x2[k]的長度為5yl[k]

不為零長度是7yl[k]=x1[k]*x2[k]k5k6kyl[k]=x1[k]*x2[k]k7=yl[k]k8=yl[k]k例：x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},計算解:x1[k]和x2[k]的4點循環(huán)卷積y[k]為(1)x1[k]和x2[k]的線性卷積(2)x1[k]和x2[k]的4點循環(huán)卷積(3)x1[k]和x2[k]的5點、6點和7點循環(huán)卷積解:(1)x1[k]和x2[k]的線性卷積(2)x1[k]和x2[k]的4點循環(huán)卷積(3)x1[k]和x2[k]的5點、6點和7點循環(huán)卷積x1[k]和x2[k]的5點循環(huán)卷積y5[k]為y5[k]={2，2，2，2，1}x1[k]和x2[k]的6點循環(huán)卷積y6[k]為y6[k]={1，2，2，2，1，1}x1[k]和x2[k]的7點循環(huán)卷積y7[k]為y7[k]={1，2，2，2，1，1，0}例：x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},計算解:(1)x1[k]和x2[k]的線性卷積(2)x1[k]和x2[k]的4點循環(huán)卷積(3)x1[k]和x2[k]的5點、6點和7點循環(huán)卷積x1[k]和x2[k]6點循環(huán)卷積y6[k]={1，2，2，2，1，1}x1[k]和x2[k]線性卷積例：x1[k]={1,1,1},x

2[k]={1,1,0,1},計算線性卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示利用DFT計算序列線性卷積的步驟

若x[k]的長度為N，h[k]的長度為M，則L=N+M-1點循環(huán)卷積等于x[k]與h[k]的線性卷積。小結(jié)：線性卷積求解方法時域直接求解

補N-N1個零x[k]N點DFT補N-N2個零h[k]N點DFTN點IDFTy[k]=x[k]*h[k]z變換法DFT法N的長度等于多少？%CalculateLinearConvolutionbyDFTx=[1201];h=[2211];%determinethelengthforzeropaddingL=length(x)+length(h)-1;%ComputetheDFTsbyzero-paddingXE=fft(x,L);HE=fft(h,L);%DeterminetheIDFToftheproducty1=ifft(XE.*HE);例：利用MATLAB由DFT計算x[k]*h[k]。

x[k]={1,2,0,1},h[k]={2,2,1,1}直接計算與由DFT間接計算結(jié)果比較若x1[k]為M

點序列,x2[k]為L

點序列，L>Mx1[k]L

x2[k]中哪些點不是線性卷積的點?問題討論*0

k

M-2不是線性卷積的結(jié)果，即前(M-1)個點與線性卷積不一樣。線性卷積的矩陣表示循環(huán)卷積的矩陣表示

x1[k]L

x2[k]k=0~M-2,前M-1個點不是線性卷積的點k=M-1~L-1,L-M+1個點與線性卷積的點對應(yīng)線性卷積L~L+M-2后M-1點沒有計算

則L點循環(huán)卷積結(jié)論若x1[k]為M

點序列,x2[k]為L

點序列，L>M圖示長序列和短序列的線性卷積

直接利用DFT計算的缺點：(1)信號要全部輸入后才能進行計算，延遲太多(2)內(nèi)存要求大(3)算法效率不高

解決問題方法：采用分段卷積分段卷積可采用重疊相加法和重疊保留法長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）將長序列x[k]分為若干段長度為L的序列其中長序列和短序列的線性卷積1.重疊相加法（overlapadd）y0[k]的非零范圍y1[k-L]的非零范圍

序列y0[k],y1[k]的重疊部分重疊的點數(shù)L+M-2-L+1=M-1

依次將相鄰兩段的M-1個重疊點相加，即得到最終的線性卷積結(jié)果。重疊相加法分段卷積舉例重疊相加法分段卷積舉例fftfilt(h,x,n)h:FIRfilterx:inputsequencen

為DFT點數(shù)，一般取2的整數(shù)次冪利用MATLAB實現(xiàn)分段卷積利用MATLAB實現(xiàn)分段卷積%GeneratethenoisesequenceN=64;d=rand(N,1)-0.5;%Generatetheuncorruptedsequenceandaddnoiseform=1:1:N,s(m)=2*(m-1)*((0.9)^(m-1));x(m)=s(m)+d(m);end%thelengthofmovingaveragefilterM=4;%Generatethemovingaveragefiltercoefficientsh=ones(1,M)/M;%Performtheoverlap-addfilteringoperationy=fftfilt(h,x,8);4點滑動平均系統(tǒng)去噪結(jié)果長序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法（overlapsave）

方法：

(1)

將x[k]長序列分段，每段長度為L；

(2)

各段序列xn[k]與

M點短序列h[k]循環(huán)卷積；

(3)

從各段循環(huán)卷積中提取線性卷積結(jié)果。前M-1個點不是線性卷積的點因yn[k]=xn[k]Lh[k]故分段時，每段與其前一段有M-1個點重疊。長序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法（overlapsave）--x[k(M1)]M-1--L(M1)L-1x0[k]x1[k]2L-Mk第一段前需補M-1個零長序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法（overlapsave）記

yn[k]=xn[k]Lh[k]長序列和短序列的線性卷積2.重疊保留法（overlapsave）y0[k]中的[M-1,L-1]點對應(yīng)于線性卷積

x[k]*h[k]中的[0,L-M]點y1[k]中的[M-1,L-1]點對應(yīng)于線性卷積x[k]*h[k]中的[L-(M-1),

2L-M-(M-1)]點y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}解:

重疊相加法x1[k]={2,3,4,5,6}x2[k]={7,8,9,10,11}x3[k]={12,13,14}y1[k]={2,7,12,16,20,17,6}y2[k]={7,22,32,36,40,32,11}y3[k]={12,37,52,41,14}例:

已知序列x[k]=k+2,0

k

12,h[k]={1,2,1}試分別利用重疊相加和保留法計算線性卷積,取L=5。解:

重疊保留法y[k]={2,7,12,16,20,24,28,32,36,40,44,48,52,41,14}x1[k]={0,0,2,3,4}x2[k]={3,4,5,6,7}x3[k]={6,7,8,9,10}y1[k]=x1[k]

h[k]={11,4,2,7,12}x4[k]={9,10,11,12,13}y2[k]=x2[k]

h[k]={23,17,16,20,24}y3[k]=x3[k]

h[k]={35,29,28,32,