002第二章 連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析

第二章、連續(xù)時間系統(tǒng)的時域分析主要內(nèi)容：

◆連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型◆零輸入響應(yīng)◆沖激響應(yīng)◆卷積◆零狀態(tài)響應(yīng)

或例：§2.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法連續(xù)時間系統(tǒng)的分析可歸結(jié)為建立并求解線性常系數(shù)微分方程列回路方程例：寫出系統(tǒng)的微分方程由網(wǎng)孔法§2.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法§2.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法對于一個n階線性系統(tǒng)，其激勵函數(shù)與響應(yīng)，或者輸入函數(shù)與輸出函數(shù)直接的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程—輸入輸出方程來描述。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法引入算子可改寫為：對于微分方程

算子形式微分算子方程：

p不能隨意消去px=py注意：代數(shù)量的運算規(guī)則對于算子符號一般也適用，但在分子分母或等式兩邊的相同算子符號不能隨意約去。§2.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法線性微分方程可進一步可寫成：轉(zhuǎn)移算子例：已知寫出對應(yīng)的微分方程P作為公共因子提取出來了§2.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉(zhuǎn)移算子。元件名稱

電路符號

u~i關(guān)系(VAR)

VAR的算子形式算子模型

電阻

電感

電容

i(t)Ri(t)Ri(t)Li(t)1/pCi(t)Ci(t)pL電路元件的算子模型例:電路如圖所示，寫出i1(t),i2(t)的轉(zhuǎn)移算子。解：直接用算子符號列方程：方程組的系數(shù)矩陣組成的行列式在電路中有三個獨立的儲能元件，為一個三階系統(tǒng)，特征方程應(yīng)為三次方程，即H(p)的分母多項式的最高次數(shù)應(yīng)為三次。例：如圖所示電路中，激勵為f(t)，響應(yīng)為i0(t)和u0(t)。試列寫各響應(yīng)關(guān)于激勵的轉(zhuǎn)移算子?！?.1連續(xù)時間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法阻抗§2.2連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)是有初始狀態(tài)引起的，求零輸入響應(yīng)就是求解齊次方程：思路：看一階、二階的簡單情況，然后再推廣到一般情況一、特征根為異（實）根§2.2連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)設(shè)初始條件為：t=0時r=r(0-)

問題轉(zhuǎn)化為求解兩個一次齊次方程??！§2.2連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)若t=0時的初始條件為r(0-),r’(0-)解之便可得C1，C2

對于一般的n階齊次方程

設(shè)其特征方程有n個根λ1,λ2…λn算子方程寫為：可寫出解的一般形式：稱之為特征根，也稱為系統(tǒng)自然頻率，也是轉(zhuǎn)移算子H(p)的n個極點。

特征方程有n個根λ1,λ2…λn注意：

是解的一般形式？特征根分為三種情況：單根（異實根）、重根、復(fù)根§2.2連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)比較特殊一、特征根為異（實）根若給定系統(tǒng)的n個初始條件：

將初始條件代入r(t)就得到一個線性方程組：§2.2連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)※因為特征方程的系數(shù)為實數(shù)，所以如果出現(xiàn)復(fù)根則必定成對出現(xiàn)。二、特征根為共軛復(fù)根設(shè)特征方程有一對共軛復(fù)根λ1，λ2，λ1=α+jβ，λ2=α-jβ則對應(yīng)的解為：求出來的K是復(fù)數(shù)形式所以特征根為一對共軛復(fù)根時解的一般形式寫為：其中的C1，C2同樣可由初始條件求出。二、特征根為共軛復(fù)根所以特征根為一對共軛復(fù)根時解的一般形式寫為：三、特征根為k階重根設(shè)特征根λ為k階重根，這種情況說明特征多項式D(p)中有因子(p-λ)k，求解方程(p-λ)kr=0如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式為：常數(shù)C1，C2，…Ck同樣可由初始條件求出零輸入響應(yīng)小結(jié)：求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式例：

如圖RLC串聯(lián)諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω

初始條件為：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應(yīng)。解：列出它的微分算子方程1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時初始條件uc(0)=10V不能直接用于確定常數(shù)C1,C2所以必須轉(zhuǎn)化為i’(0)。代入零輸入響應(yīng)的一般形式得：分析：1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時電容C初始電壓方向：右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同-+分析：2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時+-例：

上例中將電阻改為R=2Ω

初始條件仍為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應(yīng)。解:分析：電阻R=2Ω

初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時臨界阻尼-+例：

上例中將電阻改為R=1Ω

初始條仍件為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應(yīng)。解：分析：電阻R=1Ω

初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時欠阻尼1、i’(0)=1A/s相當于電容C上的初始電壓為-1V方向為右正左負，所以電容放電方向與參考方向相同，曲線在橫軸上方。電容放電時將電容中的電能轉(zhuǎn)化為電感中的磁能；當電容中的電能全部轉(zhuǎn)化為電感中的磁能時電流達到最大；討論：-+討論：2、接下來電感中的磁能向電容釋放，當電感中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時電感中的電流為零；討論：3、電容中的電能反向釋放，曲線在橫軸下方，當電容中的電能全部轉(zhuǎn)化為電感中的磁能時電流達到負的最大；討論：4、電感中的磁能向電容釋放方向與2相反，當電感中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時，電感中的電流又變?yōu)榱?；討論?、接下來從1開始重復(fù)這個過程，由于電路中存在電阻將損耗能量，所以振蕩幅度逐步減小，最終衰減為零。零輸入響應(yīng)小結(jié)：求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式系數(shù)c1、c2、…..由初始條件確定例如系統(tǒng)的特征根中λ1,λ2為兩個不同的實根，λ3=α+jβ,λ4=α-jβ為一對共軛復(fù)根,λ5為三階重根。則系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的一般形式寫為：對于復(fù)雜的系統(tǒng)：連續(xù)時間系統(tǒng)在單位沖激信號

激勵下的零狀態(tài)響應(yīng)稱為沖激響應(yīng)，記為。由轉(zhuǎn)移算子H(p)求沖激響應(yīng)h(t)§2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

由轉(zhuǎn)移算子H(p)求單位沖激響應(yīng)h(t)§2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)當n>m時，根據(jù)極點的情況分別討論(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn問題轉(zhuǎn)化為求一階微分方程(1)、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn且n>m§2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)(2)、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1=α+jβ，λ2=α-jβ實函數(shù)形式(3)、H(p)有k階重極點λ當n≤m時，需要進行長除法長除法，假分式→一個多項式

+一個真分式

長除法舉例：

長除法舉例：多項式對應(yīng)部分真分式對應(yīng)部分§2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)當H(p)為假分式時利用長除法，把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和總結(jié)：由轉(zhuǎn)移算子H(p)求h(t)當H(p)為真分式時利用部分分式法分解因式根據(jù)H(p)極點情況分為3類寫出h(t)的表達式1、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數(shù)2、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI為極點α+jβ對應(yīng)的部分分式系數(shù)的實部和虛部3、H(p)有k階重極點λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數(shù)。零輸入響應(yīng)小結(jié)：求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式例1：已知系統(tǒng)的微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。解：先求轉(zhuǎn)移算子H(p)例2：已知系統(tǒng)的微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。解：例3如圖RLC串聯(lián)諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路電流i(t)和電感上電壓uL(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：1、求i(t)的零狀態(tài)響應(yīng)2、求uL(t)的零狀態(tài)響應(yīng)對于線性非時變系統(tǒng)有如下的結(jié)論：證明：§2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)同樣道理：§2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)對于線性非時變系統(tǒng)有如下的結(jié)論：系統(tǒng)階躍響應(yīng)可由沖激響應(yīng)求得。§2.4卷積積分一.卷積的引入二、卷積的定義和計算--圖解法！三、卷積的性質(zhì)

線性非時變系統(tǒng)？一.卷積的引入任意信號表示為沖激函數(shù)的積分卷積線性非時變系統(tǒng)？一.卷積的引入任意信號表示為沖激函數(shù)的積分任意函數(shù)與沖激函數(shù)相卷積等于它自身§2.4卷積積分二、卷積的定義和計算分成三個步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個函數(shù)的變量由t換成τ

；（改）2、將f2(τ)反摺并移動；（卷）3、將兩個函數(shù)相乘并求積分。（積）以下圖兩個有始函數(shù)來說明卷積的計算過程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ1、將t換成τ§2.4卷積積分2、將f2(τ)反摺并移動§2.4卷積積分平移量3、將兩個函數(shù)相乘并求積分因此，對于兩個有始函數(shù)的卷積，可簡單地寫為：圖解法二、卷積的定義和計算解：作圖1、2、陰影表示重合的部分3、有沒有注意到進行積分前共需要確定兩項？①函數(shù)變量t的取值范圍②τ的積分上下限§2.4卷積積分也可用圖形表示：最后卷積結(jié)果為：例2求兩個相同的門函數(shù)的卷積g(t)解：將這個結(jié)果總結(jié)為：1、兩個相同門寬的門函數(shù)的卷積是一個三角形；2、寬度增加一倍；3、最大值為兩門函數(shù)值之積再乘以門函數(shù)的寬度。這是一個典型例子，很重要，希望把它記住。這個結(jié)論以后可以作為一個定理使用圖解法2：選擇f1(t)反轉(zhuǎn)平移解：2、確定兩項的取值：

①函數(shù)變量t的取值范圍②τ的積分上下限解析法：三、卷積的性質(zhì)§2.4卷積積分1、交換律、分配律和結(jié)合律2、卷積后的微分3、卷積后的積分4、兩函數(shù)的卷積等于其中一個函數(shù)的微分和另一個函數(shù)的積分5、函數(shù)延遲后的卷積★★設(shè)有三個函數(shù)u(t),v(t),w(t)1、交換律、分配律和結(jié)合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)§2.4卷積積分2、卷積后微分證明：推論：任何函數(shù)與δ’(t)卷積相當于對函數(shù)求導(dǎo)：2、卷積后微分3、卷積后的積分任何函數(shù)與ε(t)卷積相當于對函數(shù)求積分4、兩函數(shù)的卷積等于其中一個函數(shù)的微分和另一個函數(shù)的積分杜阿美爾積分解析法，利用卷積的性質(zhì)求解5、函數(shù)延遲后的卷積證明：5、函數(shù)延遲后的卷積例4：利用性質(zhì)4、5重做例1解：0123t20123t1-10123t(2)(-2)0123t1結(jié)果如圖所示-20123t245解：解析法舉例§2.5連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解時域分析小結(jié)由轉(zhuǎn)移算子H(p)求出h(t)求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫出解的一般形式系數(shù)c1、c2、…..由初始條件確定復(fù)習(xí)：§2.2連續(xù)時間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)◆當H(p)為假分式時利用長除法，把H(p)化為一個多項式和一個真分式之和復(fù)習(xí)：§2.3連續(xù)時間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)利用H(p)求解h(t)◆當H(p)為真分式時利用部分分式法根據(jù)H(p)極點情況分為3類寫出h(t)的表達式2、H(p)有兩個互為共軛的極點λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI為極點α+jβ對應(yīng)的部分分式系數(shù)的實部和虛部。3、H(p)有k階極點λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數(shù)其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數(shù)1、H(p)有n個單極點λ1,λ2…λn§2.5連續(xù)時間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解一、指數(shù)函數(shù)激勵下的系統(tǒng)響應(yīng)二、矩形脈沖信號激勵下RC電路的響應(yīng)三、梯形信號作用于系統(tǒng)由轉(zhuǎn)移算子H(p)求出h(t)一、指數(shù)函數(shù)激勵下的系統(tǒng)響應(yīng)第一部分稱自然響應(yīng)或自由響應(yīng)；第二部就稱為受迫響應(yīng)。對于一個穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)或最終趨于零或最終趨于一個常數(shù)。系統(tǒng)的響應(yīng)中最終趨于零的部分稱瞬態(tài)響應(yīng)；最終趨于一個常數(shù)的部分稱穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。例：如圖RC串聯(lián)電路，已知R=1Ω，C=1F，e(t)=(1+e-3t)ε(t)

；電容上的初始電壓uc(0-)=1V求電容上的響應(yīng)電壓uc(t)。解：由H(p)還可求得:又例：已知線性非時變連續(xù)時間系統(tǒng)的自然響應(yīng)為