002第二章 連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析

第二章、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的時(shí)域分析主要內(nèi)容：

◆連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型◆零輸入響應(yīng)◆沖激響應(yīng)◆卷積◆零狀態(tài)響應(yīng)

或例：§2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的分析可歸結(jié)為建立并求解線(xiàn)性常系數(shù)微分方程列回路方程例：寫(xiě)出系統(tǒng)的微分方程由網(wǎng)孔法§2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法§2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法對(duì)于一個(gè)n階線(xiàn)性系統(tǒng)，其激勵(lì)函數(shù)與響應(yīng)，或者輸入函數(shù)與輸出函數(shù)直接的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程—輸入輸出方程來(lái)描述。系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型§2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法引入算子可改寫(xiě)為：對(duì)于微分方程

算子形式微分算子方程：

p不能隨意消去px=py注意：代數(shù)量的運(yùn)算規(guī)則對(duì)于算子符號(hào)一般也適用，但在分子分母或等式兩邊的相同算子符號(hào)不能隨意約去?！?.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法線(xiàn)性微分方程可進(jìn)一步可寫(xiě)成：轉(zhuǎn)移算子例：已知寫(xiě)出對(duì)應(yīng)的微分方程P作為公共因子提取出來(lái)了§2.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法例:電路如圖所示，寫(xiě)出i1(t),i2(t)的轉(zhuǎn)移算子。元件名稱(chēng)

電路符號(hào)

u~i關(guān)系(VAR)

VAR的算子形式算子模型

電阻

電感

電容

i(t)Ri(t)Ri(t)Li(t)1/pCi(t)Ci(t)pL電路元件的算子模型例:電路如圖所示，寫(xiě)出i1(t),i2(t)的轉(zhuǎn)移算子。解：直接用算子符號(hào)列方程：方程組的系數(shù)矩陣組成的行列式在電路中有三個(gè)獨(dú)立的儲(chǔ)能元件，為一個(gè)三階系統(tǒng)，特征方程應(yīng)為三次方程，即H(p)的分母多項(xiàng)式的最高次數(shù)應(yīng)為三次。例：如圖所示電路中，激勵(lì)為f(t)，響應(yīng)為i0(t)和u0(t)。試列寫(xiě)各響應(yīng)關(guān)于激勵(lì)的轉(zhuǎn)移算子?！?.1連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型與算子表示法阻抗§2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)零輸入響應(yīng)是有初始狀態(tài)引起的，求零輸入響應(yīng)就是求解齊次方程：思路：看一階、二階的簡(jiǎn)單情況，然后再推廣到一般情況一、特征根為異（實(shí)）根§2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)設(shè)初始條件為：t=0時(shí)r=r(0-)

問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求解兩個(gè)一次齊次方程??！§2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)若t=0時(shí)的初始條件為r(0-),r’(0-)解之便可得C1，C2

對(duì)于一般的n階齊次方程

設(shè)其特征方程有n個(gè)根λ1,λ2…λn算子方程寫(xiě)為：可寫(xiě)出解的一般形式：稱(chēng)之為特征根，也稱(chēng)為系統(tǒng)自然頻率，也是轉(zhuǎn)移算子H(p)的n個(gè)極點(diǎn)。

特征方程有n個(gè)根λ1,λ2…λn注意：

是解的一般形式？特征根分為三種情況：?jiǎn)胃ó悓?shí)根）、重根、復(fù)根§2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)比較特殊一、特征根為異（實(shí)）根若給定系統(tǒng)的n個(gè)初始條件：

將初始條件代入r(t)就得到一個(gè)線(xiàn)性方程組：§2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)※因?yàn)樘卣鞣匠痰南禂?shù)為實(shí)數(shù)，所以如果出現(xiàn)復(fù)根則必定成對(duì)出現(xiàn)。二、特征根為共軛復(fù)根設(shè)特征方程有一對(duì)共軛復(fù)根λ1，λ2，λ1=α+jβ，λ2=α-jβ則對(duì)應(yīng)的解為：求出來(lái)的K是復(fù)數(shù)形式所以特征根為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)解的一般形式寫(xiě)為：其中的C1，C2同樣可由初始條件求出。二、特征根為共軛復(fù)根所以特征根為一對(duì)共軛復(fù)根時(shí)解的一般形式寫(xiě)為：三、特征根為k階重根設(shè)特征根λ為k階重根，這種情況說(shuō)明特征多項(xiàng)式D(p)中有因子(p-λ)k，求解方程(p-λ)kr=0如此推下去可得：所以方程(p-λ)kr=0解的一般形式為：常數(shù)C1，C2，…Ck同樣可由初始條件求出零輸入響應(yīng)小結(jié)：求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫(xiě)出解的一般形式例：

如圖RLC串聯(lián)諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=2.5Ω

初始條件為：1、i(0)=0A,i’(0)=1A/s2、i(0)=0A,uc(0)=10V分別求上述兩種情況下回路電流的零輸入響應(yīng)。解：列出它的微分算子方程1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時(shí)2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時(shí)初始條件uc(0)=10V不能直接用于確定常數(shù)C1,C2所以必須轉(zhuǎn)化為i’(0)。代入零輸入響應(yīng)的一般形式得：分析：1、初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時(shí)電容C初始電壓方向：右正左負(fù)，所以電容放電方向與參考方向相同-+分析：2、初始條件為i(0)=0A,uc(0)=10V時(shí)+-例：

上例中將電阻改為R=2Ω

初始條件仍為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應(yīng)。解:分析：電阻R=2Ω

初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時(shí)臨界阻尼-+例：

上例中將電阻改為R=1Ω

初始條仍件為：i(0)=0A,i’(0)=1A/s求回路電流的零輸入響應(yīng)。解：分析：電阻R=1Ω

初始條件為i(0)=0A,i’(0)=1A/s時(shí)欠阻尼1、i’(0)=1A/s相當(dāng)于電容C上的初始電壓為-1V方向?yàn)橛艺筘?fù)，所以電容放電方向與參考方向相同，曲線(xiàn)在橫軸上方。電容放電時(shí)將電容中的電能轉(zhuǎn)化為電感中的磁能；當(dāng)電容中的電能全部轉(zhuǎn)化為電感中的磁能時(shí)電流達(dá)到最大；討論：-+討論：2、接下來(lái)電感中的磁能向電容釋放，當(dāng)電感中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時(shí)電感中的電流為零；討論：3、電容中的電能反向釋放，曲線(xiàn)在橫軸下方，當(dāng)電容中的電能全部轉(zhuǎn)化為電感中的磁能時(shí)電流達(dá)到負(fù)的最大；討論：4、電感中的磁能向電容釋放方向與2相反，當(dāng)電感中的磁能全部轉(zhuǎn)化為電容中的電能時(shí)，電感中的電流又變?yōu)榱?；討論?、接下來(lái)從1開(kāi)始重復(fù)這個(gè)過(guò)程，由于電路中存在電阻將損耗能量，所以振蕩幅度逐步減小，最終衰減為零。零輸入響應(yīng)小結(jié)：求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫(xiě)出解的一般形式系數(shù)c1、c2、…..由初始條件確定例如系統(tǒng)的特征根中λ1,λ2為兩個(gè)不同的實(shí)根，λ3=α+jβ,λ4=α-jβ為一對(duì)共軛復(fù)根,λ5為三階重根。則系統(tǒng)零輸入響應(yīng)的一般形式寫(xiě)為：對(duì)于復(fù)雜的系統(tǒng)：連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)在單位沖激信號(hào)

激勵(lì)下的零狀態(tài)響應(yīng)稱(chēng)為沖激響應(yīng)，記為。由轉(zhuǎn)移算子H(p)求沖激響應(yīng)h(t)§2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)

由轉(zhuǎn)移算子H(p)求單位沖激響應(yīng)h(t)§2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)當(dāng)n>m時(shí)，根據(jù)極點(diǎn)的情況分別討論(1)、H(p)有n個(gè)單極點(diǎn)λ1,λ2…λn問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求一階微分方程(1)、H(p)有n個(gè)單極點(diǎn)λ1,λ2…λn且n>m§2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)(2)、H(p)有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)λ1=α+jβ，λ2=α-jβ實(shí)函數(shù)形式(3)、H(p)有k階重極點(diǎn)λ當(dāng)n≤m時(shí)，需要進(jìn)行長(zhǎng)除法長(zhǎng)除法，假分式→一個(gè)多項(xiàng)式

+一個(gè)真分式

長(zhǎng)除法舉例：

長(zhǎng)除法舉例：多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)部分真分式對(duì)應(yīng)部分§2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)當(dāng)H(p)為假分式時(shí)利用長(zhǎng)除法，把H(p)化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和總結(jié)：由轉(zhuǎn)移算子H(p)求h(t)當(dāng)H(p)為真分式時(shí)利用部分分式法分解因式根據(jù)H(p)極點(diǎn)情況分為3類(lèi)寫(xiě)出h(t)的表達(dá)式1、H(p)有n個(gè)單極點(diǎn)λ1,λ2…λn其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數(shù)2、H(p)有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI為極點(diǎn)α+jβ對(duì)應(yīng)的部分分式系數(shù)的實(shí)部和虛部3、H(p)有k階重極點(diǎn)λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數(shù)。零輸入響應(yīng)小結(jié)：求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，可根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫(xiě)出解的一般形式例1：已知系統(tǒng)的微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。解：先求轉(zhuǎn)移算子H(p)例2：已知系統(tǒng)的微分方程，求單位沖激響應(yīng)h(t)。解：例3如圖RLC串聯(lián)諧振電路，已知L=1H,C=1F,R=1Ω,e(t)=δ(t)求回路電流i(t)和電感上電壓uL(t)的零狀態(tài)響應(yīng)。解：1、求i(t)的零狀態(tài)響應(yīng)2、求uL(t)的零狀態(tài)響應(yīng)對(duì)于線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)有如下的結(jié)論：證明：§2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)同樣道理：§2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)對(duì)于線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)有如下的結(jié)論：系統(tǒng)階躍響應(yīng)可由沖激響應(yīng)求得?！?.4卷積積分一.卷積的引入二、卷積的定義和計(jì)算--圖解法！三、卷積的性質(zhì)

線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)？一.卷積的引入任意信號(hào)表示為沖激函數(shù)的積分卷積線(xiàn)性非時(shí)變系統(tǒng)？一.卷積的引入任意信號(hào)表示為沖激函數(shù)的積分任意函數(shù)與沖激函數(shù)相卷積等于它自身§2.4卷積積分二、卷積的定義和計(jì)算分成三個(gè)步驟：1、將f1(t)和f2(t)兩個(gè)函數(shù)的變量由t換成τ

；（改）2、將f2(τ)反摺并移動(dòng)；（卷）3、將兩個(gè)函數(shù)相乘并求積分。（積）以下圖兩個(gè)有始函數(shù)來(lái)說(shuō)明卷積的計(jì)算過(guò)程。f1(t)tf2(t)tf2(τ)τf1(τ)τ1、將t換成τ§2.4卷積積分2、將f2(τ)反摺并移動(dòng)§2.4卷積積分平移量3、將兩個(gè)函數(shù)相乘并求積分因此，對(duì)于兩個(gè)有始函數(shù)的卷積，可簡(jiǎn)單地寫(xiě)為：圖解法二、卷積的定義和計(jì)算解：作圖1、2、陰影表示重合的部分3、有沒(méi)有注意到進(jìn)行積分前共需要確定兩項(xiàng)？①函數(shù)變量t的取值范圍②τ的積分上下限§2.4卷積積分也可用圖形表示：最后卷積結(jié)果為：例2求兩個(gè)相同的門(mén)函數(shù)的卷積g(t)解：將這個(gè)結(jié)果總結(jié)為：1、兩個(gè)相同門(mén)寬的門(mén)函數(shù)的卷積是一個(gè)三角形；2、寬度增加一倍；3、最大值為兩門(mén)函數(shù)值之積再乘以門(mén)函數(shù)的寬度。這是一個(gè)典型例子，很重要，希望把它記住。這個(gè)結(jié)論以后可以作為一個(gè)定理使用圖解法2：選擇f1(t)反轉(zhuǎn)平移解：2、確定兩項(xiàng)的取值：

①函數(shù)變量t的取值范圍②τ的積分上下限解析法：三、卷積的性質(zhì)§2.4卷積積分1、交換律、分配律和結(jié)合律2、卷積后的微分3、卷積后的積分4、兩函數(shù)的卷積等于其中一個(gè)函數(shù)的微分和另一個(gè)函數(shù)的積分5、函數(shù)延遲后的卷積★★設(shè)有三個(gè)函數(shù)u(t),v(t),w(t)1、交換律、分配律和結(jié)合律u(t)*v(t)=v(t)*u(t)u(t)*[v(t)+w(t)]=u(t)*v(t)+u(t)*w(t)u(t)*[v(t)*w(t)]=[u(t)*v(t)]*w(t)§2.4卷積積分2、卷積后微分證明：推論：任何函數(shù)與δ’(t)卷積相當(dāng)于對(duì)函數(shù)求導(dǎo)：2、卷積后微分3、卷積后的積分任何函數(shù)與ε(t)卷積相當(dāng)于對(duì)函數(shù)求積分4、兩函數(shù)的卷積等于其中一個(gè)函數(shù)的微分和另一個(gè)函數(shù)的積分杜阿美爾積分解析法，利用卷積的性質(zhì)求解5、函數(shù)延遲后的卷積證明：5、函數(shù)延遲后的卷積例4：利用性質(zhì)4、5重做例1解：0123t20123t1-10123t(2)(-2)0123t1結(jié)果如圖所示-20123t245解：解析法舉例§2.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解時(shí)域分析小結(jié)由轉(zhuǎn)移算子H(p)求出h(t)求解零輸入響應(yīng)就是解齊次方程D(p)r(t)=0

，根據(jù)特征方程D(p)=0根的三種不同情況寫(xiě)出解的一般形式系數(shù)c1、c2、…..由初始條件確定復(fù)習(xí)：§2.2連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零輸入響應(yīng)◆當(dāng)H(p)為假分式時(shí)利用長(zhǎng)除法，把H(p)化為一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和復(fù)習(xí)：§2.3連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的沖激響應(yīng)利用H(p)求解h(t)◆當(dāng)H(p)為真分式時(shí)利用部分分式法根據(jù)H(p)極點(diǎn)情況分為3類(lèi)寫(xiě)出h(t)的表達(dá)式2、H(p)有兩個(gè)互為共軛的極點(diǎn)λ1，λ2=α±jβ其中KR、KI為極點(diǎn)α+jβ對(duì)應(yīng)的部分分式系數(shù)的實(shí)部和虛部。3、H(p)有k階極點(diǎn)λ其中C1,C2,…,Ck為部分分式系數(shù)其中Kii=1,2,…,n為部分分式系數(shù)1、H(p)有n個(gè)單極點(diǎn)λ1,λ2…λn§2.5連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)和全響應(yīng)求解一、指數(shù)函數(shù)激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)二、矩形脈沖信號(hào)激勵(lì)下RC電路的響應(yīng)三、梯形信號(hào)作用于系統(tǒng)由轉(zhuǎn)移算子H(p)求出h(t)一、指數(shù)函數(shù)激勵(lì)下的系統(tǒng)響應(yīng)第一部分稱(chēng)自然響應(yīng)或自由響應(yīng)；第二部就稱(chēng)為受迫響應(yīng)。對(duì)于一個(gè)穩(wěn)定系統(tǒng)，系統(tǒng)的響應(yīng)或最終趨于零或最終趨于一個(gè)常數(shù)。系統(tǒng)的響應(yīng)中最終趨于零的部分稱(chēng)瞬態(tài)響應(yīng)；最終趨于一個(gè)常數(shù)的部分稱(chēng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。例：如圖RC串聯(lián)電路，已知R=1Ω，C=1F，e(t)=(1+e-3t)ε(t)

；電容上的初始電壓uc(0-)=1V求電容上的響應(yīng)電壓uc(t)。解：由H(p)還可求得:又例：已知線(xiàn)性非時(shí)變連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的自然響應(yīng)為