連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析

1

連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)周期信號(hào)的功率譜2頻域頻域（frequencydomain）即頻率域，是指在對函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行分析時(shí)，分析其和頻率有關(guān)部份，而不是和時(shí)間有關(guān)的部份。頻域下的信號(hào)：信號(hào)在時(shí)域下的圖形可以顯示信號(hào)如何隨著時(shí)間變化，而信號(hào)在頻域下的圖形（一般稱為頻譜）可以顯示信號(hào)分布在哪些頻率及其比例。3

連續(xù)信號(hào)的分解1、連續(xù)信號(hào)分解為單位沖激信號(hào)的線性組合2、連續(xù)信號(hào)分解為一系列不同頻率的正弦信號(hào)或復(fù)指數(shù)信號(hào)的線性組合利用單位沖激響應(yīng)求解系統(tǒng)的輸出信號(hào)利用頻域特性求解系統(tǒng)的輸出信號(hào)及系統(tǒng)函數(shù)4

連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析將信號(hào)表示為不同頻率復(fù)指數(shù)分量的線性組合

從信號(hào)分析的角度，將信號(hào)表示為不同頻率復(fù)指數(shù)分量的線性組合，為不同信號(hào)之間進(jìn)行比較提供了途徑。

從系統(tǒng)分析角度，已知單頻正弦信號(hào)激勵(lì)下的響應(yīng)，利用迭加特性可求得多個(gè)不同頻率正弦信號(hào)同時(shí)激勵(lì)下的總響應(yīng),而且每個(gè)正弦分量通過系統(tǒng)后的變化。

意義：5一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開1、傅里葉級(jí)數(shù)的引進(jìn)法國數(shù)學(xué)家傅里葉發(fā)現(xiàn)，任何周期函數(shù)都可以用正弦函數(shù)和余弦函數(shù)構(gòu)成的無窮級(jí)數(shù)來表示，后世稱為傅里葉級(jí)數(shù)。函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和62.信號(hào)分解為正交函數(shù)矢量正交與正交分解

矢量正交的定義：指矢量與的內(nèi)積為

0.

即

正交矢量集：指由兩兩正交的矢量組成的矢量集合如三維空間中，以矢量vx=(2,0,0),vy=(0,2,0),vz=(0,0,2),所組成的集合就是一個(gè)正交矢量集，且完備。

矢量空間正交分解的概念可推廣到信號(hào)空間72.信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)正交與正交函數(shù)集

信號(hào)正交：定義在(t1,t2)區(qū)間的和滿足（兩函數(shù)內(nèi)積為0）則稱和在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)正交。

正交函數(shù)集：若n個(gè)函數(shù)構(gòu)成一個(gè)函數(shù)的集，這些函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)內(nèi)滿足則稱此函數(shù)集為在區(qū)間(t1,t2)的正交函數(shù)集82.信號(hào)分解為正交函數(shù)完備正交函數(shù)集

如果在正交函數(shù)集之外不存在函數(shù)滿足

（i=1,2,…,n）則稱此函數(shù)為完備正交函數(shù)集。例如：三角函數(shù)集

虛指數(shù)函數(shù)集是典型的在區(qū)間上的完備正交函數(shù)集。92.信號(hào)分解為正交函數(shù)信號(hào)的正交分解設(shè)有n個(gè)函數(shù)在區(qū)間(t1,t2)構(gòu)成一個(gè)正交函數(shù)空間。將任意函數(shù)f(t)用這n個(gè)正交函數(shù)的線性組合來近似，可表示為如何選擇各系數(shù)Cj使f(t)與近似函數(shù)之間誤差在區(qū)間(t1,t2)為最小。通常使誤差的均方誤差最小。均方誤差為102.信號(hào)分解為正交函數(shù)為使上式最小展開上式中的被積函數(shù)，并求導(dǎo)。上式中只有兩項(xiàng)不為0，寫為：即所以系數(shù)112.信號(hào)分解為正交函數(shù)代入求最小均方誤差在用正交函數(shù)去近似f(t)時(shí)，所取得的項(xiàng)數(shù)越多，即n越大，則均方誤差越小。當(dāng)時(shí)（為完備正交函數(shù)集），均方誤差為0，此時(shí)有上式稱為(Parserval)巴塞瓦爾公式，表明在區(qū)間(t1,t2)，f(t)所含能量恒等于f(t)在完備正交函數(shù)集中分解的各正交分量能量的和。

函數(shù)f(t)可分解為無窮多項(xiàng)正交函數(shù)之和123、傅里葉級(jí)數(shù)傅里葉級(jí)數(shù)的三角形式(1)三角函數(shù)集在一個(gè)周期內(nèi)是一個(gè)完備的正交函數(shù)集。13（2）級(jí)數(shù)形式

設(shè)周期信號(hào)f(t)，周期為T,角頻率為當(dāng)滿足Dirichlet條件時(shí)，可分解為如下三角級(jí)數(shù)：其中，為傅里葉系數(shù)an是n的偶函數(shù)bn是n的奇函數(shù)14

純余弦形式傅里葉級(jí)數(shù)其中

a0/2稱為信號(hào)的直流分量，

Ancos(n

0

t

+

n)稱為信號(hào)的n次諧波分量。（n的偶函數(shù)）（n的奇函數(shù)）n=1,2,…上式表明，周期信號(hào)可分解為直流分量和許多余弦分量15波形的對稱性與諧波特性(1)f(t)為偶函數(shù)bn=0，展開為余弦級(jí)數(shù)(2)f(t)為奇函數(shù)an=0，展開為正弦級(jí)數(shù)(3)f(t)為半波鏡像信號(hào)

此時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)中只含奇次諧波分量16(4)半波重疊信號(hào)此時(shí)傅里葉級(jí)數(shù)中只含偶次諧波分量174、周期信號(hào)展開為傅里葉級(jí)數(shù)條件

周期信號(hào)f(t)應(yīng)滿足Dirichlet條件，即：(1)在一個(gè)周期內(nèi)絕對可積，即滿足 為有限值。(2)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)不連續(xù)點(diǎn)；(3)

在一個(gè)周期內(nèi)只有有限個(gè)極大值和極小值。注意：條件（1）為充分條件但不是必要條件； 條件（2）（3）是必要條件但不是充分條件。185、傅里葉級(jí)數(shù)的指數(shù)形式

傅里葉級(jí)數(shù)的階諧波可以用指數(shù)形式表示。由歐拉公式得三角形式的傅里葉級(jí)數(shù)含義比較明確，但運(yùn)算常感不便，因而經(jīng)常采用指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)19這就是傅里葉級(jí)數(shù)的復(fù)數(shù)形式，為復(fù)振幅，與是一對共軛復(fù)數(shù)如果記那么上面的傅里葉級(jí)數(shù)就化成一個(gè)簡潔的形式當(dāng)f(t)為實(shí)數(shù)時(shí)，上式如何表示？P117Cn為復(fù)傅里葉系數(shù)20一、周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開5、

指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)連續(xù)時(shí)間周期信號(hào)可以用指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)表示為其中兩項(xiàng)的基波頻率為f0，兩項(xiàng)合起來稱為信號(hào)的基波分量的基波頻率為2f0，兩項(xiàng)合起來稱為信號(hào)的2次諧波分量的基波頻率為Nf0，兩項(xiàng)合起來稱為信號(hào)的N次諧波分量物理含義：周期信號(hào)f

(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和這一項(xiàng)是一個(gè)常數(shù)，稱為信號(hào)的直流分量21例1試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:該周期信號(hào)f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件，因此，f

(t)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為22例1試計(jì)算圖示周期矩形脈沖信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:可得，f(t)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為由23例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:

該周期信號(hào)f

(t)顯然滿足狄里赫勒的三個(gè)條件，Cn存在24例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:周期三角脈沖信號(hào)的指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為25例2試計(jì)算圖示周期三角脈沖信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開式。解:周期三角脈沖信號(hào)的三角形式傅里葉級(jí)數(shù)展開式為由26例3

求Cn。解:根據(jù)指數(shù)形式傅里葉級(jí)數(shù)的定義可得27二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

線性特性

時(shí)移特性

28二、傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)

卷積性質(zhì)

微分特性

若f1(t)和

f2(t)均是周期為T0的周期信號(hào)，且29例4求圖示周期信號(hào)f(t)的傅里葉級(jí)數(shù)f(t)=f1(t)

-f2(t)30

連續(xù)周期信號(hào)的頻域分析周期信號(hào)的傅里葉級(jí)數(shù)展開傅里葉級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)離散傅里葉級(jí)數(shù)31回顧本小節(jié)要以一種圖形來表示信號(hào)----頻譜圖（區(qū)別于時(shí)域分析）32

周期信號(hào)的頻譜是指周期信號(hào)中各次諧波幅值、相位隨頻率變化的關(guān)系，即

將的關(guān)系分別畫在以為橫坐標(biāo)的平面上得到的兩個(gè)圖，分別稱為幅度頻譜圖和相位頻譜圖。因?yàn)閚>=0，所以稱這種頻譜為單邊譜。三、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)1.頻譜的概念

從廣義上說，信號(hào)的某種特征量隨信號(hào)頻率變化的關(guān)系，稱為信號(hào)的頻譜，所畫出的圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。33頻譜圖示（單邊）幅度頻譜相位頻譜34三、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)

周期信號(hào)f(t)可以分解為不同頻率虛指數(shù)信號(hào)之和

Cn是頻率的函數(shù)，它反映了組成信號(hào)各次諧波的幅度和相位隨頻率變化的規(guī)律，稱頻譜函數(shù)。

不同的時(shí)域信號(hào)，只是傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)Cn不同，因此通過研究傅里葉級(jí)數(shù)的系數(shù)來研究信號(hào)的特性。35三、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)

直接畫出信號(hào)各次諧波對應(yīng)的Cn線狀分布圖形，這種圖形稱為信號(hào)的頻譜圖。能夠說明信號(hào)的頻域特性。幅度頻譜相位頻譜36試求該周期信號(hào)的基波周期T，基波角頻率，畫出它的單邊、雙邊頻譜圖。解：首先改寫f(t)表達(dá)式，即例1：周期信號(hào)的周期T1=8的周期T2=6所以f(t)的周期T=24基波角頻率是f(t)的次諧波分量是f(t)的次諧波分量37例2周期矩形脈沖信號(hào)的頻譜圖38例3已知連續(xù)周期信號(hào)的頻譜如圖，試寫出信號(hào)的Fourier級(jí)數(shù)表示式。解：由圖可知39三、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)3.頻譜的特性(1)

離散頻譜特性周期信號(hào)的頻譜是由間隔為w0的譜線組成的。

信號(hào)周期T越大，w0就越小，則譜線越密，譜線幅度降低，但對振幅收斂性無影響。反之，T越小，w0越大，譜線則越疏。40一般當(dāng)周期信號(hào)的幅度頻譜隨著諧波nw0增大，幅度頻譜|Cn|不斷衰減，并最終趨于零。譜線與波形參數(shù)之間的關(guān)系：

T一定，變小，此時(shí)譜線間隔不變，兩零點(diǎn)之間的譜線數(shù)目：增多。三、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)3.頻譜的特性(2)

幅度衰減特性(收斂性）

一定，T增大，間隔減小，頻譜變密，幅度減小。T趨于無窮大時(shí)，間隔趨于0，頻譜變?yōu)檫B續(xù)譜。41三、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)3.頻譜的特性(3)

信號(hào)的有效帶寬0~2

/

這段頻率范圍稱為周期矩形脈沖信號(hào)的有效頻帶寬度,即信號(hào)的有效帶寬與信號(hào)時(shí)域的持續(xù)時(shí)間

成反比。即

越大，其wB越?。环粗?，

越小，其wB越大。42三、周期信號(hào)的頻譜及其特點(diǎn)3.頻譜的特性(3)

信號(hào)的有效帶寬

物理意義：在信號(hào)的有效帶寬內(nèi)，集中了信號(hào)絕大部分諧波分量。若信號(hào)丟失有效帶寬以外的諧波成分，不會(huì)對信號(hào)產(chǎn)生明顯影響。說明：當(dāng)信號(hào)通過系統(tǒng)時(shí)，信號(hào)與系統(tǒng)的有效帶寬必須“匹配”。信號(hào)的有效帶寬有多種定義方式。43四、周期信號(hào)的功率譜

物理意義：任意周期信號(hào)的平均功率等于信號(hào)所包含的直流和n次諧波分量在1歐電阻上消耗的平均功率之和。

周期信號(hào)的功率頻譜：

|Cn|2

隨nw0分布情況稱為周期信號(hào)的功率頻譜，簡稱功率譜。帕什瓦爾(Parseval)功率守恒定理44例3

試求周期矩形脈沖信號(hào)在其有效帶寬(0~2p

/t)內(nèi)諧波分量所具有的平均功率占整個(gè)信號(hào)平均功率的百分比。其中A=1，T=1/4，

=1/20。解：周期矩形脈沖的傅里葉系數(shù)為將