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第一章函數(shù)極限與連續(xù)第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性第五節(jié)函數(shù)的連續(xù)性一.連續(xù)函數(shù)的概念1連續(xù)函數(shù)的概念
在現(xiàn)實(shí)生活中有許多量都是連續(xù)變化的,例如氣溫的變化,植物的生長(zhǎng),物體運(yùn)動(dòng)的路程,金屬絲加熱時(shí)長(zhǎng)度的變化等等.這些現(xiàn)象反映在數(shù)學(xué)上就是函數(shù)的連續(xù)性.它是與函數(shù)的極限密切相關(guān)的另一個(gè)基本概念.1.增量定義1
設(shè)變量從它的初值變到終值,則終值與初值之差就叫做變量的增量,又叫做的改變量,記作.對(duì)于函數(shù),當(dāng)自變量從變到(自變量的改變?yōu)椋r(shí),函數(shù)有相應(yīng)的改變量,記作,即.其幾何意義如圖11.
2、點(diǎn)連續(xù)如圖定義2設(shè)函數(shù)在點(diǎn)的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義,如果當(dāng)自變量在點(diǎn)的改變量趨于零時(shí),函數(shù)相應(yīng)的改變量也趨于零,即則稱函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù).由定義2可以得出下面的結(jié)論:⑴若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),則在點(diǎn)處的極限一定存在;反之,在點(diǎn)處的極限存在,則函數(shù)在點(diǎn)處不一定連續(xù).⑵若函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù),要求時(shí)函數(shù)的極限,只需求函數(shù)在點(diǎn)處的函數(shù)值即可.⑶當(dāng)函數(shù)在點(diǎn)處連續(xù)時(shí),有這個(gè)等式意味著在函數(shù)連續(xù)的前提下,極限符號(hào)與函數(shù)符號(hào)可以互相交換.這一結(jié)論給我們求極限帶來(lái)了很大的方便.例2求例3求3、左連續(xù)、右連續(xù)若函數(shù)
y=f(x)在點(diǎn)
x0
處有:則分別稱函數(shù)
y=f(x)在
x0
處是左連續(xù)或右連續(xù).由此可知,函數(shù)
y=f(x)在x0處連續(xù)的充要條件可表示為:即函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的充要條件為函數(shù)在該點(diǎn)處左、右連續(xù).則稱該函數(shù)在開(kāi)區(qū)間
(a,b)
內(nèi)連續(xù).
若函數(shù)
y=f(x)在開(kāi)區(qū)間(a,b)
內(nèi)的各點(diǎn)處均連續(xù),若函數(shù)
y=f(x)在閉區(qū)間
[a,b]
上連續(xù),則理解為除在
(a,b)
內(nèi)連續(xù)外,在左端點(diǎn)
a為右連續(xù),在右端點(diǎn)
b為左連續(xù).4、函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)連續(xù)函數(shù)的圖形是一條連續(xù)不間斷的曲線.
1.5.2初等函數(shù)的連續(xù)性定理1
初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.根據(jù)這條定理,我們?cè)谇蟪醯群瘮?shù)在其定義區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)的極限時(shí),只需求初等函數(shù)在該點(diǎn)的函數(shù)值即可.例4求下列極限:解
(1)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù),其定義域?yàn)閇],而[],所以注:1、定義區(qū)間是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)間.2.初等函數(shù)僅在其定義區(qū)間內(nèi)連續(xù),在其定義域內(nèi)不一定連續(xù);
3.初等函數(shù)求極限的方法——代入法.(2)因?yàn)槭浅醯群瘮?shù),其定義域?yàn)槎?/p>
1.5.3函數(shù)間斷點(diǎn)
定義3
設(shè)函數(shù)
y=f(x)在
x0的一個(gè)鄰域有定義(在
x0可以沒(méi)有定義),
則稱
x0是函數(shù)
y=f(x)的間斷點(diǎn).也稱函數(shù)在該點(diǎn)間斷.
如果函數(shù)
f(x)在點(diǎn)
x0處不連續(xù),由函數(shù)在某點(diǎn)連續(xù)的定義可知,如果在點(diǎn)處有下列三種情形之一,則點(diǎn)為的一個(gè)間斷點(diǎn).(1)在點(diǎn)沒(méi)有定義,即不存在;(2)不存在;(3)雖然存在,但例5函數(shù)在點(diǎn)處無(wú)定義,所以在點(diǎn)處間斷,是函數(shù)的間斷點(diǎn).見(jiàn)圖1—6
例6函數(shù)
在有定義,但,,所以不存在,因此在處不連續(xù).見(jiàn)圖1-7
例7函數(shù)在點(diǎn)無(wú)定義,所以在點(diǎn)間斷,是函數(shù)的間斷點(diǎn).圖1-8例8
函數(shù)
在時(shí)有定義,但
顯然
,所以在不連續(xù).在以上幾個(gè)例子中,函數(shù)在指定點(diǎn)均不連續(xù),但情況卻各有不同.例9已知函數(shù)在處連續(xù),求的值解:因?yàn)槔?0
已知函數(shù)試求(1)函數(shù)的定義域;(2)在處的極限;(3)指出在處是否連續(xù).解:(1)顯然該分段函數(shù)的定義域?yàn)?;?),,因?yàn)?,所以不存在?/p>
(3)因?yàn)椋栽谔庍B續(xù).
而不存在,所以是的間斷點(diǎn).
1.5.4閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的最值定理定理2(最
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