概率論 隨機(jī)變量及其分布

隨第二章機(jī)量變其及分布第二章§2.1隨機(jī)變量(RandomVariable)§2.2離散型隨機(jī)變量(RandomVariableandDistribution)§2.3隨機(jī)變量的分布(DistributionofRandomVariable)§2.4連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度(ProbabilityDensityofContinuousRandomVariable)§2.5隨機(jī)變量函數(shù)的分布(DistributionforFunctionofRandomVariable)第一節(jié)隨機(jī)變量隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生引入隨機(jī)變量的意義隨機(jī)變量的分類

一、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生

在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念.1、有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個數(shù)）.

例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；

七月份廣州的最高溫度；每天從廣州下火車的人數(shù)；一部電梯一年內(nèi)出現(xiàn)故障的次數(shù)2、在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個變量來表示它的各種結(jié)果.也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化.正如裁判員在運(yùn)動場上不叫運(yùn)動員的名字而叫號碼一樣，二者建立了一種對應(yīng)關(guān)系.

△試驗(yàn)結(jié)果看起來與數(shù)值無關(guān)，但可引進(jìn)一個變量來表示試驗(yàn)的各種結(jié)果的例在投籃試驗(yàn)中，用{0}表示投籃未中，{1}表示罰籃命中，{3}表示三分線外遠(yuǎn)投命中，{2}表示三分線內(nèi)投籃命中，則隨機(jī)試驗(yàn)結(jié)果可數(shù)值化。2.在擲硬幣試驗(yàn)中，用{1}表示帶國徽或人頭的一面朝上，{0}表示另一面朝上，則隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果也可數(shù)值化。這種對應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值單值函數(shù).e.X(e)R這種實(shí)值函數(shù)與在高等數(shù)學(xué)中大家接觸到的函數(shù)不一樣！◎

X(ω)隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值。故,

在試驗(yàn)之前只知道其可能取值的范圍，而不能預(yù)知其取哪個具體的值?！蛴捎谠囼?yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，所以“X(ω)取每個值或某個確定范圍內(nèi)的值”也有一定的概率。

稱這種定義在樣本空間Ω上的實(shí)值函數(shù)為隨機(jī)變量，簡記為r.v.(randomvariable)

。不同之處：（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能預(yù)先肯定它將取哪個值.（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個值和每個確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率.

稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為隨量機(jī)變簡記為r.v.(randomvariable)

而表示隨機(jī)變量所取的值時,一般采用小寫字母x,y,z等.隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母ζ,η等表示

有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來.

二、引入隨機(jī)變量的意義

如：單位時間內(nèi)某電話交換臺收到的呼叫次數(shù)用X表示，它是一個隨機(jī)變量.

事件{收到不少于1次呼叫}{X1}{沒有收到呼叫}{X=0}

隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生是概率論發(fā)展史上的重大事件.引入隨機(jī)變量后，對隨機(jī)現(xiàn)象統(tǒng)計(jì)規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究擴(kuò)大為對隨機(jī)變量及其取值規(guī)律的研究.事件及事件概率隨機(jī)變量及其取值規(guī)律三、隨機(jī)變量的分類

通常分為兩類：

如“取到次品的個數(shù)”，“收到的呼叫數(shù)”等.隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個一一列舉例如，“電視機(jī)的壽命”，實(shí)際中常遇到的“測量誤差”等.全部可能取值不僅無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一個區(qū)間.隨機(jī)變量的分類離散型隨機(jī)變量連續(xù)型非離散型其它

這兩種類型的隨機(jī)變量因?yàn)槎际请S機(jī)變量，自然有很多相同或相似之處；但因其取值方式不同，又有其各自的特點(diǎn).

解：分析例1

一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為0.10元.報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回.設(shè)X為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)0.15X<1000×0.1時，報(bào)童賠錢故{報(bào)童賠錢}{X666}{報(bào)童賠錢}{賣出的報(bào)紙錢不夠成本}四、小結(jié)在這一節(jié)中我們介紹了隨機(jī)變量及其分類.

第二節(jié)離散型隨機(jī)變量及其分布律離散型隨機(jī)變量分布律的定義離散型隨機(jī)變量表示方法三種常見分布小結(jié)布置作業(yè)

從中任取3個球取到的白球數(shù)X是一個隨機(jī)變量.(1)X可能取的值是0,1,2;(2)取每個值的概率為:看一個例子一、離散型隨機(jī)變量分布律的定義定義1：某些隨機(jī)變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個,這種隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量.其中(k=1,2,…)滿足：

k=1,2,…（1）（2）

定義2：設(shè)xk(k=1,2,…)是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱為離散型隨機(jī)變量X的分布律.用這兩條性質(zhì)判斷一個函數(shù)是否是分布律解:依據(jù)分布律的性質(zhì)P(X=k)≥0,

a≥0,從中解得即例2設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：k=0,1,2,…,試確定常數(shù)a.二、離散型隨機(jī)變量表示方法（1）公式法（2）列表法X（2）圖示法例3某籃球運(yùn)動員投中籃圈概率是0.9，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布.解：X可取值為0,1,2;

P{X=0}=(0.1)(0.1)=0.01

P{X=1}=2(0.9)(0.1)=0.18

P{X=2}=(0.9)(0.9)=0.81常常表示為：這就是X的分布律.例4某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.解:顯然，X可能取的值是1,2,…，

P{X=1}=P(A1)=p,為計(jì)算

P{X=k}，

k=1,2,…，Ak

={第k發(fā)命中}，k=1,2,…，設(shè)于是可見這就是求所需射擊發(fā)數(shù)X的分布律.例5

一汽車沿一街道行駛，需要通過三個均設(shè)有紅綠信號燈的路口，每個信號燈為紅或綠與其它信號燈為紅或綠相互獨(dú)立，且紅綠兩種信號燈顯示的時間相等.以X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)，求X的分布律.解:依題意,X可取值0,1,2,3.

P{X=0}=P(A1)=1/2,Ai={第i個路口遇紅燈},i=1,2,3設(shè)路口3路口2路口1P{X=1}=P()=1/4

P{X=2}=P()=1/8X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)路口3路口2路口1路口3路口2路口1=1/8P(X=3)=P()路口3路口2路口1即X表示該汽車首次遇到紅燈前已通過的路口的個數(shù)三、三種常見分布1、（0-1）分布：（也稱兩點(diǎn)分布）隨機(jī)變量X只可能取0與1兩個值，其分布律為：(1)

0–1分布是否超標(biāo)等等.凡試驗(yàn)只有兩個結(jié)果,常用0–1分布描述,如產(chǎn)品是否合格、人口性別統(tǒng)計(jì)、系統(tǒng)是否正常、電力消耗應(yīng)用場合例：200件產(chǎn)品中，有196件正品，4件次品，今從中隨機(jī)地抽取一件，若規(guī)定則P{X=1}=196/200=0.98,

P{X=0}=4/200=0.02.故X服從參數(shù)為0.98的兩點(diǎn)分布，即X～B(1,0.98)?？匆粋€試驗(yàn)將一枚均勻骰子拋擲3次.X的分布律是：2.伯努利試驗(yàn)和二項(xiàng)分布令X表示3次中出現(xiàn)“4”點(diǎn)的次數(shù)

擲骰子：“擲出4點(diǎn)”，“未擲出4點(diǎn)”

抽驗(yàn)產(chǎn)品：“是正品”，“是次品”

一般地，設(shè)在一次試驗(yàn)E中我們只考慮兩個互逆的結(jié)果：A

或.這樣的試驗(yàn)E稱為伯努利試驗(yàn)

.“重復(fù)”是指這n次試驗(yàn)中P(A)=p保持不變.

將伯努利試驗(yàn)E獨(dú)立地重復(fù)地進(jìn)行n次,則稱這一串重復(fù)的獨(dú)立試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)

.“獨(dú)立”是指各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響.

用X表示n重伯努利試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù)，則易證：（1）稱r.vX服從參數(shù)為n和p的二項(xiàng)分布，記作X~b(n,p)（2）例6

已知100個產(chǎn)品中有5個次品，現(xiàn)從中有放回地取3次，每次任取1個，求在所取的3個中恰有2個次品的概率.

解:因?yàn)檫@是有放回地取3次，因此這3次試驗(yàn)的條件完全相同且獨(dú)立，它是貝努里試驗(yàn).依題意，每次試驗(yàn)取到次品的概率為0.05.設(shè)X為所取的3個中的次品數(shù)，于是，所求概率為：則X~b(3,0.05)，若將本例中的“有放回”改為”無放回”,那么各次試驗(yàn)條件就不同了,此試驗(yàn)就不是伯努利試驗(yàn).此時,只能用古典概型求解.請注意：

伯努利試驗(yàn)對試驗(yàn)結(jié)果沒有等可能的要求，但有下述要求：（1）每次試驗(yàn)條件相同；二項(xiàng)分布描述的是n重伯努利試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的次數(shù)X的分布律.（2）每次試驗(yàn)只考慮兩個互逆結(jié)果A或，（3）各次試驗(yàn)相互獨(dú)立.可以簡單地說，

且P(A)=p

，；例7

某類燈泡使用時數(shù)在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.解:設(shè)X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數(shù).X~b(3,0.8)，把觀察一個燈泡的使用時數(shù)看作一次試驗(yàn),“使用到1000小時已壞”視為事件A.每次試驗(yàn),A出現(xiàn)的概率為0.8

P{X1}=P{X=0}+P{X=1}=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2=0.1043.泊松分布

設(shè)隨機(jī)變量X所有可能取的值為0,1,2,…,且概率分布為：其中>0是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為的泊松分布,記作X~π().例：某一無線尋呼臺，每分鐘收到尋呼的次數(shù)X服從參數(shù)

=3的泊松分布。求：

(1).一分鐘內(nèi)恰好收到3次尋呼的概率；

(2).一分鐘內(nèi)收到2至5次尋呼的概率。.解:(1).P{X=3}=(33/3!)e-3≈0.2240；

(2).P{2≤X≤5}=P{X=2}+P{X=3}+P{X=4}+P{X=5}=[(32/2!)+(33/3!)+(34/4!)+(35/5!)]e-3

≈0.7169.例8

一家商店采用科學(xué)管理，由該商店過去的銷售記錄知道，某種商品每月的銷售數(shù)可以用參數(shù)λ=5的泊松分布來描述，為了以95%以上的把握保證不脫銷，問商店在月底至少應(yīng)進(jìn)某種商品多少件？解:設(shè)該商品每月的銷售數(shù)為X,已知X服從參數(shù)λ=5的泊松分布.設(shè)商店在月底應(yīng)進(jìn)某種商品m件,求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.進(jìn)貨數(shù)銷售數(shù)求滿足P{X≤m}>0.95

的最小的m.查泊松分布表（附錄3）得于是m取9,m=9件

歷史上，泊松分布是作為二項(xiàng)分布的近似，于1837年由法國數(shù)學(xué)家泊松引入的。二項(xiàng)分布與泊松分布的關(guān)系

定理1(泊松定理):對二項(xiàng)分布

B(n,p),當(dāng)

n充分大,p又很小時,對任意固定的非負(fù)整數(shù)

k，有近似公式定理表明，泊松分布是二項(xiàng)分布的極限分布，當(dāng)n很大，p很小時，二項(xiàng)分布就可近似地看成是參數(shù)

=np的泊松分布1

由泊松定理，n重貝努里試驗(yàn)中稀有事件出現(xiàn)的次數(shù)近似地服從泊松分布。

我們把在每次試驗(yàn)中出現(xiàn)概率很小的事件稱作稀有事件。如：地震、火山爆發(fā)、特大洪水、意外事故等。例：某出租汽車公司共有出租車400輛，設(shè)每天每輛出租車出現(xiàn)故障的概率為0.02，求:一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障的概率。解:

將觀察一輛車一天內(nèi)是否出現(xiàn)故障看成一次試驗(yàn)E。因?yàn)槊枯v車是否出現(xiàn)故障與其它車無關(guān),于是,觀察400輛出租車是否出現(xiàn)故障就是做400次貝努利試驗(yàn)。設(shè)

X

表示一天內(nèi)出現(xiàn)故障的出租車數(shù),則X

～

B(400,0.02)。令

=np=400×0.02=8，于是,P{一天內(nèi)沒有出租車出現(xiàn)故障}=P{X=0}=b(0;400,0.02)≈(80/0!)e-8=0.0003355.,則對固定的

k設(shè)Possion定理Poisson定理說明若X~B(n,p),則當(dāng)n

較大，p

較小,而適中,則可以用近似公式問題如何計(jì)算？

例1

為保證設(shè)備正常工作，需要配備適量的維修人員.設(shè)共有300臺設(shè)備，每臺的工作相互獨(dú)立，發(fā)生故障的概率都是0.01.若在通常的情況下，一臺設(shè)備的故障可由一人來處理.問至少應(yīng)配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?我們先對題目進(jìn)行分析：300臺設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺設(shè)備故障一人來處理.

問至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?

設(shè)X為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，300臺設(shè)備，獨(dú)立工作，每臺出故障概率p=0.01.可看作n=300的貝努里概型.X~b(n,p)，n=300,p=0.01可見，300臺設(shè)備，獨(dú)立工作，出故障概率都是0.01.一臺設(shè)備故障一人來處理.

問至少配備多少維修人員，才能保證當(dāng)設(shè)備發(fā)生故障時不能及時維修的概率小于0.01?設(shè)X為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，X~b(n,p)，n=300,

p=0.01設(shè)需配備N個維修人員，所求的是滿足P(X>N)<0.01或P(X

N)0.99的最小的N.解：設(shè)X為300臺設(shè)備同時發(fā)生故障的臺數(shù)，X~b(n,p)，n=300,p=0.01設(shè)需配備N個維修人員，所求的是滿足P(X>N)<0.01的最小的N.

P(X>N)n大,p小,np=3,用=np=3的泊松近似下面給出正式求解過程：即至少需配備8個維修人員.查書末的泊松分布表得即N8我們求滿足的最小的N.

對于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的分布律,也就知道了該隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.在這個意義上，我們說

這一節(jié)，我們介紹了離散型隨機(jī)變量及其分布律，并給出兩點(diǎn)分布、二項(xiàng)分布、泊松分布三種重要離散型隨機(jī)變量.離散型隨機(jī)變量由它的分布律唯一確定.四、小結(jié)練習(xí)題第三節(jié)隨機(jī)變量的分布函數(shù)隨機(jī)變量分布函數(shù)的定義分布函數(shù)的性質(zhì)小結(jié)布置作業(yè)一、分布函數(shù)的定義

如果將

X

看作數(shù)軸上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo)，那么分布函數(shù)

F(x)的值就表示

X落在區(qū)間內(nèi)的概率.設(shè)

X

是一個

r.v，稱為

X

的分布函數(shù)

,記作

F

(x)

.(1)在分布函數(shù)的定義中,X是隨機(jī)變量,x是參變量.

(2)F(x)

是r.vX取值不大于

x

的概率.(3)

對任意實(shí)數(shù)x1<x2，隨機(jī)點(diǎn)落在區(qū)間(x1,x2]內(nèi)的概率為：P{x1<Xx2}

因此，只要知道了隨機(jī)變量X的分布函數(shù)，它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.=P{Xx2}-P{Xx1}=F(x2)-F(x1)請注意:

分布函數(shù)是一個普通的函數(shù)，正是通過它，我們可以用高等數(shù)學(xué)的工具來研究隨機(jī)變量.當(dāng)

x<0時，{X

x}=，故

F(x)=0例1設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為當(dāng)

0x<1時，

F(x)=P{X

x}=P(X=0)=F(x)=P(X

x)解X求X的分布函數(shù)F(x).當(dāng)

1x<2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}=+=當(dāng)

x2時，

F(x)=P{X=0}+P{X=1}+P{X=2}=1故注意右連續(xù)下面我們從圖形上來看一下.的分布函數(shù)圖設(shè)離散型r.vX

的分布律是P{X=xk

}=pk,

k=1,2,3,…

F(x)=P(X

x)=

即F(x)

是X

取的諸值xk

的概率之和.一般地則其分布函數(shù)二、分布函數(shù)的性質(zhì)(1)

如果一個函數(shù)具有上述性質(zhì)，則一定是某個r.vX

的分布函數(shù).也就是說，性質(zhì)(1)--(3)是鑒別一個函數(shù)是否是某r.v的分布函數(shù)的充分必要條件.(3)F(x)

右連續(xù)，即

(2)試說明F(x)能否是某個r.v

的分布函數(shù).例2

設(shè)有函數(shù)

F(x)

解

注意到函數(shù)F(x)在上下降，不滿足性質(zhì)(1)，故F(x)不能是分布函數(shù).不滿足性質(zhì)(2)，可見F(x)也不能是r.v

的分布函數(shù).或者

解設(shè)F(x)

為X

的分布函數(shù)，當(dāng)

x<0時，F(xiàn)(x)=P(Xx)=00a當(dāng)

x>a

時，F(xiàn)(x)=1

例3

在區(qū)間[0，a]上任意投擲一個質(zhì)點(diǎn)，以X

表示這個質(zhì)點(diǎn)的坐標(biāo).設(shè)這個質(zhì)點(diǎn)落在[0,a]中任意小區(qū)間內(nèi)的概率與這個小區(qū)間的長度成正比，試求X

的分布函數(shù).當(dāng)

0xa

時，P(0Xx)=kx

(k為常數(shù))由于

P(0Xa)=1

ka=1，k=1/a

F(x)=P(Xx)=P(X<0)+P(0Xx)=x/a故

這就是在區(qū)間[0，a]上服從均勻分布的連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù).三、小結(jié)

在這一節(jié)中，我們學(xué)習(xí)了隨機(jī)變量的分布函數(shù),以及分布函數(shù)的性質(zhì).練習(xí)題F(x)=P(X

x)故第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義概率密度的性質(zhì)三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量小結(jié)布置作業(yè)

連續(xù)型隨機(jī)變量X所有可能取值充滿一個區(qū)間,對這種類型的隨機(jī)變量,不能象離散型隨機(jī)變量那樣,以指定它取每個值概率的方式,去給出其概率分布,而是通過給出所謂“概率密度函數(shù)”的方式.

下面我們就來介紹對連續(xù)型隨機(jī)變量的描述方法.例1：某工廠生產(chǎn)一種零件，由于生產(chǎn)過程中各種隨機(jī)因素的影響，零件長度不盡相同。現(xiàn)測得該廠生產(chǎn)的100個零件長度(單位:mm)如下:2.4頻率直方圖129,132,136,145,140,145,147,142,138,144,147,142,137,144,144,134,149,142,137,137,155,128,143,144,148,139,143,142,135,142,148,137,142,144,141,149,132,134,145,132,140,142,130,145,148,143,148,135,136,152,141,146,138,131,138,136,144,142,142,137,141,134,142,133,153,143,145,140,137,142,150,141,139,139,150,139,137,139,140,143,149,136,142,134,146,145,130,136,140,134,142,142,135,131,136,139,137,144,141,136.這100個數(shù)據(jù)中，最小值是128，最大值是155。128155作頻率直方圖的步驟(1).

先確定作圖區(qū)間[a,b];a=最小數(shù)據(jù)-ε/2，b=最大數(shù)據(jù)+ε/2，ε

是數(shù)據(jù)的精度。本例中

ε

=1,a=127.5,b=155.5。(2).確定數(shù)據(jù)分組數(shù)m=[1.87×(n?1)2/5+1]，組距d=(b?a)/m，子區(qū)間端點(diǎn)ti=a+id,i=0,1,···,m；(3).

計(jì)算落入各子區(qū)間內(nèi)觀測值頻數(shù)

ni

=#{

xj

∈[ti?1,ti)，j=1,2,···,n}，頻率fi=ni/n，i=1,2,···,m；子區(qū)間頻數(shù)頻率(127.5,131.5)60.06(131.5,135.5)120.12(135.5,139.5)240.24(139.5,143.5)280.28(143.5,147.5)180.18(147.5,151.5)80.08(151.5,155.5)40.04(4).以小區(qū)間

[ti-1，ti]為底，yi=fi/d

(i=1,2,

…,m)為高作一系列小矩形，組成了頻率直方圖，簡稱直方圖。

由于概率可以由頻率近似，因此這個直方圖可近似地刻畫零件長度的概率分布情況。

用上述直方圖刻畫隨機(jī)變量X的概率分布情況是比較粗糙的。為更加準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況，應(yīng)適當(dāng)增加觀測數(shù)據(jù)的個數(shù),同時將數(shù)據(jù)分得更細(xì)一些。當(dāng)數(shù)據(jù)越來越多,分組越來越細(xì)時,直方圖的上方外形輪廓就越來越接近于某一條曲線,這條曲線稱為隨機(jī)變量X的概率密度曲線，可用來準(zhǔn)確地刻畫X的概率分布情況。則稱X為連續(xù)型隨機(jī)變量,稱f(x)

為X的概率密度函數(shù)，簡稱為概率密度.一、連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度的定義有,使得對任意實(shí)數(shù)

,

對于隨機(jī)變量X,如果存在非負(fù)可積函數(shù)f(x),

連續(xù)型隨機(jī)變量的分布函數(shù)在上連續(xù)二、概率密度的性質(zhì)1o2of(x)xo面積為1這兩條性質(zhì)是判定一個函數(shù)f(x)是否為某r.vX的概率密度的充要條件利用概率密度可確定隨機(jī)點(diǎn)落在某個范圍內(nèi)的概率對于任意實(shí)數(shù)x1,x2,(x1<x2),

若f(x)在點(diǎn)x

處連續(xù),則有

故

X的密度f(x)

在x

這一點(diǎn)的值，恰好是X落在區(qū)間上的概率與區(qū)間長度之比的極限.這里，如果把概率理解為質(zhì)量，f(x)相當(dāng)于線密度.

若x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)，則對f(x)的進(jìn)一步理解:若不計(jì)高階無窮小，有表示隨機(jī)變量X

取值于的概率近似等于.在連續(xù)型r.v理論中所起的作用與在離散型r.v理論中所起的作用相類似.

要注意的是，密度函數(shù)f(x)在某點(diǎn)處a的高度，并不反映X取值的概率.但是，這個高度越大，則X取a附近的值的概率就越大.也可以說，在某點(diǎn)密度曲線的高度反映了概率集中在該點(diǎn)附近的程度.f(x)xoa(1)連續(xù)型r.v取任一指定實(shí)數(shù)值a的概率均為0.即這是因?yàn)檎堊⒁?當(dāng)時得到(2)對連續(xù)型r.vX,有由P(B)=1,不能推出

B=S由P(A)=0,不能推出命題連續(xù)r.v.取任一常數(shù)的概率為零強(qiáng)調(diào)

概率為0的事件未必不發(fā)生概率為1的事件未必發(fā)生常用的計(jì)算：對于連續(xù)型r.v.

Xbxf(x)-10-550.020.040.060.08axf(x)-10-550.020.040.060.08a1.均勻分布則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，X

～U(a,b)三、三種重要的連續(xù)型隨機(jī)變量若r.vX的概率密度為：記作xf(x)abxF(x)ba

公交線路上兩輛公共汽車前后通過某汽車停車站的時間，即乘客的候車時間等.均勻分布常見于下列情形：

如在數(shù)值計(jì)算中，由于四舍五入，小數(shù)點(diǎn)后某一位小數(shù)引入的誤差；

例2

某公共汽車站從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30,7:45

等時刻有汽車到達(dá)此站，如果乘客到達(dá)此站時間X

是7:00到7:30之間的均勻隨機(jī)變量,試求他候車時間少于5分鐘的概率.解依題意，

X

～U(0,30)

以7:00為起點(diǎn)0，以分為單位

為使候車時間X少于5分鐘，乘客必須在7:10到7:15之間，或在7:25到7:30之間到達(dá)車站.所求概率為：即乘客候車時間少于5分鐘的概率是1/3.從上午7時起，每15分鐘來一班車，即

7:00，7:15，7:30等時刻有汽車到達(dá)汽車站，指數(shù)分布常用于可靠性統(tǒng)計(jì)研究中，如元件的壽命.2.指數(shù)分布若r.vX具有概率密度為常數(shù),則稱X

服從參數(shù)為的指數(shù)分布.若X

服從參數(shù)為

的指數(shù)分布,則其分布函數(shù)為事實(shí)上,當(dāng)時,當(dāng)時,1xF(x)0xf(x)0例：設(shè)某電子管的使用壽命X(單位：小時)服從參數(shù)λ=0.0002的指數(shù)分布，求電子管使用壽命超過3000小時的概率。解：解

(1)補(bǔ)充

設(shè)一大型設(shè)備在任何長為

t

的時間內(nèi)發(fā)生故障的次數(shù)N(t)~(

t),求相繼兩次故障的時間間隔T的概率分布;設(shè)備已正常運(yùn)行８小時的情況下,再正常運(yùn)行10小時的概率.例4(2)由指數(shù)分布的“無記憶性”3.正態(tài)分布

若連續(xù)型r.vX的概率密度為記作其中和(>0)都是常數(shù),則稱X服從參數(shù)為和的正態(tài)分布或高斯分布.事實(shí)上,則有曲線關(guān)于軸對稱；函數(shù)在上單調(diào)增加,在上單調(diào)減少,在取得最大值；x=μ

σ為f(x)的兩個拐點(diǎn)的橫坐標(biāo)；當(dāng)x→∞時，f(x)→0.f(x)以x軸為漸近線

根據(jù)對密度函數(shù)的分析，也可初步畫出正態(tài)分布的概率密度曲線圖.

決定了圖形的中心位置，決定了圖形中峰的陡峭程度.

正態(tài)分布

的圖形特點(diǎn)

設(shè)X~,X的分布函數(shù)是正態(tài)分布的分布函數(shù)

正態(tài)分布由它的兩個參數(shù)μ和σ唯一確定，當(dāng)μ和σ不同時，是不同的正態(tài)分布。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布下面我們介紹一種最重要的正態(tài)分布的正態(tài)分布稱為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.其密度函數(shù)和分布函數(shù)常用

和

表示：標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的性質(zhì):事實(shí)上,

標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布.定理1證Z的分布函數(shù)為則有

根據(jù)定理1,只要將標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)制成表，就可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算問題.于是

書末附有標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)數(shù)值表，有了它，可以解決一般正態(tài)分布的概率計(jì)算查表.正態(tài)分布表當(dāng)x<0

時,表中給的是x>0時,Φ(x)的值.若若X～N(0,1),~N(0,1)

則由標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的查表計(jì)算可以求得，這說明，X的取值幾乎全部集中在[-3,3]區(qū)間內(nèi)，超出這個范圍的可能性僅占不到0.3%.當(dāng)X～N(0,1)時，P(|X|1)=2(1)-1=0.6826

P(|X|2)=2(2)-1=0.9544P(|X|3)=2(3)-1=0.99743準(zhǔn)則將上述結(jié)論推廣到一般的正態(tài)分布,可以認(rèn)為，Y的取值幾乎全部集中在區(qū)間內(nèi).這在統(tǒng)計(jì)學(xué)上稱作“3準(zhǔn)則”

.~N(0,1)

時，標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn)設(shè)若數(shù)滿足條件則稱點(diǎn)為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的上分位點(diǎn).解P(X≥h)≤0.01或

P(X<h)≥0.99，下面我們來求滿足上式的最小的h.看一個應(yīng)用正態(tài)分布的例子:

例

公共汽車車門的高度是按男子與車門頂頭碰頭機(jī)會在0.01以下來設(shè)計(jì)的.設(shè)男子身高X～N(170,62),問車門高度應(yīng)如何確定?設(shè)車門高度為hcm,按設(shè)計(jì)要求因?yàn)閄～N(170,62),故P(X<h)=查表得(2.33)=0.9901>0.99因而=2.33,即

h=170+13.98184設(shè)計(jì)車門高度為184厘米時，可使男子與車門碰頭機(jī)會不超過0.01.P(X<h)0.99求滿足的最小的h.所以.

這一節(jié)，我們介紹了連續(xù)型隨機(jī)變量及三種重要分布.即均勻分布、指數(shù)分布、正態(tài)分布.其中正態(tài)分布的應(yīng)用極為廣泛，在本課程中我們一直要和它打交道.

后面第五章中，我們還將介紹為什么這么多隨機(jī)現(xiàn)象都近似服從正態(tài)分布.四、小結(jié)練習(xí)題故第五節(jié)隨機(jī)變量的函數(shù)的分布問題的提出離散型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布連續(xù)型隨機(jī)變量的函數(shù)的分布小結(jié)布置作業(yè)一、問題的提出

在實(shí)際中，人們常常對隨機(jī)變量的函數(shù)更感興趣.求截面面積A=

的分布.比如，已知圓軸截面直徑d

的分布，在比如，已知t=t0

時刻噪聲電壓V

的分布，求功率

W=V2/R

(R為電阻）的分布等.

設(shè)隨機(jī)變量X

的分布已知，Y=g(X)(設(shè)g是連續(xù)函數(shù)），如何由X

的分布求出

Y

的分布？下面進(jìn)行討論.

這個問題無論在實(shí)踐中還是在理論上都是重要的.二、離散型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解：當(dāng)X

取值

1，2，5時，

Y取對應(yīng)值

5，7，13，例1設(shè)X求

Y=2X+3的概率函數(shù).～而且X取某值與Y取其對應(yīng)值是兩個同時發(fā)生的事件，兩者具有相同的概率.故解：當(dāng)X

取值-1，0，1，2時，

Y取對應(yīng)值4，1，0和1。由P{Y=0}=P{X=1}=0.1，

P{Y=1}=P{X=0}+P{X=2}=0.3+0.4=0.7，

P{Y=4}=P{X=-1}=0.2.例：設(shè)隨機(jī)變量

X

有如下概率分布：求Y=(X–1)2

的概率分布。得

Y

的概率分布：一般地，若X是離散型隨機(jī)變量，概率分布為如果g(x1),g(x2),…,g(xk),…

中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可得到一串互不相同(不妨認(rèn)為從小到大)的

y1,y2,…,yi

,….如果g(xk)中有一些是相同的，把它們作適當(dāng)并項(xiàng)即可.一般地，若X是離散型r.v，X的分布律為X～則

Y=g(X)～如：X～則Y=X2

的分布律為：Y～三、連續(xù)型隨機(jī)變量函數(shù)的分布解設(shè)Y的分布函數(shù)為FY(y)，例2設(shè)X~求Y=2X+8的概率密度.FY(y)=P{Yy}=P(2X+8y)=P{X}=FX()于是Y的密度函數(shù)故注意到0<x<4時，

即8<y<16時，

此時Y=2X+8例3

設(shè)

X具有概率密度,求

Y=X2的概率密度.當(dāng)

y>0時,

注意到Y(jié)=X20，故當(dāng)y0時，.解設(shè)Y和X的分布函數(shù)分別為和

，若則Y=X2

的概率密度為：求導(dǎo)可得

從上述兩例中可以看到，在求P(Y≤y)的過程中