考研數(shù)學(xué)二一元函數(shù)積分學(xué)

考研數(shù)學(xué)二一元函數(shù)積分學(xué)

1.【單項(xiàng)選擇題】下列結(jié)論中正確的是

dr與「da*

都收斂.

JjC(1+J7)\[x(1+7)

dz與廠dr

都發(fā)散.

>/r(1+x)\!x(i+/)

d?r收斂，「‘—發(fā)散?

G(i+i)向1+工）

djr發(fā)散.「‘—收斂

G(i+/)J1向1+工）

正確答案：A

參考解析：

Cldj,d\/Cr

因9=2arctanvr-募■?收斂.

\ZT(1+.r)J。1+尸

dz

同理=2arctan\[x|=＞也收斂.故選項(xiàng)（A）正確.

*1\Zr"(1+z)

若已知|*d.rj-/(sin30dly=1?則I/(cosi)cLr=

2.【單項(xiàng)選擇題】

7C

A.7,

2_

*

B.7T

￡

-7?

C.7T

7T

D.

正確答案：D

參考解析：因?yàn)?/p>

,7f?,1)j/(siny)dy

d.rx/(siny)d,y.r&r/(siny)dy=

0Jo00婷

2『

/(siny)dy=1

所以/(sin3)dy=/而

Jo4

?/2

/(siny)dy/(cos.r)dz=2/(cosj)d.r=y

00

pj.

從而/(cosj)d.r=%故選(D).

4

3.【單項(xiàng)選擇題】下列用牛頓―萊布尼茨公式計(jì)算定積分的做法中，錯(cuò)誤的做

法一共有

①]>/sin3x—sinxdj'=sin^xcoszcLr=-^-sin~x

=0.

o5o

②/蟲=InIj=0.

J-1J7

sec一1

arctan=0.

2+tan。o

④J-arctanjdj=arctan-_工

T-

A.1個(gè).

B.2個(gè).

C.3個(gè).

D.4個(gè).

正確答案：D

參考解析：必須逐一分析

⑴%in"僅在寸”是被積函數(shù)的原函數(shù),在一刊上的原函數(shù)是一臺(tái)工因此

這里的做法是錯(cuò)誤的.

(2)：在Z=。無(wú)定義,在［-1」］上無(wú)界,不存在定積分,這里錯(cuò)誤地應(yīng)用了牛頓-萊布

尼茨公式.

(3)tarclan"不是整個(gè)區(qū)間［0,一上的原函數(shù),它在/=］無(wú)定義,只是0彳)與

(f.n上的原函數(shù),不能在［0,/上用牛頓一菜布尼茨公式.

(4)/(i)=2krctan：)在1r=0無(wú)定義,可任意補(bǔ)充定義/(0)后,arctan：仍不是

/(工)在整個(gè)區(qū)間［一1,1］上的原函數(shù)，因?yàn)樗贗=0無(wú)定義?因此不能在［一1,1］上用牛頓

-萊布尼茨公式.

因此小(D).

4.1單項(xiàng)選擇題】J?！╮(l一外

A.Ji.

B.2.

C.I.

D.X.

正確答案：B

參考解析：方法1分母先配方后再作平移變換

選(B).

先改寫成

9t.=2jLo(1+產(chǎn)/)2”

=——~7+—~~-=arctant

14-r0Jo1+廣

選(B).

方法m令z=sink則

?X

"sin'，?2sin/cosfd/K

=2sin'/d/=2

0x/sin2/(1—sin'/)2

選(B).

函數(shù)F(z)=ln(1+cos2/)cos2tdt

5.【單項(xiàng)選擇題】

A.為正數(shù).

B.為負(fù)數(shù).

C.恒為零.

D.不是常數(shù).

正確答案：A

參考解析：因被積函數(shù)是以開為周期的函數(shù)，它在每個(gè)周期上的積分值相

等，因此，

?41ft

F(T)=F(0)=ln(l+cos/)cos2tdt——ln(14-cos*I2/*s)dsin2t

JoZJo

1iiz八.*12cos/(-sin/).0d

=-ln(1+cos/)sin2t--——---；---sin2tat

2o2Jo1+cos?，

=!,「誓td/〉0(因被積函數(shù)連續(xù)且大于等于零,不恒為0)

4JO1+COSY

所以選(A).

6.【單項(xiàng)選擇題】由曲線y=l-(x-l)2及直線y=0圍成圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)而成立體

的體積V是

1y=1(x-l>

O12x

“(1++y)%。

A.一

I兀(1-—“dy.

D.」

?[(1+—y)—(1—-y)7dy

C.Ju

2

nfK[(1+\/l—y)—(1——"Idy

u.

正確答案：D

參考解析：把曲線表成x=x(y),要分成兩條：

n=1士-y(0&y41)

看成兩個(gè)旋轉(zhuǎn)體的體積之差：

Vi=jt(1+—y)'dy,匕=n(1——?尸dy.

J0"J0

于是V=V,-V,=-(1-

J0

因此選(D).

7.【單項(xiàng)選擇題】

曲線r=『e招(〃>0/>0)從夕=0到。=a(a>0)的一段弧長(zhǎng)為

s=aew+/dd.

A.Jc

ns=)dj.

+(ae”2d。.

C.0

s=abv'1'v1+(abe^)2d^?.

D..

正確答案：A

參考解析：利用極坐標(biāo)方程表示曲線的弧長(zhǎng)公式，

s=，＞+(r'VdJ=\j(ae的產(chǎn)+(a)?d。=ae"，1+//d6

J0JoJ0

因此選(A).

8.【單項(xiàng)選擇題】旋輪線x=a(t-sint),y=a(l-cost)(OWtW2無(wú))的質(zhì)心是

正確答案：A

參考解析：先求弧微華_____________________

去=，/'2(/)+1/2(/)(1/=</?■(1—cos/)2+a2siir/d/

=a>/2(1—cos/)dz=2asinyd/(04tg2n)

于是得弧長(zhǎng)

，r'2(/)+y"(/)d/=2?sin-^-d/=4?cos-yjI=8a

JoJ0L\Z/I0

四個(gè)選項(xiàng)中,質(zhì)心的橫坐標(biāo)均相同,所以只須求質(zhì)心的縱坐標(biāo)為此.

再求3(f)/r"(/)+y"(/)d/=[<i(l-cosz)2asinyd/

nJA/

sin-yd/=8a?sin'/d/

L*o

…232

=16a2sin'/d/=lod'?—=—a'2

JV

32

y(t)，產(chǎn)(/)+y"(/)d/2

因此代人公式得§=-------------------=4一=￡〃

|”⑺+/⑺山■

因此詵(A).

9.【單項(xiàng)選擇題】半圓形閘門半徑為R(米)，將其垂直放入水中，且直徑與水

面齊.設(shè)Pg=l.若坐標(biāo)原點(diǎn)取在圓心，x軸正向朝下，則閘門所受壓力p為

fR_____

JR—1?d.r.

A.J.

n「2v/R-.r-dx.

B..>

2x\/R—x2d.r.

?a.

2(R—x)\/R:—x2d.r.

D.」

正確答案：c

參考解析：

如圖所示,任取[才々+&10(=[0,/<!.相應(yīng)的小橫條所受

壓力微元

dp=x?2ydz=2JC\/R2-x2djr

?R

于是，閘門所受壓力P=2.rMR：—/精工選(C).

10.【單項(xiàng)選擇暨】設(shè)f(x)在[0,+8)上連續(xù)，在(0,+8)內(nèi)有連續(xù)導(dǎo)數(shù)且

xf(tr)d，+2/(f)dl=+/',

J0J0

則可得

A.f(x)=Cx2-3x2ln(l+x)(xG[0,+°°)),(C為任意常數(shù)).

+8)).

r0

''八JC為任意常數(shù)).

J-=0

x>0

j*=o'

正確答案：c

參考解析：令tx=s,原方程變?yōu)?/p>

f/(5)d5+2[/⑺&=//(1)+

J0J0

即3=xf(jc)+x3

J0

兩邊對(duì)工求導(dǎo)得3/(x)=獷'(1)+f(z)+3〉

即/"(工)——/(x)=-3x(n>0)

X

（原方程中令1=0.等式自然平立.不必附加條件）.

方程兩邊乘〃（程=eT狂=!得

積分得=—31nx+C

=Cr2—3121nx(z>0)

由連續(xù)性/(0)=lim/(x)=0

jr-?O*

“、Cz2—3x2lnx?n>0

因此求得

(、為任意常數(shù).選(C).

11.【單項(xiàng)選擇題】曲線y=x(xT)(2-x)與x軸所圍成的圖形面積可表示為

().

?2

—J-(J*—1)(2-a-)dj-

A.Jo

*1f2

x(x—1)(2—J-)da,—z(?r—1)(2—JT)d.r

B.JoJi

—x(x—1)(2—x)dx+x(x—1)(2—vF)(lr

C.*(iJi

?2

JCJT—1)(2—j*)dj

D.Jo(

正確答案：C

參考解析：

曲線y=j-(.r-1)(2—J-)與z軸的三個(gè)交點(diǎn)為1=0.i=l,i=2,

當(dāng)0〈.r〈l時(shí),y<0;當(dāng)1〈工〈2時(shí),y〉0,所以圍成的面積可表示為(C)的形

式，選（C）.

o才1"收斂,則（）?

12.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)反常積分

A.a>l且b>l

B.a>l且b<l

C.a〈l且a+b>l

D.a<l且b<l

正確答案：B

參考解析：

對(duì)于耳UI著HfO?看，由于a>6〉0.故。趨于。的“速度”慢于胃于于0的“速度?九

pi1

于是人與占dr同做微，則YL

對(duì)于八,盯著rf+8宿由于”>6〉o,故/趨于+：<的“速度”快于y趨于+g的“速度”，

/+，與/為等價(jià)無(wú)窮大黃，于是/,與］'llr同斂做,則a>1.

綜上，a>l且b〈l,故選(B).

13.【單項(xiàng)選擇題】如圖所示，設(shè)立體的底是介于y=x2-l和y=O之間的平面區(qū)

域，它垂直于x軸的任一截面是一個(gè)等邊三角形，則此立體的體積為().

正確答案：D

參考解析：品直于I軸的任一截面的邊長(zhǎng)為L(zhǎng)/—1I,故其面積為

A(j)=-1-(a-2—l)2sin-??=—(—1)2,

231

故立體體積為

A(?r)cLr=gj(x"-1)2dr

(x2—1)2cLr

sin?r.f*

14.【單項(xiàng)選擇題】

A.x=n是F(x)的跳躍間斷點(diǎn)

B.x=n是F(x)的可去間斷點(diǎn)

C.F(x)在x=n處連續(xù)但不可導(dǎo)

D.F(x)在x=Ji處可導(dǎo)

正確答案：C

參考解析：

x-％是〃*)的跳躍間斷點(diǎn)?故八可根.則F(力=|'/。)由在1=n處連續(xù),

但不可導(dǎo)(正喻.

15.【單項(xiàng)選擇題】下列反常積分收斂的是().

廣疝

A.

r業(yè)

B.

C.

T

D.

正確答掌.A

需于A：利用極限審斂法.由于

15

lim―,■=1。="77>1,0</=1V+0°)?

一后

參考解析:

故枳分收斂.

對(duì)于B.x=0&；-；-/?■■■的暇點(diǎn).由

ln(1+x)

lim(x-0)—r.1(A-110</<1V+8).

Itln(l+J)

知積分發(fā)敢.

對(duì)于CM?0是」一的暇點(diǎn).由iim(x-0).，—=1(A=1?0</=lV+?3

sinxi*sinx

知積分發(fā)散.

對(duì)于Dg|■',,cLr=I1+J'

J-0+x*Jrvl+jrJ1+:

用定義法,如limI，工｝lim［羋士岑二g??■—―?

故原積分發(fā)散.

16.【單項(xiàng)選擇題】

設(shè)3>0?在(―d?6)內(nèi)有/(x)，&丁?/*《工)>0.1—I/(i)(Lr?則

A.1=0

B.1>0

C.K0

D.不能確定

正確答案：B

參考解析：礴定。(彥?)內(nèi)的符號(hào).

由|/(x)|4/,知/(0)=0,且

04I/z(0)I=limI八;，I&limJ?=0,

故/(0)=0.由<(z)>0,知/(J)單調(diào)增加，故在區(qū)間(一九0)和(0.S)內(nèi)分別有f(工)<0

和/(x)>0.

因而/(工)在(一6,0)內(nèi)單調(diào)減少,在(0")內(nèi)單調(diào)增加，又/(0)=0.知八外在(一九S)

內(nèi)非負(fù),且僅在工=0處義］)=0,所以/=『JCr)dr>0.故B正確.

17.【單項(xiàng)選擇題】設(shè)f(x)二階可導(dǎo)，則下列結(jié)論正確的是().

①當(dāng)［《*》V0時(shí)?則|/(jr)sinxdurV01

②當(dāng)，(i)V0時(shí)?則|/(x)sinjrdz>01

Jr

③當(dāng)/”(J)>0時(shí),則|f(J)CO?rd.r>Oi

J~9

④當(dāng)r(*>>0時(shí)?則|/(x)cosxdrV0?

A.②③.

B.①②

C.②④

D.①④

正確答案：D

參考解析：

依題點(diǎn),只需判別被積南故的正、負(fù)即可.學(xué)成到“與=K?T上分別

1E負(fù)和非正?有I/(x)smjrdj?|/(x)sinxcLr+I」-<Lr.而

JJJ€

|/(x)sinxdxJ/(一M)sin(-it)(—dw)

J-?J?

r?r?

二—|/(一u)sin"d*H-|/(—jr)sinxdx?

j?j?

ftr.

故/(x)sin-rdr■■|J(x)一/(一x)」，in/(Lr.

由r(i)VO.知/(x)單調(diào)減少?故當(dāng)［o.ic］時(shí)?有八］4八一儲(chǔ).于是

I/(x)Mnxdr■|―/(-x)J^inidrV0?

J—?Jo

故①正確.又

/(x)cosJ*dr*/(x)d(sinx)./(x)sinx—I/^(xJ^inxdr

JrJIJ~w

=—I/>(x)sinx(Lr?

且由/a)>o?知，G)單謝增加?從而一,(上)單謂讖少,由①正確.知

r?r?

/(x)cosxdx=-/(jO&inxd.rV0?

<-*<j**?

故④正確.從而D正修.

18.［單項(xiàng)選擇題］設(shè)反常積分，L收斂,則正確的是

A.k>-l

B.k<-l

C.k>l

D.k<l

正確答案：D

參考解析：ee（e,…;1）.

當(dāng)工一+8時(shí),e-Ye-卜|-1）與丁（1-85；）是等價(jià)無(wú)窮小，又1一（：0§1與*是

等價(jià)無(wú)窮小,則^（e-^-e-1）與上是等價(jià)無(wú)窮小.

2er

當(dāng)￡V1時(shí),2-/>1,故?（?3］一?。I(yè)收斂;

J1

當(dāng)戈21時(shí),2一k4是階數(shù)不高于上的無(wú)窮小.故「口（e-易一e-1）業(yè)發(fā)散.

4

zer"T1

19.【單項(xiàng)選擇題】“?

A.I僅依賴于s

B.I僅依賴于t

C.I依賴于s,t

D.I依賴于s,t,x

正確答案：B

〃?財(cái)du=一<Lr?故

s

(f+：jd-r——(f(a)sdi<.J

參考解析：

2設(shè)積分焉”>0.q>。)收斂,則(

【單項(xiàng)選擇題】

A

?P>1且q〈l.

B

?P>1且q>l

c

?P〈1且q<l

D

?P〈1且q>l

正確答案：A

dredr.dr

9g

參考解析：T?1n.r!.r^ln.r.r^ln^jr'

由于Inz=ln「1+(z—1)1N—1(1*f1)■故由

Gr-1).

可可:湍；與￡各效敢性相同,故當(dāng)qv?時(shí)/島收氮

當(dāng)qV】?/>H】時(shí)?|；舊；=])=8,故復(fù)散?

當(dāng)q<1.戶V1時(shí)?VPVaV1?lim0f■+?且|與發(fā)散?故|生;

f???ij?jrJ9JCin.

j?

當(dāng)gVl.p”時(shí)/亳〈廣竽故廠磊收新

嫁上所述?當(dāng)；>>l?qV】時(shí)?枳分收斂.A正確.

1

rf______d*r______

21.【填空題】'J-i(l+e")(l+j-2)

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

7t

參考解析：4

【解析】

令X=-t,則

d.rdre'd/

(l+eO(H-jr2)J-I(1+e;)(1+/2)J-1(l+e，)(l+/)

dzfe'dz1

則/-i(l+ex)(l+x2)-Jr(l+e9(l+/).

2T1+/—Jo1+/

22.【填空題】

*

已知/'（43）d?Z=，+C（C為任意常數(shù)）,則八工）=

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

9

產(chǎn)+C.C為任意常數(shù)

參考解析：5

【解析】

將J/'(z3)d/=/+。兩邊求導(dǎo)得

f\x3)=3xz

令f=/)，則，(/)=3/

Q5

=>f(z)=片?加+C

5

因此?/（/）=為任意常數(shù).

23.【填空題】、'

設(shè)/⑴有一階導(dǎo)數(shù)且滿足/（fx）dz=f（x）+xsin則/（工）=_______.

Jo

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：-xsinx+cosx+C,C為任意常數(shù)

【解析】

作變量替換tx=s,改寫方程為

/(s)ds=/(z)+zsini(z#0)

f(s)ds=+j-2sinx(V.t)(1)

J0

/(工)="'(工)+/(I)+(fsinT)'(2)

(1)式與(2)式是等價(jià)的,(2)式又可改寫成

fCr)=一宜晅立GRO)

X

,、fd(j'sinx)..f.I1\.

r(=—j---------=—zsinJ+JJs2mx?pjdz

=—jsinI+cosT+C(Vx).

24.【填空題】

設(shè)/（燈是定義于工二1的正值連續(xù)函數(shù),則

廠/2+Inz)—(申+In

J,(7/（DdMz21）

的極小值

點(diǎn)是x=.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：2

【解析】

F(x)=(y+ln/(/)dr-￡(y+ln⑺&

=>F，(z)=F~2+-)j7(nd/+(|+lnx)/(x)-(1+In工)/(工)

<0,(l<x<2)

—2任

(x=2)

Ji

>0,(Z>2)

工=2是極小值點(diǎn)（也是最小值點(diǎn)）.

十sirtr.7t

【填空題】設(shè)0—dj=2

25.

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：

sin2x]

sin\rd+-----ax

00J0工

中由sin2x..sin2x

因?yàn)閔m----=0,lim-----=0,

LO+XL"I

所以「"璋業(yè)=「sin2x...、f+°°sinjr.x

廿⑵)=J。---dr

JoTJ0I2

26.【填空題】

設(shè)f(i)為連續(xù)函數(shù),且滿足f(xt)dt=/(x)+zsirkr,則/(Z)=

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)'行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：

riri

由f(J/)dz=/(.r)+rsinx,得f(xt)d(.r/)—xf(x)+.r2sinj,.

?.CJ0

即/(/)d/=x/(x)+7'siiir,兩邊求導(dǎo)得/(x)=-2sinx-xCOST?

Jo

積分得/(jr)=COST—J*sinz+C.

27.【填空題】

3,1—Tfl

設(shè)函數(shù)y=v(/)滿足4丫==----二Z+。(Ar),且y(1)=1,則y(z)dr=.

V2J~X“

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：

1

因?yàn)槠?“「二"因?yàn)锳z).所以4=-：■?于是

生_J&J1—7"

y(1)=j——^—dj=—■--■—d(2j-x2)=-Jlx—x2+C,

y/2x—X225/2J*-X2

由y(l)=l得C=0,故y(z)=V2JT—x2,

y(N)clr=fy/2x—x2dr=—(x—1)2d(x—1)

0J0J0

，=N-1/------.f1/------虧.7t

.....一廠ck=〃d/=—.

?—i?04

f21'12dr7t.

設(shè)，=7?，貝rJla=_________.

28.【填空題】JaJe-1

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

參考解析：

d/*1一二

因?yàn)閨=—2------d(e;)=-2arcsin(e:)+C.

?/ex-1A/-fx2

V1—(e)_r

"2ln2dj*—321n2yr一言八

所以-=—2arcsin(e:)=—2——arcsin(e?)=—

J?！?“L6」6

7t?

則arcsin(e，)=丁，故a=ln2.

4

29.【填空題】

設(shè)/(x)=-包d/，則f(x)dx=

Jon-2-￡'J0

請(qǐng)查看答案解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案:

參考解析：【解】

*,/rsin,,「*」f*sin￡.f?.,

/(x)dj-=aj------at—d/-----dz=sm/d/=2.

JoJ0J07t-tJoJf7T-tJ0

30.【填空題】

設(shè)/(1)=/+則|f(a:)d.r=.

請(qǐng)查看答案解析啟對(duì)本題進(jìn)行判斷：答留了答錯(cuò)了

正確答案：

_2

參考解析：2(1—a)

【解析】.

令A(yù)=「f(工)業(yè)，則f(l)=z+A,兩邊積分得

2J。2

A=、+aA,解得A=---

ZZ(1—a)

31.【填空題】

'*81nr

設(shè)函數(shù)/(I)在［1，+8)上連續(xù)，/(J)dx收斂,且滿足/(］)=7T%

J1(1+1)

1J.丁2產(chǎn)8產(chǎn)8

,7f(z)d/,則/(x)cLr=.

14-TJ1JI

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正確答案：

41n2

參考解析：4一\/2八

【解析】.

記A=「"/(工)心，對(duì)所給等式兩邊在區(qū)間［1.+8)上對(duì)］積分?得

In.1±￡.

1七十Adz.因?yàn)?/p>

i1+.r4

"用三d工=一電三dj_?.

*+工+工)11+工In2.

i(1+J-)*21+N(11

所以A=In2+穹A,解得A=業(yè)

44-727(

32.【填空題】計(jì)算下列不定積分.

J%Zr(4-z)

(2)

sin3xcos2zdz=;

(3)

f2x-6,

-----------dj-=

Jar2-6z+13

―；-----dr=；

Jsirrzcos'z

(5)I

*sinT—3cosj,

-------------dr=

二__------------------

⑺

J(1一力71T^7

(8)

M^-=

Je,+e-'---------

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正確答案：

參考解析：(1)

arcsin---------FC

2

【解析】

由于V.r(\~

\Zr(4—,r)

cos3.r+C

53

【解析】

sin4.rcos2jd.r=—Jsin'.rcos2.rd(cos.r)

(1—cos'T)cos2(cos.r)

cosl.rd(cos,r)-cos2.rd(cos.r)

=lcos\r--cos3x+C.

53

(3)

ln(.--6i+13)+C

【解析】

2x—6

dr=,叱=1心一61+13)+C.

.r-67+13j----6x4-13

(4)

13,0

-tan.r+2tan

3

【解析】

f-A-dr(sin2j-+cos2J-)2,

----------------7------.

Jsin"j'cos4J-sirrj-cos.r

r—2^-d.r+1

JCOS'J--2

tan2xd(tan.r)+2tanjr—cot.r

-tan1x4-2tanJT-col.r+C.

3

3

—cotxH---------—”F(

2sin'J-

【解析】先將分式變形?？傻?/p>

d(sinJ*)

；d.r-3

sinJTsin'.r

col-3?---------(sin.i)，+C

-34-1

■皿+3+c.

2sin-.r

(6)

—(1—>)三一(1-.r2)7+C

i解析】方法一將被積函數(shù)變形，

rx31rx2

-----------dr=——-d(l—x2)

J一122J一。丁

1

(1—)i—(1—.r2)-_id(1—.r)

2

方法二令I(lǐng)=sin'，則

d.r=sin'/d/=sin'/?sinidt

J-J\-r

(cos2/—l)d(cos/)

利用COSI=\/l一丁，得

原式—y(l—X2)~—(1—J)T+C.

(7)

---+C

1—

【解析】____

令〃=\/T—x=1-u:,dr——2〃da.則

---------CLC—f—1?一,LL…U)au一=-2T2

J(1—?r)x/1—z」U

(8)arctanex+C

【解析】

f1,f1.?d(e，)

-------nr=-----------ar=

rin,.「r(r)r

/*(j)ff，(a)dx=f(j)dL/(/)]=——----

=曾，⑴了一曾⑹產(chǎn)

由于/(/)=e、/'(I)=-2ie‘?則f'O)=-2e'./z(0)=0?因此

/'(/)/"(z)cLr=2e

?2J。

35.【填空題】H7^=---------

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正確答案：

7C3

參考解析：8

【解析】

(arctanrur)d.r=(arctan?i/)3d.r

][2"1

(arctanM)3dw=—(2n—加(arctan

nJnn

=arctan&尸.

其中〃VWV2n.

因?yàn)閘imarctann=~.limarctan2n=弓■，所以有

4ir―84

lim(arctan=lim(arctan$,)=

U—8J-JW***OC

36.【填空題】設(shè)對(duì)任意x,有f(x+4)=f(x),且f'(x)=l+|x|,x￡[-2,2],

f(0)=l,則f(9)=.

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正確答案：

5

參考解析：2

【解析】

由/(/+4)=/(工).知y(9)二八1).而

枳分?用

因?yàn)榘送饪商?hào)?所以“外在工=0處連續(xù).用G=G-1.故〃9)?八1)■

36.【填空題】設(shè)對(duì)任意x,有f(x+4)=f(x),且f'(x)=l+|x|,xe[-2,2],

f(O)=l,則f(9)=.

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正確答案：

5

參考解析：2

【解析】

由八/+4)/(I).知/(9)—八1),而

枳分?得

因?yàn)?⑺可與?所以/(J)在Z―0處連續(xù).用C,=G=】,故/(9)=/(1)-去

37.【填空題】(I)

設(shè)/(x)=|$in(z—八'市?則//(x)"

(口)設(shè)「(工)=|'//(x2-r2)dr,/(j)是連續(xù)函數(shù),則F'(z)=；

(III)設(shè)F(z)=〃'(＞一/)山./(工)在工=0某鄰域內(nèi)可導(dǎo)?且/(O)=0,『(0)=1.

則lim匯

上…X

(1\)設(shè)￡?([)=—d/.p(x)=|(1+/)df,則lim

J0IJo…

/Intdt

(V)極限lim一；----=________;

ix-------

arctand+/)d/\du

(\1)極限limJ—八--------1—=

LO1(1-cosJT)

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正確答案:

151萬(wàn)

22

參考解析：(I)sinx；(II)xf(x);(111)4.(IV)(V)'8；(VI)?

【解析】

(I)

sin(x-/)2d/1sinuJdu=sinMd"，故

f(x)=關(guān)「sinu2du=sinx2.

(ID

tf{x2—t2)d/y|/(x2—t2)d(x2—Z2)

i'".f<U)du=-yj

故F*(x)=f(.u)duj=x/Cz1).

(Ill)利用(II),有-

lim曄=lim/把二lim紂

4四，一。4八'4，

(IV)

4xJ

q—I?I.imcosx?1h.ms--in---x-?tl*im-l-n-(-c--os；---x-)-i

——1lti.m------s--i-n--x--———1.

4Z.r?cosxa

(VI)

rf

arctan(1+f)d/duarctan(14-/)d/

limd?”——―--「?’?=lim--------------------

“7x(l-cosx)“73?

yx

2JT?arctan(14-x1)x

=Rhm-----------；----------小

3,rb

38［填空題］曲線"="in'>0.()43n)的弧長(zhǎng)…

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正確答案：

參考解析：,?

解

na[sin'3aJsin:tdt-

39.【填空題】由曲線y=lnx與兩直線y=(e+l)-x及y=0所圍平面圖形的面積

S=

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正確答案：

3

參考解析：。

【解析】

如圖3—2所示,

S=fC(e+1)-j—e,]dy=言，

JoL

Ea

或S=Inxdx+(e+1—x)dr=—.

J1JeL

40.【填空題】

設(shè)在上軸的區(qū)間1?1]上有根K度為1的細(xì)棒,若冗線密度=21+1.則該

細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)/=J

潘查看答梟解析后對(duì)本題進(jìn)行判斷：答對(duì)了答錯(cuò)了

正確答案：

7

參考解析：12

【解析】

[xp(x)(Lr|x(2x4-1)<Lr.

由細(xì)棒的質(zhì)心坐標(biāo)公式?得J=S,-----------=-----------------------&

|p(j()(Lrj(2x4-1)dr

41.【填空題】

已知|C山浮則曲線y=(51+9)|，/山+(7L3)「J山的斜漸近線

程為.

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正確答案：

參考解析：'「彳--

【解析】_

由于|e'd/~~~~|c*'(-du)"fe,du?g?故

J-J?」?幺

ed/-51e"dz=，*?

M=lim(y-ktx)=—vx?r)

■(_9je1d/-3je,d/)+limx(5je，山+71e'd/一、G)

71e，dr—5je」dr-vn

=_6Vic+lim■，■”■■工?■?

同理?可求海

k：=lim>=-、x.d=lim(y-t-vKX)=6v7,