高三數(shù)學(xué)考前輔導(dǎo)（教師）

江蘇省啟東中學(xué)2012屆高三考前輔導(dǎo)材料（數(shù)學(xué)科）

第一篇高考數(shù)學(xué)考前輔導(dǎo)及解題策略

數(shù)學(xué)應(yīng)試

一、考前注意什么？

1.考前做“熟題”找感覺

挑選部分有代表性的習(xí)題演練一遍，體會(huì)如何運(yùn)用基礎(chǔ)知識(shí)解決問(wèn)題，提煉具有普遍性

的解題方法，以不變應(yīng)萬(wàn)變最重要。掌握數(shù)學(xué)思想方法可從兩方面入手：一是歸納重要的數(shù)

學(xué)思想方法；二是歸納重要題型的解題方法。還要注意典型方法的適用范圍和使用條件，防

止形式套用時(shí)導(dǎo)致錯(cuò)誤。順應(yīng)時(shí)間安排：數(shù)學(xué)考試安排在下午，故而考生平時(shí)復(fù)習(xí)數(shù)學(xué)的時(shí)

間也盡量安排在下午時(shí)段。每天必須堅(jiān)持做適量的練習(xí)，特別是重點(diǎn)和熱點(diǎn)題型，保持思維

的靈活和流暢。

2.先易后難多拿分

改變解題習(xí)慣：不要從頭到尾按順序做題。無(wú)論是大題還是小題，都要先搶會(huì)做的題，

接著搶有門的題，然后才拼有困難的題，最后再摳不會(huì)的題。先搶占有利地勢(shì)，可以保證在

有限的時(shí)間內(nèi)多拿分。

3.新題難題解不出來(lái)先跳過(guò)

調(diào)整好考試心態(tài)，有的同學(xué)碰到不會(huì)做或比較新穎的題就很緊張，嚴(yán)重影響了考試情緒。

高考會(huì)出現(xiàn)新題，遇到難題或新題時(shí)，要學(xué)會(huì)靜下來(lái)想一想，如果暫時(shí)還想不出來(lái)，跳過(guò)去

做另一道題，沒準(zhǔn)下道題目做出來(lái)后你已經(jīng)比較冷靜了，那就再回過(guò)頭來(lái)解答。在近期復(fù)習(xí)

中，抓容易題和中檔題，不宜去攻難題。因?yàn)檫@段時(shí)間做難題，容易導(dǎo)致學(xué)生心理急躁，自

信心喪失。通過(guò)每一次練習(xí)、測(cè)試的機(jī)會(huì)，培養(yǎng)自己的應(yīng)試技巧，提高得分能力。

二、考時(shí)注意什么？

1.五分鐘內(nèi)做什么

①清查試卷完整狀況，清晰地填好個(gè)人信息。

②用眼用手不用筆，看填空題要填的形式，如是易錯(cuò)做好記號(hào)，為后面防錯(cuò)作準(zhǔn)備。對(duì)

大題作粗略分出A、B兩類，為后面解題先易后難作準(zhǔn)備。

③穩(wěn)定情緒，一是遇到淺卷的心理準(zhǔn)備，比審題，比步驟，比細(xì)心；二是遇到深卷的心

理準(zhǔn)備，比審題，比情緒，比意志；碰到深卷堅(jiān)信：江北考生難江南考生更難，啟中

考生不會(huì)則他人更不會(huì)，更難下手。

2.120分鐘內(nèi)怎樣做

①做到顆粒歸倉(cāng)，把會(huì)做的題都做對(duì)是你的勝利，把不會(huì)做的題搶幾分是你的功勞

審題寧愿慢一點(diǎn)，確認(rèn)條件無(wú)漏再做下去。

解題方法好一點(diǎn)，確認(rèn)路子對(duì)了再做下去。

計(jì)算步驟規(guī)范一點(diǎn)，錯(cuò)誤常常出在“算錯(cuò)了”計(jì)算的時(shí)候我們的草稿也要寫好步驟，確

認(rèn)了再往下走.

考慮問(wèn)題全面一點(diǎn)，提防陷阱，注意疏漏，多從概念、公式、法則、圖形中去考察，尤

其是考察是否有特例，考慮結(jié)論是否符合題意，分類要明，討論要全。

②盯住目標(biāo)，適度考慮時(shí)間分配，保證總分。

(1)高考試題設(shè)置的時(shí)候是14道填空題、6道大題。應(yīng)該堅(jiān)持由易到難的做題順序。盯

住填空題前10題確保正確。盯住大題前3題，確?；A(chǔ)題不失分。關(guān)注填空題后4

題嚴(yán)防會(huì)而放棄，適度關(guān)注大題后三題，能搶多少是多少。

(2)填空題(用時(shí)35分鐘左右)：解答題(用時(shí)在85分鐘左右)：15—16題防止犯運(yùn)算

和表述錯(cuò)誤，平均用時(shí)10分鐘左右。17-18題防止犯審題和建模錯(cuò)誤，平均用時(shí)在

15分鐘左右。19—20題防止犯第一問(wèn)會(huì)而不做和以后的耗時(shí)錯(cuò)誤，平均用時(shí)在17分

鐘左右。加試題前二題不會(huì)難，是概念和簡(jiǎn)單運(yùn)算，要細(xì)心又要快，用時(shí)在12分鐘左

右；第三題也不太難，是計(jì)算與證明，但要講方法，用時(shí)10分鐘左右；第四題有難度,

用時(shí)在10分鐘左右。

(3)要養(yǎng)成一個(gè)一次就作對(duì)一步到位的習(xí)慣。我做一次就是正確的結(jié)論，不要給自己回

過(guò)頭來(lái)檢查的習(xí)慣。高考的時(shí)候設(shè)置一個(gè)15分鐘的倒數(shù)哨聲，這就是提醒部分考生把

會(huì)做的題要寫好。

同學(xué)們，高考迫近，緊張是免不了的，關(guān)鍵是自我調(diào)整，學(xué)會(huì)考試，以平和的心態(tài)參加考試,

以審慎的態(tài)度對(duì)待試題，以細(xì)心的態(tài)度對(duì)待運(yùn)算，以靈動(dòng)的方法對(duì)待新穎試題，只有好問(wèn)、

好想、好做、善探究、善反思、善交流才能在最后階段有提高、有突破，才能臨場(chǎng)考出理想

的成績(jī)。

考試是為了分?jǐn)?shù)，會(huì)做的題不失分就是成功的考試。

祝同學(xué)們高考數(shù)學(xué)取得高分！

江蘇省啟東中學(xué)2012屆高三數(shù)學(xué)備課組

一、填空題：

1.已知函數(shù)f(x)=ln(x+S?百),若實(shí)數(shù)a,b滿足f(a)+f(b-l)=0,

則a+b等于.1

2.已知集合A={x|變口<0}，且2GA,3史A,

x-a

[1-L)U(231

則實(shí)數(shù)a的取值范圍是03'2

—+ax(x<1)

3.己知函數(shù)/(x)=〈，若存在和々€尺，玉力/，使/(芯)=/(X2)成立,

ax-\(x>1)

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是.。42.

|lgx|,x>0.

4.設(shè)定義域?yàn)镽的函數(shù)/。)=<:cz則關(guān)于x的函數(shù)y=2/2(x)-3/(x)+l

-x~—2x,x<0

y

的零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.

解：由y=2/2(x)-3/(x)+l=0=f(x)號(hào)或f(x)=l,如圖畫JUl=l/2

出f(x)的圖像，由f(x)=Wnx有4個(gè)值；由f(x)=lnx有3

故共有7個(gè)零點(diǎn).

5.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)集A={(x,)，)|/+y2Wl}8={(x,y)|-lWxWl,-lWyWl}，

則點(diǎn)集Q={(x,y)|x=X+%,y=y+%，(X，X)”,(9,%)@B}所表示的區(qū)域的面積

為.

解：xi=x-x2,yi=y-y2?代入才+4公,得(工-馬產(chǎn)+(、-%)*1，

表示以點(diǎn)以z,%)為圓心，1為半徑的圓以及內(nèi)部,而點(diǎn)(xzyJeB,即點(diǎn)

(我,丫2)在正方形MNKL的周界及內(nèi)部，如圖為點(diǎn)集Q所表示的區(qū)域，它

包含12個(gè)單位正方形和4個(gè)四分之一圓弧，故面積為12+兀.

2111

6.如圖：已知樹頂/離地面一米，樹上另一點(diǎn)8離地面一米，某人在離地面

22

3

3米的，處看此樹，則該人離此樹米時(shí)，看46的視角最大.6

2

2

7.在AA8C中，角A、B、C的對(duì)邊分別為“，b，c且cos2c=1—咚，

a"

111

則rll-----+------=___________.-

tanAtanC2

解：cos2C=l-2sin2C=l---=>sin2(9=—

a~a~

?：sinC>0,/.sinC=—=、,出'=sinAsinC=2sinAcosC+2cosAsinC

asinA

..一八2cosC2cosAi111

?/smAsinC0/.---------4-----------=1-------H---------=—

sinCsinAtanAtanC2

8.在周長(zhǎng)為16的三角形ABC中，AB=6,A,8所對(duì)的邊分別為a,b,

則他cosC的取值范圍是.[7,16)

解：以他所在直線為x軸，以A8的中垂線為丫軸建立平面直角坐標(biāo)系，

由題意得：C4+CB=10>Afi=6,所以由橢圓定義的點(diǎn)C的軌跡是以AB為焦點(diǎn)的橢圓(除

長(zhǎng)軸兩端點(diǎn))，設(shè)點(diǎn)C(x,y),則點(diǎn)C的軌跡方程為：—+Z=1,+[16,25),

2516

而a6cosc=CB\CA=(-3-x,-y)[J3-x,-y)=x2+y2-9e[7,16),

即所求的取值范圍為[7,16)。

9.己知4、8是橢圓E+￡=l的長(zhǎng)軸端點(diǎn)，。為坐標(biāo)原點(diǎn)，。為橢圓上不同于4、8的任

2516

意一點(diǎn)，若P為線段0C上的動(dòng)點(diǎn)，則(而+而)?前的最小值是.

【審題指導(dǎo)】要求向量的數(shù)量積的最值問(wèn)題，一般都是引入一個(gè)變量，設(shè)加=/無(wú)，將

所求的數(shù)量積轉(zhuǎn)化為這個(gè)變量的函數(shù)，再利用函數(shù)知識(shí)求解。而雙是一個(gè)沒有確定的向

量，因此要應(yīng)用橢圓的幾何性質(zhì)，這樣才能使得問(wèn)題得到解決.

分析：如圖，設(shè)加=f無(wú)，則(而+而).元=%

2PO-PC=-2tOC(OC-tOC)=2(產(chǎn)-t)OC=2[(z-l)2-1]OC2,)

所以當(dāng)r=,，反'=16時(shí)，(可+而).定有最小值-8.

2

V2

10.手表的表面在一平面上.整點(diǎn)1,2,…，12這12個(gè)數(shù)字等間隔地分布在半徑為J的

2

圓周上.從整點(diǎn)i到整點(diǎn)(i+1)的向量記作￡也+1，則他+，2,3”3,4+…”2

=.6拒-9

11.已知平面內(nèi)兩點(diǎn)MN,點(diǎn)例(2+5cos6,5sin。)，MN=1,過(guò)N作圓C：

(x-2)2+y2=4的兩條切線NE”NF,切點(diǎn)分別為Ej,則麗.標(biāo)的最小值

為.答：6

12.稱四個(gè)面均為直角三角形的三棱錐為“四直角三棱錐”，若在四直角三棱錐SABC中，

NSAB=/SAC=NSBC=90°,則第四個(gè)面中的直角為.ZABC

13.在棱長(zhǎng)為1的正方體A5CO—AgCQ中，若點(diǎn)尸是棱上一點(diǎn)，則滿足1PA+|PC；|=2

的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為.6

14.下列命題中，正確命題的序號(hào)為④⑤

①經(jīng)過(guò)空間任意一點(diǎn)都可作唯一一個(gè)平面與兩條已知異面直線都平行；

②己知平面a,直線a和直線b,且aca=a,0_La,則b_La；

③有兩個(gè)側(cè)面都垂直于底面的四棱柱為直四棱柱；

④三棱錐中若有兩組對(duì)棱互相垂直，則第三組對(duì)棱也一定互相垂直；

⑤三棱錐的四個(gè)面可以都是直角三角形.

15.直線x=±〃z（O<加<2）和y=把圓尤2+y1=4分成四個(gè)部分，

則（k2+l）nz2的最小值為.4

【解析】：數(shù)形結(jié)合得：兩直線的交點(diǎn)在圓外，攵與“滿足的關(guān)系為：（公+1）加224

所以（％2+1）旭2的最小值為4。

【考查】：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系、直線與直線的交點(diǎn)、直線與圓的交點(diǎn)等，利用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)

思想。（原創(chuàng)）

16.已知點(diǎn)P是直線/:辦+y=l上任意一點(diǎn)，直線/垂直于直線y=—x+加，即是圓M：

f+（y-2）2=l的直徑，^PE.PF的最小值為____________.【答案】：1

-2

【解析】：設(shè)點(diǎn)P（x,y）,則而?府=（而+礪）?（兩'+而）=

（JPM+ME）-（PM-ME）=PM2-ME2=x2+（y-2）2-\,因/：奴+y=1垂直于直線

y^-x+m,則。=1,所以/:x+y=1由點(diǎn)P在直線上，所以x+y=l,即x=l-y,

由此可得獨(dú).麗=f+（x+l）2—1=2X2+2X=2（X+』）2—當(dāng)x=-,時(shí)，取得最小

222

值為—.

2

x-y+2>0

17.過(guò)平面區(qū)域7+220內(nèi)一點(diǎn)P作圓。：/+,2=1的兩條切線，切點(diǎn)分別為AB,

x+y+240

9

記NAP6=a,則當(dāng)a最小時(shí)cosa=.【答案】：—

【解析】：當(dāng)P離圓。最遠(yuǎn)時(shí)a最小，此時(shí)點(diǎn)尸坐標(biāo)為：（T,—2）記NAPO=Q,由切線性

質(zhì)得：在三角形0PA中：si〃/?=X5又因?yàn)閏osa=l-2sin24，計(jì)算得cosa=2

1010

22

18.已知橢圓c:5+y2=i的兩焦點(diǎn)為F},F2，點(diǎn)2%,%）滿足0<￡+$<1,則

I|+|「入1的取值范圍為，直線當(dāng)+y0y=i與橢圓c的公共點(diǎn)個(gè)數(shù)o

[2,272）,0

2222

19.設(shè)A、B分別為橢圓0+方=1（">8>0）和雙曲線[一方=1（。>°力>°）的公共頂

點(diǎn)，P、M分別是雙曲線和橢圓上不同于A、B的兩動(dòng)點(diǎn)，且滿足/+麗=%(戒+麗)，

其中Xe尺網(wǎng)>1,設(shè)直線AP、BP、AM、BM的斜率分別為仁、h、/、右，則尢+與=5,

貝ljk3+女4=?—5

22

20.設(shè)0為坐標(biāo)原點(diǎn)，耳，F(xiàn)2是雙曲線勺-1r=1(a>0,b>0)的焦點(diǎn)，若在雙曲線上存

在點(diǎn)P,滿足/耳PF?=60°,|OP|=J7a,則該雙曲線的漸近線方程為。

近x±y=o

y22

21.設(shè)橢圓。=+斗v=1(〃>6>0)的上頂點(diǎn)為4,橢圓C上兩點(diǎn)RQ在x軸上的射影分別為左

焦點(diǎn)片和右焦點(diǎn)尸2,直線尸Q的斜率為I"，過(guò)點(diǎn)A且與A八垂直的直線與工軸交于點(diǎn)3,

AARB的外接圓為圓M.若直線3x+4y+!〃2=0與圓M相交于瓦尸兩點(diǎn)，且

4

MEMF=-\a2,則橢圓方程為.—+^-=1

2------------1612

22。不等式log2。-1)-陛2(21-2)<2的解集是o

提示：設(shè)log2(2*—1)=y,則y(y+l)<2,解得一2<y<l,所以xG(log?j,log??)。

23.設(shè)實(shí)數(shù)x、y滿足x2+2xy—1=0,則x+y的取值范圍是?

24.設(shè)正項(xiàng)數(shù)列瓜｝的前n項(xiàng)和是S.，若｛aj和｛低｝都是等差數(shù)列,且公差相等,

則Si-__________。答案：一

4

3*a-3,a>3

25.已知數(shù)列｛an｝滿足：4=七一(，〃eN),%M=”"，則數(shù)列｛aj的前4m+4

2-12a?,a?<3

項(xiàng)的和§4,“+4=。答案：12(2：7)

26.已知等比數(shù)列｛〃〃｝的前10項(xiàng)的積為32,則以下命題中真命題的編號(hào)是.

①數(shù)列｛4｝的各項(xiàng)均為正數(shù)；②數(shù)列｛4｝中必有小于血的項(xiàng)；

③數(shù)列｛?！埃墓缺厥钦龜?shù)；④數(shù)列｛《,｝中的首項(xiàng)和公比中必有一個(gè)大于1.

答案：③

27.已知4)是AABC的中線，BC=3,N84D=45°,NCAD=30",則AABC的面積的最大值

28.已知數(shù)列｛叫滿足q=lq=]j"若q=2012,%11

2.

22M

、33

305

3

/M7

23

則￡=20或1026339

5

7

29.對(duì)于大于或等于2的自然數(shù)m的n次基進(jìn)行如圖的方式“分裂”，仿此,11

Z725

4、34

2q27

若添的“分裂”中最小的數(shù)是211,則次的值為.29

分析：22=1+3,2'=3+5,2"=7+9,3=1+3+5,33=7+9+11,34=25+27+29

不難得出規(guī)律：2"可以表示為兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和；3"可以表示為三個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和；5"可以

表示為五個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和；nf可以表示為m個(gè)連續(xù)奇數(shù)之和，即

211+213+…+[211+2(m-1)]=加3'm3-m1-210m=0'vm>OAm=15

30.先后投擲一顆質(zhì)地均勻的骰子兩次，得到其向上的點(diǎn)數(shù)分別為〃?，〃，設(shè)向量)=(團(tuán),〃)，

則滿足<5的概率為?！?/p>

I?36

31.設(shè)點(diǎn)33在平面區(qū)域。=｛(a,b)||a|Wl,W1｝中按均勻分布出現(xiàn)，則橢圓

=+%-=1(a>b>0)的離心率e<■的概率為?！?/p>

提示：屬幾何概型的概率問(wèn)題，D的測(cè)度為4；e<@，則,<2<1,

22a

則d的測(cè)度為g.?.尸=喘畿

32.已知定義在R上的函數(shù)/。)=/(公-3),若函數(shù)g(x)=/(x)+r(x),x"0,2],在x=O處

取得最大值，則正數(shù)。的范圍.(0,|]

二、解答題：

1.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A在X軸正半軸上，點(diǎn)B在第二象限內(nèi)，直線AB的傾斜角

為包,0B=2,設(shè)乙4。8=/，€佰,巧。

4U4J

⑴用0表示0A⑵求OA[VB的最小值。

OA2

解：⑴在MBS,NA08=a」B=苫-0,由正弦定理得：=

44

=OA=2(cos0+sin0)=2叵sin(6+—)

4

(2)OATOB=272sin(。4-—)x2xcos0-4(cos2。+sin6+cos0)=2(1+cos2。)+2sin20

4

=2瓜皿2。+為+2

4

6嗎，爭(zhēng)26+(e耳苧.?.(弧函面=2-272

2.已知AABC的外接圓半徑是1,角A,B,C的對(duì)邊分別是a,0,c,

向量m=3,4cosB\n=(cosA,b)滿足正//日，

⑴求/=sinA+sing的取值范圍；⑵若實(shí)數(shù)不滿足成x=a+b,試確定》的取值范圍。

解：(1)機(jī)〃〃=>=4cosBcosA

AABC的外接圓的半徑為1,—^―=—^―=2:.a=2s\nA,b=2sinB4sinAsinB=4cosAcosB

sinAsinB

cos(A+8)=0nA+8=匹「」=sinA+sin8=sinA+cosA=0sin(A+—)

八.兀九A冗37r

0<A<——<A+—<—/.I<t<42o

2444

2sinA+2sinBsinA+sinB_t

abx=a+bnx=

⑵由4sinAsinB2sinAsinBt1-1

其中一；隨飛（1,四］單調(diào)遞增，可得X的取值范圍是［亞，田）。

-^―)

3.已知OM=(cosa,sina)，ON=(cosx,,sinx)，PQ=(cosx,-sinx+

5cosa

當(dāng)costz=［—時(shí)，求函數(shù)了=麗?而的最小正周期及值域；

(1)

若血?麗=u,OMIIPQ（。一幻和（。+幻都是銳角，求COS2a的值。

13

4

解：(1)由cosa=—；——，得sinxwO得x手k兀，kez。故

5sinx

y=ON?PQ=cos?x=1+c；s2a,“*ki,&Ez)。T=兀，值域［Oj)(2)由

——?—?125——?—?4

OM?ON=cos((x-x)=—,得sin(a—x)=w，由OM||PQ得sin(a+幻=丁得

/、3Mcr、/、11235416

cos@+x)=-,故cos2a=coq(a-x)+(a+x)=—x---------x—=—?

5"J13513565

4.在如圖的多面體中，EEL平面AE8,AELEB,AD//EF,EF11BC,

8C=2AO=4,EF=3,AE=BE=2,G是8C的中點(diǎn).

(I)求證：AB〃平面DEG；

(II)求證：BDLEG；

(III)求多面體ADBEG的體積.

解：(1)證明：：4。//所,￡///8。，；.4。//3。.

又??.BC=2AD,G是6C的中點(diǎn)，:.ADjG,

四邊形AOG8是平行四邊形，...AB//DG.

??,ABe平面DEG,DGu平面。EG,AB//平面DEG.

(H)證明：平面AEB，AEu平面AE8,?*.EFVAE,

又AELEB,EBCEF=E,EB,EFu平面BCFE,；.AE上平面BCFE.

過(guò)。作。H//AE交EF于H,則平面BCFE.

EGu平面BCFE,；.DH1EG.

?.?AO//E￡D”//AE,.?.四邊形平行四邊形，???E〃=AO=2,

；.EH=BG=2,又EH//BG,EHLBE,二四邊形為正方形，

BHVEG,

又BHCDH=H,BHu平面BHD，O”u平面5〃。，二EG1■平面

■:BDu平面BHD,，BDLEG.

(Ill)平面AEB,AD〃EF,，平面AEB，

由(2)知四邊形6G”E為正方形，8E_L8C.

._11448

VADBEG=^D-AEB+VD-BEC=§>^MB￡'+T,AE=—+—=—o

5.如圖，已知四棱錐P—ABC。的底面是菱形，N8CD=60°，點(diǎn)E是邊的中點(diǎn),

AC與DE交于點(diǎn)O,PO_L平面A6CD.

(1)求證：PD上BC；

(2)在線段AP上是否存在一點(diǎn)尸，使得5尸〃平面PDE?若存在，求四棱錐E-45ED與

四棱錐P-43CD的體積之比；若不存在，試說(shuō)明理由.

解：(1)在菱形A8CO中，連接。氏

因?yàn)镹BCr>=60°，

故是等邊三角形.

因?yàn)镋是BC邊的中點(diǎn)，所以O(shè)ELBC

由于PO_L平面ABCZ),BCu平面ABCZ),

所以POJ_6C,而?！辏嚎?0=0,所以BCL平面PDEA

又由于PDu平面PDE,所以PDLBC.

(2)在線段AP上存在一點(diǎn)F,使得M〃平面PDE,

取AD中點(diǎn)M,AP中點(diǎn)F,連接,

F.

因?yàn)镸￡>〃BE,MO=LBC=BE,

2

所以BM//DE又<Z平面PDE,

DEu平面PDE,所以〃平面PDE,

同理可得MF〃平面PDE

又因?yàn)?所以平面RWB〃平面包火

因?yàn)樗箄平面硯/，所以3尸〃平面PDE

因?yàn)槭瑸锳P中點(diǎn)，

所以于是四棱錐尸-ABED的高是四棱錐P-ABC。的高的一半,

3

又因?yàn)樗睦忮F尸-鉆田的底面積是四棱錐尸-鉆8的底面積1’

所以四棱錐4曲與四棱錐P-ABCD的體積之比是-.

8

法二:事實(shí)上，過(guò)點(diǎn)8作3G〃OE交AC于G,過(guò)G作G尸〃OP,交AP于R,連所,

因?yàn)?G〃OE,BGu平面PDE,DEu平面PDE,所以3G〃平面RDE,

因?yàn)镚尸Z平面QPu平面PQE,所以GF〃平面NDE,

又因?yàn)锽GCG尸=G,所以平面皮牙〃平面PQE

因?yàn)镸u平面BGF,所以肝〃平面PDE；..............12分

由（I）知。為等邊&BCD的中心，于是G為等邊△/$￡）

的中心，所以AG=GO=OC,即G為A0中點(diǎn)，所以尸為

AP中點(diǎn)，于是四棱錐F-ABED的高是四棱錐P-ABCD

的高的一半，又因?yàn)樗睦忮F產(chǎn)一a的底面積是四

棱錐P-MCD的底面積三，所以四棱錐廠一

4

3

與四棱錐尸-43CD的體積之比是

8

6.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某食品企業(yè)一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投訴的次數(shù)為0,1,2的概率分別為0.4,0.EI0.1（I）

求該企業(yè)在一個(gè)月內(nèi)被消費(fèi)者投?訴不超過(guò)1次的概率；（II）假設(shè)一月份與二月份被消費(fèi)

者投訴的次數(shù)互不影響,求該企業(yè)在這兩個(gè)月內(nèi)共被消費(fèi)者投訴2次的概率。

解答一（I）設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次數(shù)為0”事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次

數(shù)為1”.?.P(A+B)=P(A)+P(3)=0.4+0.5=0.9

n設(shè)事件4表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為0”事件及表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為1”

事件G表示“第i個(gè)月被投訴的次數(shù)為2”事件D表示“兩個(gè)月內(nèi)被投訴2次“

二產(chǎn)（4）=04尸（瓦）=05尸（G）=o.i

（i=L2）Q兩個(gè)月中,一個(gè)月被投訴2次,另一個(gè)月被投訴o次的概率為尸（4G+4G）一、

二月份均被投訴1次的概率為

尸（4瑪）P?）=尸（4G+4G）+尸（及昂）=尸（月。2）+尸（4G）+尸（瑪瑪）

由事件的獨(dú)立性的p（0）=O.4xO.l+O」xO.4+O.5xO.5=O.33

解答二（I）設(shè)事件A表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴2次”設(shè)事件B表示“一個(gè)月內(nèi)被投訴的次

數(shù)不超過(guò)1次”

Q“（A）=0.1,P（B）=1-P（A）=1—0.1=0.9

（II）同解答一。

7.已知關(guān)于x的一元二次函數(shù)/（月=辦2-4法+1.

（I）設(shè)集合P={1,2,3}和0={-1,1,2,3,4},分別從集合P和Q中隨機(jī)取一個(gè)數(shù)作

為〃和。，求函數(shù)y=/（x）在區(qū)間口,+QO）上是增函數(shù)的概率；

x+y-840

（II）設(shè)點(diǎn)（a,b）是區(qū)域,x>0內(nèi)的隨機(jī)點(diǎn)，求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間［1,+功上

7>°

是增函數(shù)的概率。

解：（I）???函數(shù)/。）=奴2-4bx+l的圖象的對(duì)稱軸為x=絲，

a

要使/W=ax2-4bx+l在區(qū)間［1,+00）上為增函數(shù)，

當(dāng)且僅當(dāng)a>0且竺<1,即2〃<a

a

若則1,

若〃=2則6=-1,1

若。二3則〃二一1,1；

?,?事件包含基本事件的個(gè)數(shù)是1+2+2=5

所求事件的概率為』=1

153

（H）由（I）知當(dāng)且僅當(dāng)2Z?〈。且a>0時(shí)，

函數(shù)f(x)=以2-4法+1在區(qū)是間工物)上為增函數(shù)，

a+b-S<0

依條件可知試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?lt;(。力)<。>0

[b>0

構(gòu)成所求事件的區(qū)域?yàn)槿切尾糠帧?/p>

a+b-S-0

由a得交點(diǎn)坐標(biāo)為二,各，

b=—33

I2

.??所求事件的概率為1O

-x8x-

p=232

13

x8x8

2

8.某公園里有一造型別致的小屋，其墻面與水平面所成的角為6,小屋有一扇面向正南的窗

戶，現(xiàn)要在窗戶的上方搭建一個(gè)與水平面平行的遮陽(yáng)篷，如圖1所示.如圖2是遮陽(yáng)篷的截

面示意圖，48表示窗戶上、下邊框的距離，AB=m,"表示遮陽(yáng)篷.已知該公園夏季正午太陽(yáng)

最高這一天，太陽(yáng)光線與水平面所成角為a,冬季正午太陽(yáng)最低這一天，太陽(yáng)光線與水平面

所成角為尸(?>/?).若要使得夏季正午太陽(yáng)最高這一天太陽(yáng)光線不從窗戶直射進(jìn)室內(nèi)，而

冬季正午太陽(yáng)最低這一天太陽(yáng)光線又恰能最大限度地直射進(jìn)室內(nèi)，那么遮陽(yáng)篷的伸出長(zhǎng)度CD

和遮陽(yáng)篷與窗戶上邊框的距離比1各為多少？

圖2

解：如圖所不，設(shè)=CD=y，

依題意4BDC=。.在△比?中，ABCD=7i-6,

/CBD=ji:-/BDC-4BCD=e-0,

xy

由正弦定理得①

siny0-sin(<9-/?)?

在△力⑦中，ZCAD=7r-ZACD-ZCDA=0-a,

AB=m,AC=m+x,

由正弦定理得竺上二=一—,②

sinasin(^-a)

xsin(，一1)_(zn+x)sin(8-a)

由①②得所以

sinpsina

msin(^-a)sin/?

sinasin(8-/7)-sin[3sin(6-a)

_sin(6—夕)—msin(。一a)sin(。一萬(wàn))

y-x=

sinPsinasin(^-/3)-sin/3sin(^-a)

答:遮陽(yáng)篷的伸出長(zhǎng)度CD為-------msin(°-a)sin/7------,遮陽(yáng)篷與窗戶上邊框的距離

sinasin(6一尸)一sinpsin(6-a)

/%sin(6-a)sin(。-0)

BC為

sinasin(8-/7)-sin0sin(6-a)

9.某地建一座橋，兩端的橋墩已建好，這兩墩相距加米，余下工程只需要建兩端橋墩之間的

橋面和橋墩，經(jīng)預(yù)測(cè)，建一個(gè)橋墩的工程費(fèi)用為256萬(wàn)元，距離為x米的相鄰兩橋墩之間的

橋面工程費(fèi)用為(2+4)》萬(wàn)元。假設(shè)橋墩等距離分布，所有橋墩都視為點(diǎn)，且不考慮其他

因素，記余下工程的費(fèi)用為y萬(wàn)元。

(1)試寫出y關(guān)于％的函數(shù)關(guān)系式；

(2)當(dāng)〃z=640米時(shí)，需新建多少個(gè)橋墩才能使y最小？

解：(1)設(shè)需要新建〃個(gè)橋墩，("+1)X=〃7即〃=一一1

X

所以y=/(x)=256〃+(〃+1)(2+y[x)x

=256(--1)+—(2+V^)x

XX

=256"+根6+2m-256

x

256m1—gm|

(2)由(1)知，f\x)=——+-7HX2=--(x2-512)

x222x2

令/'(x)=0,得j=512,所以x=64

當(dāng)0<x<640時(shí)/'(x)<0,/(x)在區(qū)間(0,M)上為減函數(shù)

當(dāng)64<x<640時(shí)，/'(幻>0,/(x)在區(qū)間(64,640)上為增函數(shù)

所以/（x）在X=64處取得最小值，此時(shí)，〃=絲ni—1=r翳）4（l-1=9

x64

答：需新建9個(gè)橋墩才能使y最小.

10.建造一條防洪堤，其斷面為等腰梯形，腰與底邊成角為60。（如圖），考慮到防洪堤堅(jiān)固

性及石塊用料等因素，設(shè)計(jì)其斷面面積為6括平方米，為了使堤的上面與兩側(cè)面的水泥用料

最省，則斷面的外周長(zhǎng)（梯形的上底線段BC與兩腰長(zhǎng)的和）要最小.

（1）求外周長(zhǎng)的最小值，此時(shí)防洪堤高h(yuǎn)為多少米？

（2）如防洪堤的高限制在［3,2g］的范圍內(nèi)，外周長(zhǎng)

最小為多少米？

解(1)6j3=-(AD+BC)h,AD=BC+2Xhcot60°=BC+^^/7,6百=工(23C+逋/?)〃，

2323

BC=巫一&h.設(shè)外周長(zhǎng)為/,則/=2AB+BC=-^—+迪—立力，

h3sin60°h3

=①+述26后

h

當(dāng)百力=述，即〃=6時(shí)等號(hào)成立.外周長(zhǎng)的最小值為6亞米，此時(shí)堤高人為幾米.

h

⑵內(nèi)力+孚=仃（/7+3）,設(shè)344<〃2<2百，則，”+>％一，

他一九）（1-各）>。，/是人的增函數(shù)，

餅2

/min=6X3+竽=5^（米）.（當(dāng)〃=3時(shí)取得最小值）

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知圓G：（x+l）2+丁=1,圓&：（x-3）2+（y-4）2=1.

（1）若過(guò)點(diǎn)G（-i，o）的直線被圓c2截得的弦長(zhǎng)為

5,求直線的方程；

（2）設(shè)動(dòng)圓c同時(shí)平分圓G的周長(zhǎng)、圓G的周長(zhǎng).

①證明：動(dòng)圓圓心c在一條定直線上運(yùn)動(dòng)；

（第16題）

②動(dòng)圓c是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)？若經(jīng)過(guò)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)：若不經(jīng)過(guò)，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【解析】：(1)設(shè)直線的方程為丫=?》+1),即丘-y+無(wú)=0.因?yàn)橹本€被圓C?截得的弦長(zhǎng)

6|4^-4|

為，而圓C的半徑為1,所以圓心C,(3,4)到：丘-y+《=0的距離為^^=三4.

化簡(jiǎn)，得12%2-254+12=0,解得“=年或上=1.

所以直線的方程為4x-3y+4=0或3x-4y+3=0.

(2)①證明：設(shè)圓心C(x,y),由題意，得Cq=CCz,即J(x+l)2+y2='*-3)2+()，-4)2.

化簡(jiǎn)得x+y-3=0,即動(dòng)圓圓心C在定直線x+y-3=0上運(yùn)動(dòng).

②圓C過(guò)定點(diǎn)，設(shè)C(m,3-m),則動(dòng)圓C的半徑為J1+CC：=/+(,〃+1了+(3-而.

于是動(dòng)圓C的方程為(工一機(jī))2+(y-3+m)2=1+(m+1)2+(3-m)2.

,_[x—y+1=0,

整理，Wx+y-6y-2-2m(x-y4-1)=0.由122,

[廠+y-6y-2=0,

X=1+yV2,X=1--yV2,

得，2或W2

[y=2+|V2；[j=2-1V2.

所以定點(diǎn)的坐標(biāo)為(l+jV2,2+1V2).

【考查】：求圓方程、圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系、兩圓位置關(guān)系等，利用數(shù)形結(jié)合、轉(zhuǎn)

化歸納、函數(shù)方程等數(shù)學(xué)思想。(改編)

12.已知。G：》2+/_%-。=0與。。2：d+y2_2x_2=0交于P、Q兩點(diǎn)，W(2,。是

直線PQ上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)。(1)求。G的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)求以0M為直徑且被直線

3x—4)，—5=0截得的弦長(zhǎng)為2的圓。3的方程；(3)過(guò)點(diǎn)。2作0M的垂線與以0M為直

徑的圓交于點(diǎn)N,請(qǐng)判斷線段0N的長(zhǎng)是否為定值？若是定值求出這個(gè)定值；若不是請(qǐng)說(shuō)

明理由。

【解析】：

(1)因?yàn)椤與。。2的公共弦PQ方程是x=a—2,而M(2,f)是X=a—2上的點(diǎn)所以

。=4,圓G標(biāo)準(zhǔn)方程為：(x°)2+2=U。