考研高等數(shù)學簡單題講義2

考研高等數(shù)學簡單題講義

第一章函數(shù)、極限、連續(xù)

§1.1函數(shù)

（乙）典型例題

一、定義域與值域

[1.1函數(shù)（乙）典型例題（1）（前）】例1.設/（x）的定義域為>0）求/（x2-l）

的定義域

解：要求一。4元2一PJ|J1-6!<X2<X2<1+6Z,

當。21時，v1-a<0,x2<14-tz,則忖《Jl+a

當0<a<1時，1一a>0,y/l-a<|x|<Jl+a

也即Jl-a<x<Jl+〃或-Jl+〃<x<-”-a

二、求復合函數(shù)有關表達式

例1.設/（%）=~r^==，求/[/（??-f（砌=fn（X）

Vl+x2

〃重復合

解：女）=上（刈=*為=后X

1+2/

若皿）』

X

則加(6=I7(、

71+AWJi+k+1*

根據(jù)數(shù)學歸納法可知，對正整數(shù)〃，fXx）=-r==^

A/1+nx2

例2.已知/'（"）=祀7,且/（1）=0,求/（X）

解：令e*=f,x=\nt,因此/'（"）=/'?）=?,

/（x）-刖=,乎必=gn2K"x

,.?/（l）=0,；./（x）=gln?x

三、有關四種性質(zhì)

[1.1函數(shù)（乙）典型例題（2）（前）】表示：該例題在1.1函數(shù)（乙）典型例題（2）

前面的位置出現(xiàn)。

[1.1函數(shù)（乙）典型例題（2）（前”例1.設尸（x）=/（x）,則下列結(jié)論正確的是

（）

（A）若/（x）為奇函數(shù)，則F（x）為偶函數(shù)

（B）若/（x）為偶函數(shù)，則—（x）為奇函數(shù)

（C）若/（x）為周期函數(shù)，則,（x）為周期函數(shù)

（D）若〃x）為單調(diào)函數(shù)，則E（x）為單調(diào)函數(shù)

解：(B)的反例/(x)=3x\F(X)=X3+1；(C)的反例/(X)=COSX+1;

E(x)=sinx+x；(D)的反例(-8,+oo)內(nèi)/(x)=2x；F(x)=/

(A)的證明：

F(x)-F(O)=[/(r)J/F(x)=F(O)+[fWtF(-x)=F(O)+「/(f)力

作變量替換u=-t

則F(-x)=F(0)+[/(-w)J(-u)

???/為奇函數(shù)，

于是尸(—x)=F(0)+￡/(“)力，=F(x)

.?.F(x)為偶函數(shù)

例2.求/=fxx

解：力(x)=e“—6一'是奇函數(shù)，

???力(-》)=廣-e*=-7,(x)

/、2(X)=ln(x+J，+1)是奇函數(shù),

,//2(-x)=In1x+Jx?+1)

X+1-X

X+yX~+1

In1—In(x+J廠+1

x

-72()

因此x(e*-er)ln(t+Jx2+1)是奇函數(shù)

于是/=卜dx+0=2卜6dx=5

【1.1函數(shù)(乙)典型例題(3)(前)】例3.設/(x),g(x)是恒大于零的可導函數(shù)，

且f,(x)g(x)-f(x)g,(x)<0,則當a<x<6時，下列結(jié)論成立的是

(A)/(x)g⑸>/(b)g(x)(B)f(x)g(a)>f(a)g(x)

(C)/(x)^(x)>f(b)g(b)(D)/(x)g(x)>/(a)g(a)

解：等價/區(qū)>/久，只需

(A)單調(diào)減少;

g(x)gS)

（B）等價/區(qū)＞￡口,只需卜皿單調(diào)增加；

g（x）g（a）|_g（x）」

（C）只需［/（x）g（x）］單調(diào)減少

（D）只需［/（x）g（x）］單調(diào)增加

現(xiàn)在工區(qū)=''（x）g（x）「."x）g'（x）＜0,所以單調(diào)減少，故（A）成

_g（x）」g-（x）g（x）

\Lc

四、函數(shù)方程

【1.1函數(shù)（乙）典型例題（3）（后）】例1.設/（x）在［0,+8）上可導，/（0）=0,

反函數(shù)為g（x）,且，=de",求/（X）。

解：兩邊對x求導得g［/（x）］/'（x）=2x"+x2e，，于是解標）=乂2+娛，,故

r（x）=（x+2）e*,/（x）=（x+lp+C,由/（0）=0,得C=-l,則

/（x）=（x+l）e'-1?

口訣（6）：正反函數(shù)連續(xù)用；最后只留原變量。

§1.2極限

（甲）典型例題

補充題型（關于無窮?。?/p>

3/2

［1.2極限（乙）典型例題（1）（前）】例1：lim+1sinyln2+n+l=0（無窮小

3n+1

量乘有界變量仍是無窮小量）

【1.2極限（乙）典型例題（1）（前）】例2：:設當Xf0時，（1一85元）111（1+12）是比心皿/'

高階無窮??；而xsinx"又是比一1）高階的無窮小，則n=（）

(A)1(B)2(C)3(D)4

解：當尤—0時，（1一cosx）ln（l+，）~?1/xsinx〃?工向ex~-X-x2

2

由4>〃+l>2可知〃+l=3,故〃=2選（B）

一、通過各種基本技巧化簡后直接求出極限

o?i+ln

例3.求lim：-----

“T82n+l+3"

解：

分子、分母用3"除之，

V

原式=lim一以二=3

w->co（

2-+1

?一1（2）”

或分子分母用3向除之，原式=lim.33=3

‘飛嚴+；

（注：主要用當舊<1時，limr"=0）

二、用兩個重要公式

【1.2極限（乙）典型例題（2）（后）】例2.求lim

解一:

lim恒半一

lim—

X+io[(x+l)/x

解二:

例3.lim(cosx)c()l

x->0

=limfl+(-sin2J-siMj(一2)

x->0L、/J

,1

e2

四、用定積分定義求數(shù)列的極限

【1.2極限（乙）典型例題⑶（中）】例1.求lim汽2〃2

+左

分析：如果還想用夾逼定理中的方法來考慮

n9+n2—//n~2+k，2'-n2+112

n~1..n-

而lim-------=—，lim------=1

n+n2+T

由此可見，無法再用夾逼定理，因此我們改用定積分定義來考慮

解：

n1〃1

=lim—V——

崎n2+k2nfrf

1+

17T

=arctanx=—

04

五、用洛必達法則求極限

“0““00”

1.二-型和——型

000

【1.2極限（乙）典型例題（4）（前）】例1.求lim且——4

sin-

n

解：高散型不能直接用洛必達法則，故考慮

lim七平等價無窮小代換lim上普

xf。sin'xIx

..1-cosx..sinx1

=hm----------=lim------=—

1。3x6x6

原式=L

6

2.“8—8“型和“0?8”型

（1cos2X

【1.2極限（乙）典型例題（5）（中）】例1.求lim——

xfsinxX2

x7-si.n7x-cos2x

解:原式=1盤

―x2~si~n2-x

1.2

x2——sin20x

=lim—4

0x4

4

2x——sin2xcos2x

lim-----------------------

34x3

1.)

x-sin4x

=lim4

2x3

1-COS4X

lim

XTO6x2

4sin4x

=lim---------

D12x

4

3

3.T"型,"0?！靶秃?8。"型

這類都是形式可化為e,ims（v）ln[/w]

而limg（x）ln[/（x）]都是"0?8”型，按2的情形處理

【1.2極限（乙）典型例題（5）（后限例1.求lim//

解：令），=第所）]n>usi/xlnx

limIny=limsin2xlnx=limx2\nx=lim=號=。

xf0+x->0+.2(/XTO*1

/.limy=e0=1

XTO+

七、用導數(shù)定義求極限

【1.2極限（乙）典型例題（6）（后）】例1設/(%)=2,求

lim+3詞―/（x0-2&）

ArfOA%

[/(/+3A%)-/(4)]-[/(.%-2Ar)-/(.%)]

解：原式=媽

Ax

=3lim//+3-)-/(X。)+2lim-2Ax)-/9)

AD3ArA、—。(-2Ax)

=3/(無。)+2/(無。)

=5/'(Xo)

=10

九、求極限的反問題

丫2-4-/7V+卜

【1.2極限(乙)典型例題(8)(中)】例1.設lim士1展\=3,求。和萬

7sin(x2-1)

解：由題設可知15(一+辦+/?)=0,

.??1+。+。=0,再由洛必達法則得

+

limx2t=lim-一2+、(用等價無窮小替換把——1換sin(/一1)

Isin(x-1)—2xcos(x-1J

可以更簡單)

2+ac

=---=5

2

a=4,b=-5

§1.3連續(xù)

（乙）典型例題

一、討論函數(shù)的連續(xù)性

由于初等函數(shù)在它的定義區(qū)間內(nèi)總是連續(xù)的，所以，函數(shù)的連續(xù)性討論多是指分段函數(shù)

在分段點處的連續(xù)性。對于分段函數(shù)在分段點處的連續(xù)性，若函數(shù)在分段點兩側(cè)表達式不同

時，需根據(jù)函數(shù)在?點連續(xù)的充要條件進行討論。

【1.3連續(xù)（乙）典型例題（1）（前）】例1.討論函數(shù)

<0

/(x)=,0,x=0

xsi?n—1,x>M0

x

在點x=0處的連續(xù)性。

解：因/(o-o)=lim/(x)=hme，=0

X->(TXT。-

/(0+0)=lim/(x)=limxsin—=0

A->0+A->0+X

/(O)=O

即有f(o-o)=/(o+o)=/(o),故f(x)在點x=0連續(xù)。

二、間斷點問題

【1.3連續(xù)(乙)典型例題⑴(前)】例1.設/(X),g(x)在(一8,+8)內(nèi)有定義，/(X)

為連續(xù)，且/(X)HO,g(x)有間斷點，則下列函數(shù)中必有間斷點的為()

g(x)

(A)g[/(x)](B)[g(x)f(C)〃g(x)](D)

/\［1,x>0

解：(A),(B),(C)的反例：取/(x)三l,g(x)=《，

-1,x<0

(D)成立的證明：用反證法

假如不然

史D=/z(x)連續(xù)，則g(x)=〃(x)/(x)連續(xù)與條件矛盾，故必有間斷點。

/(x)/⑴

三、用介值定理討論方程的根

【1.3連續(xù)(乙)典型例題(2)(后)】例1.證明五次代數(shù)方程——5x-1=0在區(qū)間(1,2)

內(nèi)至少有一個根。

證：由于函數(shù)/(x)=x5-5x-l是初等函數(shù)，因而它在閉區(qū)間［1,2］上連續(xù)，而

/(l)=l5-5xl-l=-5<0

/(2)=25-5x2-l=21>0

由于/⑴與/⑵異號,故在(1,2)中至少有一點%,使

/(*0)=。

就是說，五次代數(shù)方程/-5x-1=0在區(qū)間(1,2)內(nèi)至少有一個根。

口訣(17)：函數(shù)為零要論證，介值定理定乾坤。

【1.3連續(xù)(乙)典型例題(2)(后)】例2.設/(x)在卜,“上連續(xù)，且/(a)<a,f(b)>b,

證明：/3=%在(。力)內(nèi)至少有一個根。

證：令g(x)=/(x)—x,可知g(x)在［a,b］上連續(xù)。

g(a)=/(a)-a<0

g(b)=f(b)-b>0

由介值定理的推論，可知g(x)在(a,b)內(nèi)至少有一個零點，即/(x)=x在(4,6)內(nèi)至少

有一個根。

第二章一元函數(shù)微分學

§2.1導數(shù)與微分

(乙)典型例題

一、用導數(shù)定義求導數(shù)

［2.1導數(shù)與微分(乙)典型例題(1)(前)】例.設/(x)=(x-a)g(x),其中g(shù)(x)在

x=a處連續(xù)，求/'(a)

解：/，(?)=lim'(—'(-=11rn~~—g(。)

—2ax-aXT"x-a

二、分段函數(shù)在分段點處的可導性

例1.設函數(shù)

x2,x<1

/(x)=<

ax+b,x>1

試確定。、〃的值，使/(x)在點x=l處可導。

解：???可導一定連續(xù)，

.??/Q)在元=1處也是連續(xù)的。

由/(1-0)=lim/(x)=limx2=1

x->\~x->\~

f(l+0)=lim/(x)=lim(ax+/?)=〃+/?

x->rx->r

要使/(x)在點x=1處連續(xù)，必須有a+b=l或匕=1一。

又尸(l)=lim正上^=1而三二^=lim(x+l)=2

ax+b-1..a(x-l)

r(l)=hm''"八’=lim-----------=lim—------L=a

+'，i*x-1x-1i*x-1

要使/(x)在點x=l處可導，必須￡(1)=力⑴，即2=a。

故當a=2,A=l—a=l—2=—1時，/(x)在點x=1處可導。

三、運用各種運算法則求導數(shù)或微分

【2.1導數(shù)與微分(乙)典型例題(2)(前)】例1.設/(x)可微，y=/(lnx)-e/(*),

求dy

解：

dy=/(in⑴+/⑴力(inx)

=尸x)dx+—/z(lnx)ef^dx

x

=efM/,(x)/(lnx)+-/,(lnx)dx

x

五、高階導數(shù)

1.求二階導數(shù)

【2.1導數(shù)與微分（乙）典型例題（4）（后）】例1.設y=ln%+J/2+a2）,求了

解：

y'=------/1[x+\lx2+a2）

x+ylx2+a2V'

x+y]x2+a2IVx2+a2J

【2.1導數(shù)與微分（乙）典型例題（5）（前）】例3.設y=y（x）由方程/+V=1

所確定，求y"

x

解：2x+2yy'=0,yf=——

y

x2

yH—

〃i-y-xy''y

y=-----2-=——

yy

y2+%2_1

3―3

yy

【2.1導數(shù)與微分（乙）典型例題（5）（前）】例1.設y=—（%正整數(shù)），求y（"）Cn

正整數(shù)）

解：嚴=卜_1).?-〃+1)產(chǎn)“，〃行,

0,n>k

§2.2微分中值定理

（乙）典型例題

一、用羅爾定理的有關方法

【2.2微分中值定理（乙）典型例題（2）（中）】例2.設/（x）在［0,1］上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可導,

且3，/（x）公=/（0）

3

求證：存在Je（0,1）使廣仔）=0

~2"

證：由積分中值定理可知，存在一,1,使得

_3_

|/（x依=/（?1一9

得到/（c）=3p（x>/x=/（O）

3

對/（x）在［o,c］匕用羅爾定理，（三個條件都滿足）

故存在Je（0,c）u（0,l）,使/位）=0

【2.2微分中值定理（乙）典型例題⑸（中）】例5.設/（x）在［0,1］上連續(xù)，（0,1）內(nèi)可導,

/（0）=0,%為正整數(shù)。

求證：存在JG（0,1）使得/仔）+//⑹=/⑶

證：令g（x）=（x—l）&,4=0,b=1,則f（O）=O,g（l）=0,用模型n,存在J€（0,1）

使得

產(chǎn)（■-葉+府-1）1/侈）=0

故尸團（LL）=o

則我）+行仔）=:仔）

§2.3導數(shù)的應用

（乙）典型例題

一、證明不等式

【2.3導數(shù)的應用（乙）典型例題（1）（前）】例2.設6>。>0,求證：1/>2（士）

ab-\-a

證：令f（x）=（lnx-lna）（x+Q）-2（x-〃），（x>a）

則/（1）二—（x+6z）+（lnx-lna）-2

x

/^）=-^+-=^-^>0（x〉。）

XXX

于是可知r（x）在x>a時單調(diào)增加，又r（a）=0,/.x〉。時/'（x）〉0,這樣/（x）

單調(diào)增加。因此，6>?！?時/伍）〉/（4）=0,得證。

二、有關函數(shù)的極值

[2.3導數(shù)的應用（乙）典型例題（2）（后）一（乙）典型例題（3）（前）】例2.設/（x）

的導數(shù)在x=a處連續(xù)，又=—1,則（）

fx-a

（A）x=a是/（x）的極小值點

(B)x=a是/(x)的極大值點

(C)(aj(a))是曲線y=f(x)的拐點

<D)x=a不是極值點，(aj(a))也不是曲線y=/(x)的拐點

解一：vlim(x-a)=0

x->a

lim/'(x)=O

x-^a

又由a點導數(shù)連續(xù)性/'(tz)=lim/'(x)=O

x—>?

于是.'⑷=]im/叱…)=7<0

Xiax-a

則x=a是/(x)的極大值點

解二：由極限可知，當a—b<x<a+b時，一1一￡<￡^<一1+￡<0

x-a

當a<x<a+5,x-a<0,f\x)>0

當x-a>0,/.f\x)<0

于是時是f(x)的極大值點

第三章一元函數(shù)積分學

§3.1不定積分

（乙）典型例題

[3.1不定積分（乙）典型例題（1）（前）】例1.求下列不定積分（測試題，限15分

鐘）

dx

（1）

x2e^

--1--

解：(1)原式=\rexd(——)=ex+C

Jx

(2)j(xlnx)2(lnx+

(Inx+\)dx=J(xlnx)

22*

解：(2)原式二J(xlnx)3d(xlnx)=1(xinx)'+C

例2.求下列不定積分

【3?1不定積分（乙）典型例題（3）（后）】例6.設/（%）的一個原函數(shù)

F（x）=ln2（34x+Vx2+lj,求/如

解：/=^xdf[x}=xf（x）-=xF'（x）-F（x）+C

/2x"ln(x+7x2+1)-In2(x+^x2+1)+C

y/x2+1

§3.2定積分和廣義積分的概念與計算方法

（乙）典型例題

一、一般方法

【3?2定積分和廣義積分的概念與計算（乙）典型例題（1）（前）】例1.計算下列定

積分

(1)J|ln=f(-Inx)dx+Inxdx=(-xlnx+x)1+(xlnx-xj=

(2)Jmin(l,x1}dx=Jx+^x1dx+jdx=不

(3)￡max{x,x2^dx=^x2dx+^xdx+jx2dx=；

(4)fV1-sin2xdx=(J(sinx-cosx『公二j|sinx-cosx|rfx

=2口sin光-cosx\dx=2F(cosx-sinx)dx+，(sinx-cosxMx=4痣

4

二、用特殊方法計算定積分

【3.2定積分和廣義積分的概念與計算（乙）典型例題（1）（后）】例2.設連續(xù)函數(shù)/'（X）

滿足/(x)=Inx-ff{x}dx,求[f{x)dx

解：令］/（》卜》=4，則/（x）=lnx-A,

兩邊從1至進行積分，得

|/(x)c/x=|\nxdx-]Adx=(xlnx_"：-A(eT)

于是A=e—(e—1)—A(e—1),M=l,A=-,貝ij=，

〃Jp

四、廣義積分

§3.3有關變上（下）限積分和積分證明題

一、有關變上（下）限積分

【3.3有關變上（下）限積分和積分證明題（乙）典型例題（1）（后）】例4.設/（x）

在［o,+8）上連續(xù),且y（x）>o,證明g（x）=在（0,+8）內(nèi)單調(diào)增加

門⑺力

證：當x>0時，因為

/(x)f

VW工/⑺力一/（X）

>0

［門呵

g（X）在（0,+8）內(nèi)單調(diào)增加

二、積分證明題

【網(wǎng)絡課程無】例2.設/（x）在［0,1］上有連續(xù)的一階導數(shù)，且/（（））="1）=0,試

證：1|/(x)|jx<,其中M=y

證：用拉格朗日中值定理

fM=/(x)-/(0)=/&)x，其中。e(0,x)

y(x)=/(x)-/(l)=/^2)(x—1),其中幺e(x,l)

,

由題設可知|/W|<|/(^I)\x<Mx-,又\f(x)\<\f'^2)|(l-x)<M(l-x)

因此l|/(x)|dx=p|/(x)|Jx+||/(x)|Jx<M^xdx+J(1-x)dx

2L2_

Jl11M

_88j4

例3.設/(x),g(x)在卜力]上連續(xù)，證明

[j/(x)g(x)dx<f/2(x)dxfg2(x)3x

證一：(引入?yún)?shù)法)

設，為實參數(shù)，則f[/(x)+fg(x)『dxNO

[fg2(x)dx〃+21/(x)g(x)dxt+^f2(x)dx>Q

作為，的一元二次不等式Ab+2W+C20,則臺2—ACWO

即爐<AC,因此[f/(x)g(x)dx'<^f\x)dx^g2(x)dx

證二：(引入變上限積分)

令尸(“)=[]/(x)g(x)dx-￡/2(x)Jxfg2(x)dx

于是

尸(〃)=2/(〃)g(〃)f/(x)g(x)dx-/2(M)￡g2(x)dx-g2(u)^f2(x)dx

[/(M)g(x)-g(M)/(x)]2i/x<0(M>a)

則夕(〃)在［a,“上單調(diào)不增故62a時，F(xiàn)(/?)<F(a)=0,

即[j/(x)g(x)dx

<0

證三：(化為二重積分處理)

令/=f/2(x)dx，g2(x)dx,

則/=f/2(x)dxfg2(y)dy=JJ/2(x)g2(y)dxdy,

D

,a<x<b

其中區(qū)域,?,同理/=0/2(),)g2(x)dxdy

a<y<b

21=JjV2(x)g2(y)+/2(y)g2(x)加力

D

va2+b2>lab，故2/NJj[2f(x)g(y)f(y)g(x)]dxdy

D

因此，

I=f/々(xMxfg2(x)QxNf/(x)g(x)dxf/(y)g(y)dy=[//(x)g(x)dx

口訣(34)：定積分化重積分；廣闊天地有作為。

【3.3有關變上(下)限積分和積分證明題(乙)典型例題(4)(后)】例4.設/(x)在

[a,可上連續(xù)，證明[1/(x)dx<f2(x)dx

證：在例3中，令g(x)=l,則jg2(x)dx=b-a

于是

=[f/(x)g(x)dx<f/2(x)dx『g2(x)dx=(b—a)f/2(x)dx

§3.4定積分的應用

(乙)典型例題

一、在幾何方面的應用

【3.4定積分的應用(乙)典型例題(2)(前)】例2.設/(x)在卜,同上連續(xù)，在(。力)

內(nèi)/'(x)>0,證明辦且唯一,使得y=/(x),y=砥,x=a,所圍面積就

是y=/(x)，>=/(?，x=b所圍面積S2的三倍。

證：令H，)=S?)—3s2(f)=][/(f)—/(x)kx—3,[/(x)—%)也

VF(a)=-3—/[)的<()

尸⑸=1[/僅)-/(x)Bx>0

由連續(xù)函數(shù)介值定理的推論可知至e(a,為使產(chǎn)體)=0再山:⑴>0,可知/(x)的

單調(diào)增加性，則右唯一

【3.4定積分的應用(乙)典型例題(2)(后)】例4.求由曲線y=x2-2x和直線y=0,

x=1,x=3所圍平面圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積。

解一：：y=X?-2x解出x=1±,/.

平面圖形A1繞y軸旋轉(zhuǎn),周所得旋轉(zhuǎn)體體積

匕=%

平面圖形A2繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體體積

匕=27?！?/（1+J1+Jdy=

所求體積匕=匕+匕=9%

2

解二：Vv=2〃fx|x-2xpx

第四章常微分方程

§4.1基本概念和一階微分方程

（乙）典型例題

[4.1基本概念和一階微分方程（乙）典型例題（1）（前）】例2.求微分方程

生=」丁的通解

dx、一y?4

解：此題不是一階線性方程，但把x看作未知函數(shù)，y看作自變量，所得微分方程

—=士廠即坐_X=y3是一階線性方程P（y）=-1,Q（y）=y3

dyydyy

[4.1基本概念和一階微分方程（乙）典型例題（1）（后）】例3.設y="是孫'+p（x）y=x

的一個解，求此微分方程滿足y=0的特解

x=m2

解：將y="代入微分方程求出P（x）=xeT—x,方程化為蟲+（e-*-1b=1

ax

先求出對應齊次方程包+（*'-1&=0的通解y=ce"「根據(jù)解的結(jié)構(gòu)立刻可得非

ax

齊次方程通解y=e“+ce"「

2._1

再由），=0得2+2e5c=0,c=_”

x=ln2

x+e-x-

故所求解y=1—e2

§4.2特殊的高階微分方程

（乙）典型例題

[4.2特殊的高階微分方程（乙）典型例題（2）（前）】例4.求方程y"+y'-2y=2cos2x

的通解

特征根為4=-2,2,=1,因此齊次方程的通解為

2xx

Y=C}e-+C2e

設非齊次方程的特解為了，由于題目中a=0,萬=2,a+i￡=2i不是特征根，因

此設了=Acos2x+8sin2x,代入原方程可得

（-2A+2B-4A）cos2x+（-2B-2A-4B）sin2x=2cos2x

j-6A+28=2

1-66-24=0

31

解聯(lián)立方程得A=——，B=—,因此

1010

y=---cos2xH---sin2x

1010

故原方程的通解為

_231

y=C€~x+---cos2無4---sin2x

1x21010

§4.3微分方程的應用

第六章多元函數(shù)微分學

§6.2偏導數(shù)與全微分

（乙）典型例題

（X丫

【6.2偏導數(shù)與全微分（乙）典型例題（1）（前）】例1.求〃=-的偏導數(shù)

【6.2偏導數(shù)與全微分（乙）典型例題（1）（中）】例2.設〃=/（x,y,z）有連續(xù)的一階

偏導數(shù)，又函數(shù)y=y（x）及z=z（x）分別由下列兩式確定

pysinf,tdu

e"_孫=2和/=求一

I「dx

解:*￡*小雋

由e沖一肛=2兩邊對x求導,

解出@=一2（分子和分母消除公因子（e肛-1））

dxx

由1>,=r;'U出兩邊對x求導，得e，=s,（x_：）

小，（x-z）dx

解出蟲=]_江夕一,

dxsin(x-

dudfydfFex(x-z)~\df

dxdxxdy[_sin(x-z)」我

【6.2偏導數(shù)與全微分（乙）典型例題（2）（前）】例4.設〃=/（x,y,z）有連續(xù)偏導數(shù),

z=z(x,y)由方程

xex-yey-zez所確定，求

解一：令尸卜?、槎??'一y"-z"，得F；=(x+l)e'，F(xiàn)：=-(y+l)e'',

F；=-(z+,則用隱函數(shù)求導公式得

dzF'xx+1Idzy+1

dxF；z+1dyz+1

x+xz

f'+/包=f'+f,^e~

dxxzdxxzz+1

今"+蟾=空產(chǎn)

dydyz+]

,du.du.Y4-1

/.du——dxH---dy—了;+/士產(chǎn)

dxdyA2z+1

解二：在xe、一ye'=ze‘兩邊求微分得

(1+x)exdx—(1+y)eydy=(1+z)ezdz

解出dz=(""產(chǎn)一卜外汕

(1+zp

代入du=f'dx+f'dy+f'dz

二f'xdx+f；dy+#1+」”+』”

'[(1+zp

合并化簡也得加=（《+/；含）dx+（f；-詈el

§6.3多元函數(shù)的極值和最值

（乙）典型例題

一、普通極值

[6.3多元函數(shù)的極值和最值（乙）典型例題（1）（全）】例1.求函數(shù)

Z=x4+y4-x2-2xy-y2的極值

解：

a7a?

—=4x3-2x-2y,—=4y3-2x-2y

dxdy

要求，=」=0,得x+y=2%3=2y3

dxdy

故知冗二y,由此解得三個駐點

x=0(x=1[x=-1

y=0[y=1[y=-1

又與I：'-2,△=—2,0=12/一2

dx2dxdydy2

在點(1,1)處

4一六-inB-d"Z--2C-d"Z

a?0,而(1,1)一，

A=AC-B2=96>0

又4=10>0,

(1,1)是極小值點

極小值Z=-2在點（―1,—1）處

(zU)x

A=、=10，8=-2,C=萼/、=10

dx2（-1,-1）dxdy（-1,-1）dy2（-1,-1）

△=AC-爐=96>0

A=10>0,

.?.（一1,一1）也是極小值點

極小值Z（］］）=—2在點（0,0）處

A=、=-2,B=-^,、=—2,C=^1=—2

dx2（0,0）dxdy（0,0）dy2

A=AC-fi2=0不能判定

這時取x=￡,y=-￡（其中￡為充分小的正數(shù)）則z=2->0

而取X=?=￡時z=2s4-4￡2<0由此可見（0,0）不是極值點

第七章多元函數(shù)積分學

§7.1二重積分

（乙）典型例題

一、二重積分的計算

【7.1二重積分（乙）典型例題（1）（前）】例1.計算］卜與必力），，其中。由y=x,

D

y=1和y軸所圍區(qū)域

解：如果jje-）dxdy=j公］。-'解

D

那么先對求原函數(shù)就不行，故考慮另一種順序的累次積分。

Jje-vdxdy=工dy￡e-產(chǎn)dx

D

這時先對X積分，6一產(chǎn)當作常數(shù)處理就可以了。

原式=[ye->2dy=~

二、交換積分的順序

【7.1二重積分（乙）典型例題⑶（前）】例1.交換「公.:/（匕），協(xié)的積分順

序

解：原式=JJ/(x,y)dxdy

其中D由y=yllax-x2和y=12ax以及x=2a所圍的區(qū)域

D=。畋畋

_____2

?y—J2ax解出x=——

由________2〃

y=^2ax-x2解出x=a±^a2-y2

因此按另一順序把二重積分化為累次積分對三塊小區(qū)域得

原式=fdy^^7f（x,y油+fdy仁二/（元）以+「力^f（x,y）dx

2a2a

例2.設/'（y）連續(xù)，證明

/=j呵7一W—『辦=力⑷-/（。）】

y

證明：交換積分次序

/=]>"（），）dx

人o+ya-y.,a-y.

令％-------=-----sint,則nildx=-------costdt,

222

a-y

兀----COSf

/=(/()必—力==萬[/(。)一〃0)]

2--COS/

2

例3.計算/=J'er'dx

解：/2=「e-，x『e-『dy=「

r2

=^de[\-rdr=^一苜=￡

.」=近

2

第八章無窮級數(shù)（數(shù)學一和數(shù)學三）

§8.1常數(shù)項級數(shù)

（甲）內(nèi)容要點

（乙）典型例題

一、主要用部分和數(shù)列的極限討論級數(shù)的斂散性

例1.判定下列級數(shù)斂散性，若收斂并求級數(shù)的和。

S1

“=i+,祈+J”+1)

00

2)Z2n-]

/l=l2"

81

1)解：z的

〃=1

S='y_________]

?=iJ氏(k+1)(V^+JA+1)

n

S.二

k=l

i1)

I*=114k\lk+1?

=1T=

J"+1

vlimS?=1