數(shù)學(xué)導(dǎo)學(xué)案：弧度制

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精1.1.2弧度制1.了解弧度制，明確1弧度的含義。2。能進行弧度與角度的互化。3.掌握弧度數(shù)的計算公式及其應(yīng)用。1。弧度制（1)定義：以為單位度量角的單位制叫做弧度制。（2)度量方法：長度等于________的弧所對的圓心角叫做1弧度的角。如圖所示，圓O的半徑為r,的長等于r，∠AOB就是1弧度的角。一定大小的圓心角α的弧度數(shù)是所對弧長與半徑的比值，是唯一確定的，與半徑大小無關(guān)。（3)記法：弧度單位用符號表示，或用“弧度”兩個字表示.在用弧度制表示角時,單位通常省略不寫。【做一做1】下列表述中正確的是()A。一弧度是一度的圓心角所對的弧B.一弧度是長度為半徑的弧C.一弧度是一度的弧與一度的角之和D。一弧度是長度等于半徑長的弧所對的圓心角的大小，它是角的一種度量單位2.弧度數(shù)一般地，正角的弧度數(shù)是一個數(shù)，負角的弧度數(shù)是一個數(shù),零角的弧度數(shù)是.如果半徑為r的圓的圓心角α所對弧的長為l，那么角α的弧度數(shù)的絕對值是|α｜＝。(1)弧長公式：l＝｜α｜r。（2）扇形面積公式：S＝eq\f(1，2）lr＝eq\f（1，2)|α|r2?！咀鲆蛔?】已知半徑為10cm的圓上，有一條弧的長是40cm3。弧度制與角度制的換算（1)角度轉(zhuǎn)化為弧度：360°＝rad,180°＝rad，1°＝rad≈0。01745rad。(2）弧度轉(zhuǎn)化為角度:2πrad＝，πrad＝，1rad＝eq\b\lc\（\rc\)(eq\a\vs4\al\co1()）°≈57。30°＝57°18′。(3)特殊角的弧度數(shù)與角度數(shù)對應(yīng)表:角度0°15°30°45°60°75°90°120°135°150°弧度0eq\f（π,12）____________eq\f（5π,12）________________角度180°210°225°240°270°300°315°330°360°弧度____eq\f（7π，6)eq\f(5π，4)eq\f（4π,3）eq\f（3π，2)eq\f(5π，3)eq\f（7π，4)eq\f（11π，6）____（4）角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實數(shù)集R之間建立起關(guān)系：每一個角都有唯一的一個(即這個角的弧度數(shù))與它對應(yīng);反過來，每一個實數(shù)也都有唯一的一個(即弧度數(shù)等于這個實數(shù)的角)與它對應(yīng)。【做一做3－1】把50°化為弧度為（)A。50 B。eq\f（5，18)π C。eq\f(18,5π） D。eq\f(9000，π）【做一做3－2】把eq\f(2，5)πrad化為度為()A。52° B。36° C.72° D.90°答案：1．（1）弧度(2）半徑長（3)rad【做一做1】D2．正負0eq\f(l，r)【做一做2】43．（1)2ππeq\f（π,180）(2）360°180°eq\f（180，π）(3）eq\f（π,6）eq\f（π,4）eq\f(π,3)eq\f（π，2）eq\f(2π，3)eq\f(3π，4)eq\f(5π,6）π2π(4）一一對應(yīng)實數(shù)角【做一做3－1】B【做一做3－2】C1。用弧度制表示象限角與軸線角剖析：（1）象限角的表示：角α終邊所在象限集合第一象限eq\b\lc\{\rc\｝（\a\vs4\al\co1(x｜2kπ〈α<2kπ＋\f(π，2），k∈Z))第二象限eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（x|2kπ＋\f(π,2）〈α<2kπ＋π，k∈Z）)第三象限eq\b\lc\｛\rc\｝(\a\vs4\al\co1(x|2kπ＋π〈α<2kπ＋\f(3，2)π，k∈Z）)第四象限eq\b\lc\｛\rc\}（\a\vs4\al\co1（x|2kπ＋\f（3，2)π<α<2kπ＋2π，k∈Z））(2)軸線角的表示：角α終邊所在的坐標軸集合x軸非負半軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ，k∈Z))x軸非正半軸eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1（α|α＝2kπ＋π，k∈Z）)x軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α｜α＝kπ，k∈Z))y軸非負半軸eq\b\lc\{\rc\｝(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ＋\f（π,2),k∈Z))y軸非正半軸eq\b\lc\｛\rc\}(\a\vs4\al\co1(α|α＝2kπ－\f（π，2），k∈Z)）y軸eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1（α｜α＝kπ＋\f(π,2)，k∈Z))坐標軸eq\b\lc\｛\rc\｝（\a\vs4\al\co1(α｜α＝\f(k,2）π，k∈Z)）2。弧度制與角度制的區(qū)別和聯(lián)系剖析：主要從定義、意義、換算、寫法等方面考慮.（1）從定義上:弧度制是以“弧度”為單位度量角的單位制，角度制是以“度”為單位度量角的單位制。因此弧度制和角度制一樣，都是度量角的方法。（2）從意義上：1弧度是等于半徑長的圓弧所對的圓心角（或該弧)的大小，而1°是圓的周長的eq\f(1，360)所對的圓心角（或該弧)的大??；任意圓心角α的弧度數(shù)的絕對值|α|＝eq\f（l,r)，其中l(wèi)是以角α作為圓心角時所對的圓弧長,r為圓的半徑.(3）從換算上：1rad＝eq\b\lc\(\rc\）(eq\a\vs4\al\co1（\f（180,π））)°，1°＝eq\f(π,180)rad.(4）從寫法上：用弧度為單位表示角的大小時，“弧度"兩字可以省略不寫，這時弧度數(shù)在形式上雖是一個不名數(shù),但我們應(yīng)當(dāng)把它理解為名數(shù)；如果以度“°”為單位表示角時，度“°”就不能省去.題型一角度與弧度的互化【例1】把下列角度化成弧度或弧度化成角度。（1）310°；(2）eq\f(5π，12）rad。分析：利用下列公式換算：1°＝eq\f(π,180）rad；1rad＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（180,π)))°.反思：n°＝eq\f（nπ,180)rad，xrad＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f（180，π）x）)°.題型二比較大小【例2】利用計算器比較sin1和sin1°的大小。反思:比較sinα與sinβ，cosα與cosβ，tanα與tanβ的大小時，通常使用計算器來完成,要注意α與β的單位.題型三扇形的弧長和面積公式【例3】已知一扇形的周長為40cm，當(dāng)它的半徑和圓心角取什么值時,才能使扇形的面積最大？分析:設(shè)出扇形的半徑r，弧長l，面積S，列出S關(guān)于r的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值。反思:(1)在弧度制下的弧長公式、扇形的面積公式簡潔明了，靈活應(yīng)用這些公式列方程組求解是解決這類問題的關(guān)鍵;（2）在研究實際問題中的最值問題時,往往轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的最值問題，這是經(jīng)常用到的思想方法。題型四易錯辨析易錯點混淆了用弧度制和角度制表示的角【例4】α＝π，β＝π°，則有（)A.α＝β B。α＞βC。α＜β D.α與β的大小不確定錯解：由于π＝π,則α＝β，故選A.錯因分析:錯解中混淆了π與π°的區(qū)別，π的單位是弧度，而π°的單位是度.反思：角度制下的單位不能省略，而弧度制下的單位通常省略不寫，因此要注意區(qū)分弧度制和角度制表示的角。答案：【例1】解:（1)310°＝eq\f（π,180）rad×310＝eq\f(31π,18)rad。(2)eq\f（5π,12）rad＝eq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1（\f（180，π)×\f（5π,12）)）°＝75°.【例2】解：由計算器eq\x（MODE)eq\x（MODE)2eq\x（sin）1eq\x(＝)0。841470984。eq\x(MODE)eq\x(MODE）1eq\x（sin）1eq\x（.，，，)eq\x（＝)0。017452406?！鄐in1＞sin1°。【例3】解：設(shè)扇形的圓心角為θ，半徑為rcm，弧長為lcm，面積為Scm2，則l＋2r＝40，∴l(xiāng)＝40－2r?！郤＝eq\f（1，2)lr＝eq\f(1,2）×(40－2r）r＝20r－r2＝－（r－10）2＋100.∴當(dāng)r＝10時,扇形的面積最大，最大值為100cm2,這時θ＝eq\f(l,r）＝2。【例4】B正解：α＝π＝180°,因為180°＞π°,所以α＞β。1．下列各式正確的是()A.＝90 B。＝10° C.3°＝ D。38°＝2．下列各式正確的是(）A。cos3。7°＜cos3.8° B.sin5。1＞sin2.7°C.tan46°＞tan44 D.tan1。23＜tan1.223．把－900°化為弧度為________.4．若扇形的周長是16cm,圓心角是2rad,則扇形的面積是5．如圖所示，扇形AOB的面積是4cm2，它的周長是10cm答案：1．B2．C借助于計算器有：cos3。7°≈0.9979＞cos3。8°≈0。9978，所以A項不正確;sin5。1≈－0。9258＜sin2.7°≈0.0471，所以B項不正確；tan46°≈1。0355＞tan44≈0。0