新高考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)專題15情境問(wèn)題的探究之立體幾何部分專題練習(xí)(學(xué)生版+解析)

專題15情境問(wèn)題的探究之立體幾何部分一、題型選講題型一、立體幾何中的面積與體積例1、【2020年高考江蘇】如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是▲cm.例2、【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)__________g.例3、（2020屆山東省德州市高三上期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽(yáng)馬的外接球的表面積等于______.題型二、立體幾何中的邊長(zhǎng)與角等基本量的研究例4、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為A． B． C． D．例5、【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為A．20° B．40°C．50° D．90°例6、（2020?茂名二模）在《周髀算經(jīng)》中，把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖．圓方圖和方圓圖在我國(guó)古代的設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．山西應(yīng)縣木塔是我國(guó)現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑，它的正面圖如圖所示．以該木塔底層的邊AB作方形，會(huì)發(fā)現(xiàn)塔的高度正好跟此對(duì)角線長(zhǎng)度相等．以塔底座的邊作方形，作方圓圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)方圓的切點(diǎn)D正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸纾?jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，木塔底層的邊AB不少于47.5米，塔頂C到點(diǎn)D的距離不超過(guò)19.9米，則該木塔的高度可能是（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414）A．66.1米 B．67.3米 C．68.5米 D．69.0米二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2021年啟東中學(xué)11月份聯(lián)考）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個(gè)“塹堵”，其中，，則這個(gè)“塹堵”的外接球的表面積為▲．2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A．B．C．D．3、（2020?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將一般多面體分為陽(yáng)馬，鱉臑，塹堵三種基本立體圖形，其中四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，若三棱錐P﹣ABC為鱉臑，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA＝BC＝，PC＝，則此鱉臑的體積為（）A． B． C． D．4、【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．（本題第一空2分，第二空3分．）5、(2018蘇州期末）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)90°榫卯起來(lái)．若正四棱柱的高為5，底面正方形的邊長(zhǎng)為1，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積至少為_(kāi)_______(容器壁的厚度忽略不計(jì)，結(jié)果保留π)．專題15情境問(wèn)題的探究之立體幾何部分一、題型選講題型一、立體幾何中的面積與體積例1、【2020年高考江蘇】如圖，六角螺帽毛坯是由一個(gè)正六棱柱挖去一個(gè)圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長(zhǎng)為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半輕為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是▲cm.【答案】【解析】正六棱柱體積為，圓柱體積為，所求幾何體體積為.故答案為：本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.例2、【2019年高考全國(guó)Ⅲ卷理數(shù)】學(xué)生到工廠勞動(dòng)實(shí)踐，利用3D打印技術(shù)制作模型.如圖，該模型為長(zhǎng)方體挖去四棱錐O—EFGH后所得的幾何體，其中O為長(zhǎng)方體的中心，E，F(xiàn)，G，H分別為所在棱的中點(diǎn)，，3D打印所用原料密度為0.9g/cm3，不考慮打印損耗，制作該模型所需原料的質(zhì)量為_(kāi)__________g.【答案】118.8【解析】由題意得，，∵四棱錐O?EFGH的高為3cm，∴．又長(zhǎng)方體的體積為，所以該模型體積為，其質(zhì)量為．本題考查幾何體的體積問(wèn)題，理解題中信息聯(lián)系幾何體的體積和質(zhì)量關(guān)系，從而利用公式求解．根據(jù)題意可知模型的體積為長(zhǎng)方體體積與四棱錐體積之差進(jìn)而求得模型的體積，再求出模型的質(zhì)量即可.例3、（2020屆山東省德州市高三上期末）中國(guó)古代數(shù)學(xué)經(jīng)典《九章算術(shù)》系統(tǒng)地總結(jié)了戰(zhàn)國(guó)、秦、漢時(shí)期的數(shù)學(xué)成就，書(shū)中將底面為長(zhǎng)方形且有一條側(cè)棱與底面垂直的四棱錐稱之為陽(yáng)馬，將四個(gè)面都為直角三角形的三棱錐稱之為鱉臑，如圖為一個(gè)陽(yáng)馬與一個(gè)鱉臑的組合體，已知平面，四邊形為正方形，，，若鱉臑的外接球的體積為，則陽(yáng)馬的外接球的表面積等于______.【答案】【解析】四邊形是正方形，，即，且，，所以，的外接圓半徑為，設(shè)鱉臑的外接球的半徑，則，解得.平面，，可得，.正方形的外接圓直徑為，，平面，所以，陽(yáng)馬的外接球半徑，因此，陽(yáng)馬的外接球的表面積為.故答案為：.題型二、立體幾何中的邊長(zhǎng)與角等基本量的研究例4、【2020年高考全國(guó)Ⅰ卷理數(shù)】埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個(gè)正四棱錐.以該四棱錐的高為邊長(zhǎng)的正方形面積等于該四棱錐一個(gè)側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長(zhǎng)的比值為A． B． C． D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)，則，由題意得，即，化簡(jiǎn)得，解得（負(fù)值舍去）.故選C．例5、【2020年新高考全國(guó)Ⅰ卷】日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為O)，地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成角，點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤道所在平面平行，點(diǎn)A處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成角為A．20° B．40°C．50° D．90°【答案】B【解析】畫(huà)出截面圖如下圖所示，其中是赤道所在平面的截線；是點(diǎn)處的水平面的截線，依題意可知；是晷針?biāo)谥本€.是晷面的截線，依題意依題意,晷面和赤道平面平行，晷針與晷面垂直，根據(jù)平面平行的性質(zhì)定理可得可知、根據(jù)線面垂直的定義可得..由于，所以，由于，所以，也即晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為.故選：B.本小題主要考查中國(guó)古代數(shù)學(xué)文化，考查球體有關(guān)計(jì)算，涉及平面平行，線面垂直的性質(zhì)，屬于中檔題.例6、（2020?茂名二模）在《周髀算經(jīng)》中，把圓及其內(nèi)接正方形稱為圓方圖，把正方形及其內(nèi)切圓稱為方圓圖．圓方圖和方圓圖在我國(guó)古代的設(shè)計(jì)和建筑領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用．山西應(yīng)縣木塔是我國(guó)現(xiàn)存最古老、最高大的純木結(jié)構(gòu)樓閣式建筑，它的正面圖如圖所示．以該木塔底層的邊AB作方形，會(huì)發(fā)現(xiàn)塔的高度正好跟此對(duì)角線長(zhǎng)度相等．以塔底座的邊作方形，作方圓圖，會(huì)發(fā)現(xiàn)方圓的切點(diǎn)D正好位于塔身和塔頂?shù)姆纸纾?jīng)測(cè)量發(fā)現(xiàn)，木塔底層的邊AB不少于47.5米，塔頂C到點(diǎn)D的距離不超過(guò)19.9米，則該木塔的高度可能是（）（參考數(shù)據(jù)：≈1.414）A．66.1米 B．67.3米 C．68.5米 D．69.0米【答案】B【解析】設(shè)該木塔的高度為h，則由圖可知，h＝≥47.5×1.414＝67.165（米）．同時(shí)，∴h＝≈67.9（米）．即木塔的高度h約在67.165米至67.9米之間，結(jié)合選項(xiàng)，可得B．故選：B．二、達(dá)標(biāo)訓(xùn)練1、（2021年啟東中學(xué)11月份聯(lián)考）在我國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，把兩底面為直角三角形的直棱柱稱為“塹堵”，已知三棱柱是一個(gè)“塹堵”，其中，，則這個(gè)“塹堵”的外接球的表面積為▲．【答案】9π【解析】將補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則球的直徑為長(zhǎng)方體的對(duì)角線2、（2020屆山東省濰坊市高三上期末）《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“蓋”的術(shù)：置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一.該術(shù)相當(dāng)于給出了有圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3.那么近似公式相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)圓錐底面圓的半徑為，高為，依題意，，，所以，即的近似值為，故選B.3、（2020?廬陽(yáng)區(qū)校級(jí)模擬）中國(guó)古代第一部數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，將一般多面體分為陽(yáng)馬，鱉臑，塹堵三種基本立體圖形，其中四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱之為鱉臑，若三棱錐P﹣ABC為鱉臑，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，PA＝BC＝，PC＝，則此鱉臑的體積為（）A． B． C． D．【答案】．A【解析】：三棱錐P﹣ABC為鱉臑，PA⊥底面ABC，AB⊥BC，∵PA＝BC＝，PC＝，∴AC＝＝，AB＝＝，∴此鱉臑的體積為：VP﹣ABC＝＝＝＝．故選：A．4、【2019年高考全國(guó)Ⅱ卷理數(shù)】中國(guó)有悠久的金石文化，印信是金石文化的代表之一．印信的形狀多為長(zhǎng)方體、正方體或圓柱體，但南北朝時(shí)期的官員獨(dú)孤信的印信形狀是“半正多面體”（圖1）.半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體．半正多面體體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱美．圖2是一個(gè)棱數(shù)為48的半正多面體，它的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)正方體的表面上，且此正方體的棱長(zhǎng)為1．則該半正多面體共有________個(gè)面，其棱長(zhǎng)為_(kāi)________．（本題第一空2分，第二空3分．）【答案】26，【解析】由圖可知第一層（包括上底面）與第三層（包括下底面）各有9個(gè)面，計(jì)18個(gè)面，第二層共有8個(gè)面，所以該半正多面體共有個(gè)面．如圖，設(shè)該半正多面體的棱長(zhǎng)為，則，延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，延長(zhǎng)交正方體的棱于，由半正多面體對(duì)稱性可知，為等腰直角三角形，，，即該半正多面體的棱長(zhǎng)為．本題立意新穎，空間想象能力要求高，物體位置還原是關(guān)鍵，遇到新題別慌亂，題目其實(shí)很簡(jiǎn)單，穩(wěn)中求勝是關(guān)鍵．立體幾何平面化，無(wú)論多難都不怕，強(qiáng)大空間想象能力，快速還原圖形．5、(2018蘇州期末）魯班鎖是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于中國(guó)古代建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，它的外觀是如圖所示的十字立方體，其上下、左右、前后完全對(duì)稱，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)9