第10章 第3節(jié)　隨機(jī)事件的概率-2022屆高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義（新高考）

第三節(jié)隨機(jī)事件的概率一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．樣本點(diǎn)和樣本空間隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間．一般地，我們用Ω表示樣本空間，用ω表示樣本點(diǎn)．2．概率與頻率一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，我們可以用頻率fn(A)來(lái)估計(jì)概率P(A)．隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率是隨機(jī)的，而概率是客觀存在的確定的常數(shù)，但在大量隨機(jī)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的頻率穩(wěn)定在事件A發(fā)生的概率附近．3．事件的關(guān)系與運(yùn)算名稱條件結(jié)論符號(hào)表示包含關(guān)系事件A發(fā)生，事件B一定發(fā)生事件B包含事件A(或事件A包含于事件B)B?A(或A?B)相等關(guān)系B?A且A?B事件A與事件B相等A＝B并事件(或和事件)事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生事件A與事件B的并事件(或和事件)A∪B(或A＋B)交事件(或積事件)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生事件A與事件B的交事件(或積事件)A∩B(或AB)互斥事件事件A與事件B不能同時(shí)發(fā)生事件A與事件B互斥(或互不相容)A∩B＝?互為對(duì)立事件A與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生事件A與事件B互為對(duì)立A∩B＝?，A∪B＝Ω4.概率的幾個(gè)基本性質(zhì)(1)概率的取值范圍：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率P(Ω)＝1.(3)不可能事件的概率P(?)＝0.(4)①如果事件A與事件B互斥，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．②如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．③如果A?B，那么P(A)≤P(B)．④設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．5．事件的相關(guān)概念1．隨機(jī)事件A，B互斥與對(duì)立的區(qū)別與聯(lián)系當(dāng)隨機(jī)事件A，B互斥時(shí)，不一定對(duì)立；當(dāng)隨機(jī)事件A，B對(duì)立時(shí)，一定互斥．2．從集合的角度理解互斥事件和對(duì)立事件(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．(2)事件A的對(duì)立事件eq\x\to(A)所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．二、基本技能·思想·活動(dòng)體驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)事件發(fā)生的頻率與概率是相同的． (×)(2)隨機(jī)事件和隨機(jī)試驗(yàn)是一回事． (×)(3)在大量重復(fù)試驗(yàn)中，概率是頻率的穩(wěn)定值． (√)(4)兩個(gè)事件的和事件發(fā)生是指這兩個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生． (√)(5)若A，B為互斥事件，則P(A)＋P(B)＝1.(×)(6)對(duì)立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是對(duì)立事件． (√)2．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是()A．至多有一次中靶B．兩次都中靶C．只有一次中靶D．兩次都不中靶D解析：“至少有一次中靶”的對(duì)立事件是“兩次都不中靶”．3．將一枚硬幣向上拋擲10次，其中“正面向上恰有5次”是()A．必然事件B．隨機(jī)事件C．不可能事件D．無(wú)法確定B解析：拋擲10次硬幣正面向上的次數(shù)可能為0～10，都有可能發(fā)生，所以正面向上5次是隨機(jī)事件．4．把語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、英語(yǔ)三本書(shū)隨機(jī)分給甲、乙、丙三位同學(xué)，每人一本，記事件A為“甲分得語(yǔ)文書(shū)”，事件B為“乙分得數(shù)學(xué)書(shū)”，事件C為“丙分得英語(yǔ)書(shū)”，則下列說(shuō)法正確的是()A．A與B是不可能事件B．A＋B＋C是必然事件C．A與B不是互斥事件D．B與C既是互斥事件也是對(duì)立事件C解析：事件A，事件B，事件C都是隨機(jī)事件，可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故A，B兩項(xiàng)錯(cuò)誤；事件A，事件B可能同時(shí)發(fā)生，故事件A與事件B不是互斥事件，C項(xiàng)正確；事件B與事件C既不互斥，也不對(duì)立，D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選C．5．容量為20的樣本數(shù)據(jù)，分組后的頻數(shù)如下表：分組[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60)[60,70)頻數(shù)234542則樣本數(shù)據(jù)落在區(qū)間[10,40)的頻率為0.45.6．一個(gè)口袋內(nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，則在先摸出1個(gè)白球后放回的條件下，再摸出1個(gè)白球的概率是________．eq\f(2,5)解析：先摸出1個(gè)白球后放回，再摸出1個(gè)白球的概率，實(shí)質(zhì)上就是第二次摸到白球的概率．因?yàn)榇鼉?nèi)裝有2個(gè)白球和3個(gè)黑球，因此所求概率為eq\f(2,5).考點(diǎn)1隨機(jī)事件的關(guān)系——基礎(chǔ)性(1)把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)地分發(fā)給甲、乙、丙、丁四人，每個(gè)人分得一張，事件“甲分得紅牌”與“乙分得紅牌”()A．是對(duì)立事件 B．是不可能事件C．是互斥但不對(duì)立事件 D．不是互斥事件C解析：顯然兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但兩者可能同時(shí)不發(fā)生，因?yàn)榧t牌可以分給丙、丁兩人，綜上，這兩個(gè)事件為互斥但不對(duì)立事件．(2)設(shè)條件甲：事件A與事件B是對(duì)立事件，結(jié)論乙：概率滿足P(A)＋P(B)＝1，則甲是乙的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件A解析：若事件A與事件B是對(duì)立事件，則A∪B為必然事件．再由概率的加法公式得P(A)＋P(B)＝1.投擲一枚硬幣3次，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不一定是對(duì)立事件．如事件A：“至少出現(xiàn)一次正面”，事件B：“出現(xiàn)3次正面”，則P(A)＝eq\f(7,8)，P(B)＝eq\f(1,8)，滿足P(A)＋P(B)＝1，但A，B不是對(duì)立事件．判斷互斥事件、對(duì)立事件的兩種方法(1)定義法：判斷互斥事件、對(duì)立事件一般用定義判斷，不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件為互斥事件；兩個(gè)事件，若有且僅有一個(gè)發(fā)生，則這兩個(gè)事件為對(duì)立事件，對(duì)立事件一定是互斥事件．(2)集合法：①由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合彼此的交集為空集，則事件互斥．②事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．1．(2020·菏澤一中高三月考)同時(shí)投擲兩枚硬幣一次，互斥而不對(duì)立的兩個(gè)事件是()A．“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”B．“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”C．“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”D．“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”C解析：在A中，“至少有1枚正面朝上”與“2枚都是反面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且“至少有1枚正面朝上”不發(fā)生時(shí)，“2枚都是反面朝上”一定發(fā)生，故A中的兩個(gè)事件是對(duì)立事件；在B中，當(dāng)兩枚硬幣恰好1枚正面朝上，1枚反面朝上時(shí)，“至少有1枚正面朝上”與“至少有1枚反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故B中的兩個(gè)事件不是互斥事件；在C中，“恰有1枚正面朝上”與“2枚都是正面朝上”不能同時(shí)發(fā)生，且其中一個(gè)不發(fā)生時(shí)，另一個(gè)有可能發(fā)生也有可能不發(fā)生，故C中的兩個(gè)事件是互斥而不對(duì)立事件；在D中，當(dāng)2枚硬幣同時(shí)反面朝上時(shí)，“至少有1枚反面朝上”與“2枚都是反面朝上”能同時(shí)發(fā)生，故D中的兩個(gè)事件不是互斥事件．故選C．2．口袋里裝有6個(gè)形狀相同的小球，其中紅球1個(gè)，白球2個(gè)，黃球3個(gè)．從中取出兩個(gè)球，事件A＝“取出的兩個(gè)球同色”，B＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)黃球”，C＝“取出的兩個(gè)球中至少有一個(gè)白球”，D＝“取出的兩個(gè)球不同色”，E＝“取出的兩個(gè)球中至多有一個(gè)白球”．下列判斷中正確的序號(hào)為_(kāi)_______．①A與D為對(duì)立事件；②B與C是互斥事件；③C與E是對(duì)立事件；④P(C∪E)＝1；⑤P(B)＝P(C)．①④解析：顯然A與D是對(duì)立事件，①正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球?yàn)橐稽S一白時(shí)，B與C都發(fā)生，②不正確；當(dāng)取出的兩個(gè)球中恰有一個(gè)白球時(shí)，事件C與E都發(fā)生，③不正確；C∪E為必然事件，P(C∪E)＝1，④正確；P(B)＝eq\f(4,5)，P(C)＝eq\f(3,5)，⑤不正確．考點(diǎn)2隨機(jī)事件的頻率與概率——基礎(chǔ)性如圖，A地到火車站共有兩條路徑L1和L2，現(xiàn)隨機(jī)抽取100位從A地到達(dá)火車站的人進(jìn)行調(diào)查，調(diào)查結(jié)果如下：所用時(shí)間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的人數(shù)612181212選擇L2的人數(shù)0416164(1)試估計(jì)40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的概率；(2)分別求通過(guò)路徑L1和L2所用時(shí)間落在上表中各時(shí)間段內(nèi)的頻率；(3)現(xiàn)甲、乙兩人分別有40分鐘和50分鐘時(shí)間用于趕往火車站，為了盡最大可能在允許的時(shí)間內(nèi)趕到火車站，試通過(guò)計(jì)算說(shuō)明，他們應(yīng)如何選擇各自的路徑．解：(1)由已知共調(diào)查了100人，其中40分鐘內(nèi)不能趕到火車站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，所以用頻率估計(jì)相應(yīng)的概率p＝eq\f(44,100)＝0.44.(2)選擇L1的有60人，選擇L2的有40人，故由調(diào)查結(jié)果得頻率為所用時(shí)間(分)10～2020～3030～4040～5050～60選擇L1的頻率0.10.20.30.20.2選擇L2的頻率00.10.40.40.1(3)設(shè)A1，A2分別表示甲選擇L1和L2時(shí)，在40分鐘內(nèi)趕到火車站；B1，B2分別表示乙選擇L1和L2時(shí)，在50分鐘內(nèi)趕到火車站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5.因?yàn)镻(A1)＞P(A2)，所以甲應(yīng)選擇L1.同理，P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9.因?yàn)镻(B1)＜P(B2)，所以乙應(yīng)選擇L2.1．概率與頻率的關(guān)系頻率反映了一個(gè)隨機(jī)事件出現(xiàn)的頻繁程度，頻率是隨機(jī)的，而概率是一個(gè)確定的值，通常用概率來(lái)反映隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小，有時(shí)也用頻率來(lái)作為隨機(jī)事件概率的估計(jì)值．2．隨機(jī)事件概率的求法利用概率的統(tǒng)計(jì)定義求事件的概率，即通過(guò)大量的重復(fù)試驗(yàn)，事件發(fā)生的頻率會(huì)逐漸趨近于某一個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)就是概率．提醒：概率的定義是求一個(gè)事件概率的基本方法．1．在投擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，共投擲了100次，正面朝上的頻數(shù)為51次，則正面朝上的頻率為()A．49B．0.5C．0.51D．0.49C解析：由題意，根據(jù)事件發(fā)生的頻率的定義可知，“正面朝上”的頻率為eq\f(51,100)＝0.51.2．(2020·濰坊高三模擬)某學(xué)校共有教職工120人，對(duì)他們進(jìn)行年齡結(jié)構(gòu)和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：本科研究生合計(jì)35歲以下40307035～50歲27134050歲以上8210現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是()A．該校教職工具有本科學(xué)歷的概率低于60%B．該校教職工具有研究生學(xué)歷的概率超過(guò)50%C．該校教職工的年齡在50歲以上的概率超過(guò)10%D．該校教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率超過(guò)10%D解析：對(duì)于選項(xiàng)A，該校教職工具有本科學(xué)歷的概率p＝eq\f(75,120)＝eq\f(5,8)＝62.5%>60%，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B，該校教職工具有研究生學(xué)歷的概率p＝eq\f(45,120)＝eq\f(3,8)＝37.5%<50%，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，該校教職工的年齡在50歲以上的概率p＝eq\f(10,120)＝eq\f(1,12)≈8.3%<10%，故C錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，該校教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學(xué)歷的概率p＝eq\f(15,120)＝eq\f(1,8)＝12.5%>10%，故D正確．故選D．考點(diǎn)3互斥事件與對(duì)立事件的概率——綜合性經(jīng)統(tǒng)計(jì)，在某儲(chǔ)蓄所一個(gè)營(yíng)業(yè)窗口排隊(duì)的人數(shù)相應(yīng)的概率如下：排隊(duì)人數(shù)012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04求：(1)至多2人排隊(duì)等候的概率；(2)至少3人排隊(duì)等候的概率．解：記“無(wú)人排隊(duì)等候”為事件A，“1人排隊(duì)等候”為事件B，“2人排隊(duì)等候”為事件C，“3人排隊(duì)等候”為事件D，“4人排隊(duì)等候”為事件E，“5人及5人以上排隊(duì)等候”為事件F，則事件A，B，C，D，E，F(xiàn)彼此互斥．(1)記“至多2人排隊(duì)等候”為事件G，則G＝A＋B＋C，所以P(G)＝P(A＋B＋C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)(方法一)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則H＝D＋E＋F，所以P(H)＝P(D＋E＋F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.(方法二)記“至少3人排隊(duì)等候”為事件H，則其對(duì)立事件為事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.求復(fù)雜互斥事件概率的兩種方法(1)直接法：將所求事件分解為一些彼此互斥事件的和，運(yùn)用互斥事件概率的加法公式計(jì)算．(2)間接法：先求此事件的對(duì)立事件，再用公式P(A)＝1－P(eq\x\to(A))求得，即運(yùn)用逆向思維(正難則反)，特別是“至多”“至少”型題目，用間接法就會(huì)較簡(jiǎn)便．提醒：應(yīng)用互斥事件概率的加法公式，一定要注意首先確定各個(gè)事件是否彼此互斥，然后出各事件發(fā)生的概率，再求和(或差)．間接法體現(xiàn)了“正難則反”的思想方法．1．拋擲一個(gè)質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A＋eq\x\to(B)發(fā)生的概率為()A．eq\f