多邊形與平行四邊形

中考數(shù)學(xué)

§4.4多邊形與平行四邊形考點一多邊形1.(2019云南,9,4分)一個十二邊形的內(nèi)角和等于?()A.2160°

B.2080°

C.1980°

D.1800°答案

D根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式(n-2)·180°,可得十二邊形的內(nèi)角和等于(12-2)×180°=1800°.故選D.2.(2020海南,14,4分)正六邊形的一個外角等于

度.答案60解析因為多邊形的外角和是360°,正六邊形的每個外角相等,所以正六邊形的一個外角=

=60°.3.(2020陜西,12,3分)如圖,在正五邊形ABCDE中,DM是邊CD的延長線,連接BD,則∠BDM的度數(shù)是

.

答案144°解析在正五邊形ABCDE中,∵∠C=108°,BC=CD,∴∠CDB=

=36°,∴∠BDM=180°-∠CDB=180°-36°=144°.4.(2019陜西,12,3分)若正六邊形的邊長為3,則其較長的一條對角線長為

.答案6解析連接正六邊形的中心和各個頂點,可得6個小正三角形,顯然正六邊形較長的一條對角線長為小正

三角形邊長的2倍,即較長的一條對角線長為6.5.(2018山西,12,3分)圖1是我國古代建筑中的一種窗格,其中冰裂紋圖案象征著堅冰出現(xiàn)裂紋并開始消

融,形狀無一定規(guī)則,代表一種自然和諧美.圖2是從圖1冰裂紋窗格圖案中提取的由五條線段組成的圖形,

則∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=

度.

圖1圖2

答案360解析∵任意n(n≥3,n為整數(shù))邊形的外角和為360°,圖中五條線段組成五邊形,∴D1+D2+D3+D4+D5=3

60°.考點二平行四邊形1.(2020海南,11,3分)如圖,在?ABCD中,AB=10,AD=15,∠BAD的平分線交BC于點E,交DC的延長線于

點F,BG⊥AE于點G,若BG=8,則△CEF的周長為?()

A.16

B.17

C.24

D.25答案

A∵AE平分∠BAD,∴∠DAE=∠BAE,又∵AD∥BC,∴∠BEA=∠DAE,∴∠BEA=∠BAE,∴AB=BE=10,∵BG⊥AE,∴AE=2AG.在Rt△ABG中,∵∠AGB=90°,AB=10,BG=8,∴AG=

=6,∴AE=2AG=12,∴△ABE的周長為10+10+12=32.∵BE=10,BC=AD=15,∴CE=BC-BE=15-10=5,∴BE∶CE=10∶5=2∶1.∵AB∥FC,∴△ABE∽△FCE,∴△ABE的周長∶△CEF的周長=BE∶CE=2∶1,∴△CEF的周長=16,故選A.思路分析首先依據(jù)AE平分∠BAD,AD∥BC,可得△ABE是等腰三角形,然后根據(jù)等腰三角形“三線合

一”的性質(zhì)得出AE=2AG,利用勾股定理求得AG的長,即可求得AE的長;最后利用△ABE∽△FCE,根據(jù)

周長比等于相似比即可得到答案.2.(2020陜西,8,3分)如圖,在?ABCD中,AB=5,BC=8.E是邊BC的中點,F是?ABCD內(nèi)一點,且∠BFC=90°.連

接AF并延長,交CD于點G.若EF∥AB,則DG的長為()

A.

B.

C.3

D.2答案

D延長EF交AD于H.∵EF∥AB,AB∥CD,∴EH∥CD,∴∠AHF=∠D,AH=HD.∵∠DAG=∠HAF,

∴△AFH∽△AGD.∴

=

.∵∠BFC=90°,E為BC的中點,∴EF=BE=EC=

BC=4.由題意易得四邊形ABEH為平行四邊形,∴AB=EH=5,AH=BE=

BC,∴HF=EH-EF=5-4=1.又AH=HD,∴AH=

AD,∴DG=2FH=2.故選D.

解后反思①已知直角+斜邊中點,聯(lián)想到斜邊上的中線等于斜邊的一半.②由兩直線平行可知角之間

的關(guān)系,聯(lián)想到相似三角形.3.(2018內(nèi)蒙古呼和浩特,8,3分)順次連接平面上A、B、C、D四點得到一個四邊形,從①AB∥CD;②BC=

AD;③∠A=∠C;④∠B=∠D四個條件中任取其中兩個,可以得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)

論的情況共有()A.5種

B.4種

C.3種

D.1種答案

C能夠得出“四邊形ABCD是平行四邊形”這一結(jié)論的情況有①③、①④、③④,共三種.故選

C.4.(2020湖北武漢,14,3分)在探索數(shù)學(xué)名題“尺規(guī)三等分角”的過程中,有下面的問題:如圖,AC是?

ABCD的對角線,點E在AC上,AD=AE=BE,∠D=102°,則∠BAC的大小是

.

答案26°解析∵∠D=102°,四邊形ABCD是平行四邊形,∴∠DAB=180°-∠D=78°,AD=BC,∠DAC=∠ACB,∵AD

=BE,∴BC=BE,∴∠CEB=∠ACB,∵AE=BE,∴∠EAB=∠EBA,∴∠EAB=

∠DAC,∴∠EAB=

∠DAB=26°.解題關(guān)鍵根據(jù)四邊形ABCD是平行四邊形及AD=BE判斷△CEB是等腰三角形是解答本題的關(guān)鍵.5.(2019云南,6,3分)在平行四邊形ABCD中,∠A=30°,AD=4

,BD=4,則平行四邊形ABCD的面積等于

.答案16

或8

解析①當(dāng)∠ABD為銳角時,過D點作DE⊥AB于點E.如圖1.∵在Rt△ADE中,∠A=30°,AD=4

,∴DE=

AD=

×4

=2

,AE=

AD=

×4

=6.在Rt△BDE中,由勾股定理得BE=

=

=2,∴AB=AE+BE=6+2=8,∴S?ABCD=AB·DE=8×2

=16

.圖1②當(dāng)∠ABD為鈍角時,如圖2,同理可得DE=2

,AE=6,BE=2,AB=AE-BE=6-2=4,∴S?ABCD=AB·DE=4×2

=8

.綜上所述,平行四邊形ABCD的面積為16

或8

.圖2方法點撥

本題的難點在于平行四邊形形狀的不確定性.根據(jù)平行四邊形的面積公式,需要知道平行四

邊形的一邊長及該邊上的高,高線可能在平行四邊形的內(nèi)部,也可能在外部,進(jìn)而畫出圖形,其他問題便迎

刃而解了.6.(2020寧夏,21,6分)如圖,在?ABCD中,點E是邊AD的中點,連接CE并延長交BA的延長線于點F.求證:AF

=AB.

證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD.∴∠F=∠ECD,∠FAE=∠D.?(2分)又∵E是AD的中點,∴AE=DE,∴△AEF≌△DEC.?(4分)∴AF=CD,又∵AB=CD,∴AF=AB.?(6分)7.(2020廣西北部灣經(jīng)濟(jì)區(qū),21,8分)如圖,點B,E,C,F在一條直線上,AB=DE,AC=DF,BE=CF.(1)求證:△ABC≌△DEF;(2)連接AD,求證:四邊形ABED是平行四邊形.

證明(1)∵BE=CF,∴BE+EC=CF+EC,即BC=EF,在△ABC和△DEF中,

∴△ABC≌△DEF(SSS).(2)由(1)可知△ABC≌△DEF,∴∠B=∠DEF,∴AB∥DE,又AB=DE,∴四邊形ABED是平行四邊形.思路分析(1)先證明BC=EF,再利用SSS證明△ABC≌△DEF;(2)根據(jù)“一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”證明四邊形ABED是平行四邊形即可.考點一多邊形教師專用題組1.(2019北京,3,2分)正十邊形的外角和為?()A.180°

B.360°

C.720°

D.1440°答案

B任何凸多邊形的外角和都為360°.故選B.2.(2019河北,1,3分)下列圖形為正多邊形的是?()

答案

D正多邊形的各邊相等,各角相等,故選D.3.(2018北京,5,2分)若正多邊形的一個外角是60°,則該正多邊形的內(nèi)角和為?()A.360°

B.540°

C.720°

D.900°答案

C由多邊形外角和為360°,可知這個正多邊形的邊數(shù)為360°÷60°=6,由多邊形內(nèi)角和公式可知內(nèi)

角和為180°×(6-2)=720°.故選C.4.(2020福建,15,4分)如圖所示的六邊形花環(huán)是用六個全等的直角三角形拼成的,則∠ABC等于

度.

答案30解析六邊形花環(huán)由六個全等的直角三角形構(gòu)成,故為正六邊形,所以每個內(nèi)角為

=120°.所以∠ABC=120°-90°=30°.5.(2020江蘇南京,14,2分)如圖,在邊長為2cm的正六邊形ABCDEF中,點P在BC上,則△PEF的面積為

cm2.

答案2

解析連接BF,BE,過點A作AT⊥BF于T,∵六邊形ABCDEF是正六邊形,∴CB∥EF,AB=AF,∠BAF=120°,∴S△PEF=S△BEF.∵AT⊥BF,AB=AF,∴BT=FT,∠BAT=∠FAT=60°,∴BT=FT=AB·sin60°=

(cm),∴BF=2BT=2

(cm),∵∠AFE=120°,∠AFB=∠ABF=30°,∴∠BFE=90°,∴S△PEF=S△BEF=

EF·BF=

×2×2

=2

(cm2).解后反思本題考查正多邊形中三角形面積的求解,解題的方法是運(yùn)用正六邊形對邊平行的性質(zhì)、等

積法,把要求的三角形面積轉(zhuǎn)化為直角三角形面積,再根據(jù)銳角三角函數(shù)求得邊長即可.考點二平行四邊形1.(2019廣東廣州,7,3分)如圖,?ABCD中,AB=2,AD=4,對角線AC,BD相交于點O,且E,F,G,H分別是AO,BO,

CO,DO的中點.則下列說法正確的是?()

A.EH=HGB.四邊形EFGH是平行四邊形C.AC⊥BDD.△ABO的面積是△EFO的面積的2倍答案

B∵點E,H,G分別為OA,OD,OC的中點,∴EH,HG分別是△OAD,△OCD的中位線,∴EH=

AD,HG=

CD,∵AD=4,CD=AB=2,∴EH=2,HG=1,∴EH≠HG,∴A選項錯誤;∵E,F,G,H分別是OA,OB,OC,OD的中點,∴EF,FG,GH,HE分別是△OAB,△OBC,△OCD,△OAD的中位

線,∴EF=

AB,FG=

BC,GH=

CD,HE=

AD,∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB=CD,AD=BC,∴EF=GH,HE=FG,∴四邊形EFGH是平行四邊形,∴B選項正確;無法根據(jù)已知判斷出AC⊥BD,∴C選項錯誤;∵

E,F分別是OA,OB的中點,∴EF是△ABO的中位線,∴EF=

AB,EF∥AB,∴△EFO∽△ABO,∴

=

=

=

,∴△ABO的面積是△EFO的面積的4倍,∴D選項錯誤.故選B.解題關(guān)鍵本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定,三角形中位線定理以及相似三角形的判定和性

質(zhì),解題關(guān)鍵是熟悉相關(guān)知識,利用數(shù)形結(jié)合思想解答.2.(2018安徽,9,4分)?ABCD中,E,F是對角線BD上不同的兩點.下列條件中,

得出四邊形AECF一定為平行四邊形的是?()A.BE=DF

B.AE=CFC.AF∥CE

D.∠BAE=∠DCF答案

B當(dāng)BE=DF時,如圖1,易證△AFD≌△CEB,△ABE≌△CDF,從而AF=CE,AE=CF,所以四邊形AECF一定是平行四邊形,故A不符合題意;如圖1,當(dāng)AF∥CE時,∠AFE=∠CEF,從而∠AFD=∠CEB,又因為∠ADF=∠CBE,AD=BC,所以△AFD≌△CEB,則AF=CE,所以四邊形AECF一定是平行四邊形,故C不符合題意;如圖1,當(dāng)∠BAE=∠DCF時,易證△ABE≌△CDF,可得∠AEB=∠CFD,AE=CF,所以∠AEF=∠CFE,所以AE∥CF,則四邊形AECF一定是平行四邊形,故D不符合題意;如圖2,其中AE=CF,但顯然四邊形AECF不是平行四邊形.故B符合題意.思路分析依據(jù)平行四邊形的定義或判定定理進(jìn)行判斷.

圖1圖23.(2020天津,17,3分)如圖,?ABCD的頂點C在等邊△BEF的邊BF上,點E在AB的延長線上,G為DE的中點,

連接CG.若AD=3,AB=CF=2,則CG的長為

.

答案

解析延長CG交AE于H,過C作CM⊥BE于M,如圖所示,

∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,BC=AD=3,AB=CD=2,∴∠1=∠2,∵G為DE的中點,∴DG=EG,在△DCG和△EHG中,∵

∴△DCG≌△EHG(ASA),∴CG=HG,HE=CD=2,∴CG=

CH,∵△BEF為等邊三角形,∴BE=BF=BC+CF=3+2=5,∠FBE=60°,∵HE=CF=2,∴BH=BC,∴△BCH為等邊三角形,∴CH=BC=3.∴CG=

CH=

×3=

.4.(2020內(nèi)蒙古包頭,18,3分)如圖,在?ABCD中,AB=2,∠ABC的平分線與∠BCD的平分線交于點E,若點E

恰好在邊AD上,則BE2+CE2的值為

.

答案16解析∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴CD=AB=2,BC=AD,AB∥CD,AD∥BC,∴∠ABC+∠BCD=180°,∠AEB=∠EBC,∠DEC=∠BCE,∵BE,CE分別平分∠ABC,∠BCD,∴∠ABE=∠EBC,∠BCE=∠DCE,∴∠ABE=∠AEB,∠DEC=∠DCE,∠BEC=90°,∴AE=AB=2,DE=CD=2,∴BC=AD=AE+DE=4,在Rt△BEC中,BE2+CE2=BC2=42=16.5.(2020陜西,18,5分)如圖,在四邊形ABCD中,AD∥BC,∠B=∠C.E是邊BC上一點,且DE=DC.求證:AD=BE.

證明∵DE=DC,∴∠DEC=∠C.?(1分)∵∠B=∠C,∴∠DEC=∠B.∴AB∥DE.?(3分)∵AD∥BC,∴四邊形ABED為平行四邊形.?(4分)∴AD=BE.?(5分)方法總結(jié)本題可通過證明四邊形ABED是平行四邊形來證明AD=BE.平行四邊形的判定方法:1.定義:

兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形;2.一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形;3.兩組對邊

分別相等的四邊形是平行四邊形;4.兩組對角分別相等的四邊形是平行四邊形;5.對角線互相平分的四

邊形是平行四邊形.6.(2020重慶A卷,21,10分)如圖,在平行四邊形ABCD中,對角線AC,BD相交于點O,分別過點A,C作AE⊥BD,

CF⊥BD,垂足分別為E,F.AC平分∠DAE.(1)若∠AOE=50°,求∠ACB的度數(shù);(2)求證:AE=CF.

解析(1)∵AE⊥BD,∴∠AEO=90°,∵∠AOE=50°,∴∠EAO=40°.又∵AC平分∠DAE,∴∠OAD=∠EAO=40°.∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC.∴∠ACB=∠OAD=40°.?(5分)(2)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AO=CO.∵AE⊥BD,CF⊥BD,∴∠AEO=∠CFO=90°.在△AEO和△CFO中,

∴△AEO≌△CFO.∴AE=CF.?(10分)7.(2019安徽,20,10分)如圖,點E在?ABCD內(nèi)部,AF∥BE,DF∥CE.(1)求證:△BCE≌△ADF;(2)設(shè)?ABCD的面積為S,四邊形AEDF的面積為T,求

的值.

解析(1)證明:如圖1,延長FA與CB的延長線交于點M,∵AD∥BC,∴∠FAD=∠M.又∵AF∥BE,∴∠M=∠EBC,∴∠FAD=∠EBC.同理得∠FDA=∠ECB.在△BCE和△ADF中,∵∠EBC=∠FAD,BC=AD,∠ECB=∠FDA,∴△BCE≌△ADF.?(5分)(2)解法一:如圖1,連接EF,由(1)知△BCE≌△ADF,∴AF=BE.又AF∥BE,圖1∴四邊形ABEF為平行四邊形,∴S△AEF=S△AEB.同理S△DEF=S△DEC,∴T=S△AEB+S△DEC.又T=S△AED+S△ADF=S△AED+S△BCE,∴S=S△AEB+S△DEC+S△AED+S△BCE=2T.∴

=2.

(10分)解法二:∵△BCE≌△ADF,∴T=S△AED+S△BCE.如圖2,過點E作HG⊥BC交BC于G,交AD于H,則EG⊥BC,EH⊥AD.于是,T=S△AED+S△BCE=

BC·(EG+EH)=

BC·GH=

S,即

=2.

(10分)

圖2方法總結(jié)求不規(guī)則四邊形的面積常將不規(guī)則四邊形分割成三角形,求三角形的面積和或轉(zhuǎn)化成求熟

悉易求的圖形面積.8.(2017新疆烏魯木齊,19,10分)如圖,四邊形ABCD是平行四邊形,E、F是對角線BD上的兩點,且BF=ED,

求證:AE∥CF.

證明∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,且AD=BC,?(3分)∴∠ADE=∠CBF.又∵ED=BF,∴△AED≌△CFB,?(6分)∴∠AED=∠CFB,?(8分)∴AE∥CF.?(10分)A組2018—2020年模擬·基礎(chǔ)題組時間:30分鐘分值:45分一、選擇題(每小題3分,共12分)1.(2020云南紅河州開遠(yuǎn)模擬,9)一個多邊形的內(nèi)角和等于它的外角和的3倍,則它是?()A.八邊形

B.七邊形C.六邊形

D.九邊形答案

A設(shè)這個多邊形是n邊形,根據(jù)題意,得(n-2)·180=360×3,解得n=8,即它是八邊形.故選A.2.(2020浙江杭州蕭山一模,6)如圖,?ABCD的周長為22cm,對角線AC、BD交于點O,過點O與AC垂直的

直線交邊AD于點E,則△CDE的周長為?()

A.8cmB.9cmC.10cmD.11cm答案

D∵四邊形ABCD是平行四邊形,對角線交點為O,∴AB=CD,AD=BC,AO=CO,又∵EO⊥AC,∴AE=CE.∵?ABCD的周長為22cm,∴2(AD+CD)=22cm.∴AD+CD=11cm.∴△CDE的周長=CE+DE+CD=AE+DE+CD=AD+CD=11cm.故選D.3.(2019天津和平一模,9)如圖,將?ABCD沿對角線AC折疊,使點B落在B‘處,若∠1=∠2=44°,則∠B為?(

)

A.66°

B.104°

C.114°

D.124°答案

C∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,∴∠ACD=∠BAC.由折疊的性質(zhì)得∠BAC=∠B'AC,∴∠BAC=∠ACD=∠B'AC=

∠1=22°,∴∠B=180°-∠2-∠BAC=180°-44°-22°=114°.故選C.4.(2018新疆昌吉州阜康二模,6)如圖,在?ABCD中,AE⊥BC于點E,AF⊥CD于點F,若AE=20,CE=15,CF=7,

AF=24,則BE的長為?()

A.10

B.

C.15

D.

答案

C∵AE⊥BC,AF⊥CD,∴S?ABCD=AE·BC=AF·CD.∵AE=20,AF=24,∴BC∶CD=AF∶AE=24∶20=

6∶5.設(shè)BC=6x,則AD=6x,AB=CD=5x,BE=6x-15,DF=5x-7.在Rt△AEB中,AB2=AE2+BE2,即(5x)2=202+(6x-15)2

①,在Rt△ADF中,AD2=AF2+DF2,即(6x)2=242+(5x-7)2②,由①-②解得x=5,則BE=6x-15=30-15=15.故選C.二、填空題(每小題3分,共9分)5.(2020吉林長春一模,12)如圖,一束平行太陽光線照射到正五邊形上,則∠1=

.

答案30°解析如圖,過正五邊形一個頂點A作光線的平行線,則∠2=42°,∠1=∠3,∵五邊形是正五邊形,∴它的一個內(nèi)角是108°,∴∠3=180°-42°-108°=30°,∴∠1=∠3=30°.6.(2020湖北武漢青山備考,14)如圖,在四邊形ABCD中,AD=12,對角線AC,BD交于點O,∠ADB=90°,OD=

OB=5,AC=26,則四邊形ABCD的面積為

.

答案120解析∵∠ADB=90°,AD=12,OD=5,∴AO=

=

=13.又∵AC=26,∴CO=AC-AO=13=AO,又∵DO=BO,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴平行四邊形ABCD的面積=4S△ADO=4×

×12×5=120.7.(2019內(nèi)蒙古巴彥淖爾模擬,20)若在?ABCD中,∠A=30°,AB=9,AD=8,則S?ABCD=

.答案36解析如圖,過點D作DE⊥AB于點E.

∵∠A=30°,DE⊥AB,AD=8,∴DE=

AD=4.∴S?ABCD=BA·DE=9×4=36.三、解答題(共24分)8.(2020江西南昌二模,14)如圖,在平行四邊形AFCE中,D,B分別是EC,AF的中點.求證:BC=AD.

證明∵四邊形AFCE是平行四邊形,∴AB∥CD,AF=CE,又∵D,B分別是EC,AF的中點,∴AB=

AF,CD=

EC,∴AB=CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,∴BC=AD.9.(2020甘肅蘭州一診,20)如圖,在?ABCD中,E,F是對角線AC上的兩點,且AE=CF,BE=6,求DF的長度.

解析∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB∥CD,AB=CD,∴∠BAE=∠DCF.在△ABE和△CDF中,

∴△ABE≌△CDF(SAS),∴DF=BE=6.10.(2019云南昆明模擬,16)如圖,在?ABCD中,

=

,連接AE并延長交BC的延長線于點F.(1)求證:△ADE≌△FCE;(2)若AB=2FC,∠F=38°,求∠B的度數(shù).

解析(1)證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AD∥BC,∴∠D=∠ECF.∵

=

,∴DE=CE.又∠AED=∠FEC,∴△ADE≌△FCE(ASA).(2)由(1)中結(jié)論可得AD=FC.∵AD=BC,AB=2FC,∴AB=FB,∴∠BAF=∠F=38°,∴∠B=180°-2×38°=104°.B組2018—2020年模擬·提升題組時間:30分鐘分值:45分一、選擇題(每小題3分,共9分)1.(2019天津濱海新區(qū)一模,8)一個圓的內(nèi)接正六邊形的邊長為4,則該圓的內(nèi)接正方形的邊長為?()A.2

B.4

C.4

D.8答案

B∵圓內(nèi)接正六邊形的邊長是4,∴圓的半徑為4.∴圓的直徑為8.∴圓的內(nèi)接正方形的對角線長為圓的直徑,等于8.∴圓的內(nèi)接正方形的邊長是4

.故選B.2.(2020云南師大附中一模,13)如圖,若干全等正五邊形排成環(huán)狀.圖中所示的是前3個正五邊形,要完成這

一圓環(huán)還需多少個正五邊形?()

A.6個

B.7個

C.8個

D.9個答案

B因為五邊形的內(nèi)角和為(5-2)×180°=540°,所以正五邊形的每一個內(nèi)角為540°÷5=108°,如圖,延長正五邊形的兩邊相交于點O,則∠1=360°-108°×3=360°-324°=36°,360°÷36°=10,∵已經(jīng)有3個正五邊形,∴完成這一圓環(huán)還需10-3=7個正五邊形.故選B.3.(2019上海長寧二模,6)已知四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O,下列條件中,不能判定四邊形

ABCD是平行四邊形的是?()A.∠ADB=∠CBD,AB∥CDB.∠ADB=∠CBD,∠DAB=∠BCDC.∠DAB=∠BCD,AB=CDD.∠ABD=∠CDB,OA=OC答案

C∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,又∵AB∥CD,∴四邊形ABCD是平行四邊形,故A選項不符合題

意;∵∠ADB=∠CBD,∴AD∥BC,∴∠BAD+∠ABC=∠ADC+∠BCD=180°,∵∠DAB=∠BCD,∴∠ABC=∠

ADC,∴四邊形ABCD是平行四邊形,故B選項不符合題意;由∠DAB=∠BCD,AB=CD不能判定四邊形ABCD是平行四邊形,故C選項符合題意;∵∠ABD=∠CDB,∠AOB=∠COD,OA=OC,∴△AOB≌△COD(AAS),∴OB=OD,又OA=OC,∴四邊形

ABCD為平行四邊形,故D選項不符合題意.故選C.二、填空題(每小題3分,共12分)4.(2020四川巴中5月模擬,17)如圖,在平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=5,∠BCD的平分線交AD于點F,交BA

的延長線于點E,則AE的長為

.

答案3解析∵在平行四邊形ABCD中,AB=2,BC=5,∴CD=AB=2,AD=BC=5,AD∥BC,∴∠DFC=∠FCB.∵CE平分∠DCB,∴∠DCF=∠BCF,∴∠DFC=∠DCF,∴DC=DF=2,∴AF=AD-DF=5-2=3.∵AB∥CD,∴∠E=∠DCF,又∵∠EFA=∠DFC,∠DFC=∠DCF,∴∠AEF=∠EFA,∴AE=AF=3.5.(2020陜西西安西北工大附中二模,12)已知正六邊形的周長為12,則這個正六邊形的邊心距是

.答案

解析如圖,連接OA、OB,過點O作OG⊥AB于點G.在Rt△AOG中,易知OA=AB=2,∠AOG=30°,∴OG=OA·cos30°=2×

=

.故這個正六邊形的邊心距為

.6.(2019上海嘉定二模,16)如圖,平行四邊形ABCD的對角線AC、BD交于點O,過點O的線段EF與AD、BC

分別交于點E、F,如果AB=4,BC=5,OE=

,那么四邊形EFCD的周長為

.

答案12解析∵四邊形ABCD為平行四邊形,∴AB=CD=4,AD=BC=5,AO=OC,∠OAD=∠OCF,又∠AOE=∠COF,∴△OAE≌△OCF,∴OF=OE=1.5,CF=AE,∴四邊形EFCD的周長=ED+CD+CF+OF+OE=ED+AE+CD+OE+OF=AD+CD+OE+OF=12.7.(2019上海長寧一模,18)點P在平行四邊形ABCD的邊BC上,將△ABP沿直線AP翻折,點B的對應(yīng)點B'恰

好落在邊AD的垂直平分線上,如果AB=5,AD=8,tanB=

,那么BP的長為

.答案

或7解析①如圖1,過A作AH⊥BC于H,連接DB',設(shè)BB'與AP交于E,AD的垂直平分線交AD于M,交BC于N.∵tanB=

=

,∴設(shè)AH=4x,BH=3x(x>0),∴AB=

=5x=5,∴x=1,∴AH=4,BH=3.∵將△ABP沿直線AP翻折,點B的對應(yīng)點B'恰好落在邊AD的垂直平分線MN上,∴AB'=AB=5,AM=DM=

AD=4,∠AMN=∠HNM=90°.又AH=4,∴四邊形AHNM是正方形,∴HN=MN=4,∴BN=7,MB'=

=3,則B'N=1,∴BB'=

=5

,∴BE=

BB'=

.∵∠BEP=∠BNB