山東省鄒平雙語學(xué)校二區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題含解析

山東省鄒平雙語學(xué)校二區(qū)2025屆數(shù)學(xué)高一上期末統(tǒng)考試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書寫，字體工整、筆跡清楚。3．請按照題號順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試題卷上答題無效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．某數(shù)學(xué)興趣小組設(shè)計(jì)了一種螺線，作法如下：在水平直線上取長度為1的線段AB，并作等邊三角形ABC，然后以點(diǎn)B為圓心，BA為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段CB的延長線于點(diǎn)D；再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑逆時(shí)針畫圓弧，交線段AC的延長線于點(diǎn)E，以此類推，得到的螺線如圖所示．當(dāng)螺線與直線有6個(gè)交點(diǎn)（不含A點(diǎn)）時(shí)，則螺線長度最小值為（）A. B.C. D.2．學(xué)校為了調(diào)查學(xué)生在課外讀物方面的支出情況，抽出了一個(gè)容量為的樣本，其頻率分布直方圖如圖所示，其中支出在元的同學(xué)有30人，則的值為A.300 B.200C.150 D.1003．若一束光線從點(diǎn)射入，經(jīng)直線反射到直線上的點(diǎn)，再經(jīng)直線反射后經(jīng)過點(diǎn)，則點(diǎn)的坐標(biāo)為（）A. B.C. D.4．已知兩條繩子提起一個(gè)物體處于平衡狀態(tài).若這兩條繩子互相垂直，其中一條繩子的拉力為50，且與兩繩拉力的合力的夾角為30°，則另一條繩子的拉力為（）A.100 B.C.50 D.5．已知函數(shù)在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)，則正實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B.C. D.6．圓x2＋y2－2x＋4y＋3＝0的圓心到直線x－y＝1的距離為()A.2 B.C.1 D.7．下列函數(shù)中，在區(qū)間上為減函數(shù)的是（）A. B.C. D.8．設(shè)，，，則，，的大小關(guān)系（）A. B.C. D.9．已知函數(shù)fx①fx的定義域是-②fx③fx在區(qū)間(0,+④fx的圖像與gx=1其中正確的結(jié)論是（）A.①② B.③④C.①②③ D.①②④10．若直線與直線互相垂直,則等于(

)A.1 B.-1C.±1 D.-2二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有最值，則的取值范圍為_______12．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形的頂點(diǎn)、分別在軸非負(fù)半軸和軸的非負(fù)半軸上滑動，頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)，，，設(shè).若，則點(diǎn)的坐標(biāo)為______；若，則的取值范圍為______.13．已知f（x）=mx3-nx+1（m，n∈R），若f（-a）=3，則f（a）=______14．已知，，則________.15．設(shè)，則______.16．若關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數(shù)（其中），函數(shù)（其中）.（1）若且函數(shù)存在零點(diǎn)，求的取值范圍；（2）若是偶函數(shù)且函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象只有一個(gè)公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．如圖，已知三棱錐中，，，為的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，且為正三角形.（1）求證：平面；（2）求證：平面；（3）若，，求三棱錐的體積.19．已知函數(shù)的圖象中相鄰兩條對稱軸之間的距離為，且直線是其圖象的一條對稱軸（1）求，的值；（2）在圖中畫出函數(shù)在區(qū)間上的圖象；（3）將函數(shù)的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），再把得到的圖象向左平移個(gè)單位，得到的圖象，求單調(diào)減區(qū)間.20．已知函數(shù)（且）的圖象過點(diǎn).（1）求函數(shù)的解析式；（2）解不等式.21．已知函數(shù)，（，，）圖象的一部分如圖所示.（1）求函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)時(shí)，求的值域.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)題意，找到螺線畫法的規(guī)律，由此對選項(xiàng)逐一分析，從而得到答案【詳解】第1次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第2次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)1次；第3次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為3，交累計(jì)2次；第4次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第5次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)3次；前5次累計(jì)畫線；第6次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)4次，累計(jì)畫線；第7次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為；第8次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)5次；第9次畫線：以點(diǎn)為圓心，，旋轉(zhuǎn)，劃過的圓弧長為，交累計(jì)6次，累計(jì)畫線，故選項(xiàng)A正確故選：A另解：由前三次規(guī)律可發(fā)現(xiàn)，每畫三次，與l產(chǎn)生兩個(gè)交點(diǎn)，故要產(chǎn)生6個(gè)交點(diǎn)，需要畫9次；每一次畫的圓弧長度是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以前9項(xiàng)之和為：﹒故選：A﹒2、D【解析】根據(jù)頻率分布直方圖的面積和1,可得的頻率為P=1-10(0.01+0.024+0.036)=0.3,又由,解得.選D.3、C【解析】由題可求A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為及關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，可得直線的方程，聯(lián)立直線，即得.【詳解】設(shè)A關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，設(shè)關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，則，解得，即，∴直線的方程為：代入，可得，故.故選：C.4、D【解析】利用向量的平行四邊形法則求解即可【詳解】如圖，兩條繩子提起一個(gè)物體處于平衡狀態(tài)，不妨設(shè)，根據(jù)向量的平行四邊形法則，故選：D5、D【解析】將零點(diǎn)個(gè)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題，通過對參數(shù)討論作圖可解.【詳解】在區(qū)間上有且只有一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間上有且只有一個(gè)解，即在區(qū)間上有且只有一個(gè)解令，，當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞減，在上單調(diào)遞增且，，由圖1知，此時(shí)函數(shù)與在上只有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)，即時(shí)，因?yàn)椋砸购瘮?shù)與在上有且只有一個(gè)交點(diǎn)，由圖2知，即，解得或（舍去）.綜上，的取值范圍為.故選：D6、D【解析】圓心為,點(diǎn)到直線的距離為.故選D.7、D【解析】根據(jù)基本初等函數(shù)的單調(diào)性及復(fù)合函數(shù)單調(diào)性求解.【詳解】當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，所以在區(qū)間上為增函數(shù)；由指數(shù)函數(shù)單調(diào)性知在區(qū)間上單調(diào)遞增；由在區(qū)間上為增函數(shù)，為增函數(shù)，可知在區(qū)間上為增函數(shù)；知在區(qū)間上為減函數(shù).故選：D8、A【解析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比大小.【詳解】由已知得，，且，，所以.故選：A.9、D【解析】可根據(jù)已知的函數(shù)解析式，通過求解函數(shù)的定義域、奇偶性、單調(diào)性和與gx=【詳解】函數(shù)fx=x②選項(xiàng)，因?yàn)閒x=x選項(xiàng)③，在區(qū)間0,+∞時(shí)，fx=xx2+1=1x+1x，而函數(shù)選項(xiàng)④，可通過畫出fx的圖像與gx=1故選：D.10、C【解析】分類討論：兩條直線的斜率存在與不存在兩種情況，再利用相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系即可【詳解】解：①當(dāng)時(shí)，利用直線方程分別化為：，，此時(shí)兩條直線相互垂直②如果，兩條直線的方程分別為與，不垂直，故；③，當(dāng)時(shí)，此兩條直線的斜率分別為，兩條直線相互垂直，，化為，綜上可知：故選【點(diǎn)睛】本題考查了相互垂直的直線斜率之間的關(guān)系、分類討論思想方法，屬于基礎(chǔ)題二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】當(dāng)函數(shù)取得最值時(shí)有，由此求得的值，根據(jù)列不等式組，解不等式組求得的取值范圍（含有），對賦值求得的具體范圍.【詳解】由于函數(shù)取最值時(shí)，，，即，又因?yàn)樵趨^(qū)間內(nèi)有最值.所以時(shí)，有解，所以，即，由得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，又，，所以的范圍為.【點(diǎn)睛】本小題主要考查三角函數(shù)最值的求法，考查不等式的解法，考查賦值法，屬于中檔題.12、①.②.【解析】分別過點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，設(shè)點(diǎn)、，根據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可得出點(diǎn)、的坐標(biāo)，然后利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算和二倍角的正弦公式可求出的取值范圍.【詳解】分別過點(diǎn)作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，過點(diǎn)分別作、軸的垂線，垂足點(diǎn)分別為、，如下圖所示：則，設(shè)點(diǎn)、，則，，，.當(dāng)時(shí)，，，則點(diǎn)；由上可知，，，則，因此，的取值范圍是.故答案為：；.【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的坐標(biāo)的計(jì)算，同時(shí)也考查了平面向量數(shù)量積的取值范圍的求解，解題的關(guān)鍵就是將點(diǎn)的坐標(biāo)利用三角函數(shù)表示，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.13、【解析】直接證出函數(shù)奇偶性，再利用奇偶性得解【詳解】由題意得，所以，所以為奇函數(shù)，所以，所以【點(diǎn)睛】本題是函數(shù)中的給值求值問題，一般都是利用函數(shù)的周期性和奇偶性把未知的值轉(zhuǎn)化到已知值上，若給點(diǎn)函數(shù)為非系非偶函數(shù)可試著構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)為奇偶函數(shù)從而求解14、【解析】根據(jù)已知條件求得的值，由此求得的值.【詳解】依題意，兩邊平方得，而，所以，所以.由解得，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】知道其中一個(gè)，可通過同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式求得另外兩個(gè)，在求解過程中要注意角的范圍.15、1【解析】根據(jù)指數(shù)式與對數(shù)式的互化，得到，，再結(jié)合對數(shù)的運(yùn)算法則，即可求解.【詳解】由，可得，，所以.故答案為：.16、【解析】把關(guān)于的方程只有一個(gè)實(shí)根，轉(zhuǎn)化為曲線與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線與直線的圖象，結(jié)合圖象，即可求解.【詳解】由題意，關(guān)于方程只有一個(gè)實(shí)根，轉(zhuǎn)化為曲線與直線的圖象有且只有一個(gè)交點(diǎn)，在同一坐標(biāo)系內(nèi)作出曲線與直線的圖象，如圖所示，結(jié)合圖象可知，當(dāng)直線介于和之間的直線或與重合的直線符合題意，又由直線在軸上的截距分別為，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.故答案為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線與圓的位置關(guān)系的應(yīng)用，其中解答中把方程的解轉(zhuǎn)化為直線與曲線的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)，結(jié)合圖象求解是解答的關(guān)鍵，著重考查了轉(zhuǎn)化思想，以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)題意，分離參數(shù)且利用對數(shù)型復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得的值域，即可求得參數(shù)的取值范圍；（2）根據(jù)是偶函數(shù)求得參數(shù)，再根據(jù)題意，求解指數(shù)方程即可求得的取值范圍.【小問1詳解】由題意知函數(shù)存零點(diǎn)，即有解.又，易知在上是減函數(shù)，又，，即，所以，所以的取值范圍是.【小問2詳解】的定義域?yàn)?，若是偶函?shù)，則，即解得.此時(shí)，，所以即為偶函數(shù).又因?yàn)楹瘮?shù)與的圖象有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，故方程只有一解，即方程有且只有一個(gè)實(shí)根令，則方程有且只有一個(gè)正根①當(dāng)時(shí)，，不合題意，②當(dāng)時(shí)，方程有兩相等正根，則，且，解得，滿足題意；③若一個(gè)正根和一個(gè)負(fù)根，則，即時(shí)，滿足題意，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍為或.【點(diǎn)睛】本題考察利用函數(shù)奇偶性求參數(shù)值，以及對數(shù)方程的求解，對數(shù)型復(fù)合函數(shù)值域的求解，解決問題的關(guān)鍵是熟練的掌握對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，屬綜合困難題.18、（1）見詳解；（2）見詳解；（3）.【解析】(1)先證，可證平面.(2)先證，得，結(jié)合可證得平面.(3)等積轉(zhuǎn)換，由，可求得體積.【詳解】(1)證明：因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，為的中點(diǎn)，所以是的中位線，.又，，所以.(2)證明：因?yàn)闉檎切危瑸榈闹悬c(diǎn)，所以.又，所以.又因?yàn)?，，所?因?yàn)椋?又因?yàn)椋?，所?(3)因?yàn)?，，所以，即是三棱錐的高.因?yàn)?，為的中點(diǎn)，為正三角形，所以.由，可得，在直角三角形中，由，可得.于是.所以.【點(diǎn)睛】本題考查空間線面平行與垂直的證明，體積的計(jì)算.空間中的平行與垂直的證明過程就是利用相關(guān)定義、判定定理和性質(zhì)定理實(shí)現(xiàn)線線平行(垂直)、線面平行(垂直)、面面平行(垂直)的轉(zhuǎn)換.求三棱錐的體積常采用等積轉(zhuǎn)換的方法，選擇易求的底面積和高來求體積.19、（1）.．（2）見解析（3），【解析】（1）兩條對稱軸之間的距離是半個(gè)周期，求，當(dāng)時(shí)，代入求（2）由（1）知，根據(jù)“五點(diǎn)法”畫出函數(shù)的圖象；（3）首先求圖象變換后的解析式，再令，，求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間.【詳解】（1）∵相鄰兩條對稱軸之間的距離為，∴的最小正周期,∴.∵直線是函數(shù)的圖象的一條對稱軸，∴．∴，∵，∴（2）由知0-1010故函數(shù)在區(qū)間上的圖象如圖（3）由的圖象上各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短為原來的（縱坐標(biāo)不變），得到，圖象向左平移個(gè)單位后得到，，令，，∴函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，【點(diǎn)睛】本題考查三角函數(shù)性質(zhì)和圖象的綜合問題，意在考查熟練掌握三角函數(shù)性質(zhì)，一般“五點(diǎn)法”畫的圖象，若是函數(shù)圖象變換，1.左右平移，需根據(jù)“左＋右－”的變換規(guī)律求解，2.周期變換（伸縮變換），若是函數(shù)橫坐標(biāo)伸長（或縮短）到原來