2025屆北京市朝陽區(qū)北京八十中學高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題含解析

2025屆北京市朝陽區(qū)北京八十中學高二數(shù)學第一學期期末質量檢測試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔。考試結束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．離心率為，長軸長為6的橢圓的標準方程是A. B.或C. D.或2．設是空間一定點，為空間內任一非零向量，滿足條件的點構成的圖形是（）A.圓 B.直線C.平面 D.線段3．圓截直線所得弦的最短長度為（）A.2 B.C. D.44．圓關于直線l：對稱的圓的方程為（）A. B.C. D.5．已知直線和圓相交于兩點．若，則的值為（）A. B.C. D.6．如圖，在正方體中，是側面內一動點，若到直線與直線的距離相等，則動點的軌跡所在的曲線是（）A.直線 B.圓C.雙曲線 D.拋物線7．已知數(shù)列滿足，（且），若恒成立，則M的最小值是（）A.2 B.C. D.38．若圓與圓相切，則實數(shù)a的值為（）A.或0 B.0C. D.或9．是橢圓的焦點，點在橢圓上，點到的距離為1，則到的距離為（）A.3 B.4C.5 D.610．拋物線的準線方程為（）A B.C. D.11．已知數(shù)列的前項和為，滿足，，，則（）A. B.C.,,成等差數(shù)列 D.,,成等比數(shù)列12．己知F為拋物線的焦點，過F作兩條互相垂直的直線，，直線與C交于A、B兩點，直線與C交于D、E兩點，則的最小值為（）A.24 B.22C.20 D.16二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知正數(shù)滿足，則的最小值是__________.14．方程的曲線的一條對稱軸是_______，的取值范圍是______.15．某教師組織本班學生開展課外實地測量活動，如圖是要測山高.現(xiàn)選擇點A和另一座山頂點C作為測量觀測點，從A測得點M的仰角，點C的仰角，測得，，已知另一座山高米，則山高_______米.16．命題“若，則”的逆否命題為______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）某城市戶居民的月平均用電量（單位：度），以，，，，，，分組的頻率分布直方圖如圖（1）求直方圖中的值；（2）求月平均用電量的眾數(shù)和中位數(shù)；（3）在月平均用電量為，，，的四組用戶中，用分層抽樣的方法抽取戶居民，則月平均用電量在的用戶中應抽取多少戶？18．（12分）已知函數(shù).（1）若，求函數(shù)的單調區(qū)間；（2）設存在兩個極值點，且，若，求證：.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）當時，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范圍.20．（12分）已知橢圓的離心率是，且過點.直線與橢圓相交于兩點.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的面積的最大值；（Ⅲ）設直線，分別與軸交于點，.判斷，大小關系，并加以證明.21．（12分）已知兩圓x2+y2-2x-6y-1=0．x2+y2-10x-12y+m=0（1）m取何值時兩圓外切？（2）m取何值時兩圓內切？（3）當m=45時，求兩圓公共弦所在直線的方程和公共弦的長22．（10分）已知拋物線的焦點為F，點是拋物線上的點，且.（1）求拋物線方程；（2）直線與拋物線交于、兩點，且.求△OPQ面積的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】試題解析：當焦點在x軸上：當焦點在y軸上：考點：本題考查橢圓的標準方程點評：解決本題的關鍵是焦點位置不同方程不同2、C【解析】根據(jù)法向量的定義可判斷出點所構成的圖形.【詳解】是空間一定點，為空間內任一非零向量，滿足條件，所以，構成的圖形是經(jīng)過點，且以為法向量的平面.故選：C.【點睛】本題考查空間中動點的軌跡，考查了法向量定義的理解，屬于基礎題.3、A【解析】由題知直線過定點，且在圓內，進而求解最值即可.【詳解】解：將直線化為，所以聯(lián)立方程得所以直線過定點將化為標準方程得，即圓心為，半徑為，由于，所以點在圓內，所以點與圓圓心間的距離為，所以圓截直線所得弦的最短長度為故選：A4、A【解析】首先求出圓的圓心坐標與半徑，再設圓心關于直線對稱的點的坐標為，即可得到方程組，求出、，即可得到圓心坐標，從而求出對稱圓的方程；【詳解】解：圓的圓心為，半徑，設圓心關于直線對稱的點的坐標為，則，解得，即圓關于直線對稱的圓的圓心為，半徑，所以對稱圓的方程為；故選：A5、C【解析】求出圓心到直線的距離，再利用，化簡求值，即可得到答案.【詳解】圓的圓心為，圓心到直線的距離公式為，故故選：C.6、D【解析】由到直線的距離等于到點的距離可得到直線的距離等于到點的距離，然后可得答案.【詳解】因為到直線的距離等于到點的距離，所以到直線的距離等于到點的距離，所以動點的軌跡是以為焦點、為準線的拋物線故選：D7、C【解析】根據(jù)，（且），利用累加法求得，再根據(jù)恒成立求解.【詳解】因為數(shù)列滿足，，（且）所以，，，，因為恒成立，所以，則M的最小值是，故選：C8、D【解析】根據(jù)給定條件求出兩圓圓心距，再借助兩圓相切的充要條件列式計算作答.【詳解】圓的圓心，半徑，圓的圓心，半徑，而，即點不可能在圓內，則兩圓必外切，于是得，即，解得，所以實數(shù)a的值為或.故選：D9、C【解析】利用橢圓的定義直接求解【詳解】由題意得，得，因為，，所以，故選：C10、D【解析】根據(jù)拋物線方程求出，進而可得焦點坐標以及準線方程.【詳解】由可得，所以焦點坐標為，準線方程為：，故選：D.11、C【解析】寫出數(shù)列前幾項，觀察規(guī)律，找到數(shù)列變化的周期，再依次去判斷各項的說法即可解決.【詳解】數(shù)列中，，，，則此數(shù)列為1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，1，2，2，1，，，…即數(shù)列的各項是周期為6數(shù)值循環(huán)重復的一列數(shù)，選項A：，，則.判斷錯誤；選項B：由，可知當時，.判斷錯誤；選項C：，則，即,,成等差數(shù)列.判斷正確；選項D：,,則，,即,,不能構成等比數(shù)列.判斷錯誤.故選：C12、A【解析】由拋物線的性質：過焦點的弦長公式計算可得.【詳解】設直線，的斜率分別為，由拋物線的性質可得，，所以，又因為，所以，所以，故選：A.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、8【解析】利用“1”代換，結合基本不等式求解.【詳解】因為，，所以，當且僅當，即時等號成立，所以當時，取得最小值8.故答案為：8.14、①.x軸或直線②.【解析】根據(jù)給定條件分析方程的性質即可求得對稱軸及x的取值范圍作答.【詳解】方程中，因，則曲線關于x軸對稱，又，解得，此時曲線與都關于直線對稱，曲線的對稱軸是x軸或直線，的取值范圍是.故答案為：x軸或直線；15、【解析】利用正弦定理可求出各個三角形的邊長，進而求出山高.【詳解】解：在中，，，，可得在中，，所以由正弦定理可得：即，得在直角中，所以故答案為：.16、若，則【解析】否定原命題條件和結論，并將條件與結論互換，即可寫出逆否命題.【詳解】由逆否命題的定義知：原命題的逆否命題為“若，則”.故答案為：若，則.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2），；（3）【解析】（1）由直方圖的性質可得（0.002+0.0095+0.011+0.0125+x+0.005+0.0025）×20=1，解方程可得；（2）由直方圖中眾數(shù)為最高矩形上端的中點可得，可得中位數(shù)在[220，240）內，設中位數(shù)為a，解方程（0.002+0.0095+0.011）×20+0.0125×（a-220）=0.5可得；（3）可得各段的用戶分別為25，15，10，5，可得抽取比例，可得要抽取的戶數(shù)試題解析：(1)由直方圖的性質可得(0.002＋0.0095＋0.011＋0.0125＋x＋0.005＋0.0025)×20＝1得：x＝0.0075，所以直方圖中x的值是0.0075.-------------3分(2)月平均用電量的眾數(shù)是＝230.-------------5分因為(0.002＋0.0095＋0.011)×20＝0.45<0.5，所以月平均用電量的中位數(shù)在[220,240)內，設中位數(shù)為a，由(0.002＋0.0095＋0.011)×20＋0.0125×(a－220)＝0.5得：a＝224，所以月平均用電量的中位數(shù)是224.------------8分(3)月平均用電量為[220,240)的用戶有0.0125×20×100＝25戶，月平均用電量為[240,260)的用戶有0.0075×20×100＝15戶，月平均用電量為[260,280)的用戶有0.005×20×100＝10戶，月平均用電量為[280,300]的用戶有0.0025×20×100＝5戶，-------------10分抽取比例＝＝，所以月平均用電量在[220,240)的用戶中應抽取25×＝5戶．--12分考點：頻率分布直方圖及分層抽樣18、（1）在和上單調遞增，在上單調遞減；（2）證明見解析【解析】（1）首先求出函數(shù)的導函數(shù)，再令、，分別求出函數(shù)的單調區(qū)間；（2）先求出，構造函數(shù)，求出函數(shù)的導數(shù)，得到函數(shù)的單調區(qū)間，求出函數(shù)的最小值，從而證明結論【小問1詳解】解：當時，，所以，令，解得或，令，解得，所以函數(shù)在和上單調遞增，在上單調遞減；【小問2詳解】解：，，，因為存在兩個極值點，，所以存在兩個互異的正實數(shù)根，，所以，，則，所以，所以，令，則，，，在上單調遞減，，而，即，19、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含參數(shù)的一元二次不等式即可求出結果；（2）二次函數(shù)的恒成立問題需要對二次項系數(shù)是否為0進行分類討論，即可求出結果.【詳解】（1）當時，，即，解得或，所以，解集為或.（2）因為在上恒成立，①當時，恒成立；②當時，，解得，綜上，的取值范圍為.20、（1）（2）（3）見解析【解析】(1)由題意求得，所以橢圓的方程為(2)聯(lián)立直線與橢圓方程，由題意可得．三角形的高為．，面積表達式，當且僅當時，．即的面積的最大值是(3)結論為．利用題意有．所以試題解析：解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為因為橢圓的離心率是，所以，即由解得所以橢圓的方程為（Ⅱ）將代入，消去整理得令，解得設則，所以點到直線的距離為所以的面積，當且僅當時，所以的面積的最大值是（Ⅲ）．證明如下：設直線，的斜率分別是，，則由（Ⅱ）得，所以直線，的傾斜角互補所以，所以所以21、（1）（2）（3）直線方程為4x+3y-23=0，弦長為【解析】（1）先把兩個圓的方程化為標準形式，求出圓心和半徑，再根據(jù)兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之和，求得m的值；（2）由兩圓的圓心距等于兩圓的半徑之差為，求得m的值．（3）當m=45時，把兩個圓的方程相減，可得公共弦所在的直線方程．求出第一個圓的圓心（1，3）到公共弦所在的直線的距離d，再利用弦長公式求得弦長試題解析：（1）由已知可得兩個圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=61-m，兩圓的圓心距d==5，兩圓的半徑之和為+，由兩圓的半徑之和為+=5，可得m=（2）由兩圓的圓心距d=="5"等于兩圓的半徑之差為|-|，即|-|=5，可得-="5"（舍去），或-=-5，解得m=（3）當m=45時，兩圓的方程分別為（x-1）2+（y-3）2=11、（x-5）2+（y-6）2=1