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文檔簡(jiǎn)介
2025屆華中師大一附中高三數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測(cè)試試題注意事項(xiàng)1.考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2.試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上,在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答;第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3.考試結(jié)束后,考生須將試卷和答題卡放在桌面上,待監(jiān)考員收回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則()A.i B.﹣2i C.2i D.﹣i2.函數(shù)圖象的大致形狀是()A. B.C. D.3.已知,且,則()A. B. C. D.4.對(duì)某兩名高三學(xué)生在連續(xù)9次數(shù)學(xué)測(cè)試中的成績(jī)(單位:分)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)得到折線圖,下面是關(guān)于這兩位同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)分析.①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,故平均成績(jī)?yōu)?30分;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間110,120內(nèi);③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān);④乙同學(xué)連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)成績(jī)每一次均有明顯進(jìn)步.其中正確的個(gè)數(shù)為()A.4 B.3 C.2 D.15.已知六棱錐各頂點(diǎn)都在同一個(gè)球(記為球)的球面上,且底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,若,,則球的表面積為()A. B. C. D.6.已知命題若,則,則下列說(shuō)法正確的是()A.命題是真命題B.命題的逆命題是真命題C.命題的否命題是“若,則”D.命題的逆否命題是“若,則”7.上世紀(jì)末河南出土的以鶴的尺骨(翅骨)制成的“骨笛”(圖1),充分展示了我國(guó)古代高超的音律藝術(shù)及先進(jìn)的數(shù)學(xué)水平,也印證了我國(guó)古代音律與歷法的密切聯(lián)系.圖2為骨笛測(cè)量“春(秋)分”,“夏(冬)至”的示意圖,圖3是某骨笛的部分測(cè)量數(shù)據(jù)(骨笛的彎曲忽略不計(jì)),夏至(或冬至)日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線)與春秋分日光(當(dāng)日正午太陽(yáng)光線)的夾角等于黃赤交角.由歷法理論知,黃赤交角近1萬(wàn)年持續(xù)減小,其正切值及對(duì)應(yīng)的年代如下表:黃赤交角正切值0.4390.4440.4500.4550.461年代公元元年公元前2000年公元前4000年公元前6000年公元前8000年根據(jù)以上信息,通過(guò)計(jì)算黃赤交角,可估計(jì)該骨笛的大致年代是()A.公元前2000年到公元元年 B.公元前4000年到公元前2000年C.公元前6000年到公元前4000年 D.早于公元前6000年8.雙曲線x26-y23=1的漸近線與圓(x-3)2+y2=A.3 B.2C.3 D.69.復(fù)數(shù)的()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限10.如圖是一個(gè)幾何體的三視圖,則該幾何體的體積為()A. B. C. D.11.設(shè)(是虛數(shù)單位),則()A. B.1 C.2 D.12.已知直線y=k(x+1)(k>0)與拋物線C相交于A,B兩點(diǎn),F(xiàn)為C的焦點(diǎn),若|FA|=2|FB|,則|FA|=()A.1 B.2 C.3 D.4二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系中,曲線在點(diǎn)處的切線與x軸相交于點(diǎn)A,其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).若點(diǎn),的面積為3,則的值是______.14.復(fù)數(shù)為虛數(shù)單位)的虛部為_(kāi)_________.15.(5分)函數(shù)的定義域是____________.16.的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)一年之計(jì)在于春,一日之計(jì)在于晨,春天是播種的季節(jié),是希望的開(kāi)端.某種植戶對(duì)一塊地的個(gè)坑進(jìn)行播種,每個(gè)坑播3粒種子,每粒種子發(fā)芽的概率均為,且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.對(duì)每一個(gè)坑而言,如果至少有兩粒種子發(fā)芽,則不需要進(jìn)行補(bǔ)播種,否則要補(bǔ)播種.(1)當(dāng)取何值時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大?最大概率為多少?(2)當(dāng)時(shí),用表示要補(bǔ)播種的坑的個(gè)數(shù),求的分布列與數(shù)學(xué)期望.18.(12分)已知.(1)若的解集為,求的值;(2)若對(duì)任意,不等式恒成立,求實(shí)數(shù)的取值范圍.19.(12分)在中,角的對(duì)邊分別為,且.(1)求角的大小;(2)若,求邊上的高.20.(12分)某景點(diǎn)上山共有級(jí)臺(tái)階,寓意長(zhǎng)長(zhǎng)久久.甲上臺(tái)階時(shí),可以一步走一個(gè)臺(tái)階,也可以一步走兩個(gè)臺(tái)階,若甲每步上一個(gè)臺(tái)階的概率為,每步上兩個(gè)臺(tái)階的概率為.為了簡(jiǎn)便描述問(wèn)題,我們約定,甲從級(jí)臺(tái)階開(kāi)始向上走,一步走一個(gè)臺(tái)階記分,一步走兩個(gè)臺(tái)階記分,記甲登上第個(gè)臺(tái)階的概率為,其中,且.(1)若甲走步時(shí)所得分?jǐn)?shù)為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望;(2)證明:數(shù)列是等比數(shù)列;(3)求甲在登山過(guò)程中,恰好登上第級(jí)臺(tái)階的概率.21.(12分)如圖所示,直角梯形ABCD中,,,,四邊形EDCF為矩形,,平面平面ABCD.(1)求證:平面ABE;(2)求平面ABE與平面EFB所成銳二面角的余弦值.(3)在線段DF上是否存在點(diǎn)P,使得直線BP與平面ABE所成角的正弦值為,若存在,求出線段BP的長(zhǎng),若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.22.(10分)等比數(shù)列中,.(Ⅰ)求的通項(xiàng)公式;(Ⅱ)記為的前項(xiàng)和.若,求.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
復(fù)數(shù)為純虛數(shù),則實(shí)部為0,虛部不為0,求出,即得.【詳解】∵為純虛數(shù),∴,解得..故選:.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的分類,屬于基礎(chǔ)題.2、B【解析】
判斷函數(shù)的奇偶性,可排除A、C,再判斷函數(shù)在區(qū)間上函數(shù)值與的大小,即可得出答案.【詳解】解:因?yàn)?,所以,所以函?shù)是奇函數(shù),可排除A、C;又當(dāng),,可排除D;故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)表達(dá)式判斷函數(shù)圖像,屬于中檔題.3、B【解析】分析:首先利用同角三角函數(shù)關(guān)系式,結(jié)合題中所給的角的范圍,求得的值,之后借助于倍角公式,將待求的式子轉(zhuǎn)化為關(guān)于的式子,代入從而求得結(jié)果.詳解:根據(jù)題中的條件,可得為銳角,根據(jù),可求得,而,故選B.點(diǎn)睛:該題考查的是有關(guān)同角三角函數(shù)關(guān)系式以及倍角公式的應(yīng)用,在解題的過(guò)程中,需要對(duì)已知真切求余弦的方法要明確,可以應(yīng)用同角三角函數(shù)關(guān)系式求解,也可以結(jié)合三角函數(shù)的定義式求解.4、C【解析】
利用圖形,判斷折線圖平均分以及線性相關(guān)性,成績(jī)的比較,說(shuō)明正誤即可.【詳解】①甲同學(xué)的成績(jī)折線圖具有較好的對(duì)稱性,最高130分,平均成績(jī)?yōu)榈陀?30分,①錯(cuò)誤;②根據(jù)甲同學(xué)成績(jī)折線圖提供的數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì),估計(jì)該同學(xué)平均成績(jī)?cè)趨^(qū)間[110,120]內(nèi),②正確;③乙同學(xué)的數(shù)學(xué)成績(jī)與測(cè)試次號(hào)具有比較明顯的線性相關(guān)性,且為正相關(guān),③正確;④乙同學(xué)在這連續(xù)九次測(cè)驗(yàn)中第四次、第七次成績(jī)較上一次成績(jī)有退步,故④不正確.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查折線圖的應(yīng)用,線性相關(guān)以及平均分的求解,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5、D【解析】
由題意,得出六棱錐為正六棱錐,求得,再結(jié)合球的性質(zhì),求得球的半徑,利用表面積公式,即可求解.【詳解】由題意,六棱錐底面為正六邊形,頂點(diǎn)在底面上的射影是正六邊形的中心,可得此六棱錐為正六棱錐,又由,所以,在直角中,因?yàn)?,所以,設(shè)外接球的半徑為,在中,可得,即,解得,所以外接球的表面積為.故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了正棱錐的幾何結(jié)構(gòu)特征,以及外接球的表面積的計(jì)算,其中解答中熟記幾何體的結(jié)構(gòu)特征,熟練應(yīng)用球的性質(zhì)求得球的半徑是解答的關(guān)鍵,著重考查了空間想象能力,以及推理與計(jì)算能力,屬于中檔試題.6、B【解析】
解不等式,可判斷A選項(xiàng)的正誤;寫(xiě)出原命題的逆命題并判斷其真假,可判斷B選項(xiàng)的正誤;利用原命題與否命題、逆否命題的關(guān)系可判斷C、D選項(xiàng)的正誤.綜合可得出結(jié)論.【詳解】解不等式,解得,則命題為假命題,A選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題的逆命題是“若,則”,該命題為真命題,B選項(xiàng)正確;命題的否命題是“若,則”,C選項(xiàng)錯(cuò)誤;命題的逆否命題是“若,則”,D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查四種命題的關(guān)系,考查推理能力,屬于基礎(chǔ)題.7、D【解析】
先理解題意,然后根據(jù)題意建立平面幾何圖形,在利用三角函數(shù)的知識(shí)計(jì)算出冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,即可得到正確選項(xiàng).【詳解】解:由題意,可設(shè)冬至日光與垂直線夾角為,春秋分日光與垂直線夾角為,則即為冬至日光與春秋分日光的夾角,即黃赤交角,將圖3近似畫(huà)出如下平面幾何圖形:則,,.,估計(jì)該骨笛的大致年代早于公元前6000年.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用三角函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題的能力,運(yùn)用了兩角和與差的正切公式,考查了轉(zhuǎn)化思想,數(shù)學(xué)建模思想,以及數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬中檔題.8、A【解析】
由圓心到漸近線的距離等于半徑列方程求解即可.【詳解】雙曲線的漸近線方程為y=±22x,圓心坐標(biāo)為(3,0).由題意知,圓心到漸近線的距離等于圓的半徑r,即r=±答案:A【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的漸近線方程及直線與圓的位置關(guān)系,屬于基礎(chǔ)題.9、C【解析】所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(-1,-2)位于第三象限.【考點(diǎn)定位】本題只考查了復(fù)平面的概念,屬于簡(jiǎn)單題.10、A【解析】
根據(jù)三視圖可得幾何體為直三棱柱,根據(jù)三視圖中的數(shù)據(jù)直接利用公式可求體積.【詳解】由三視圖可知幾何體為直三棱柱,直觀圖如圖所示:其中,底面為直角三角形,,,高為.∴該幾何體的體積為故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查三視圖及棱柱的體積,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
先利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則求出,即可根據(jù)復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式求出.【詳解】∵,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運(yùn)算法則的應(yīng)用,以及復(fù)數(shù)的模計(jì)算公式的應(yīng)用,屬于容易題.12、C【解析】
方法一:設(shè),利用拋物線的定義判斷出是的中點(diǎn),結(jié)合等腰三角形的性質(zhì)求得點(diǎn)的橫坐標(biāo),根據(jù)拋物線的定義求得,進(jìn)而求得.方法二:設(shè)出兩點(diǎn)的橫坐標(biāo),由拋物線的定義,結(jié)合求得的關(guān)系式,聯(lián)立直線的方程和拋物線方程,寫(xiě)出韋達(dá)定理,由此求得,進(jìn)而求得.【詳解】方法一:由題意得拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線恒過(guò)定點(diǎn),過(guò)分別作于,于,連接,由,則,所以點(diǎn)為的中點(diǎn),又點(diǎn)是的中點(diǎn),則,所以,又所以由等腰三角形三線合一得點(diǎn)的橫坐標(biāo)為,所以,所以.方法二:拋物線的準(zhǔn)線方程為,直線由題意設(shè)兩點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為,則由拋物線定義得又①②由①②得.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的定義,考查直線和拋物線的位置關(guān)系,屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
對(duì)求導(dǎo),再根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)可得切線方程,令,可得點(diǎn)橫坐標(biāo),由的面積為3,求解即得.【詳解】由題,,切線斜率,則切線方程為,令,解得,又的面積為3,,解得.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的切線,難度不大.14、1【解析】試題分析:,即虛部為1,故填:1.考點(diǎn):復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算15、【解析】
要使函數(shù)有意義,則,即,解得,故函數(shù)的定義域是.16、31【解析】
由二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式得通項(xiàng)公式得:因?yàn)榈恼归_(kāi)式得通項(xiàng)為,則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:,得解.【詳解】解:,則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為:.故答案為:31.【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理及其展開(kāi)式的通項(xiàng)公式,求某項(xiàng)的導(dǎo)數(shù),考查計(jì)算能力.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、(1)當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為;(2)見(jiàn)解析.【解析】
(1)將有3個(gè)坑需要補(bǔ)種表示成n的函數(shù),考查函數(shù)隨n的變化情況,即可得到n為何值時(shí)有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大.(2)n=1時(shí),X的所有可能的取值為0,1,2,3,1.分別計(jì)算出每個(gè)變量對(duì)應(yīng)的概率,列出分布列,求期望即可.【詳解】(1)對(duì)一個(gè)坑而言,要補(bǔ)播種的概率,有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率為.欲使最大,只需,解得,因?yàn)?,所以?dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;所以當(dāng)或時(shí),有3個(gè)坑要補(bǔ)播種的概率最大,最大概率為.(2)由已知,的可能取值為0,1,2,3,1.,所以的分布列為01231的數(shù)學(xué)期望.【點(diǎn)睛】本題考查了古典概型的概率求法,離散型隨機(jī)變量的概率分布,二項(xiàng)分布,主要考查簡(jiǎn)單的計(jì)算,屬于中檔題.18、(1);(2)【解析】
(1)利用兩邊平方法解含有絕對(duì)值的不等式,再根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系求出的值;(2)利用絕對(duì)值不等式求出的最小值,把不等式化為只含有的不等式,求出不等式解集即可.【詳解】(1)不等式,即兩邊平方整理得由題意知和是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根即,解得(2)因?yàn)樗砸共坏仁胶愠闪?,只需?dāng)時(shí),,解得,即;當(dāng)時(shí),,解得,即;綜上所述,的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了含有絕對(duì)值的不等式解法與應(yīng)用問(wèn)題,也考查了分類討論思想,是中檔題.19、(1);(2)【解析】
(1)利用正弦定理將邊化成角,可得,展開(kāi)并整理可得,從而可求出角;(2)由余弦定理得,進(jìn)而可得,由,可求出的值,設(shè)邊上的高為,可得的面積為,從而可求出.【詳解】(1)由題意,由正弦定理得.因?yàn)?,所以,所以,展開(kāi)得,整理得.因?yàn)?,所以,故,?(2)由余弦定理得,則,得,故,故的面積為.設(shè)邊上的高為,有,故,所以邊上的高為.【點(diǎn)睛】本題考查正弦、余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,考查三角形的面積公式的應(yīng)用,考查學(xué)生的計(jì)算求解能力,屬于中檔題.20、見(jiàn)解析【解析】
(1)由題可得的所有可能取值為,,,,且,,,,所以的分布列為所以的數(shù)學(xué)期望.(2)由題可得,所以,又,,所以,所以是以為首項(xiàng),為公比的等比數(shù)列.(3)由(2)可得.21、(I)見(jiàn)解析(II)(III)【解析】試題分析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由題意可得平面的法向量,且,據(jù)此有,則平面.(Ⅱ)由題意可得平面的法向量,結(jié)合(Ⅰ)的結(jié)論可得,即平面與平面所成銳二面角的余弦值為.(Ⅲ)設(shè),,則,而平面的法向量,據(jù)此可得,解方程有或.據(jù)此計(jì)算可得.試題解析:(Ⅰ)取為原點(diǎn),所在直線為軸,所在
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