河南省商丘市重點中學2025屆高一上數學期末監(jiān)測試題含解析

河南省商丘市重點中學2025屆高一上數學期末監(jiān)測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．把長為的細鐵絲截成兩段，各自圍成一個正三角形，那么這兩個正三角形面積之和的最小值是（）A. B.C. D.2．在我國古代數學名著《九章算術》中，將四個面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑，如圖，在鱉臑ABCD中，AB⊥平面BCD，且AB=BC=CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為（）A. B.-C.2 D.3．已知函數有唯一零點，則（）A. B.C. D.14．已知cosα＝，cos(α＋β)＝－，且α，β∈，則cos(α－β)的值等于A.－ B.C.－ D.5．若關于的不等式在恒成立，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.6．設，，，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.7．已知函數（且），若函數圖象上關于原點對稱的點至少有3對，則實數a的取值范圍是（）.A. B.C. D.8．下列區(qū)間包含函數零點的為（）A. B.C. D.9．“是第一或第二象限角”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件10．表示不超過x的最大整數，例如，，，．若是函數的零點，則（）A.1 B.2C.3 D.4二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．求值:____.12．下列命題中所有正確的序號是______________①函數最小值為4；②函數的定義域是，則函數的定義域為；③若，則的取值范圍是；④若(,)，則13．高三年級的一次模擬考試中，經統(tǒng)計某校重點班30名學生的數學成績均在[100，150]（單位：分）內，根據統(tǒng)計的數據制作出頻率分布直方圖如右圖所示，則圖中的實數a=__________，若以各組數據的中間數值代表這組數據的平均水平，估算該班的數學成績平均值為__________14．函數的單調遞增區(qū)間為___________.15．在三棱柱中，各棱長相等，側棱垂直于底面，點是側面的中心，則與平面所成角的大小是______.16．已知函數，R的圖象與軸無公共點，求實數的取值范圍是_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知函數.（1）存在，使得不等式成立，求實數k的取值范圍；（2）方程有負實數解，求實數k的取值范圍.18．設函數.(1)當時，求函數的最小值；(2)若函數的零點都在區(qū)間內，求的取值范圍.19．要建造一段5000m的高速公路，工程隊需要把600人分成兩組，一組完成一段2000m的軟土地帶公路的建造任務，同時另一組完成剩下的3000m的硬土地帶公路的建造任務．據測算，軟、硬土地每米公路的工程量分別是50人/天和30人/天，設在軟土地帶工作的人數x人，在軟土、硬土地帶筑路的時間分別記為，（1）求，；（2）求全隊的筑路工期；（3）如何安排兩組人數，才能使全隊筑路工期最短?20．已知正方體，分別為和上的點，且，.（1）求證：；（2）求證：三條直線交于一點.21．如圖，在平面四邊形ABCD中，AB=2，CD=23，∠DAB=∠CDB=θ，0<θ<π2，∠ADB=π（1）求四邊形ABCD面積的最大值；（2）求DA+DB+DE的取值范圍

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、D【解析】先得到兩個正三角形面積之和的表達式，再對其求最小值即可.【詳解】設一個正三角形的邊長為，則另一個正三角形的邊長為，設兩個正三角形的面積之和為，則，當時，S取最小值.故選：D2、A【解析】如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角【詳解】解：如圖所示，分別取，，，的中點，，，，則，，，或其補角為異面直線與所成角設，則，，，異面直線與所成角的余弦值為，故選：A【點睛】平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：①平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；②認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；③計算：求該角的值，常利用解三角形；④取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角3、B【解析】令，轉化為有唯一零點，根據偶函數的對稱性求解.【詳解】因為函數，令，則為偶函數，因為函數有唯一零點，所以有唯一零點，根據偶函數對稱性，則，解得，故選：B4、D【解析】∵α∈，∴2α∈(0，π)．∵cosα＝，∴cos2α＝2cos2α－1＝－，∴sin2α＝，而α，β∈，∴α＋β∈(0，π)，∴sin(α＋β)＝，∴cos(α－β)＝cos[2α－(α＋β)]＝cos2αcos(α＋β)＋sin2αsin(α＋β)＝＝.5、A【解析】轉化為當時，函數的圖象不在的圖象的上方，根據圖象列式可解得結果.【詳解】由題意知關于的不等式在恒成立，所以當時，函數的圖象不在的圖象的上方，由圖可知，解得.故選：A【點睛】關鍵點點睛：利用函數的圖象與函數的圖象求解是解題關鍵.6、C【解析】利用指數函數和對數函數的性質確定a，b，c的范圍，由此比較它們的大小.【詳解】∵函數在上為減函數，，∴，即，∵函數在上為減函數，，∴，即，函數在上為減函數，，即∴.故選：C.7、A【解析】由于關于原點對稱得函數為，由題意可得，與的圖像在的交點至少有3對，結合函數圖象，列出滿足要求的不等式，即可得出結果.【詳解】關于原點對稱得函數為所以與的圖像在的交點至少有3對，可知，如圖所示，當時，，則故實數a的取值范圍為故選：A【點睛】本題考查函數的對稱性，難點在于將問題轉換為與的圖像在的交點至少有3對，考查了運算求解能力和邏輯推理能力，屬于難題.8、C【解析】根據零點存在定理，分別判斷選項區(qū)間的端點值的正負可得答案.【詳解】，，，，，又為上單調遞增連續(xù)函數故選：C.9、A【解析】利用充分必要條件的定義判斷.【詳解】若角的終邊在第一或第二象限，則，反過來，若，則的終邊可能在第一或第二象限，也有可能在軸正半軸上.所以“是第一或第二象限角”是“”的充分不必要條件.故選：A10、B【解析】利用零點存在性定理判斷的范圍，從而求得.【詳解】在上遞增，，所以，所以.故選：B二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】根據誘導公式以及正弦的兩角和公式即可得解【詳解】解：因為，故答案為：12、③④【解析】利用基本不等式可判斷①正誤；利用抽象函數的定義域可判斷②的正誤；解對數不等式可判斷③；構造函數，函數在上單調遞減，結合，求得可判斷④.詳解】對于①，當時，，由基本不等式可得，當且僅當時，即當時，等號成立，但，故等號不成立，所以，函數，的最小值不是，①錯誤；對于②，若函數的定義域為，則有，解得，即函數的定義域為，②錯誤；對于③，若，所以當時，解得：，不滿足；當時，解得：，所以的取值范圍是，③正確；對于④，令，函數在上單調遞減，由得，則，即，故④正確.故答案為：③④.13、①.0.005（或）②.126.5（或126.5分）【解析】根據頻率分布直方圖的性質得到參數值，進而求得平均值.詳解】由頻率分布直方圖可得：，∴；該班的數學成績平均值為.故答案為：14、【解析】根據復合函數“同增異減”的原則即可求得答案.【詳解】由，設，對稱軸為：，根據“同增異減”的原則，函數的單調遞增區(qū)間為：.故答案為：.15、60°【解析】取BC的中點E，則,則即為所求，設棱長為2，則,16、【解析】令＝t＞0，則g(t)＝>0對t＞0恒成立，即對t＞0恒成立，再由基本不等式求出的最大值即可.【詳解】，R，令＝t＞0，則f(x)＝g(t)＝，由題可知g(t)在t＞0時與橫軸無公共點，則對t＞0恒成立，即對t＞0恒成立，∵，當且僅當，即時，等號成立，∴，∴.故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）令，然后分離參數，求出函數的最大值即可得答案；（2）由題意，令，則，原問題等價于：在上有解，即在上有解，利用一元二次方程根的分布即可求解.【小問1詳解】解：由題意，令，則原不等式等價于：存在，使成立，即存在，使成立，由二次函數的性質知，當，即時，取得最大值1，所以【小問2詳解】解：由題意，因為方程有負實數根，則令，有，原問題等價于：在上有解，即在上有解令，，則或或或或，解得或或或或，即實數k的取值范圍為.18、（1）；（2）【解析】（1）分類討論得；（2）由題意，得到等價不等式，解得的取值范圍是試題解析：(1)∵函數.當，即時，；當，即時，；當，即時，.綜上，(2)∵函數的零點都在區(qū)間內，等價于函數的圖象與軸的交點都在區(qū)間內.∴故的取值范圍是19、（1），，，（2），且（3）安排316人到軟土地帶工作，284人到硬土地帶工作時，可以使全隊筑路工期最短【解析】（1）由題意分別計算在軟土、硬土地帶筑路的時間即可；（2）由得到零點，即可得到分段函數；（3）利用函數的單調性即可得到結果.【小問1詳解】在軟土地帶筑路時間為：，在硬土地帶筑路時間為，，【小問2詳解】全隊的筑路工期為由于，即，得從而，即，且.【小問3詳解】函數區(qū)間上遞減，在區(qū)間上遞增，所以是函數的最小值點但不是整數，于是計算和，其中較小者即為所求于是安排316人到軟土地帶工作，284人到硬土地帶工作時，可以使全隊筑路工期最短20、（1）詳見解析；（2）詳見解析【解析】（1）連結和，由條件可證得和，從而得到∥.（2）結合題意可得直線和必相交，根據線面關系再證明該交點直線上即可得到結論【詳解】證明：(1)如圖，連結和，在正方體中，，∵，∴，又，，∴又在正方體中，，,∴，又，∴同理可得，又，∴∴∥.（2）由題意可得（或者和不平行），又由(1)知∥，所以直線和必相交，不妨設，則，又，所以，同理因為，所以，所以、、三條直線交于一點【點睛】（1）證明兩直線平行時，可根據三種平行間的轉化關系進行證明，也可利用線面垂直的性質進行證明，解題時要注意合理選擇方法進行求解（2）證明三線共點的方法是：先證明其中的兩條直線相交，再證明該交點在第三條直線上．解題時要依據空間中的線面關系及三個公理，并結合圖形進行求解21、（1）2+（2）2,1+2【解析】（1）依題意可得DA=2cosθ，DB=2sinθ，再由∠