線性代數(shù)測試試卷及答案

PAGE第3頁共4頁線性代數(shù)(A卷）一﹑選擇題(每小題3分，共15分)1。設﹑是任意階方陣,那么下列等式必成立的是()（A)(B）（C）（D）2.如果元齊次線性方程組有基礎解系并且基礎解系含有個解向量,那么矩陣的秩為（）(A)（B）（C)（D)以上答案都不正確3。如果三階方陣的特征值為，那么及分別等于（)(A）(B)（C)(D）4。設實二次型的矩陣為，那么(）(A）（B）（C)(D）5。若方陣A的行列式，則()(A）A的行向量組和列向量組均線性相關(B)A的行向量組線性相關,列向量組線性無關(C)A的行向量組和列向量組均線性無關（D)A的列向量組線性相關,行向量組線性無關二﹑填空題（每小題3分,共30分）1如果行列式有兩列的元對應成比例，那么該行列式等于；2。設，是的伴隨矩陣，則；3.設，是非齊次線性方程組的解,若也是它的解，那么;4。設向量與向量正交，則;5。設為正交矩陣，則；6.設是互不相同的三個數(shù)，則行列式;7。要使向量組線性相關,則；8。三階可逆矩陣的特征值分別為，那么的特征值分別為；9.若二次型是正定的，則的取值范圍為;10.設為階方陣，且滿足，這里為階單位矩陣,那么.三﹑計算題（每小題9分，共27分)1.已知，，求矩陣使之滿足。2.求行列式的值.3求向量組的一個最大無關組和秩。四﹑(10分）設有齊次線性方程組問當取何值時,上述方程組(1)有唯一的零解﹔(2)有無窮多個解，并求出這些解.五﹑(12分)求一個正交變換,把下列二次型化成標準形:.六﹑(6分)已知平面上三條不同直線的方程分別為試證：這三條直線交于一點的充分必要條件為.線性代數(shù)（A卷）答案一﹑1.D2.C3.B4.A5.A二﹑1。02.3。14。35。1或-16.7。08.9。10。三﹑1.解由得.(2分）下面求.由于（4分)而.(7分）所以.（9分）2。解（4分）（8分）（9分）。3.解由于(6分)故向量組的秩是3，是它的一個最大無關組。(9分)四﹑解方程組的系數(shù)行列式（2分）①當,即且時，方程組有唯一的零解;(4分）②當時,，方程組的系數(shù)矩陣為，它有一個二階子式,因此秩(）（這里）,故方程組有無窮多個解。對施行初等行變換,可得到方程組的一般解為其中可取任意數(shù)；（7分)③當時，,方程組的系數(shù)矩陣為,顯然，秩（）(這里),所以方程組也有無窮多個解.對施行初等行變換可得方程組的一般解為其中可取任意數(shù)。(10分)五﹑解二次型的矩陣為,（2分）因為特征多項式為,所以特征值是（二重)和.(4分）把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對應于特征值的特征向量為.利用施密特正交化方法將正交化：,,再將單位化得,，（8分)把特征值代入齊次線性方程組得解此方程組可得矩陣的對應于特征值的特征向量為.再將單位化得.（10分)令則是一個正交矩陣,且滿足.所以,正交變換為所求,它把二次型化成標準形。(12分)六﹑證明：必要性由交于一點得方程組有解,可知（2分）由于，所以(3分）充分性:,(5分）因此方程組有唯一解，即交于一點。(6分)線性代數(shù)習題和答案第一部分選擇題(共28分)單項選擇題（本大題共14小題，每小題2分，共28分）在每小題列出的四個選項中只有一個是符合題目要求的，請將其代碼填在題后的括號內(nèi)。錯選或未選均無分。1。設行列式=m，=n,則行列式等于(）A。m+n B。-(m+n)C。n—m D.m-n2。設矩陣A=，則A-1等于（）A。 B.C. D。3。設矩陣A=,A*是A的伴隨矩陣,則A＊中位于（1，2）的元素是（）A.–6 B。6C。2 D.–24。設A是方陣，如有矩陣關系式AB=AC，則必有（)A。A=0 B.BC時A=0C.A0時B=C D。｜A|0時B=C5.已知3×4矩陣A的行向量組線性無關，則秩（AT）等于（）A.1 B.2C.3 D.46.設兩個向量組α1，α2，…,αs和β1，β2，…,βs均線性相關，則(）A。有不全為0的數(shù)λ1，λ2,…,λs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和λ1β1+λ2β2+…λsβs=0B。有不全為0的數(shù)λ1,λ2，…，λs使λ1（α1+β1）+λ2（α2+β2）+…+λs（αs+βs）=0C.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs使λ1(α1-β1)+λ2（α2-β2)+…+λs（αs—βs）=0D.有不全為0的數(shù)λ1，λ2，…，λs和不全為0的數(shù)μ1，μ2,…,μs使λ1α1+λ2α2+…+λsαs=0和μ1β1+μ2β2+…+μsβs=07。設矩陣A的秩為r,則A中()A。所有r-1階子式都不為0 B.所有r—1階子式全為0C.至少有一個r階子式不等于0 D。所有r階子式都不為08。設Ax=b是一非齊次線性方程組,η1，η2是其任意2個解，則下列結論錯誤的是（）A.η1+η2是Ax=0的一個解 B。η1+η2是Ax=b的一個解C.η1—η2是Ax=0的一個解 D。2η1-η2是Ax=b的一個解9。設n階方陣A不可逆，則必有()A.秩(A）〈n B。秩(A）=n—1C.A=0 D.方程組Ax=0只有零解10。設A是一個n(≥3）階方陣，下列陳述中正確的是()A.如存在數(shù)λ和向量α使Aα=λα，則α是A的屬于特征值λ的特征向量B。如存在數(shù)λ和非零向量α,使（λE-A）α=0,則λ是A的特征值C.A的2個不同的特征值可以有同一個特征向量D。如λ1，λ2，λ3是A的3個互不相同的特征值，α1,α2，α3依次是A的屬于λ1，λ2，λ3的特征向量，則α1，α2,α3有可能線性相關11。設λ0是矩陣A的特征方程的3重根，A的屬于λ0的線性無關的特征向量的個數(shù)為k，則必有（）A。k≤3 B。k〈3C。k=3 D.k>312。設A是正交矩陣,則下列結論錯誤的是（）A.|A｜2必為1 B.|A｜必為1C.A-1=AT D。A的行（列）向量組是正交單位向量組13。設A是實對稱矩陣，C是實可逆矩陣，B=CTAC.則（）A.A與B相似B。A與B不等價C.A與B有相同的特征值D.A與B合同14。下列矩陣中是正定矩陣的為（）A. B。C. D。第二部分非選擇題（共72分）二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分）不寫解答過程，將正確的答案寫在每小題的空格內(nèi)。錯填或不填均無分.15.。16.設A=，B=.則A+2B=.17.設A=(aij）3×3，｜A|=2，Aij表示|A｜中元素aij的代數(shù)余子式(i,j=1，2，3），則（a11A21+a12A22+a13A23)2+（a21A21+a22A22+a23A23）2+（a31A21+a32A22+a33A23)2=。18.設向量(2，-3,5）與向量（-4，6，a）線性相關，則a=。19。設A是3×4矩陣，其秩為3，若η1,η2為非齊次線性方程組Ax=b的2個不同的解，則它的通解為。20。設A是m×n矩陣，A的秩為r（<n)，則齊次線性方程組Ax=0的一個基礎解系中含有解的個數(shù)為.21。設向量α、β的長度依次為2和3,則向量α+β與α-β的內(nèi)積(α+β，α-β)=。22。設3階矩陣A的行列式｜A|=8，已知A有2個特征值-1和4，則另一特征值為。23。設矩陣A=，已知α=是它的一個特征向量，則α所對應的特征值為。24.設實二次型f(x1，x2，x3，x4,x5）的秩為4，正慣性指數(shù)為3，則其規(guī)范形為。三、計算題（本大題共7小題,每小題6分，共42分）25.設A=,B=。求（1）ABT;(2）｜4A｜.26。試計算行列式.27.設矩陣A=，求矩陣B使其滿足矩陣方程AB=A+2B.28。給定向量組α1=，α2=，α3=，α4=.試判斷α4是否為α1，α2，α3的線性組合；若是，則求出組合系數(shù)。29.設矩陣A=.求：（1）秩（A)；（2）A的列向量組的一個最大線性無關組。30.設矩陣A=的全部特征值為1，1和-8。求正交矩陣T和對角矩陣D，使T-1AT=D。31。試用配方法化下列二次型為標準形f(x1,x2,x3）=，并寫出所用的滿秩線性變換.四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32。設方陣A滿足A3=0，試證明E—A可逆,且（E-A)-1=E+A+A2。33。設η0是非齊次線性方程組Ax=b的一個特解,ξ1,ξ2是其導出組Ax=0的一個基礎解系.試證明（1）η1=η0+ξ1，η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1，η2線性無關。答案:一、單項選擇題(本大題共14小題，每小題2分，共28分）1。D 2。B 3。B 4。D 5.C6.D 7.C 8.A 9.A 10.B11.A 12。B 13。D 14.C二、填空題（本大題共10空，每空2分,共20分）15。616.17。418.–1019.η1+c(η2-η1)（或η2+c（η2-η1))，c為任意常數(shù)20.n—r21。–522。–223。124.三、計算題(本大題共7小題，每小題6分，共42分）25.解(1)ABT==。（2）|4A｜=43|A|=64｜A|，而｜A|=.所以｜4A|=64·（—2）=-12826。解==27.解AB=A+2B即（A-2E）B=A,而(A—2E）-1=所以B=（A-2E)-1A==28.解一所以α4=2α1+α2+α3，組合系數(shù)為(2,1,1）.解二考慮α4=x1α1+x2α2+x3α3，即方程組有唯一解（2,1,1)T，組合系數(shù)為（2，1,1).29。解對矩陣A施行初等行變換A=B。(1)秩（B）=3，所以秩（A)=秩（B)=3.（2）由于A與B的列向量組有相同的線性關系，而B是階梯形,B的第1、2、4列是B的列向量組的一個最大線性無關組，故A的第1、2、4列是A的列向量組的一個最大線性無關組。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是）30。解A的屬于特征值λ=1的2個線性無關的特征向量為ξ1=(2，—1，0）T，ξ2=(2,0，1）T。經(jīng)正交標準化，得η1=，η2=。λ=-8的一個特征向量為ξ3=，經(jīng)單位化得η3=所求正交矩陣為T=.對角矩陣D=（也可取T=.)31。解f(x1，x2，x3)=（x1+2x2—2x3）2—2x22+4x2x3-7x32=（x1+2x2—2x3)2—2（x2-x3）2-5x32.設，即,因其系數(shù)矩陣C=可逆,故此線性變換滿秩。經(jīng)此變換即得f(x1，x2，x3）的標準形 y12-2y22-5y32。四、證明題（本大題共2小題，每小題5分，共10分）32.證