2024-2025學(xué)年滬教版初中數(shù)學(xué)九年級（上）教案 第22章 相似形22.2相似三角形的判定（第5課時）

第22章相似形22.2相似三角形的判定第5課時直角三角形相似的判定教學(xué)目標(biāo)1.掌握判定兩個直角三角形相似的方法：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.2.培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、比較、歸納的能力，感受兩個直角三角形相似的判定方法與直角三角形全等的判定方法(HL)的區(qū)別與聯(lián)系，體驗事物間特殊與一般的關(guān)系.3.讓學(xué)生經(jīng)歷從實(shí)驗探究到歸納證明的過程，發(fā)展學(xué)生的合情推理能力.教學(xué)重難點(diǎn)重點(diǎn)：掌握直角三角形相似的判定方法.難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用直角三角形相似的判定定理.教學(xué)過程導(dǎo)入新課【回顧與思考】如圖，觀察兩副三角尺，其中三個角角度相同的兩個三角尺大小可能不同，但它們看起來是相似的.一般地，如果兩個三角形有兩組對應(yīng)角相等，它們一定相似嗎？對于直角三角形，類比判定直角三角形全等的HL定理，我們能不能通過兩邊來判定兩個直角三角形相似呢？探究新知【活動】畫一畫：在圖中邊長為1的方格上任畫一個直角三角形，再畫出第二個直角三角形，使它的一直角邊和斜邊長都是原三角形的對應(yīng)邊長的兩倍.畫完之后，用量角器比較兩個三角形的對應(yīng)角大小，你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？大家的結(jié)論都一樣嗎？【互動】（小組討論作圖，教師引導(dǎo)，總結(jié)結(jié)論）發(fā)現(xiàn)：這兩個三角形相似.【活動】探究：在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C＝90°∠C′＝90°.，求證：Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.結(jié)論：如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，那么這兩個直角三角形相似.幾何語言：在Rt△ABC和Rt△A1B1C1中，∠C＝∠C1＝90°.如果＝k，那么Rt△ABC∽Rt△A1B1C1.【嘗試】（學(xué)生自己解決）例1如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝4，AC＝5.在Rt△A′B′C′中，∠A′C′B′＝90°，A′C′＝6，A′B′＝10.求證：Rt△ABC∽Rt△B′C′A′.證明：在Rt△ABC中，BC＝＝3，∴.又∵＝，∴＝.又∵∠ABC＝∠A′C′B′＝90°，∴Rt△ABC∽△RtB′C′A′.【互動】（師生互動，老師引導(dǎo)方法）例2如圖，下列四個三角形中，與△ABC相似的是（）ＡＢＣＤ解析：設(shè)網(wǎng)格圖中小正方形的邊長是1，則AB＝，BC＝，AC＝，∴AB∶AC∶BC＝1∶2∶.∵AB2+AC2＝BC2，∴△ABC是直角三角形，且AB∶AC＝1∶2.∵選項A、D不是直角三角形，∴排除A、D選項.∵B選項中的三角形的兩直角邊的邊長比為1∶2，C選項中的三角形的兩直角邊的邊長比為3∶2，∴選項B正確.答案：B【總結(jié)】以網(wǎng)格圖考查的題目，要應(yīng)用勾股定理分別求出各圖中的三角形的三邊長，再求解三邊之比，這是解題的關(guān)鍵.【探究】（小組討論，老師引導(dǎo)）例3如圖，∠ABC＝∠CDB＝90°，CB＝a，AC＝b.求當(dāng)BD與a，b之間滿足怎樣的關(guān)系時，以點(diǎn)A，B，C為頂點(diǎn)的三角形與以C，D，B為頂點(diǎn)的三角形相似？解：∵∠ABC＝∠CDB＝90°，∴當(dāng)時，△ABC∽△CDB，即.當(dāng)時，△ABC∽△BDC，即，CD＝，∴BD2＝a2-，BD＝.【探究】（嘗試解決，并思考能得到什么結(jié)論）例4如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，AC＝8.E是AC上一點(diǎn)，AE＝5，ED⊥AB，垂足為D.求AD的長.【總結(jié)】由此得到一個判定兩直角三角形相似的方法：有一個銳角相等的兩個直角三角形相似.課堂練習(xí)1.在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，已知∠C＝∠C′＝90°.依據(jù)下列各組條件判斷這兩個三角形是不是相似，并說明理由.（1）∠A＝25°，∠B′＝65°；（2）AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8.2.如圖，已知在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠B′A′C′＝∠B′A′C′＝90°，AD，A′D′分別是兩個三角形斜邊上的高，且CD∶C′D′＝AC∶A′C′.請證明：△ABC∽△A′B′C′.參考答案1.解：（1）∵∠A＝25°，∠C＝90°，∴∠B＝65°，∴∠B＝∠B′＝65°.∵∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.（2）∵AC＝3，BC＝4，A′C′＝6，B′C′＝8，∴，，∴，且∠C＝∠C′＝90°，∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.2.證明：∵∠ADC＝∠A′D′C′＝90°，，∴△ADC∽△A′D′C′，∴∠C＝∠C′.又∵∠BAC＝∠B′A′C′＝90°，∴△ABC∽△A′B′C′.課堂小結(jié)相似三角形的判定方法：通過定義，平行于三角形一邊的直線，兩角分別相等，兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，三邊成比例，兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例.布置作業(yè)教材第84頁練習(xí)T1，2，第86頁習(xí)題T10.板書設(shè)計如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊