24.1.3弧弦圓心角（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)能力提升）

24.1.3弧、弦、圓心角（作業(yè)）（夯實(shí)基礎(chǔ)+能力提升）【夯實(shí)基礎(chǔ)】一、單選題1．（2022·湖北十堰·九年級(jí)期末）如圖，在⊙O中，弦AB與直徑CD垂直，垂足為E，則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（

）A．AE=BE B．CE=DE C．AC=BC D．AD=BD【答案】B【分析】回顧一下垂徑定理的內(nèi)容，根據(jù)定理得出AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，即可得出選項(xiàng)．【詳解】∵CD⊥AB，CD為直徑，∴AE=BE，弧AD=弧BD，弧AC=弧BC，CE＞DE，AD=BD,AC=BC,故選:B．【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，解此題的關(guān)鍵是能正確理解定理的內(nèi)容，注意：垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對(duì)的每一條?。?．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖在中，若點(diǎn)是的中點(diǎn)，，則（

）．A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)圓的基本性質(zhì)推出即可解決問(wèn)題．【詳解】解：∵，∴，∴．故選D．【點(diǎn)睛】此題考查的是圓的基本性質(zhì),掌握等弧所對(duì)的圓心角相等是解決此題的關(guān)鍵.3．（2022·湖南岳陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）下列四個(gè)命題：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧相等；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．真命題的個(gè)數(shù)有（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】利用圓的有關(guān)性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：①同圓或等圓中，相等的弦所對(duì)的弧不一定相等，故原說(shuō)法錯(cuò)誤，是假命題，不符合題意；②同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的弦相等，正確，是真命題，符合題意；③同圓或等圓中，相等的弦的弦心距相等，正確，是真命題，符合題意；④同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等，正確，是真命題，符合題意，真命題有3個(gè)，故選：C．【點(diǎn)睛】考查了真假命題的判斷，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A的有關(guān)性質(zhì)，難度不大．4．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC=140°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（）A．70° B．60° C．40° D．35°【答案】D【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系定理得到∠AOB=∠AOC，再根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：連接OB，如圖所示，∵點(diǎn)B是的中點(diǎn)，∠AOC=140°，∴∠AOB=∠AOC=70°，由圓周角定理得，∠D=∠AOB=35°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角、弧、弦的關(guān)系定理、圓周角定理，掌握在同圓或等圓中，同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）圓的一條弦把圓分為度數(shù)比為的兩條弧，則弦心距與弦長(zhǎng)的比為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)已知條件得到弦所對(duì)的圓心角∠AOB=90°，求得△AOB是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)O做OC⊥AB于C，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)即可得到結(jié)論．【詳解】∵弦AB把⊙O分成度數(shù)比為1：3兩條弧，∴弦所對(duì)的圓心角∠AOB=，∴△AOB是等腰直角三角形，過(guò)點(diǎn)O做OC⊥AB于C，∴,∴弦心距與弦長(zhǎng)的比為1：2．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系，在解答此類(lèi)問(wèn)題時(shí)要注意在“同圓或等圓”中才適用，這是此類(lèi)問(wèn)題的易錯(cuò)點(diǎn)．6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列結(jié)論中，正確的是（）A．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧B．相等的圓心角所對(duì)的弧相等C．平分弦的直徑垂直于弦D．圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形【答案】D【分析】利用等弧的定義、確定圓的條件、圓周角定理及垂徑定理的知識(shí)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】A.在同圓或等圓中，能夠重合的兩條弧是等弧；故A錯(cuò)誤；B.在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等；故B錯(cuò)誤；C.平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦；故C錯(cuò)誤；D.圓是中心對(duì)稱(chēng)圖形，圓心是圓的對(duì)稱(chēng)中心，故D正確；故選D.【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，垂徑定理及其推論，中心對(duì)稱(chēng)圖形等知識(shí)，熟練掌握有關(guān)性質(zhì)是解答關(guān)鍵.7．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在上，，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，則的度數(shù)是（

）A．36 B．40 C．46 D．72【答案】A【分析】連接OD，根據(jù)點(diǎn)D是中點(diǎn)求出∠COD，再利用圓周角定理得出結(jié)果．【詳解】解：連接OD，∵D是的中點(diǎn)，∴∠COD=，∴∠B=，故選擇A．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理以及弧和圓心角關(guān)系，注意通過(guò)弧進(jìn)行角的轉(zhuǎn)化是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．8．（2022·黑龍江·哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在中，滿足，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B． C． D．無(wú)法確定【答案】B【分析】取的中點(diǎn)E，連接CE，DE，可得，根據(jù)等弧所對(duì)的弦相等可得AB=CE=DE，最后根據(jù)三角形三邊之間的關(guān)系即可進(jìn)行判斷．【詳解】解：如圖：，取的中點(diǎn)E，連接CE，DE；∵，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，∴，∴AB=CE=DE，∵CE+DE>CD，∴2AB>CD，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等弧對(duì)等弦以及三角形三邊之間的關(guān)系，熟練掌握相關(guān)內(nèi)容，將成倍數(shù)關(guān)系的弧轉(zhuǎn)化為等弧是解題的關(guān)鍵．9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，BD是的直徑，弦AC交BD于點(diǎn)G．連接OC，若，，則的度數(shù)為（

）A．98° B．103° C．108° D．113°【答案】C【分析】先求出∠COB的度數(shù)，由圓周角定理求出∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)弧、弦之間的關(guān)系求出∠ABD=45°，即可得到答案．【詳解】解：∵∠COD=126°，∴∠COB=54°，∴，∵BD是圓O的直徑，∴∠BAD=90°，∵，∴AB=AD，∴∠ABD=∠ADB=45°，∴∠AGB=180°∠BAG∠ABG=108°，故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，直徑所對(duì)的圓周角是直角，等弧所對(duì)的弦相等，等腰直角三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理等等，熟知圓周角定理是解題的關(guān)鍵．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）將一張正方形的透明紙片ABCD和按如圖位置疊放，頂點(diǎn)A、D在上，邊AB、BC、CD分別與相交于點(diǎn)E、F、G、H，則下列弧長(zhǎng)關(guān)系中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】連接，根據(jù)弦與弧的關(guān)系，只要比較弦長(zhǎng)即可比較弧長(zhǎng)的大小即可求解．【詳解】如圖，連接，過(guò)點(diǎn)作，交于，交于，則，四邊形是正方形，，，，四邊形是矩形，，，，，，A.，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；C.，，故該選項(xiàng)正確，符合題意；D.，，故該選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了弦與弧的關(guān)系，掌握同圓或等圓中，等弦對(duì)等弧是解題的關(guān)鍵．11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在⊙O中，AB是弦，C是弧AB上一點(diǎn)．若∠OAB＝25°，∠OCA＝40°，則∠BOC的度數(shù)為（）A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】A【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠OBA＝∠OAB＝25°，∠OAC＝∠OCA＝40°，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB和∠AOC，再求出答案即可．【詳解】解：∵OA＝OB，∠OAB＝25°，∴∠OBA＝∠OAB＝25°，∴∠AOB＝180°﹣∠OAB﹣∠OBA＝130°，∵OA＝OC，∠OCA＝40°，∴∠OAC＝∠OCA＝40°，∴∠AOC＝180°﹣∠OAC﹣∠OCA＝100°，∴∠BOC＝∠AOB﹣∠AOC＝130°﹣100°＝30°，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角的定義，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，解題關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角的定義．12．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，已知⊙O的半徑為3，弦AB、CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB、∠COD，若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD=4，則弦AB的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】如圖，延長(zhǎng)AO交⊙O于T，連接BT．證明CD=BT，∠ABT=90°，再利用勾股定理求解即可．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)AO交⊙O于T，連接BT．∵∠AOB+∠BOT=180°，∠AOB+∠COD=180°，∴∠COD=∠BOT，∴，∴CD=BT=4，∵AT是直徑，AT=6，∴∠ABT=90°，∴AB==，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查圓周角定理，勾股定理，圓心角，弧，弦之間的關(guān)系等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題．二、填空題13．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在⊙O中，弧AB＝弧BC＝弧CD，連接AC，CD，則AC______2CD（填“＞”、“＜”或“＝”）【答案】【分析】連接AB、BC，根據(jù)題意得AB=BC=CD，再根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，即可求解．【詳解】解：如圖，連接AB、BC，∵弧AB＝弧BC＝弧CD，∴AB=BC=CD，∵，∴．故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓的弧、弦，的關(guān)系，三角形的三邊關(guān)系，熟練掌握同圓內(nèi)，等弧所對(duì)的弦相等是解題的關(guān)鍵．14．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，是的弦，，則________．【答案】【分析】根據(jù)同圓中半徑相等，可得，根據(jù)等邊對(duì)等角以及三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)果．【詳解】解：∵，∴，又，∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，根據(jù)等邊對(duì)等角得出是解題的關(guān)鍵．15．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）弧度是表示角度大小的一種單位，圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和半徑相等時(shí)，這個(gè)角就是1弧度角，記作．已知，則與的大小關(guān)系是________．【答案】【分析】根據(jù)弧度的定義，圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和半徑相等時(shí)，這個(gè)角就是1弧度角，記作，當(dāng)時(shí)，三角形為等邊三角形，所以圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)比半徑大，即可判斷大?。驹斀狻拷猓焊鶕?jù)弧度的定義，圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)和半徑相等時(shí)，這個(gè)角就是1弧度角，記作，當(dāng)時(shí)，易知三角形為等邊三角形，弦長(zhǎng)等于半徑，圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)比半徑大，，故答案是：．【點(diǎn)睛】本題考查了弧度的定義，解題的關(guān)鍵是：理解弧度的定義，從而利用定義來(lái)判斷．16．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）為培養(yǎng)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐能力，學(xué)校七年級(jí)生物興趣小組在項(xiàng)目化學(xué)習(xí)“制作微型生態(tài)圈”過(guò)程中，設(shè)置了一個(gè)圓形展廳．如圖，在其圓形邊緣上的點(diǎn)P處安裝了一臺(tái)監(jiān)視器，它的監(jiān)控角度是50°，為了觀察到展廳的每個(gè)位置，最少需在圓形邊緣上共安裝這樣的監(jiān)視器________臺(tái)．【答案】4【分析】根據(jù)監(jiān)控角度可推出該角對(duì)應(yīng)的弧的度數(shù)，而圓的度數(shù)是360度，由此可求出最少需要多少臺(tái)這樣的監(jiān)視器．【詳解】解：由題意可知，一臺(tái)監(jiān)視器所對(duì)應(yīng)的弧的角度為：50°×2=100°，∵360÷100=3.6，∴至少需要4臺(tái)．故答案為：4．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的圓周角和圓心角的性質(zhì)，利用監(jiān)控角度得到該弧所對(duì)的角是解題的關(guān)鍵．17．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在中，，以為直徑作，分別交、于點(diǎn)E、F，則弧的度數(shù)為_(kāi)_______°．【答案】70【分析】連接OF，求出∠C和∠CFO度數(shù)，求出∠COF，即可求出弧CF度數(shù)．【詳解】解：如圖，連接OF，∵∠A＝70°，∠B＝55°，∴∠C＝180°?∠A?∠B＝55°，∵OC＝OF，∴∠CFO＝∠C＝55°，∴∠COF＝180°?∠C?∠CFO＝70°，∴弧CF的度數(shù)是70°．故答案為：70．【點(diǎn)睛】本題考查了弧與圓心角的關(guān)系，掌握弧的度數(shù)等于它所對(duì)的圓心角的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．三、解答題18．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）已知：A、B、C、D是⊙O上的四個(gè)點(diǎn)，且，求證：AC=BD．【答案】詳見(jiàn)解析【分析】先根據(jù)可得，再根據(jù)同圓中等弧所對(duì)的弦相等即得．【詳解】證明：∵∴∴【點(diǎn)睛】本題考查圓心角定理推論，解題關(guān)鍵是熟知同圓或等圓中，等弧所對(duì)的弦相等．19．（2022·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，在⊙O中，=∠B=70°，求∠A的度數(shù)．【答案】∠A=40°.【分析】先根據(jù)=∠B=70°，得出∠C的度數(shù)，再由三角形內(nèi)角和定理即可得出結(jié)論．【詳解】解：∵=∠B=70°，∴AB=AC，∴∠C=∠B=70°，∴∠A=180°70°70°=40°．故答案為∠A=40°．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦的關(guān)系，熟知在同圓和等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等是解題的關(guān)鍵．20．（2022·甘肅·甘州中學(xué)九年級(jí)期末）已知：如圖，在⊙O中，∠ABD=∠CDB．求證：AB=CD．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)∠ABD=∠CDB，可知，則有，由此可得，進(jìn)而可證AB=CD．【詳解】證明：∵∠ABD=∠CDB，∴，∴，∴，∴AB=CD．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角、弧、弦之間的關(guān)系，即在同圓或等圓中，如果兩個(gè)圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等，那么它們所對(duì)應(yīng)的其余各組量都分別相等，能夠熟練掌握?qǐng)A心角、弧、弦之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．21．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）如圖，點(diǎn)A，B，C，D在⊙O上，＝．求證：AC＝BD；【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)已知條件求得，根據(jù)弧與弦的關(guān)系即可得證．【詳解】證明：∵＝，∴＝，∴，∴BD=AC．【點(diǎn)睛】本題考查了弦與弧之間的關(guān)系，掌握同圓或等圓中，等弧對(duì)等弦是解題的關(guān)鍵．22．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，四邊形內(nèi)接于，求證：是等邊三角形．【答案】見(jiàn)解析【分析】由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，再由，得到，根據(jù)等邊三角形的判定可得到結(jié)論．【詳解】證明：∵四邊形內(nèi)接于，∴，又∵，∴，∵，∴，∴是等邊三角形．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，弧與弦的關(guān)系，等邊三角形的判定，熟練掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．【能力提升】一、單選題1．（2022·福建省福州延安中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）下列四個(gè)命題中，真命題是(

)A．如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等B．圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑都是圓的對(duì)稱(chēng)軸C．平分弦的直徑一定垂直于這條弦D．等弧所對(duì)的圓周角相等【答案】D【分析】根據(jù)圓心角、弧、弦的關(guān)系對(duì)A進(jìn)行判斷，根據(jù)對(duì)稱(chēng)軸的定義對(duì)B進(jìn)行判斷，根據(jù)垂徑定理的推論對(duì)C進(jìn)行判斷，根據(jù)圓周角定理的推論對(duì)D進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、在同圓或等圓中，如果兩條弦相等，那么它們所對(duì)的圓心角相等，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B、圓是軸對(duì)稱(chēng)圖形，任何一條直徑所在的直線都是圓的對(duì)稱(chēng)軸，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C、平分弦（非直徑）的直徑一定垂直于這條弦，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D、等弧所對(duì)的圓周角相等正確，故此選項(xiàng)正確，符合題意，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角、弧、弦的關(guān)系，圓的對(duì)稱(chēng)性，垂徑定理及圓周角定理的推論．2．（2022·河南南陽(yáng)·九年級(jí)期末）如圖，A，B是⊙O上的點(diǎn)，∠AOB＝120°，C是的中點(diǎn)，若⊙O的半徑為5，則四邊形ACBO的面積為（

）A．25 B．25 C． D．【答案】D【分析】根據(jù)在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等得到∠AOC=∠BOC=60°，易得△OAC和△OBC都是等邊三角形，即可解決問(wèn)題．【詳解】解：連OC，如圖，∵C是的中點(diǎn)，∠AOB=120°，∴∠AOC=∠BOC=60°，又∵OA=OC=OB，∴△OAC和△OBC都是等邊三角形，∴S四邊形AOBC=．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角、弧、弦的關(guān)系：在同圓或等圓中，相等的弧所對(duì)的圓心角相等．也考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)．3．（2022·福建師范大學(xué)附屬中學(xué)初中部九年級(jí)階段練習(xí)）有一直徑為的圓，且圓上有、、、四點(diǎn)，其位置如圖所示．若，，，，，則下列弧長(zhǎng)關(guān)系何者正確？（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】連接，，先求解，可得，，再求解可得，，從而可得答案.【詳解】解：連接，，直徑，，，，，，，，直徑，，，，，，，所以B符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓中弧、弦的關(guān)系和直徑所對(duì)的圓周角是直角，熟練掌握相關(guān)定理是解答本題的關(guān)鍵．4．（2022·江蘇蘇州·九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，⊙O在△ABC三邊上截得的弦長(zhǎng)相等，即DE＝FG=MN，∠A＝50°，則∠BOC＝（

）A．100° B．110° C．115° D．120°【答案】C【分析】過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，OQ⊥AC于點(diǎn)Q，OK⊥BC于點(diǎn)K，由于DE＝FG＝MN，所以弦的弦心距也相等，所以O(shè)B、OC是角平分線，根據(jù)∠A＝50°，先求出，再求出，進(jìn)而可求出∠BOC．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)O作OP⊥AB于點(diǎn)P，OQ⊥AC于點(diǎn)Q，OK⊥BC于點(diǎn)K，∵DE＝FG＝MN，∴OP＝OK＝OQ，∴OB、OC平分∠ABC和∠ACB，，，∵∠A＝50°，∴，∴，∴∠BOC＝故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了垂徑定理，角平分線的判定，三角形內(nèi)角和，角平分線的定義，解題關(guān)鍵是構(gòu)造出輔助線——弦心距．5．（2021·全國(guó)·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）下列命題是真命題的是（）A．同弧所對(duì)的圓心角相等B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．二次函數(shù)的圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)D．若，則【答案】C【分析】利用圓心角的知識(shí)、菱形的判定、二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)及不等式的性質(zhì)分別判斷后即可確定正確的選項(xiàng)．【詳解】解：A、在圓中，同一條弧對(duì)的圓心角只有一個(gè)，因此A選項(xiàng)說(shuō)法有問(wèn)題，是假命題；B、對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故B選項(xiàng)是假命題；C、∵二次函數(shù)中，∴圖象與坐標(biāo)軸有兩個(gè)交點(diǎn)，故C選項(xiàng)是真命題，符合題意；D、當(dāng)、b=1時(shí)，滿足，但，故D選項(xiàng)是假命題，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了命題與定理的知識(shí)，解題的關(guān)鍵是了解圓心角，菱形的判定方法，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)以及不等式的性質(zhì).6．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB，CD是的弦，延長(zhǎng)AB，CD相交于點(diǎn)P．已知，，則的度數(shù)是（

）A．30° B．25° C．20° D．10°【答案】C【分析】如圖，連接OB，OD，AC，先求解，再求解，從而可得，再利用周角的含義可得，從而可得答案．【詳解】解：如圖，連接OB，OD，AC，∵，∴，∵，∴，∵，，∴，，∴，∴，∴．∴的度數(shù)20°．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理的應(yīng)用，掌握“圓心角與弧的度數(shù)的關(guān)系”是解本題的關(guān)鍵．7．（2021·江蘇·九年級(jí)專(zhuān)題練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，，有一圓O通過(guò)A、B、C三點(diǎn)，且AD與圓O相切于A點(diǎn)若，則的度數(shù)為何？（

）A．116 B．120 C．122 D．128【答案】D【分析】連接AO，并延長(zhǎng)AO與BC交于點(diǎn)M，連接AC，由切線的性質(zhì)和求得AM垂直平分BC，進(jìn)而得到的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理即可解答．【詳解】解：連接AO，并延長(zhǎng)AO與BC交于點(diǎn)M，連接AC，與圓O相切于A點(diǎn)，，，，，垂直平分BC，，，，的度數(shù)為，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理和梯形的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵利用切線的性質(zhì)和梯形的性質(zhì)構(gòu)造等腰三角形，求出所對(duì)的圓周角．8．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，扇形中，，半徑是的中點(diǎn)，，交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接OC，延長(zhǎng)CD交OB于點(diǎn)E，如圖，易得△AOB、△COE、△BDE都是等腰直角三角形，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)求出CE與DE的長(zhǎng)，從而可得答案．【詳解】解：連接OC，延長(zhǎng)CD交OB于點(diǎn)E，如圖，∵，是的中點(diǎn)，∴∠COE=45°，∵，，∴CE⊥OB，∴∠OCE=∠COE=45°，∴CE=OE=，∴BE=OB－OE=，∵OA=OB，，∴∠ABO=45°，∴∠BDE=∠ABO=45°，∴EB=ED=，∴CD=CE－DE=．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓心角和弧的關(guān)系、等腰直角三角形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，屬于?？碱}型，熟練掌握等腰直角三角形的判定和性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．二、填空題9．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，AB、CE是圓O的直徑，且AB＝4，弧BD＝弧CD＝弧AC，點(diǎn)M是AB上一動(dòng)點(diǎn)，下列結(jié)論：正確的數(shù)是___（寫(xiě)出所有正確結(jié)論的序號(hào)）①∠CED＝∠BOD；②DM⊥CE；③CM+DM的最小值為4；④設(shè)OM為x，則S△OMC＝x．【答案】①③【分析】①由，可得∠COD=∠BOD，據(jù)此根據(jù)圓周角定理即可得結(jié)論；②由點(diǎn)M是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，而CE的位置是確定的，因此DM⊥CE不一定成立，可得結(jié)論；③由題意可得點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，因此CM+DM的最小值是在點(diǎn)M和點(diǎn)O重合時(shí)取到，即CE的長(zhǎng)；④過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AO于點(diǎn)N，利用解直角三角形可求得CN，利用三角形面積公式求解即可．【詳解】解：①，，，，故①正確；②點(diǎn)M是直徑AB上一動(dòng)點(diǎn)，而CE確定，DM⊥CE不一定成立，故②錯(cuò)誤；③，，∠CED=30°，DE⊥AB，點(diǎn)D和點(diǎn)E關(guān)于AB對(duì)稱(chēng)，CM+DM的最小值是在點(diǎn)M和點(diǎn)O重合時(shí)取到，即CE的長(zhǎng)，AB=4，CE=AB=4，故③正確；④連接AC，，∠COA=60°，則△AOC為等邊三角形，邊長(zhǎng)為2，過(guò)點(diǎn)C作CN⊥AO于N，則，在△COM中，以O(shè)M為底，OM邊上的高為CN，，故④錯(cuò)誤；綜上，①③正確，故答案為：①③．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，最小值問(wèn)題，等邊三角形判定和性質(zhì)，三角形面積等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．10．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）把一個(gè)圓分成4個(gè)扇形，它們分別占整個(gè)圓的10%，20%，30%，40%，那么這四個(gè)扇形的圓心角分別是_______.【答案】36°，72°，108°，144°【分析】根據(jù)扇形所占的百分比乘以360°進(jìn)行解答即可．【詳解】四個(gè)扇形的圓心角分別是360°×10%=36°；360°×20%=72°；360°×30%=108°；360°×40%=144°.故答案為36°，72°，108°，144°.【點(diǎn)睛】考查了扇形圓心角的度數(shù)問(wèn)題，注意周角的度數(shù)是360°．11．（2022·全國(guó)·九年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，在以AB為直徑的半圓中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，則以AC和BC的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是________．【答案】【分析】連接OD，OE，因?yàn)?，根據(jù)等弧所對(duì)的圓心角相等可得∠DOC=∠EOF，因?yàn)镃D⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因?yàn)镈O==EO，所以Rt△DOC∽R(shí)t△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=ABAC==，所以以AC和BC的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是（x）(x)=0，整理，得．【詳解】解：連接OE，OD，∵=，∴∠DOC=∠EOF，∵CD⊥AB，EF⊥AB，∴∠DCO=∠EFO=90°，又∵DO=EO，∴Rt△DOC≌Rt△EOF，∴CO=OF=，∵在Rt△DOC中，OD=，∴AO=DO=，AC=AOCO=，AB=2AO=，BC=ABAC==，∴以AC和BC的長(zhǎng)為兩根的一元二次方程是（x）(x)=0，整理，得．故答案為：x2x+1=0．【點(diǎn)睛】本題考查圓心角定理及其推論，全等三角形的判定與性質(zhì)以及根與系數(shù)的關(guān)系．此題屬于開(kāi)放題，注意數(shù)形結(jié)合與方程思想的應(yīng)用．三、解答題12．（2021·江蘇·阜寧縣實(shí)驗(yàn)初級(jí)中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，⊙O的弦AB、DC的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E．(1)如圖1，若為120°，為50°，求∠E的度數(shù)；(2)如圖2，若AE＝DE，求證：AB＝CD．【答案】(1)∠E＝35°(2)見(jiàn)解析【分析】（1）先求出∠ACD，∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)三角形外角的性質(zhì)得出答案；（2）先根據(jù)“ASA”證明△ACE≌△DBE，得出BE=CE，再結(jié)合已知條件得出答案即可.（1）連接AC，∵為120°，為50°，∴，，∴∠E＝∠ACD∠BAC＝60°25°＝35°；（2）證明：連接AC、BD，∵，∴∠A＝∠D，在△ACE和△DBE中，，∴△ACE≌△DBE（ASA），∴BE＝CE，∵AE＝DE，∴AEBE＝DECE，即AB＝CD．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的相關(guān)計(jì)算與證明，三角形全等的判定和性質(zhì)，正確理解圓心角、弧與弦的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．13．（2022·全國(guó)·九年級(jí)單元測(cè)試）證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)命題的題設(shè)：垂直于弦的直徑，結(jié)論：CD平分AB，CD平分寫(xiě)出已知，求證，再利用等腰三角形的性質(zhì)，圓心角與弧之間的關(guān)系證明即可．【詳解】已知：如圖，是的直徑，是的弦，，垂足為．求證：，，．證明：如圖，連接、．因?yàn)?，，所以，．所以，．所以．【點(diǎn)睛】本題考查的是命題的證明，圓心角與弧，弦之間的關(guān)系，等腰三角形的性質(zhì)，熟練的運(yùn)用在同圓與等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等是解本題的關(guān)鍵．14．（2022·江蘇·九年級(jí)）如圖，正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，，求證：BM＝CM．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)圓心距、弦、弧之間的關(guān)系定理解答即可．【詳解】證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB＝CD，∴，∵，∴，即，∴BM＝CM．【點(diǎn)睛】本題考查的是正方形的性質(zhì)、弧長(zhǎng)的計(jì)算、圓心距、弦、弧之間的關(guān)系，掌握?qǐng)A心距、弦、弧之間的關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．15．（2020·江蘇·蘇州草橋中學(xué)九年級(jí)期中）如圖，在O中，，CD⊥OA于點(diǎn)D，CE⊥OB于點(diǎn)E．（1）求證：；（2）若∠AOB=120°，OA=2，求四邊形DOEC的面積．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）連接OC，由AC=BC，可得∠AOC=∠BOC，又CD⊥OA，CE⊥OB，由角平分線定理可得CD=CE；（2）由∠AOB=120°，∠AOC=∠BOC，可得∠AOC=60°，又∠CDO=90°，得∠OCD=30°，可得，由勾股定理可得，可得；同理可得，進(jìn)而求出．【詳解】（1）證明：連接OC．∵AC=BC，∴∠AOC=∠BOC．∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴CD=CE．（2）解：∵∠AOB=120