浙江省杭州市西湖區(qū)公益中學(xué)2023--2024學(xué)年上學(xué)期九年級(jí)期中數(shù)學(xué)試卷

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)公益中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷一.選擇題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若，則的值是A． B． C．3 D．2．（3分）將拋物線向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是A． B． C． D．3．（3分）一枚質(zhì)地均勻的骰子六面分別標(biāo)有1到6的一個(gè)自然數(shù)，任意投擲一次，向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為A． B． C． D．4．（3分）如圖，若點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度是A．5 B． C． D．5．（3分）二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則可以是A．0 B．1 C．2 D．36．（3分）如圖，在矩形中，．對(duì)角線與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，．則的值為A．4 B． C． D．7．（3分）如圖，在中，中線與中線相交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論成立的是A． B． C． D．8．（3分）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)恰巧落在邊上的點(diǎn)處．如果，．那么與滿足的關(guān)系式是A． B． C． D．9．（3分）兩個(gè)不相等的正數(shù)滿足，，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)圖象是A．射線（不含端點(diǎn)） B．線段（不含端點(diǎn)） C．直線 D．拋物線的一部分10．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)有一個(gè)小正方形和矩形，它們的頂點(diǎn)均在大正方形邊上，若，則圖中陰影部分的面積為A．5 B． C． D．二.填空題（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．12．（4分）一個(gè)布袋里放有5個(gè)紅球，3個(gè)球黃球和2個(gè)黑球，它們除顏色外其余都相同，則任意摸出一個(gè)球是黑球的概率是．13．（4分）兩個(gè)相似五邊形，一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別為和，若它們的面積之和為，則較小五邊形的面積是．14．（4分）如圖，梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻腳的距離，梯子上一點(diǎn)離墻的距離．若，則梯子的長(zhǎng)為．15．（4分）如圖是一邊長(zhǎng)為6的菱形紙片，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，，則與相等的角是（寫(xiě)出一個(gè)即可），的長(zhǎng)為．16．（4分）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，，．（1）若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸是．（2）若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，當(dāng)且當(dāng)時(shí)，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．三.解答題（本題有8個(gè)小題，共66分，6+6+6+8+8+10+10+12）17．（6分）如圖是小杭和小益共同設(shè)計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成6份，上面寫(xiě)有6個(gè)自然數(shù)．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，若指針指向兩個(gè)扇形的交線時(shí)，則重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某個(gè)扇形區(qū)域?yàn)橹梗?）求指針指向偶數(shù)的概率；（2）若指針指向的數(shù)小于6的數(shù)則小杭勝，指針指向其他數(shù)，則小益勝，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？說(shuō)明理由．18．（6分）如圖，已知．它們依次交直線，，于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，．（1）如果，，，求的長(zhǎng)．（2）如果，，線段是線段和線段的比例中項(xiàng)，求的值．19．（6分）已知：二次函數(shù)中的和滿足下表：0123453008（1）的值為；（2）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為．20．（8分）如圖，在的方格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中的線段上找到一點(diǎn)，連結(jié)，使得．（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出格點(diǎn)線段（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），且分別交線段，于點(diǎn)，，作出．21．（8分）如圖，在四邊形中，平分，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的值．22．（10分）今年雙十一期間，某淘寶店鋪《水滸傳》一書(shū)的銷售日益火爆，進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單件不低于44元，且不高于52元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300本，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10本．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為本，銷售單價(jià)為元．（1）當(dāng)售價(jià)定為50元時(shí)，求此時(shí)每天的銷量和每本書(shū)的利潤(rùn)？（2）請(qǐng)你求出與之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（3）當(dāng)《水滸傳》的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售《水滸傳》獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？23．（10分）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（不與、重合），點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上，且滿足，聯(lián)結(jié)，，與邊交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，求證：；（3）交點(diǎn)，若，則（直接寫(xiě)答案、用含的代數(shù)式表示）．24．（12分）如圖，拋物線與軸交于，兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)），與軸交于點(diǎn)．直線與拋物線交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)的坐標(biāo)為．（1）請(qǐng)直接寫(xiě)出，兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)是拋物線上的點(diǎn)，點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)作軸，垂足為，與直線交于點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)的坐標(biāo)；（3）若點(diǎn)是軸上的點(diǎn)，且，求點(diǎn)的坐標(biāo)．

2023-2024學(xué)年浙江省杭州市西湖區(qū)公益中學(xué)九年級(jí)（上）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一.選擇題（本題有10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．（3分）若，則的值是A． B． C．3 D．【分析】根據(jù)比例的性質(zhì)用表示出，然后代入比例式進(jìn)行計(jì)算即可得解．【解答】解：，，．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了比例的性質(zhì)，熟記性質(zhì)用表示出是解題的關(guān)鍵．2．（3分）將拋物線向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是A． B． C． D．【分析】根據(jù)“左加右減，上加下減”的平移規(guī)律寫(xiě)出平移拋物線解析式．【解答】解：由題意：由函數(shù)圖象平移原則：左加右減，下加下減原則，所以將拋物線向上平移4個(gè)單位，得到的拋物線是．故選：．【點(diǎn)評(píng)】主要考查了函數(shù)圖象的平移，要求熟練掌握平移的規(guī)律：左加右減，上加下減．并用規(guī)律求函數(shù)解析式．3．（3分）一枚質(zhì)地均勻的骰子六面分別標(biāo)有1到6的一個(gè)自然數(shù)，任意投擲一次，向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為A． B． C． D．【分析】一枚質(zhì)地均勻的骰子六面分別標(biāo)有1到6的一個(gè)自然數(shù)，任意投擲一次共有6種等可能結(jié)果，其中向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的有3種結(jié)果，再根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：一枚質(zhì)地均勻的骰子六面分別標(biāo)有1到6的一個(gè)自然數(shù)，任意投擲一次共有6種等可能結(jié)果，其中向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的有3種結(jié)果，所以向上一面的數(shù)字是偶數(shù)的概率為，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查概率公式，隨機(jī)事件的概率（A）事件可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)所有可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)．4．（3分）如圖，若點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，則的長(zhǎng)度是A．5 B． C． D．【分析】根據(jù)點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，可得，進(jìn)一步求解即可．【解答】解：點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了黃金分割，熟練掌握黃金比是解題的關(guān)鍵．5．（3分）二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，則可以是A．0 B．1 C．2 D．3【分析】根據(jù)判別式的意義得到△，解得的取值范圍，再結(jié)合選項(xiàng)得出結(jié)論．【解答】解：二次函數(shù)的圖象與軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)，△，解得且，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了拋物線與軸的交點(diǎn)：把求二次函數(shù)，，是常數(shù)，與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解關(guān)于的一元二次方程．6．（3分）如圖，在矩形中，．對(duì)角線與相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，交于點(diǎn)，．則的值為A．4 B． C． D．【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得，，從而求出，的長(zhǎng)，然后根據(jù)射影定理證明，從而可得，即可解答．【解答】解：四邊形是矩形，，，，，，，，，，，，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（3分）如圖，在中，中線與中線相交于點(diǎn)，連接．下列結(jié)論成立的是A． B． C． D．【分析】由，是的中線，得到是的中位線，推出，，由相似三角形的性質(zhì)即可解決問(wèn)題．【解答】解：，是的中線，是的中位線，，，，，，，，，，，，，，，，，，結(jié)論成立的是，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握相似三角形的性質(zhì)．8．（3分）如圖，在中，，點(diǎn)在邊上，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)恰巧落在邊上的點(diǎn)處．如果，．那么與滿足的關(guān)系式是A． B． C． D．【分析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，先利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到，接著利用平行線分線段成比例定理得到，然后利用等線段代換得到，從而得到．【解答】解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖，線段繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，點(diǎn)恰巧落在邊上的點(diǎn)處，，，，，，，，即，，，，即．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)：在判定兩個(gè)三角形相似時(shí)，應(yīng)注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，以充分發(fā)揮基本圖形的作用；靈活運(yùn)用相似三角形的性質(zhì)計(jì)算相應(yīng)線段的長(zhǎng)或表示線段之間的關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)和等腰三角形的性質(zhì)．9．（3分）兩個(gè)不相等的正數(shù)滿足，，設(shè)，則關(guān)于的函數(shù)圖象是A．射線（不含端點(diǎn)） B．線段（不含端點(diǎn)） C．直線 D．拋物線的一部分【分析】要能根據(jù)函數(shù)圖象的性質(zhì)和圖象上的數(shù)據(jù)分析得出函數(shù)的類型和所需要的條件，結(jié)合實(shí)際意義得到正確的結(jié)論．【解答】解：首先根據(jù)題意，消去字母和，得到和的關(guān)系式．．然后根據(jù)題意，因?yàn)椋?，又因?yàn)?，故；①又因?yàn)椋?，所以．②由①②得，故關(guān)于的函數(shù)圖象是一條不含端點(diǎn)的線段．故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了有自變量取值范圍的函數(shù)的圖象．10．（3分）如圖，在邊長(zhǎng)為4的正方形內(nèi)有一個(gè)小正方形和矩形，它們的頂點(diǎn)均在大正方形邊上，若，則圖中陰影部分的面積為A．5 B． C． D．【分析】先由得到，，然后由矩形得到，進(jìn)而利用型相似證明，設(shè)，則，然后利用相似三角形的性質(zhì)得到的長(zhǎng)，即可得到、、的長(zhǎng)，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，然后利用“8”字型相似證明，設(shè)，得到、的長(zhǎng)，再利用相似三角形的性質(zhì)求得的長(zhǎng)，即可得到的長(zhǎng)，從而得到的面積，最后求得陰影部分的面積．【解答】解：四邊形是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，，小正方形和矩形的四個(gè)頂點(diǎn)在正方形的邊上，，，，，，，，，，設(shè)，則，，解得：，，，，，，，記與的交點(diǎn)為點(diǎn)，，，，，設(shè)，則，，，解得：（舍或，，，，故選：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是利用相似三角形的性質(zhì)求得線段和的長(zhǎng)．二.填空題（本題有6個(gè)小題，每小題4分，共24分）11．（4分）函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)是．【分析】根據(jù)題目中函數(shù)的解析式直接得到此二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)．【解答】解：二次函數(shù)頂點(diǎn)式解析式為，二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是理解頂點(diǎn)式和頂點(diǎn)坐標(biāo)的關(guān)系．12．（4分）一個(gè)布袋里放有5個(gè)紅球，3個(gè)球黃球和2個(gè)黑球，它們除顏色外其余都相同，則任意摸出一個(gè)球是黑球的概率是．【分析】根據(jù)概率公式，求摸到黑球的概率，即用黑球除以小球總個(gè)數(shù)即可得出得到黑球的概率．【解答】解：在一個(gè)布袋里放有5個(gè)紅球，3個(gè)球黃球和2個(gè)黑球，它們除了顏色外其余都相同，從布袋中任意摸出一個(gè)球是黑球的概率為：．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了概率公式的應(yīng)用，由已知求出小球總個(gè)數(shù)再利用概率公式求出是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．13．（4分）兩個(gè)相似五邊形，一組對(duì)應(yīng)邊的長(zhǎng)分別為和，若它們的面積之和為，則較小五邊形的面積是．【分析】根據(jù)相似多邊形相似比即對(duì)應(yīng)邊的比，面積的比等于相似比的平方，即可解決．【解答】解：設(shè)較小五邊形與較大五邊形的面積分別是，．則，因而．根據(jù)面積之和是，得到，解得：，則．即較小五邊形的面積分別是．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查相似多邊形的性質(zhì)．掌握相似多邊形面積之比等于相似比的平方是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，梯子斜靠在墻上，梯子底端離墻腳的距離，梯子上一點(diǎn)離墻的距離．若，則梯子的長(zhǎng)為3．【分析】根據(jù)題意可得：，，從而可得，然后證明字模型相似三角形，從而利用相似三角形的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算，即可解答．【解答】解：由題意可得：，，，，，，，解得：，梯子的長(zhǎng)為，故答案為：3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了相似三角形的應(yīng)用，熟練掌握字模型相似三角形是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖是一邊長(zhǎng)為6的菱形紙片，將紙片沿折疊，使點(diǎn)落在邊上，點(diǎn)，的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)，，交于點(diǎn)．若，，則與相等的角是（寫(xiě)出一個(gè)即可），的長(zhǎng)為．【分析】延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，由菱形的性質(zhì)得，，，則，，由折疊得，，，所以，由，得，所以，即可證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，對(duì)應(yīng)邊成比例求得．【解答】解：延長(zhǎng)、交于點(diǎn)，四邊形是邊長(zhǎng)為6的菱形，，，，，，，，由折疊得，，，，，，，，，，，故答案為：；2.8．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查菱形的性質(zhì)、軸對(duì)稱的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出輔助線并且證明是解題的關(guān)鍵．16．（4分）二次函數(shù)的圖象與軸交于，兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，且，，．（1）若點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，且，則二次函數(shù)的對(duì)稱軸是直線．（2）若點(diǎn)，均在二次函數(shù)圖象上，當(dāng)且當(dāng)時(shí)，有，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．【分析】（1）利用的線段長(zhǎng)度和點(diǎn)的坐標(biāo)求得點(diǎn)的坐標(biāo)，然后求得二次函數(shù)的對(duì)稱軸；（2）先求出對(duì)稱軸，然后利用對(duì)稱性求出點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)，再利用已知條件和二次函數(shù)的增減性與對(duì)稱性，對(duì)情況討論即可．【解答】解：（1）①，，當(dāng)在右側(cè)時(shí)，，對(duì)稱軸為直線，故答案為：直線；（2）令，則，或，函數(shù)圖象與軸的兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，，由，設(shè)，則，將代入得，，，，．拋物線的對(duì)稱軸為：直線，由題意得，關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)，，，時(shí)，有，，，時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合，不符合條件，舍去，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)的交點(diǎn)式、二次函數(shù)的對(duì)稱性、二次函數(shù)的增減性，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)用含有未知數(shù)的式子表示線段或點(diǎn)的坐標(biāo)．三.解答題（本題有8個(gè)小題，共66分，6+6+6+8+8+10+10+12）17．（6分）如圖是小杭和小益共同設(shè)計(jì)的自由轉(zhuǎn)動(dòng)的轉(zhuǎn)盤(pán)，轉(zhuǎn)盤(pán)被等分成6份，上面寫(xiě)有6個(gè)自然數(shù)．轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)盤(pán)，若指針指向兩個(gè)扇形的交線時(shí)，則重轉(zhuǎn)一次，直到指針指向某個(gè)扇形區(qū)域?yàn)橹梗?）求指針指向偶數(shù)的概率；（2）若指針指向的數(shù)小于6的數(shù)則小杭勝，指針指向其他數(shù)，則小益勝，這個(gè)游戲?qū)﹄p方公平嗎？說(shuō)明理由．【分析】（1）直接利用概率公式計(jì)算；（2）分別計(jì)算出小杭勝和小益勝的概率，然后比較兩概率的大小可判斷這個(gè)游戲?qū)﹄p方是否公平．【解答】解：（1）指針指向偶數(shù)的概率；（2）這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平．理由如下：指針指向的數(shù)小于6的數(shù)的結(jié)果數(shù)為4，所以小杭勝的概率，指針指向不小于6的數(shù)的結(jié)果數(shù)為2，所以小益勝的概率，因?yàn)?，所以這個(gè)游戲?qū)﹄p方不公平．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了游戲公平性：判斷游戲公平性需要先計(jì)算每個(gè)事件的概率，然后比較概率的大小，概率相等就公平，否則就不公平．也考查了概率公式．18．（6分）如圖，已知．它們依次交直線，，于點(diǎn)，，和點(diǎn)，，．（1）如果，，，求的長(zhǎng)．（2）如果，，線段是線段和線段的比例中項(xiàng)，求的值．【分析】（1）根據(jù)平行線分線段成比例定理列方程，解方程求出；（2）根據(jù)平行線分線段成比例定理求出，再根據(jù)比例中項(xiàng)的概念計(jì)算即可．【解答】解：（1），，即，解得：；（2），，即，解得；，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是平行線分線段成比例定理、比例中項(xiàng)的概念，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．19．（6分）已知：二次函數(shù)中的和滿足下表：0123453008（1）的值為3；（2）求出這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（3）當(dāng)時(shí)，則的取值范圍為．【分析】（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)和二次函數(shù)的對(duì)稱性可得值；（2）將、、代入求出、、即可；（3）根據(jù)二次函數(shù)函數(shù)對(duì)稱性和性質(zhì)寫(xiě)出函數(shù)取值范圍即可．【解答】解：（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)和函數(shù)的對(duì)稱性可知，函數(shù)的對(duì)稱軸是直線，點(diǎn)和點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱，，故答案為：3．（2）將、、代入得：，解得，二次函數(shù)解析式為：；（3）當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．20．（8分）如圖，在的方格中，的頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上．（1）請(qǐng)?jiān)趫D中的線段上找到一點(diǎn)，連結(jié)，使得．（2）請(qǐng)?jiān)趫D中畫(huà)出格點(diǎn)線段（端點(diǎn)在格點(diǎn)上），且分別交線段，于點(diǎn)，，作出．【分析】（1）取上的格點(diǎn)，連接，點(diǎn)即為所求；（2）取格點(diǎn)，，連接交于，交于，線段即為所求（答案不唯一）．【解答】解：（1）取上的格點(diǎn)，連接，如圖：點(diǎn)即為所求；理由：由圖可得，，，，，，；（2）取格點(diǎn)，，連接交于，交于，如圖：線段即為所求（答案不唯一）．理由：由圖可知，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查作圖應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，解題的關(guān)鍵是掌握網(wǎng)格的特征，作出圖形．21．（8分）如圖，在四邊形中，平分，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)．（1）求證：；（2）若，，求的值．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義得到，根據(jù)相似三角形的判定定理證明；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、平行線的判定定理證明，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可解決問(wèn)題．【解答】（1）證明：平分，，，，；（2）解：由（1）知：，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，，，，，，．【點(diǎn)評(píng)】本題考查的是相似三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)、平行線的判定，掌握相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理是解題的關(guān)鍵．22．（10分）今年雙十一期間，某淘寶店鋪《水滸傳》一書(shū)的銷售日益火爆，進(jìn)價(jià)40元，規(guī)定銷售單件不低于44元，且不高于52元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300本，銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10本．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為本，銷售單價(jià)為元．（1）當(dāng)售價(jià)定為50元時(shí)，求此時(shí)每天的銷量和每本書(shū)的利潤(rùn)？（2）請(qǐng)你求出與之間的函數(shù)關(guān)系式和自變量的取值范圍；（3）當(dāng)《水滸傳》的銷售單價(jià)定為多少元時(shí)，商家每天銷售《水滸傳》獲得的利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少元？【分析】（1）根據(jù)銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10本，當(dāng)售價(jià)定為50元時(shí)，在44元銷售300本的基礎(chǔ)上減少了60本，從而可得銷量；用可得每本的利潤(rùn)；（2）根據(jù)銷售量可得函數(shù)解析式，再根據(jù)銷售單件不低于44元，且不高于52元，求出的取值范圍；（3）根據(jù)每天的利潤(rùn)每本書(shū)的利潤(rùn)銷售量，列出函數(shù)解析式，再由函數(shù)的性質(zhì)和自變量的取值范圍求函數(shù)最值．【解答】解：（1）根據(jù)題意，當(dāng)售價(jià)定為50元時(shí)，每天的銷量為：（本，每本書(shū)的利潤(rùn)為：（元，當(dāng)售價(jià)定為50元時(shí)，每天的銷量為240本，每本書(shū)的利潤(rùn)為10元；（2）根據(jù)題意得：，與之間的函數(shù)關(guān)系式為；銷售單件不低于44元，且不高于52元，自變量的取值范圍為；（3）由題意得：，，當(dāng)時(shí)，隨的增大而增大，，當(dāng)時(shí)，有最大值，最大值為2640，當(dāng)《水滸傳》的銷售單價(jià)定為52元時(shí)，商家每天銷售《水滸傳》獲得的利潤(rùn)最大，最大利潤(rùn)是2640元．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二次函數(shù)應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是讀懂題意，列出函數(shù)關(guān)系式．23．（10分）如圖，在正方形中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)（不與、重合），點(diǎn)在邊延長(zhǎng)線上，且滿足，聯(lián)結(jié)，，與邊交于點(diǎn)．（1）求證：；（2）如果，