北京市海淀區(qū)師達中學2025屆九年級數(shù)學第一學期開學監(jiān)測試題【含答案】

學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號學校________________班級____________姓名____________考場____________準考證號…………密…………封…………線…………內…………不…………要…………答…………題…………第1頁，共5頁北京市海淀區(qū)師達中學2025屆九年級數(shù)學第一學期開學監(jiān)測試題題號一二三四五總分得分A卷（100分）一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、（4分）如圖，有一塊Rt△ABC的紙片，∠ABC=，AB＝6，BC＝8，將△ABC沿AD折疊，使點B落在AC上的E處，則BD的長為()A．3 B．4 C．5 D．62、（4分）因式分解x2﹣9y2的正確結果是（）A．（x+9y）（x﹣9y）B．（x+3y）（x﹣3y）C．（x﹣3y）2D．（x﹣9y）23、（4分）如圖，點E，F(xiàn)是?ABCD對角線上兩點，在條件①DE＝BF；②∠ADE＝∠CBF；③AF＝CE；④∠AEB＝∠CFD中，添加一個條件，使四邊形DEBF是平行四邊形，可添加的條件是()A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④4、（4分）若，則=()A． B． C． D．無法確定5、（4分）如圖，在周長為18cm的?ABCD中，AC、BD相交于點O,OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長為（）A．6cm B．7cmC．8cm D．9cm6、（4分）如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,BD平分∠ABC．若CD=3,BC+AB=16,則△ABC的面積為()A．16 B．18 C．24 D．327、（4分）如圖，平行四邊形ABCD中，AD∥BC，AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，連接BD，將△BCD繞點B旋轉，當BD（即BD′）與AD交于一點E，BC（即BC′）同時與CD交于一點F時，下列結論正確的是（）①AE=DF；②∠BEF=60°；③∠DEB=∠DFB；④△DEF的周長的最小值是4+2A．①② B．②③ C．①②④ D．①②③④8、（4分）已知菱形的邊長等于2cm，菱形的一條對角線也是長2cm，則另一條對角線長是（）A．4cm B．2cm C．cm D．3cm二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、（4分）若代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，則x的取值范圍是_____．10、（4分）若一元二次方程有兩個相等的實數(shù)根，則的值是________。11、（4分）計算：＝．12、（4分）如圖，，，，若，則的長為______．13、（4分）（1）____________；（2）=____________．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（12分）定義：有一組鄰邊相等，并且它們的夾角是直角的凸四邊形叫做等腰直角四邊形．(1)如圖1，等腰直角四邊形ABCD，AB＝BC，∠ABC＝90°.圖1①若AB＝CD＝1，AB∥CD，求對角線BD的長．②若AC⊥BD，求證：AD＝CD；(2)如圖2，矩形ABCD的長寬為方程x2－14x+40=0的兩根，其中（BC>AB），點E從A點出發(fā)，以1個單位每秒的速度向終點D運動；同時點F從C點出發(fā)，以2個單位每秒的速度向終點B運動，當點E、F運動過程中使四邊形ABFE是等腰直角四邊形時，求EF圖215、（8分）如圖，等腰直角三角形AEF的頂點E在等腰直角三角形ABC的邊BC上．AB的延長線交EF于D點，其中∠AEF＝∠ABC＝90°．(1)求證：(2)若E為BC的中點，求的值．16、（8分）（1）計算：（2）解方程：-1=17、（10分）已知，，求．18、（10分）如圖，在平行四邊形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，AB＝5，AD＝3，E是AB上的一點，F(xiàn)是AD上的一點，連接BO和FO．（1）當點E為AB中點時，求EO的長度；（2）求線段AO的取值范圍；（3）當EO⊥FO時，連接EF．求證：BE+DF＞EF．B卷（50分）一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、（4分）若關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)根，則非正整數(shù)k的值是______．20、（4分）醫(yī)學研究發(fā)現(xiàn)一種新病毒的直徑約為0.000043毫米，這個數(shù)0.000043用科學記數(shù)法表為______________．21、（4分）如圖是一個三級臺階，它的每一級的長、寬和高分別為20dm,3dm,2dm，A和B是這個臺階兩個相對的端點，A點有一只螞蟻，想到B點去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺階面爬到B點的最短路程是__________dm.22、（4分）如果a是一元二次方程的一個根，那么代數(shù)式=__________.23、（4分）已知點，點，若線段AB的中點恰好在x軸上，則m的值為_________．二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（8分）如圖，兩個全等的Rt△AOB、Rt△OCD分別位于第二、第一象限，∠ABO＝∠ODC＝90°，OB、OD在x軸上，且∠AOB＝30°，AB＝1．（1）如圖1中Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先繞點O順時針旋轉度，再繞斜邊中點旋轉度得到的，C點的坐標是；（2）是否存在點E，使得以C、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，若存在，寫出E點的坐標；若不存在請說明理由．（3）如圖2將△AOC沿AC翻折，O點的對應點落在P點處，求P點的坐標．25、（10分）在每個小正方形的邊長為1的網(wǎng)格圖形中，每個小正方形的頂點稱為格點.如圖，5×5正方形方格紙圖中，點A，B都在格點處.(1)請在圖中作等腰△ABC，使其底邊AC＝2，且點C為格點；(2)在(1)的條件下，作出平行四邊形ABDC，且D為格點，并直接寫出平行四邊形ABDC的面積.26、（12分）為參加全縣的“我愛古詩詞”知識競賽，徐東所在學校組織了一次古詩詞知識測試，徐東從全體學生中隨機抽取部分同學的分數(shù)（得分取正整數(shù)，滿分為100分）進行統(tǒng)計，以下是根據(jù)這次測試成績制作的不完整的頻數(shù)分布表（含頻率）和頻數(shù)分布直方圖．請根據(jù)頻數(shù)分布表（含頻率）和頻數(shù)分布直方圖，回答下列問題：（1）分別求出a、b、m、n的值；（寫出計算過程）（2）老師說：“徐東的測試成績是被抽取的同學成績的中位數(shù)”，那么徐東的測試成績在什么范圍內？（3）得分在的為“優(yōu)秀”，若徐東所在學校共有600名學生，從本次比賽中選取得分為“優(yōu)秀”的學生參加區(qū)賽，請問共有多少名學生被選拔參加區(qū)賽？

參考答案與詳細解析一、選擇題（本大題共8個小題，每小題4分，共32分，每小題均有四個選項，其中只有一項符合題目要求）1、A【解析】【分析】由題意可得∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，由勾股定理即可求得AC的長，則可得EC的長，然后設BD=ED=x，則CD=BC-BD=8-x，由勾股定理CD2=EC2+ED2，即可得方程，解方程即可求得答案．【詳解】如圖，點E是沿AD折疊，點B的對應點，連接ED，∴∠AED=∠B=90°，AE=AB=6，∵在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6，BC=8，∴AC==10，∴EC=AC-AE=10-6=4，設BD=ED=x，則CD=BC-BD=8-x，在Rt△CDE中，CD2=EC2+ED2，即：（8-x）2=x2+16，解得：x=3，∴BD=3，故選A.【點睛】本題考查了折疊的性質與勾股定理，難度適中，注意掌握數(shù)形結合思想與方程思想的應用，注意掌握折疊中的對應關系．2、B【解析】

原式利用平方差公式分解即可【詳解】解：x2-9y2=（x+3y）（x-3y），

故選：B．此題考查了因式分解-運用公式法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．3、D【解析】分析：分別添加條件①②③④，根據(jù)平行四邊形的判定方法判定即可．詳解：添加條件①，不能得到四邊形DEBF是平行四邊形，故①錯誤；添加條件②∠ADE＝∠CBF．∵ABCD是平行四邊形，∴AD=BC，AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∴△ADE≌△CBF，∴DE=BF，∠DEA=∠BFC，∴∠DEF=∠BFE，∴DE∥BF，∴DEBF是平行四邊形，故②正確；添加條件③AF＝CE．易得AD=BC，∠DAC=∠BCA，∴△ADF≌△CBE，∴DF=BE，∠DFE=∠BEF，∴DF∥BE，∴DEBF是平行四邊形，故③正確；添加條件④∠AEB＝∠CFD．∵ABCD是平行四邊形，DC=AB，DC∥AB，∴∠DCF=∠BAE．∵∠AEB＝∠CFD，∴△ABE≌△CDF，∴DF=BE．∵∠AEB＝∠CFD，∴∠DFE=∠BEF，∴DF∥BE，∴DEBF是平行四邊形，故④正確．綜上所述：可添加的條件是：②③④．故選D．點睛：本題考查了平行四邊形的判定定理，熟練掌握平行四邊形的判定定理是解題的關鍵．4、B【解析】

設比值為，然后用表示出、、，再代入算式進行計算即可求解.【詳解】設，則，，，.故選：.本題考查了比例的性質，利用設“”法表示出、、是解題的關鍵，設“”法是中學階段常用的方法之一，需熟練掌握并靈活運用.5、D【解析】

利用垂直平分線的性質即可求出BE＝DE，所以△ABE的周長＝AB+AE+BE＝AB+AD．【詳解】∵?ABCD的對角線AC，BD相交于點O，∴O為BD的中點，∵OE⊥BD，∴BE＝DE，∴△ABE的周長＝AB+AE+BE＝AB+AD＝×18＝9（cm），故答案為：D本題考查的是平行四邊形的性質及線段垂直平分線的性質，解答此題的關鍵是將三角形的三邊長轉為平行四邊形的一組鄰邊的長．6、C【解析】

過點D作DE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等可得DE=CD，再根據(jù)S△ABC=S△BCD+S△ABD列式計算即可得解．【詳解】如圖，過點D作DE⊥AB于E，∵∠ACB=90°，BD平分∠ABC，∴DE=CD=3，∴S△ABC=S△BCD+S△ABD=BC?CD+AB?DE=(BC+AB)×3∵BC+AB=16，∴△ABC的面積=×16×3=24.故選C.本題考查角平分線的性質定理，作輔助線是解題關鍵.7、C【解析】

根據(jù)題意可證△ABE≌△BDF，可判斷①②③，由△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，則當EF最小時△DEF的周長最小，根據(jù)垂線段最短，可得BE⊥AD時，BE最小，即EF最小，即可求此時△BDE周長最小值．【詳解】∵AB=BC=CD=AD=4，∠A=∠C=60°，∴△ABD，△BCD為等邊三角形，∴∠A=∠BDC=60°．∵將△BCD繞點B旋轉到△BC'D'位置，∴∠ABD'=∠DBC'，且AB=BD，∠A=∠DBC'，∴△ABE≌△BFD，∴AE=DF，BE=BF，∠AEB=∠BFD，∴∠BED+∠BFD=180°．故①正確，③錯誤；∵∠ABD=60°，∠ABE=∠DBF，∴∠EBF=60°．故②正確；∵△DEF的周長=DE+DF+EF=AD+EF=4+EF，∴當EF最小時．∵△DEF的周長最?。摺螮BF=60°，BE=BF，∴△BEF是等邊三角形，∴EF=BE，∴當BE⊥AD時，BE長度最小，即EF長度最?。逜B=4，∠A=60°，BE⊥AD，∴EB=2，∴△DEF的周長最小值為4+2．故④正確．故選C．本題考查了旋轉的性質，等邊三角形的性質，平行四邊形的性質，最短路徑問題，關鍵是靈活運用這些性質解決問題．8、B【解析】

根據(jù)菱形的對角線和一邊長組成一個直角三角形的性質，再由勾股定理得出另一條對角線的長即可．【詳解】解：因為菱形的對角線互相垂直平分，∴另一條對角線的一半長＝，則另一條對角線長是2cm．故選B．本題考查菱形的基本性質：菱形的對角線互相垂直平分，以及綜合利用勾股定理．二、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）9、x≤【解析】∵代數(shù)式在實數(shù)范圍內有意義，∴，解得：.故答案為：.10、【解析】

根據(jù)根的判別式和已知得出（﹣3）2﹣4c＝0，求出方程的解即可．【詳解】∵一元二次方程x2﹣3x+c＝0有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝（﹣3）2﹣4c＝0，解得：c＝，故答案為.本題考查根的判別式和解一元一次方程，能熟記根的判別式的內容是解此題的關鍵．11、3【解析】分析：．12、1【解析】

作PE⊥OB于E，先根據(jù)角平分線的性質求出PE的長度，再根據(jù)平行線的性質得∠OPC＝∠AOP，然后即可求出∠ECP的度數(shù)，再在Rt△ECP中利用直角三角形的性質即可求出結果．【詳解】解：作PE⊥OB于E，如圖所示：∵PD⊥OA，∴PE=PD=4，∵PC∥OA，∠AOP＝∠BOP＝15°，∴∠OPC＝∠AOP＝15°，∴∠ECP＝15°+15°＝30°，∴PC＝2PE＝1．故答案為：1．本題考查了角平分線的性質定理、三角形的外角性質和30°角的直角三角形的性質，屬于基本題型，作PE⊥OB構建角平分線的模型是解題的關鍵.13、5【解析】

（1）根據(jù)二次根式的性質計算即可；（2）根據(jù)二次根式除法運算法則計算即可．【詳解】解：（1）；（2）．故答案為：5；．此題主要考查了二次根式的性質和除法運算，正確掌握相關運算法則是解題關鍵．三、解答題（本大題共5個小題，共48分）14、（1）①BD=2；②證明見詳解；（2）25或【解析】

（1）①只要證明四邊形ABCD是正方形即可解決問題；②只要證明△ABD≌△CBD，即可解決問題；（2）先解方程，求出AB和BC的長度，然后根據(jù)題意，討論當AB=AE，或AB=BF時，四邊形ABFE是等腰直角四邊形.當AB=AE=4時，連接EF，過F作FG⊥AE，交AE于點G，可得運動的時間為4s，可得CF=8，然后得到GE=2，利用勾股定理得到EF的長度；當AB=BF=4時，連接EF，過點E作EH⊥BF，交BF于點H，可得CF=6，運動的時間為3s，可得AE=3，然后得到FH=1，利用勾股定理求得EF的長度.【詳解】解：（1）①∵AB=CD=1，AB∥CD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∵AB=BC，∴四邊形ABCD是菱形，∵∠ABC=90°，∴四邊形ABCD是正方形，∴BD=AC=12②如圖1中，連接AC、BD．∵AB=BC，AC⊥BD，∴∠BAC=∠BCA，∴∠ABD=∠CBD，∵BD=BD，∴△ABD≌△CBD，∴AD=CD．（2）由AB和BC的長度是方程x2－14x+40=0解方程：x2－14x+40=0得，x∵BC>AB，∴AB=4，BC=10.根據(jù)題意，當AB=AE和AB=BF時，四邊形ABFE是等腰直角四邊形；當AB=AE時，如圖，連接EF，過F作FG⊥AE，交AE于點G：∴AB=AE=4，四邊形ABFG是矩形，∴運動的時間為：4÷1=4s∴CF=2×4=8，∴BF=2=AG，∴GE=2，GF=AB=4，由勾股定理得：EF=22當AB=BF時，如圖，連接EF，過點E作EH⊥BF，交BF于點H：∴AB=BF=4，∴CF=10-4=6，則運動的時間為：6÷2=3s∴AE=3，EH=AB=4∴FH=4-3=1，由勾股定理得：EF=12故EF的長度為：25或17本題考查四邊形綜合題、矩形的判定和性質、全等三角形的判定和性質、等腰直角四邊形的定義等知識，解題的關鍵是理解題意，學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題．15、（1）見解析；（2）【解析】

（1）由△AEF、△ABC是等腰直角三角形，易證得△FAD∽△CAE，然后由相似三角形的對應邊成比例，可得，又由等腰直角三角形的性質，可得AF=AE，即可證得；（2）首先設BE=a，由射影定理，可求得DB的長，繼而可求得DA的長，即可求得答案．【詳解】(1)證明：∵△AEF、△ABC是等腰直角三角形，∴∠EAF=∠BAC=45°,∠F=∠C=45°，∴∠FAD=∠CAE，∴△FAD∽△CAE，∴，∵∠AEF=90°，AE=EF，∴AF=AE，∴；(2)設BE=a，∵E為BC的中點，∴EC=BE=a，AB=BC=2a，∵∠AEF=∠ABC=90°，∴BE=AB?DB，∴DB=，∵DA=DB+AB，∴DA=，∴=.此題考查相似三角形的判定與性質，等腰直角三角形，解題關鍵在于證明△FAD∽△CAE16、（1）3+2；（2）原方程無解【解析】

（1）利用乘法公式展開，然后合并即可；（2）先去分母把方程化為（x-2）2-（x+2）（x-2）=16，然后解整式方程后進行檢驗確定原方程的解．【詳解】解：（1）原式=5+5-3-2=3+2；（2）去分母得（x-2）2-（x+2）（x-2）=16，解得x=-2，檢驗：當x=-2時，（x+2）（x-2）=0，則x=-2為原方程的增根，所以原方程無解．本題考查了二次根式的混合運算及分式方程的解法：先進行二次根式的乘法運算，再合并同類二次根式即可．解分式方程最關鍵的是把分式方程化為整式方程．17、【解析】

由x＋y＝?5，xy＝3，得出x＜0，y＜0，利用二次根式的性質化簡，整體代入求得答案即可．【詳解】∵x＋y＝?5，xy＝3，∴x＜0，y＜0，∴===．此題考查二次根式的化簡求值，掌握二次根式的性質，滲透整體代入的思想是解決問題的關鍵．18、（1）；（2）1＜AO＜4；（3）見解析.【解析】

（1）O是中點,E是中點，所以OE＝BC＝;（2）在△ACD中利用三角形的第三邊長小于兩邊之和，大于兩邊只差;（3）延長FO交BC于G點，就可以將BE,FD,EF放在一個三角形中，利用三角形兩邊之和大于第三邊即可.【詳解】（1）解：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴BC＝AD＝3，OA＝OC，∵點E為AB中點，∴OE為△ABC的中位線，∴OE＝BC＝；（2）解：在△ABC中，∵AB﹣BC＜AC＜AB+BC，而OA＝OC，∴5﹣3＜2AO＜5+3，∴1＜AO＜4；（3）證明：延長FO交BC于G點，連接EG，如圖，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴OB＝OD，BC∥AD，∴∠OBG＝∠ODF，在△OBG和△ODF中，∴△OBG≌△ODF，∴BG＝DF，OG＝OF，∵EO⊥OF，∴EG＝EF，在△BEG中，BE+BG＞EG，∴BE+FD＞EF．本題主要考查中位線的性質，以及通過構造新的全等三角形，應用三角形兩邊之和大于第三邊性質來比較線段的關系.一、填空題（本大題共5個小題，每小題4分，共20分）19、-1【解析】

根據(jù)判別式的意義及一元二次方程的定義得到，且，然后解不等式即可求得k的范圍，從而得出答案．【詳解】解：根據(jù)題意知，且，解得：且，則非正整數(shù)k的值是，故答案為：．本題考查了一元二次方程的根的判別式：當，方程有兩個不相等的實數(shù)根；當，方程有兩個相等的實數(shù)根；當，方程沒有實數(shù)根．20、4.3×10-5【解析】解：0.000043=．故答案為．21、1【解析】

先將圖形平面展開，再用勾股定理根據(jù)兩點之間線段最短進行解答即可．【詳解】如圖所示．∵三級臺階平面展開圖為長方形，長為20，寬為（2+3）×3，∴螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程是此長方形的對角線長．設螞蟻沿臺階面爬行到B點最短路程為x，由勾股定理得：x2=202+[（2+3）×3]2=12，解得：x=1．故答案為：1．本題考查了平面展開﹣最短路徑問題，用到臺階的平面展開圖，只要根據(jù)題意判斷出長方形的長和寬即可解答．22、1【解析】

根據(jù)一元二次方程的解的定義得到a2-1a=5，再把8-a2+1a變形為8-（a2-1a），然后利用整體代入的方法計算即可．【詳解】解：把x=a代入x2-1x-5=0得a2-1a-5=0，

所以a2-1a=5，

所以8-a2+1a=8-（a2-1a）=8-5=1．

故答案為：1．本題考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值是一元二次方程的解．23、2【解析】

因為點A,B的橫坐標相同，線段AB的中點恰好在x軸上，故點A，B關于x軸對稱，縱坐標互為相反數(shù)，由此可得m的值.【詳解】解：點A,B的橫坐標相同，線段AB的中點恰好在x軸上點A，B關于x軸對稱，縱坐標互為相反數(shù)點A的縱坐標為-2故答案為：2本題考查了平面直角坐標系中點的對稱問題，正確理解題意是解題的關鍵.二、解答題（本大題共3個小題，共30分）24、（1）90，180，（1，）；（2）存在，E的坐標為（0，）或（2，），或（0，﹣）；（3）P（1﹣，1+）．【解析】

(1)先求出OB,再由旋轉求出OD,CD,即可得出結論;(2)先求出D的坐標,再分三種情況,利用平行四邊形的性質即可得出結論;(3)先判斷出四邊形OAPC是正方形,再利用中點坐標公式即可得出結論【詳解】解：（1）Rt△OCD可以看作由Rt△AOB先繞點O順時針旋轉90°，再繞斜邊中點旋轉180°得到的，在Rt△AOB中，∠AOB＝30°，AB＝1，∴OB＝，由旋轉知，OD＝AB＝1，CD＝OB＝，∴C（1，），故答案為90，180，（1，）；（2）存在，理由：如圖1，由（1）知，C（1，），∴D（1，0），∵O（0，0），∵以C、O、D、E為頂點的四邊形是平行四邊形，∴①當OC為對角線時，∴CE∥OD，CE＝OD＝1，點E和點B'重合，∴E（0，），②當CD為對角線時，CE∥OD，CE＝OD＝1，∴E（2，），當OD為對角線時，OE'∥CD，OE'＝CD，∴E（0，﹣），即：滿足條件的E的坐標為（0，）或（2，），或（0，﹣）；（3）由旋轉知，OA＝OC，∠OCD＝∠AOB＝30°，∴∠COD＝90°﹣∠OCD＝60°，∴∠AOC＝90°，由折疊知，AP＝OA，PC＝OC，∴四邊形OAPC是正方形，設P（m，n）∵A（﹣，1），C（1，），O（0，0），∴（m+0）＝（1﹣），（n+0）＝（1+），∴m＝1﹣，n＝1+，∴P（1﹣，1+）．此題考查翻折變換（折疊問題），平