山東專用2025屆高考數(shù)學二輪專題闖關導練一客觀題專練立體幾何10含解析

PAGE立體幾何(10)一、單項選擇題(本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的)1．[2024·浙江卷]已知空間中不過同一點的三條直線l，m，n.“l(fā)，m，n共面”是“l(fā)，m，n兩兩相交”的()A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件2.已知某圓柱的底面周長為12，高為2，矩形ABCD是該圓柱的軸截面，則在此圓柱側面上，從A到C的路徑中，最短路徑的長度為()A．2eq\r(10)B．2eq\r(5)C．3D．23．圓錐的母線長為4，側面綻開圖為一個半圓，則該圓錐表面積為()A．10πB．12πC．16πD．18π4.如圖，在三棱錐D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點，則下列命題中正確的是()A．平面ABC⊥平面ABDB．平面ABD⊥平面BCDC．平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDED．平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE5.如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，M為CD的中點，則三棱錐A-BC1M的體積VA-BCA.eq\f(1,2)B.eq\f(1,4)C.eq\f(1,6)D.eq\f(1,12)6．[2024·山東省試驗中學、淄博試驗中學、煙臺一中、萊蕪一中四校聯(lián)考]已知圓錐的底面圓心為O，SA，SB為圓錐的兩條母線，且SA與圓錐底面所成的角為30°，∠AOB＝60°，則SB與平面SOA所成角的正弦值為()A.eq\f(\r(3),4)B.eq\f(3,4)C.eq\f(1,2)D.eq\f(\r(3),2)7．[2024·山東名校聯(lián)考]在三棱柱ABC-A1B1C1中，CC1⊥平面ABC，△ABC是邊長為2的正三角形，異面直線AC1與B1C所成的角為90°，則三棱柱ABC-A1B1A.eq\f(\r(6),3)B．2eq\r(3)C.eq\r(6)D.eq\f(2\r(3),3)8．[2024·山東日照校際聯(lián)考]已知點A，B，C，D都在球O的球面上，AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，DC＝2eq\r(3)，若點O恰好在四面體ABCD的棱DA上，則四面體ABCD的體積為()A.eq\f(\r(3),3)B.eq\f(\r(3),2)C.eq\f(2\r(3),3)D.eq\r(3)二、多項選擇題(本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得3分，有選錯的得0分)9．[2024·山東青島二中模擬]若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內，l2在平面β內，l是平面α與平面β的交線，則下列命題錯誤的是()A．l與l1，l2都不相交B．l與l1，l2都相交C．l至多與l1，l2中的一條相交D．l至少與l1，l2中的一條相交10．[2024·山東臨沂模擬]下列說法正確的是()A．垂直于同一個平面的兩條直線平行B．若兩個平面垂直，則其中一個平面內垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直C．一個平面內的兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行D．一條直線與一個平面內的多數(shù)條直線垂直，則這條直線和這個平面垂直11．如圖，正方體ABCD-A1B1C1D1A．直線BC與平面ABC1D1所成的角等于eq\f(π,4)B．點C到面ABC1D1的距離為eq\f(\r(2),2)C．兩條異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,4)D．三棱柱AA1D1-BB1C1外接球半徑為eq\f(\r(3),2)12.[2024·山東煙臺、菏澤聯(lián)考]在等腰梯形ABCD中，已知AB＝AD＝CD＝1，BC＝2，將△ABD沿直線BD翻折成△A′BD，如圖，則()A．∠A′BD為定值B．點A的軌跡為線段C．直線BA′與CD所成的角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2)))D．翻折過程中形成的三棱錐A′-BCD的體積的最大值為eq\f(\r(3),12)三、填空題(本題共4小題，每小題5分，共20分)13．體積為8的正方體的頂點都在同一球面上，則該球的體積為________．14．[2024·山東青島檢測]已知四面體ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，△ABD是邊長為2的等邊三角形，BD＝DC，BD⊥CD，則異面直線AC與BD所成角的余弦值為________．15．[2024·山東名校聯(lián)考]若半徑為1的球的內接正三棱柱的側面為正方形，則該正三棱柱的體積為________，表面積為______．(本題第一空2分，其次空3分)16．[2024·新高考Ⅰ卷]已知直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的棱長均為2，∠BAD＝60°.以D1為球心，eq\r(5)為半徑的球面與側面BCC1B1的交線長為________．立體幾何(10)1．答案：B解析：由m，n，l在同一平面內，可能有m，n，l兩兩平行，所以m，n，l可能沒有公共點，所以不能推出m，n，l兩兩相交．由m，n，l兩兩相交且m，n，l不經過同一點，可設l∩m＝A，l∩n＝B，m∩n＝C，且A?n，所以點A和直線n確定平面α，且B，C∈n，所以B，C∈α，所以l，m?α，所以m，n，l在同一平面內．故選B.2．答案：A解析：圓柱的側面綻開圖如圖，圓柱的側面綻開圖是矩形，且矩形的長為12，寬為2，則在此圓柱側面上從A到C的最短路徑為線段AC，AC＝eq\r(22＋62)＝2eq\r(10).故選A.3．答案：B解析：一個圓錐的母線長為4，它的側面綻開圖為半圓，半圓的弧長l＝eq\f(1,2)×2π×4＝4π，即圓錐的底面周長為4π，設圓錐的底面半徑是r，則得到2πr＝4π，解得r＝2，即這個圓錐的底面半徑是2，故圓錐的表面積S＝π×2×4＋π×22＝12π，故選B.4．答案：C解析：因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理，DE⊥AC，由于DE∩BE＝E，于是AC⊥平面BDE.因為AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.故選C.5．答案：C解析：VA-BC1M＝VC1-ABM＝eq\f(1,3)S△ABM·C1C＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)AB×AD×C1C＝eq\f(1,6).故選C.6．答案：B解析：如圖，過點B作BC⊥AO于點C，連接SC，AB.由圓錐的性質可知，SO⊥平面AOB，則SO⊥BC，所以BC⊥平面SOA，所以∠BSC即直線SB與平面SOA所成的角．設圓錐底面圓的半徑為r，則SB＝SA＝eq\f(r,cos30°)＝eq\f(2\r(3)r,3).因為∠BOA＝60°，所以在Rt△BOC中，BC＝eq\f(\r(3),2)r，所以在Rt△BSC中，sin∠BSC＝eq\f(BC,SB)＝eq\f(3,4)，故選B.7．答案：C解析：解法一如圖(1)，連接BC1，交B1C于點O，則O是BC1和B1C的中點，取AB的中點D，連接OD，DC，則OD∥AC1，因為AC1⊥B1C，所以OD⊥B1C.設三棱柱的高為h，則OD＝eq\f(1,2)AC1＝eq\f(1,2)eq\r(h2＋4)，OC＝eq\f(1,2)B1C＝eq\f(1,2)eq\r(h2＋4)，CD＝eq\r(3)，因為CD2＝OD2＋OC2，所以h＝eq\r(2)，所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積V＝eq\f(\r(3),4)×22×eq\r(2)＝eq\r(6)，故選C.解法二如圖(2)，取BC的中點D，連接AD，C1D，由于△ABC是正三角形，所以AD⊥BC，由CC1⊥平面ABC，知AD⊥CC1，所以AD⊥平面BCC1B1，故AD⊥B1C.依據(jù)異面直線AC1與B1C所成的角為90°，得AC1⊥B1C，所以B1C⊥平面ADC1，于是B1C⊥C1D，易證得△CC1D與△C1B1C相像，所以eq\f(1,CC1)＝eq\f(CC1,2)，所以CC1＝eq\r(2)，所以三棱柱ABC-A1B1C1的體積V＝eq\f(\r(3),4)×22×eq\r(2)＝eq\r(6)，故選C.8．答案：C解析：由AB＝BC＝eq\r(2)，AC＝2，可知∠ABC＝eq\f(π,2).取AC的中點M，易知點M為△ABC外接圓的圓心．連接OM，則OM⊥平面ABC，且OM為△ACD的中位線，所以DC⊥平面ABC，故四面體ABCD的體積V＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\r(2)×eq\r(2)×2eq\r(3)＝eq\f(2\r(3),3).故選C.9．答案：ABC解析：由直線l1和l2是異面直線可知直線l1與l2不平行，故直線l1，l2中至少有一條與直線l相交，即A，B，C錯誤，D正確，故選ABC.10．答案：ABC解析：由線面垂直的性質定理知，垂直于同一個平面的兩條直線平行，A正確；由面面垂直的性質定理知，若兩個平面垂直，則其中一個平面內垂直于這兩個平面交線的直線與另一個平面垂直，B正確；由面面平行的判定定理知，一個平面內的兩條相交直線均與另一個平面平行，則這兩個平面平行，C正確；對于D，這條直線有可能在這個平面內，D錯誤．故選ABC.11．答案：ABD解析：正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1，對于A，直線BC與平面ABC1D1所成的角為∠CBC1＝eq\f(π,4)，故選項A正確；對于B，因為B1C⊥平面ABC1D1，點C到平面ABC1D1的距離為B1C長度的一半，即h＝eq\f(\r(2),2)，故選項B正確；對于C，因為BC1∥AD1，所以異面直線D1C和BC1所成的角為∠AD1C，而△AD1C為等邊三角形，故兩條異面直線D1C和BC1所成的角為eq\f(π,3)，故選項C錯誤；對于D，因為A1A，A1B1，A1D1兩兩垂直，所以三棱柱AA1D1-BB1C1外接球也是正方體ABCD-A1B1C1D1的外接球，故r＝eq\f(\r(12＋12＋12),2)＝eq\f(\r(3),2)，故選項D正確．故選ABD.12．答案：ACD解析：在等腰梯形ABCD中，易知∠ABC＝60°，∠ABD＝∠CBD＝30°，則∠A′BD＝30°，為定值，所以BA的軌跡可看作是以BD為軸，B為頂點，母線與軸的夾角為30°的圓錐側面的一部分，故點A的軌跡如圖中所示，其中F為BC的中點．過點B作CD的平行線，過點C作BD的平行線，兩平行線交于點E，則直線BA′與BE所成的角即直線BA′與CD所成的角．又易知CD⊥BD，所以直線BA′與CD所成角的取值范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,3)，\f(π,2))).在△ABD中，過A作AE⊥BD于E，AE＝eq\f(1,2)，又S△BCD＝eq\f(1,2)×1×2sin60°＝eq\f(\r(3),2)，所以三棱錐A′-BCD的體積最大為eq\f(1,3)×eq\f(1,2)×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),12).故選ACD.13．答案：4eq\r(3)π解析：由正方體的體積為8，可知其棱長為2，且正方體的體對角線為其外接球的直徑，所以外接球的半徑為R＝eq\f(\r(22＋22＋22),2)＝eq\r(3)，則V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.14．答案：eq\f(\r(2),4)解析：由題意知CD⊥平面ABD，在D為坐標原點，DC所在直線為x軸，DB所在直線為y軸，過D作平面BDC的垂線為z軸建立空間直角坐標系，如圖，則A(0,1，eq\r(3))，C(2,0,0)，B(0,2,0)，D(0,0,0)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(2，－1，－eq\r(3))，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(0，－2,0)，設異面直線AC與BD所成的角為α，則cosα＝eq\f(|\o(AC,\s\up6(→))·\o(BD,\s\up6(→))|,|\o(AC,\s\up6(→))|·|\o(BD,\s\up6(→))|)＝eq\f(\r(2),4)，所以異面直線AC與BD所成角的余弦值為eq\f(\r(2),4).15．答案：eq\f(6\r(7),49)eq\f(36＋6\r(3),7)解析：如圖，記正三棱柱為三棱柱ABC-DEF，O為外接球的球心，G為底面△DEF的重心，連接OG，則OG⊥底面DEF，連接DG，OD.設正三棱柱的底面邊長為a，則由題意知，DG2＋OG2＝DO2，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)a×\f(2,3)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\