2025屆高考數(shù)學(xué)統(tǒng)考一輪復(fù)習(xí)第三章三角函數(shù)解三角形第七節(jié)正弦定理和余弦定理課時(shí)規(guī)范練文含解析北師大版

PAGE第三章三角函數(shù)、解三角形第七節(jié)正弦定理和余弦定理課時(shí)規(guī)范練A組——基礎(chǔ)對(duì)點(diǎn)練1．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知a＝eq\r(5)，c＝2，cosA＝eq\f(2,3)，則b＝()A.eq\r(2) B.eq\r(3)C．2 D．3解析：由余弦定理，得4＋b2－2×2bcosA＝5，整理得3b2－8b－3＝0，解得b＝3或b＝－eq\f(1,3)(舍去)，故選D.答案：D2．在△ABC中，若eq\f(sinA,a)＝eq\f(cosB,b)，則B的值為()A．30° B．45°C．60° D．90°解析：由正弦定理知，eq\f(sinA,sinA)＝eq\f(cosB,sinB)，∴sinB＝cosB，∴B＝45°.答案：B3．在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若asinA＋bsinB<csinC，則△ABC的形態(tài)是()A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．不確定解析：依據(jù)正弦定理可得a2＋b2<c2.由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)<0，故C是鈍角．即△ABC是鈍角三角形．答案：C4．已知銳角△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0，a＝7，c＝6，則A．10 B．9C．8 D．5解析：化簡(jiǎn)23cos2A＋cos2A＝0，得23cos2A＋2cos2A－1＝0，解得cosA＝eq\f(1,5).由余弦定理，知a2＝b2＋c2－2bccosA，代入數(shù)據(jù)，解方程，得b＝5.答案：D5．(2024·長(zhǎng)沙模擬)在△ABC中，A＝eq\f(π,4)，b2sinC＝4eq\r(2)sinB，則△ABC的面積為()A．1 B．2C．3 D．4解析：因?yàn)閎2sinC＝4eq\r(2)sinB，所以b2c＝4eq\r(2)b，即bc＝4eq\r(2)，故S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝2.答案：B6．(2024·廣東廣州調(diào)研)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知b＝eq\r(7)，c＝4，cosB＝eq\f(3,4)，則△ABC的面積為()A．3eq\r(7) B．eq\f(3\r(7),2)C．9 D．eq\f(9,2)答案：B7．(2024·河南三市聯(lián)考)已知a，b，c分別為△ABC三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，sinA∶sinB＝1∶eq\r(3)，c＝2cosC＝eq\r(3)，則△ABC的周長(zhǎng)為()A．3＋3eq\r(3) B．2eq\r(3)C．3＋2eq\r(3) D．3＋eq\r(3)解析：因?yàn)閟inA∶sinB＝1∶eq\r(3)，所以b＝eq\r(3)a，由余弦定理得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a2＋（\r(3)a）2－c2,2a×\r(3)a)＝eq\f(\r(3),2)，又c＝eq\r(3)，所以a＝eq\r(3)，b＝3，所以△ABC的周長(zhǎng)為3＋2eq\r(3)，故選C.答案：C8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若△ABC為銳角三角形，且滿(mǎn)意sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，則下列等式成立的是()A．a(chǎn)＝2b B．b＝2C．A＝2B D．B＝2解析：因?yàn)锳＋B＋C＝π，sinB(1＋2cosC)＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以sin(A＋C)＋2sinBcosC＝2sinAcosC＋cosAsinC，所以2sinBcosC＝sinAcosC，又cosC≠0，所以2sinB＝sinA，所以2b＝a，故選A.答案：A9．△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若2bcosB＝acosC＋ccosA，則B＝________．答案：eq\f(π,3)10．(2024·合肥市一模)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c.若A＝45°，2bsinB－csinC＝2asinA，且△ABC的面積等于3，則b＝________．解析：∵A＝45°，2bsinB－csinC＝2asinA，∴由余弦定理可得：a2＝b2＋c2－2bccosA＝b2＋c2－eq\r(2)bc，①由正弦定理可得：2b2－c2＝2a2，②又S△ABC＝eq\f(1,2)bcsinA＝3，即bc＝6eq\r(2)，③由①②③聯(lián)立解得b＝3.答案：3B組——素養(yǎng)提升練11．設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C所對(duì)邊的長(zhǎng)分別是a，b，c，且b＝3，c＝1，A＝2B，則cosB的值為_(kāi)_______．解析：因?yàn)锳＝2B，eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，b＝3，c＝1，所以eq\f(a,2sinBcosB)＝eq\f(3,sinB)，可得a＝6cosB，由余弦定理可得：a＝6×eq\f(a2＋1－9,2a)，所以a＝2eq\r(3)，所以cosB＝eq\f(a,6)＝eq\f(\r(3),3).答案：eq\f(\r(3),3)12．(2024·高考全國(guó)卷Ⅰ)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知bsinC＋csinB＝4asinBsinC，b2＋c2－a2＝8，則△ABC的面積為_(kāi)_______．解析：依據(jù)題意，結(jié)合正弦定理可得sinBsinC＋sinCsinB＝4sinAsinBsinC，即sinA＝eq\f(1,2)，結(jié)合余弦定理可得2bccosA＝8，所以A為銳角，且cosA＝eq\f(\r(3),2)，從而求得bc＝eq\f(8\r(3),3)，所以△ABC的面積為S＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)×eq\f(8\r(3),3)×eq\f(1,2)＝eq\f(2\r(3),3).答案：eq\f(2\r(3),3)13．(2024·成都模擬)已知三角形ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，若sin2A＝eq\r(3)cos2A，且角A為銳角．(1)求三角形內(nèi)角A的大?。?2)若a＝5，b＝8，求c的值．解析：(1)由題意，sin2A＝eq\r(3)cos2A，即tan2A＝eq\r(3).所以2A＝eq\f(π,3)或者2A＝eq\f(4π,3)，因?yàn)榻茿為銳角，所以A＝eq\f(π,6).(2)由(1)可知A＝eq\f(π,6)，a＝5，b＝8；由余弦定理，2bccosA＝c2＋b2－a2，可得：c2－8eq\r(3)c＋39＝0，解得c＝4eq\r(3)＋3或者4eq\r(3)－3.14．(2024·泉州模擬)已知a，b，c分別是△ABC中角A，B，C的對(duì)邊，acsinA＋4sinC＝4csinA.(1)求a的值；(2)圓O為△ABC的外接圓(O在△ABC內(nèi)部)，△OBC的面積為eq\f(\r(3),3)，b＋c＝4，推斷△ABC的形態(tài)，并說(shuō)明理由．解析：(1)由正弦定理可知，sinA＝eq\f(a,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)，則acsinA＋4sinC＝4csinA?a2c＋4c＝4ac，因?yàn)閏≠0，所以a2c＋4c＝4ac?a2＋4＝4a?(a－2)2＝0，可得a＝2.(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為D，則OD⊥BC，所以S△OBC＝eq\f(1,2)BC·OD.又因?yàn)镾△OBC＝eq\f(\r(3),3)，BC＝2，所以O(shè)D＝eq\f(\r(3),3)，在Rt△BOD中，tan∠BOD＝eq\f(BD,OD)＝eq\f(\f(1,2)BC,OD)＝eq\f(1,\f(\r(3),