2024版.新高考版 數(shù)學(xué)　平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標表示

高考

數(shù)學(xué)專題六平面向量6.1平面向量的概念及線性運算、平面向量基本定理及坐標表示基礎(chǔ)篇考點一平面向量的概念及線性運算1.向量的線性運算向量運算法則(或幾何意義)運算律加法

(1)交換律:a+b=b+a;(2)結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)減法數(shù)乘(1)|λa|=|λ||a|;(2)當λ>0時,λa與a的方向相同;當λ<0時,λa與a的方向相反;當λ=0時,λa=0λ(μa)=(λμ)a;(λ+μ)a=λa+μa;λ(a+b)=λa+λb2.共線向量定理向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ,使b=λa.考點二平面向量基本定理及坐標運算1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量,那么對于這一平面內(nèi)的任意向

量a,有且只有一對實數(shù)λ1,λ2,使a=λ1e1+λ2e2.我們把{e1、e2}叫做表示這個平

面內(nèi)所有向量的一個基底.零向量和共線向量不能作基底.2.平面向量的坐標運算已知a=(x1,y1),b=(x2,y2).則a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),a∥b?x1y2-x2y1=0.3.向量的坐標表示若A(x1,y1),B(x2,y2),則

=(x2-x1,y2-y1).綜合篇考法一平面向量線性運算的解題策略1.盡可能轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中,靈活運用三角形法則、平行四

邊形法則,結(jié)合圖形的幾何性質(zhì)進行運算.2.復(fù)雜的向量問題可建立坐標系,借助向量的坐標運算,也可靈活地選取

基底,利用平面向量基本定理及相關(guān)的向量知識進行求解.例1

(多選)(2022濟南開學(xué)檢測,5)等邊三角形ABC中,

=

,

=2

,AD與BE交于F,則下列結(jié)論正確的是

(

)A.

=

(

+

)

B.

=

+

C.

=

D.

=

+

解析如圖,∵

=

,∴D為BC的中點,∴

=

(

+

),∴A正確;∵

=2

,∴

=

=

(

-

),∴

=

+

=

+

(

-

)=

+

,∴B錯誤;設(shè)

=λ

,λ∈R,則

=

+

=

+

,∵B,F,E三點共線,∴

+

=1,解得λ=

,∴

=

,∴C正確;

=

+

=

+

=

+

(

-

)=

+

-

=

+

,∴D錯誤.故選AC.答案

AC考法二向量共線問題的求解方法1.兩非零向量共線是指存在實數(shù)λ,使兩向量可以相互表示,在應(yīng)用時注意

待定系數(shù)法和方程思想的應(yīng)用.2.證明三點共線問題,可用向量共線來解決,但應(yīng)注意向量共線和三點共

線的區(qū)別與聯(lián)系,當兩向量共線且有公共點時,才能得到三點共線.3.對于平面上的任一點O,

,

不共線,

=λ

+μ

,則A,B,C共線?λ+μ=1,特別地,當λ=μ=

時,C為線段AB的中點.4.若兩非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),則a∥b?x1y2-x2y1=0.5.若a與b不共線且λa=μb,則λ=μ=0.例2

(2022廣東肇慶統(tǒng)一檢測,6)如圖,在平行四邊形ABCD中,AE=

AD,BF=

BC,CE與DF交于點O.設(shè)

=a,

=b,若

=λa+μb,λ,μ∈R,則μ-λ=

(

)

A.

B.

C.

D.

解析連接AF,AC,∵D,O,F三點共線,∴可設(shè)

=x

+y

,則x+y=1,∴

=x

+y(

+

)=x

+y

=

b+ya.∵E,O,C三點共線,∴可設(shè)

=m

+n

,則m+n=1,∴

=

+n(

+

)=

b+na,∴

解得

∴

=

a+

b,∴λ=

,μ=

,μ-λ=

-

=

,故選C.答案

C例3

(2022山東質(zhì)檢,14)已知向量a=(

,1),b=(0,1),d=(k,

),若2a-b與d平行,則實數(shù)k=

.解析因為a