北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章勾股定理》單元檢測(cè)卷及答案

第第頁(yè)北師大版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)《第一章勾股定理》單元檢測(cè)卷及答案一、單選題1．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝8，以AC和BC為底邊分別向外作等腰直角△AFC和等腰直角△BEC，若△AFC的面積為，△BCE的面積為，則的值為（）A．8 B．16 C．24 D．322．已知，如圖長(zhǎng)方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，將此長(zhǎng)方形折疊，使點(diǎn)B與D重合，折痕為EF，則BE的長(zhǎng)為()A．3cm B．4cm C．5cm D．6cm3．由下列線段a，b，c可以組成直角三角形的是（）.A．a(chǎn)=1，b=2，c=3 B．a(chǎn)=b=1，c=C．a(chǎn)=4，b=5，c=6 D．a(chǎn)=2，b=2，c=44．若一個(gè)直角三角形的三邊長(zhǎng)分別為，則以為三邊長(zhǎng)的三角形是（）A．直角三角形 B．銳角三角形 C．針角三角形 D．等邊三角形5．在學(xué)習(xí)勾股定理時(shí)，小明利用如圖驗(yàn)證了勾股定理.若圖中，，則陰影部分直角三角形的面積為（）A．5 B．25 C． D．6．以下列各組數(shù)為邊長(zhǎng)的三角形中，能構(gòu)成直角三角形的是（）A．3，4，6 B．12，18，22 C．，， D．8，15，177．如圖所示，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，若AB=6，那么AE2+BE2+AB2的值為（）A．69 B．70 C．71 D．728．如圖一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)寬高分別是5cm，3cm和1cm，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)，點(diǎn)A上有一只螞蟻，想到點(diǎn)B去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)B的最短路程長(zhǎng)為（）A．10 B．11 C．12 D．139．《九章算術(shù)》中記載：今有開(kāi)門去闊（k?n，門檻的意思）一尺，不合二寸，問(wèn)門廣幾何？題目大意是：如圖（圖②為圖①的平面示意圖），推開(kāi)雙門，雙門間隙CD的距離為2寸，點(diǎn)C和點(diǎn)D距離門檻AB都為1尺（1尺＝10寸），則AB的長(zhǎng)是（）A．50.5寸 B．52寸 C．101寸 D．104寸10．如圖，等腰直角△ABC中，AC=BC，BE平分∠ABC，AD⊥BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，若AD=2，則△ABE的面積為（）．A．4 B．6 C．2 D．2二、填空題11．直角三角形斜邊的長(zhǎng)是17，一直角邊的長(zhǎng)是15，則此直角三角形的面積為．12．如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，E為AB邊上一點(diǎn)，將△BEC沿CE翻折，點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，當(dāng)△AEF為直角三角形時(shí)，BE＝.13．如圖，將矩形紙片ABCD折疊，使邊DC落在對(duì)角線AC上，折痕為CE，且D落在F處，若AB=6，AD=8，則ED的長(zhǎng)是．14．如圖，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，∠B＝30°，AD為中線，E在AB上，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作DE的垂線交AC于點(diǎn)F，若BE＝，CF＝4，則線段AD的長(zhǎng)為．三、解答題15．如圖，一架長(zhǎng)25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻7米．（1）此時(shí)梯子頂端離地面多少米？（2）若梯子頂端下滑4米，那么梯子底端將向左滑動(dòng)多少米？16．如圖，在四邊形中，，，，，求四邊形的面積．17．如圖是一個(gè)可折疊的鋼絲床的示意圖，這是展開(kāi)后支撐起來(lái)放在地面上的情況，如果折疊起來(lái)，床頭部分被折到床面之上了（這里的A、B、C、D各點(diǎn)都是活動(dòng)的）.活動(dòng)床頭是根據(jù)三角形的穩(wěn)定性和四邊形的不穩(wěn)定性設(shè)計(jì)而成的，其折疊過(guò)程可用如圖的變換反映出來(lái)，如果已知四邊形ABCD中，AB=6，CD=15，那么BC、AD取多長(zhǎng)時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述的折疊變化？18．如圖，一架長(zhǎng)25米的梯子，斜靠在豎直的墻上，這時(shí)梯子底端離墻7米．（1）此時(shí)梯子頂端離地面多少米？（2）若梯子頂端下滑4米，那么梯子底端將向左滑動(dòng)多少米？四、綜合題19．如圖，在中，，平分交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作交于點(diǎn)E，，垂足為點(diǎn)F．（1）求證：；（2）若，，求的長(zhǎng)．20．如圖，在中，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)D，點(diǎn)E在線段上，且．已知，，．（1）求線段的長(zhǎng)；（2）求證：．21．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，BC=6，Q為AB的中點(diǎn)．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿折線AC--CB以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度運(yùn)動(dòng)，連結(jié)PQ，以PQ為邊構(gòu)造正方形PMNQ且邊MN與點(diǎn)B始終在邊PQ同側(cè)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒(>0)．（1）線段AB的長(zhǎng)為（2）當(dāng)點(diǎn)P在邊AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段CP的長(zhǎng)為▲(用含t的代數(shù)式表示)．①當(dāng)正方形PMNQ與△ABC重疊部分圖形是正方形時(shí)，求t的取值范圍．②當(dāng)邊MN的中點(diǎn)落在△ABC的邊上時(shí)，求正方形PMNQ的面積．（3）當(dāng)點(diǎn)P不與點(diǎn)C重合時(shí)，作點(diǎn)C關(guān)于直線PQ的對(duì)稱點(diǎn)C'當(dāng)PC'⊥AB時(shí)，直接寫(xiě)出t的值．22．如圖，AB⊥BC，CD⊥BC，且BC＝CD＝4cm，AB＝1cm，點(diǎn)P以每秒0.5cm的速度從點(diǎn)B開(kāi)始沿射線BC運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q在線段CD上由點(diǎn)C向終點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）當(dāng)t＝2時(shí)，BP＝_cm，CP＝_cm．（2）如圖①，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)Q經(jīng)過(guò)幾秒時(shí)，使得△ABP與△PCQ全等？此時(shí)，點(diǎn)Q的速度是多少？（寫(xiě)出求解過(guò)程）（3）如圖②，是否存在點(diǎn)P，使得△ADP是等腰三角形？若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．23．如圖，C為線段BD上一動(dòng)點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)B、D作，，連接AC、EC．已知，，，設(shè)．（1）用含x的代數(shù)式表示的長(zhǎng)．（2）請(qǐng)問(wèn)點(diǎn)C滿足什么條件時(shí)，的值最小，并求出此時(shí)的最小值．（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結(jié)論，重新構(gòu)圖求出代數(shù)式的最小值．參考答案解析1．【答案】B2．【答案】C3．【答案】D【解析】【解答】解：A.因?yàn)?2+22≠32，故不能圍成直角三角形，此選項(xiàng)不符合題意.B.因?yàn)?2+12≠()2，故不能圍成直角三角形止此選項(xiàng)不符合題意.C.因?yàn)?2+52≠62，故不能圍成直角三角形，此選項(xiàng)不符合題意.D.因?yàn)?2+(2)2=42，能圍成直角三角形，此選項(xiàng)符合題意.故答案為：D【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個(gè)是直角三角形判定則可.如果有這種關(guān)系，就是直角三角形，沒(méi)有這種關(guān)系，就不是直角三角形4．【答案】A5．【答案】D【解析】【解答】根據(jù)勾股定理可得：c=，

∴陰影部分的面積=×c×c=，

故答案為：D.

【分析】先利用勾股定理求出c的值，再利用三角形的面積公式求解即可.6．【答案】D【解析】【解答】解：A、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

B、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

C、，不能構(gòu)成直角三角形，不符合題意；

D、，可以構(gòu)成直角三角形，符合題意.

故答案為：D.

【分析】根據(jù)勾股定理的逆應(yīng)用，判斷三邊是否滿足等式，即可判定是否能夠構(gòu)成直角三角形.7．【答案】D【解析】【解答】解：∵AD∥BC，

∴∠DAB+∠ABC=180°.

∵AE平分∠DAB，BE平分∠ABC，

∴∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，

∴∠EAB+∠EBA=∠DAB+∠ABC=(∠DAB+∠ABC)=90°，

∴∠E=90°，

∴AE2+BE2=AB2.

∵AB=6，

∴AE2+BE2=62=36，

∴AE2+BE2+AB2=36+36=72.

故答案為：D.

【分析】由平行線的性質(zhì)可得∠DAB+∠ABC=180°，由角平分線的概念可得∠EAB=∠DAB，∠EBA=∠ABC，則∠EAB+∠EBA=90°，得到∠E=90°，由勾股定理可得AE2+BE2=AB2，據(jù)此求解.8．【答案】D【解析】【解答】將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何，如圖所示：

根據(jù)題意可得：AD=EF=GH=3，DE=FG=HB=1，AC=5，

∴CB=3+3+3+1+1+1=12，

∴在Rt△ABC中，AB2=AC2+CB2，

∴，

∴螞蟻沿著臺(tái)階面爬到點(diǎn)B的最短路程長(zhǎng)為AB=13，

故答案為：D.

【分析】先將立體幾何轉(zhuǎn)化為平面幾何，再利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)即可.9．【答案】C【解析】【解答】解：分別過(guò)點(diǎn)C，D作CF⊥AB，DE⊥AB交AB于點(diǎn)F，E，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，如圖，

設(shè)AB為x寸，則AD=BC=寸，AE=(-1)寸，

在Rt△AOD中，AD2=AO2+DO2，

即

解得，x=101，

∴AB的長(zhǎng)為101寸.

故答案為：C.

【分析】分別過(guò)點(diǎn)C，D作CF⊥AB，DE⊥AB交AB于點(diǎn)F，E，點(diǎn)O為AB的中點(diǎn)，設(shè)AB為x寸，表示出AD，AE，根據(jù)勾股定理列出方程，再解方程，即可求得.10．【答案】A11．【答案】6012．【答案】3或6【解析】【解答】解：如圖，若∠AEF＝90°，∵∠B＝∠BCD＝90°＝∠AEF∴四邊形BCFE是矩形∵將△BEC沿著CE翻折∴CB＝CF∴四邊形BCFE是正方形∴BE＝BC＝AD＝6，如圖，若∠AFE＝90°，∵將△BEC沿著CE翻折∴CB＝CF＝6，∠B＝∠EFC＝90°，BE＝EF∵∠AFE＋∠EFC＝180°∴點(diǎn)A，點(diǎn)F，點(diǎn)C三點(diǎn)共線∴AC＝＝10，∴AF＝AC?CF＝4∵AE2＝AF2＋EF2，∴（8?BE）2＝16＋BE2，∴BE＝3，若∠EAF＝90°，∵CD＝8＞CF＝6∴點(diǎn)F不可能落在直線AD上，∴不存在∠EAF＝90°，綜上所述：BE＝3或6.故答案為：3或6.【分析】分三種情況討論①若∠AEF＝90°，②若∠AFE＝90°，③若∠EAF＝90°，利用折疊的性質(zhì)和勾股定理，分別解答并驗(yàn)證即可。13．【答案】314．【答案】5【解析】【解答】解：如圖，連接EF，延長(zhǎng)ED到J，使得DJ＝DE，連接EJ，CJ．設(shè)AF＝x，∵BD＝DC，DE＝DJ，∠BDE＝∠CDJ，∴△BDE≌△CDF（SAS），∴BE＝CJ＝2，∠B＝∠DCJ＝30°，∵∠BAC＝90°，∴∠ACB＝60°，∴∠FCJ＝∠ACB+∠BCJ＝90°，∴FJ＝∵DE＝DJ．FD⊥EJ，∴FE＝FJ＝2，∵∠B＝30°，∠BAC＝90°，∴AB＝AC＝（x+4），∴AE＝AB﹣BE＝2+x，∵AE2+AF2＝EF2，∴（2+x）2+x2＝（2）2，整理得，x2+3x﹣4＝0，∴x＝1或﹣3（舍棄），∴AF＝1，AC＝5，∴BC＝2AC＝10，∵BC＝DC，∠BAC＝90°，∴AD＝BC＝5．故答案為5．【分析】連接EF，延長(zhǎng)ED到J，使得DJ＝DE，連接EJ，CJ．設(shè)AF＝x，先證△BDE≌△CDF，進(jìn)一步得到FJ=FE=，AE=+x，再利用勾股定理列方程求得x，最后直角三角形的性質(zhì)求解即可．15．【答案】（1）梯子頂端離地面24米（2）梯子底端將向左滑動(dòng)了8米16．【答案】17．【答案】解：由圖1知①由圖2知，AB+AD=CD+BC，即6+AD=15+BC②.聯(lián)立①②組成方程組得：解得AD=39，BC=30.故BC，AD分別取30和39時(shí)，才能實(shí)現(xiàn)上述變化.【解析】【分析】根據(jù)已知得出圖形得出和6+AD=15+BC，進(jìn)而組成方程組求出即可.18．【答案】（1）梯子頂端離地面24米（2）梯子底端將向左滑動(dòng)了8米19．【答案】（1）證明：∵平分交于點(diǎn)D，∴，∵，∴，∴，∴；（2）解：∵，分交于點(diǎn)D，，∴，∴，在中，，∵，∴，在中，．【解析】【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得，再利用平行線的性質(zhì)可得，所以，即可得到；

（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再利用勾股定理求出CE的長(zhǎng)，利用線段的和差求出BC的長(zhǎng)，最后利用勾股定理求出BD的長(zhǎng)即可。20．【答案】（1）解：設(shè)，∵，∴，∵，∴，在中，由勾股定理得，∴，解得，∴即的長(zhǎng)為（2）證明：在中，，，∴，在中，，，∴，∴，∵，，∴，∴是直角三角形，∴【解析】【分析】（1）設(shè)BE=AE=x，可表示出ED的長(zhǎng)，再利用勾股定理可得到關(guān)于x的方程，解方程求出x的值，可得到DE的長(zhǎng).（2）在Rt△ABD中，利用勾股定理求出AB的長(zhǎng)，在Rt△ADC中，利用勾股定理求出CD的長(zhǎng)，及可求出BC的長(zhǎng)；再利用勾股定理的逆定理可證得結(jié)論.21．【答案】（1）10（2）解：8-2t；①當(dāng)點(diǎn)M落在AC邊上時(shí)，2t=8×、∴t=2．當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上時(shí)，2t=8-3．∴t=∴當(dāng)重疊部分圖形是正方形時(shí)，1的取值范圍為2或②當(dāng)點(diǎn)MN的中點(diǎn)落在AC邊上時(shí)，如圖①，tan∠MPC=∴2t=4-，∴t=∴S=(2t-4)2+9=+9=當(dāng)點(diǎn)MN的中點(diǎn)落在BC邊上時(shí)，如圖②，PE=QD=3，EM=DP=2t-4=2CE．∴PE=PC+CE=8-2t+t-2=3．∴t=3．∴S=(2t-4)2+9=13．（3）解：t1=，t2=【解析】【分析】（1）利用勾股定理直接可得答案；

（2）由題意知，AP＝2t，可得CP＝8-2t，①當(dāng)點(diǎn)M落在AC邊上或當(dāng)點(diǎn)M落在BC邊上，分別畫(huà)出圖形，求出t即可得出范圍；②點(diǎn)MN的中點(diǎn)F落在AC邊上或點(diǎn)MN的中點(diǎn)F落在BC邊上，分別利用全等三角形的判定與性質(zhì)解決問(wèn)題；

（3）當(dāng)點(diǎn)P在AC上，PC'⊥AB時(shí)，設(shè)垂足為O，作QE⊥AC于E，證明PE＝PO，再利用∠A的三角函數(shù)解決問(wèn)題，同理解決當(dāng)點(diǎn)P在BC上，PC'⊥AB時(shí)的情形22．【答案】（1）1；3（2）解：如圖①中．當(dāng)BP＝PC＝2cm，AB＝CQ＝1cm時(shí)，∵∠ABP＝∠PCQ＝90°，∴△ABP≌△QCP（SAS），∴t＝s，∴VQ＝＝0.25cm/s．當(dāng)AB＝CP＝1cm，CQ＝BP＝3cm，則△ABP≌△PCQ（SAS），∴t＝s，VQ＝cm/s．當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)C的右側(cè)，AB＝PC＝1cm，BP＝CQ＝4+1＝5cm，不合題意．綜上所述．滿足條件的點(diǎn)Q的速度為0.25cm/s或0.5cm/s．（3）解：滿足條件的t的值為2s或14s或s或s．【解析】【解答】解：（1）由題意可得：