數(shù)學(xué)教案：平面直角坐標(biāo)系中的基本公式

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精示范教案eq\o(\s\up7(），\s\do5（整體設(shè)計))教學(xué)分析教材首先把數(shù)軸上的基本公式、距離公式和中點公式，推廣到平面直角坐標(biāo)系，再把二維的問題轉(zhuǎn)化為一維問題來處理．等學(xué)完平面向量后，可作為練習(xí)，讓學(xué)生用向量方法重新證明這些基本公式和幾何問題．應(yīng)向?qū)W生指出,中點公式是中心對稱的坐標(biāo)表示,應(yīng)多做練習(xí)，讓學(xué)生掌握中點公式的應(yīng)用．這一節(jié)的習(xí)題后用探索與研究的方式安排了一個系列習(xí)題．通過直線上的距離公式,求解含絕對值符號的方程．新課標(biāo)只要求學(xué)生理解了距離公式的幾何意義，學(xué)生應(yīng)能解出即可，而且,這能進一步幫助學(xué)生更好地理解距離公式的意義．不妨在學(xué)習(xí)橢圓方程和雙曲線方程時重溫此題．如果點在坐標(biāo)平面上，讓學(xué)生寫出點的軌跡方程．值得注意的是對于平面內(nèi)兩點間距離公式的教學(xué),第一，應(yīng)向?qū)W生指出,距離公式是勾股定理的坐標(biāo)形式，通過兩點的坐標(biāo)分量來計算兩點間的距離；第二，貫徹算法思想(機械化計算）．這是按步驟計算(一點都馬虎不得）,是學(xué)好數(shù)學(xué)的基本功.三維目標(biāo)1．掌握平面內(nèi)兩點間距離公式和中點公式，提高學(xué)生推理和類比能力．2．能夠利用平面內(nèi)兩點間距離公式和中點公式解決有關(guān)問題；掌握坐標(biāo)法解決幾何問題，提高學(xué)生分析問題和解決問題的能力．重點難點教學(xué)重點:平面內(nèi)兩點間距離公式和中點公式及其應(yīng)用．教學(xué)難點:平面內(nèi)兩點間距離公式的推導(dǎo)．課時安排1課時eq\o(\s\up7(）,\s\do5(教學(xué)過程))導(dǎo)入新課設(shè)計1.上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了直線坐標(biāo)系中的兩點間距離公式，本節(jié)我們把這個公式推廣到平面直角坐標(biāo)系中,教師點出課題．設(shè)計2.已知平面上的兩點A(x1，y1)，B(x2，y2），如何求A(x1，y1),B（x2，y2)的距離|AB｜呢？教師點出課題．推進新課eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（新知探究）)eq\b\lc\\rc\（\a\vs4\al\co1（提出問題）)（1）回顧平面直角坐標(biāo)系中點的坐標(biāo)的意義．（2)已知點A(x,y），試求d(O，A）．(3)如何求任意兩點A（x1，y1)、B(x2，y2）的距離呢？(4）已知兩點的坐標(biāo),用兩點距離公式計算兩點之間的距離,寫出步驟．(5）已知A(x1，y1）、B(x2,y2），設(shè)點M（x，y)是線段AB的中點，試推導(dǎo)中點公式．討論結(jié)果：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，有序?qū)崝?shù)對構(gòu)成的集合與坐標(biāo)平面內(nèi)的點的集合具有一一對應(yīng)關(guān)系．如下圖所示，有序數(shù)對(x，y)與點P對應(yīng),這時(x，y）稱作點P的坐標(biāo)，并記為P（x，y），x叫做點P的橫坐標(biāo)，y叫做點P的縱坐標(biāo)．（2）如下圖所示．從點A(x，y）作x軸的垂線段AA1，垂足為A1，這時，同學(xué)們只要想到勾股定理，會馬上寫出計算d(O,A）的公式：d（O,A）＝eq\r（x2＋y2）。（3)如下圖所示，從點A和點B分別向x軸、y軸作垂線AA1、AA2和BB1、BB2,垂足分別為A1(x1，0)、A2（0，y1）、B1（x2,0）、B2(0,y2）．其中直線BB1和AA2相交于點C.在直角△ACB中，｜AC|＝｜A1B1｜＝｜x2－x1|，｜BC｜＝|A2B2|＝｜y2－y1|。由勾股定理，得｜AB｜2＝｜AC|2＋|BC|2＝|x2－x1｜2＋｜y2－y1|2。由此得到計算A（x1，y1)、B（x2,y2)兩點的距離公式:d（A，B)＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).（4）步驟是：①給兩點的坐標(biāo)賦值:x1＝?，y1＝？,x2＝？,y2＝？；②計算兩個坐標(biāo)的差，并賦值給另外兩個變量，即Δx＝x2－x1，Δy＝y(tǒng)2－y1；③計算d＝eq\r(Δx2＋Δy2)；④給出兩點的距離d。通過以上步驟，對任意兩點，只要給出兩點的坐標(biāo)，就可一步步地求值,最后算出兩點的距離．（5）如下圖所示：過點A、B、M分別向x軸、y軸作垂線AA1、AA2、BB1、BB2、MM1、MM2，垂足分別為A1（x1，0）、A2(0，y1），B1(x2，0）、B2（0，y2），M1（x，0)、M2(0，y)．因為M是線段AB的中點,所以點M1和點M2分別是A1B1和A2B2的中點，則A1M1＝M1B1，A2M2＝M2B2。所以x－x1＝x2－x,y－y1＝y(tǒng)2－y,即x＝eq\f(x1＋x2，2)，y＝eq\f(y1＋y2,2)，這就是線段中點坐標(biāo)的計算公式，簡稱中點公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(應(yīng)用示例）)思路1例1已知A（2，－4)，B（－2，3），求d(A，B)．解：x1＝2，x2＝－2，y1＝－4，y2＝3,Δx＝x2－x1＝－2－2＝－4，Δy＝y(tǒng)2－y1＝3－(－4)＝7,d（A，B）＝eq\r（Δx2＋Δy2)＝eq\r(－42＋72）＝eq\r（65）.變式訓(xùn)練1．已知A(2,1）,B(－1，b)，｜AB｜＝5，則b等于（)A．－3B．5C．－3或5D．－1或－3解析：由題意，得eq\r(2＋12＋1－b2)＝5，解得b＝－3或5。答案：C2．已知點A(1，2），B（3,4),C（5,0)，求證△ABC是等腰三角形．證明：因為d(A，B)＝eq\r（3－12＋4－22）＝eq\r(8），d（A,C)＝eq\r（5－12＋0－22)＝eq\r（42＋－22)＝eq\r(20）,d(B，C）＝eq\r（5－32＋0－42)＝eq\r（22＋－42）＝eq\r(20),所以｜AC|＝｜BC｜.又A、B、C不共線，所以△ABC是等腰三角形．例2已知ABCD，求證：AC2＋BD2＝2(AB2＋AD2）．分析:如果在ABCD所在的平面上建立直角坐標(biāo)系,寫出點A、B、C、D的坐標(biāo)，則由距離公式就能證明題中結(jié)論是否成立，由于點的坐標(biāo)與坐標(biāo)系有關(guān)，所以我們建立的坐標(biāo)系，要盡量使點的坐標(biāo)容易表示出來．證明：取A為坐標(biāo)原點、AB所在直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy。如下圖依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可設(shè)點A、B、C、D的坐標(biāo)為A（0，0)，B(a，0)，C（b，c),D(b－a，c）．所以AB2＝a2,AD2＝(b－a）2＋c2，AC2＝b2＋c2，BD2＝(b－2a）2＋c2.得AC2＋BD2＝4a2＋2b2＋2c2－4ab＝2(2a2＋b2＋c2－2ab），AB2＋AD2＝2a2＋b2＋c2－2ab，所以AC2＋BD2＝2（AB2＋AD2)．點評：本例證明了一個重要的定理:平行四邊形兩條對角線的平方和等于它的四邊的平方和．從中我們看到，幾何問題可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題，通過一步步地計算來解決．這種解決問題的方法叫做坐標(biāo)法，同學(xué)們在整章的學(xué)習(xí)中，都將體會到坐標(biāo)法在研究幾何問題中的作用和威力．變式訓(xùn)練已知：△ABC中，D是BC邊上任意一點(與B，C不重合），且｜AB｜2＝｜AD|2＋｜BD|·|DC|.求證：△ABC為等腰三角形．證明：作AO⊥BC，垂足為O.以BC所在直線為x軸,以O(shè)A所在直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系，如下圖．設(shè)A（0，a)，B(b，0),C（c,0），D(d，0)．因為|AB|2＝｜AD｜2＋|BD｜·|DC|,所以，由距離公式可得b2＋a2＝d2＋a2＋（d－b)（c－d）,即－（d－b)（b＋d）＝(d－b)(c－d），又d－b≠0，故－b－d＝c－d,即－b＝c.所以|AB|＝|AC｜，所以，△ABC為等腰三角形．思路2例3已知ABCD的三個頂點A（－3,0），B(2，－2),C（5,2)，求頂點D的坐標(biāo)（如下圖)．解：因為平行四邊形的兩條對角線的中點相同，所以它們的坐標(biāo)也相同,設(shè)點D的坐標(biāo)為(x,y)，則eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（x＋2,2）＝\f(－3＋5，2)＝1，，\f（y－2，2)＝\f（0＋2,2)＝1。）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝4）)所以點D的坐標(biāo)為（0,4）．變式訓(xùn)練1．已知平行四邊形ABCD的三個頂點是A(3，－2），B（5,2)，C(－1,4）,求它的第四個頂點D的坐標(biāo)．分析：由于平行四邊形是中心對稱圖形,利用中點坐標(biāo)公式即可求得D點的坐標(biāo)．解:∵對角線AC,BD互相平分，∴AC,BD的中點重合．設(shè)第四個頂點為D1（x1,y1），由中點公式有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(\f（x1＋5,2）＝\f（3－1，2)，,\f(y1＋2,2）＝\f(4－2,2）.）)解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＝－3，,y1＝0。）)即點D的坐標(biāo)為（－3,0)．2．點P(x，y）滿足:eq\r（x－12＋y－22)＋eq\r(x－32＋y－42)＝eq\r(3－12＋4－22),那么點P的軌跡形狀為______．解析:設(shè)A(1，2)，B(3,4）,則有｜PA｜＋｜PB|＝｜AB|，所以點P的軌跡是線段AB,故填線段．答案：線段3．點A（a，b）關(guān)于點M（m,n）的對稱點的坐標(biāo)是______．解析：設(shè)點A(a，b）關(guān)于點M（m，n）的對稱點為A′(x，y），則x＋a＝2m，y＋b＝2n,整理,得x＝2m－a，y＝2n－b.答案:(2m－a，2n－b)eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(知能訓(xùn)練)）1．以A(5,5），B(1，4)，C（4,1)為頂點的三角形是(）A．直角三角形B．等腰三角形C．正三角形D．等腰直角三角形答案:B2．已知點A(－1,3），B（2,4），點P在x軸上，且|PA|＝｜PB|，則點P的坐標(biāo)是______．解析：設(shè)P(x,0)，則eq\r（x＋12＋9)＝eq\r(x－22＋16），解得x＝eq\f(5，3）。答案:eq\f(5,3)3．若A（a,b),B(b,a)，則|AB｜＝______。答案：eq\r(2)｜a－b｜4．判斷A(－1，－1)，B(0，1)，C（1，3)三點是否共線,并說明理由．解：｜AB｜＝eq\r(－1－02＋－1－12）＝eq\r（5）；|BC|＝eq\r（1－02＋3－12）＝eq\r（5）；|AC｜＝eq\r（－1－12＋－1－32)＝2eq\r(5)；則|AC|＝｜AB|＋|BC｜，所以三點共線．5．已知點P（x，y），求：①關(guān)于y軸的對稱點；②關(guān)于x軸的對稱點；③關(guān)于原點的對稱點；④關(guān)于直線y＝x的對稱點;⑤關(guān)于直線y＝－x的對稱點．答案：①(－x，y）②（x，－y)③(－x,－y)④(y,x)⑤（－y，－x）eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1（拓展提升）)已知點A（2，5)，B(4,－7)，(1)求|PA｜＋|PB｜的最小值；(2）求｜｜QA｜－|QB||的最大值．分析：借助于三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊,分別利用對稱確定取最小值時點P和Q的位置．解：(1)如下圖，點A關(guān)于y軸的對稱點是A′(－2，5),則|PA｜＋｜PB|＝｜PA′|＋｜PB|，由三角形的知識得|PA′|＋｜PB|≥｜A′B|，又｜A′B|＝eq\r(－2－42＋5＋72)＝6eq\r（5），即|PA｜＋｜PB｜的最小值是6eq\r（5)。(2）如下圖,點A關(guān)于x軸的對稱點是A″(2,－5），則｜｜QA｜－｜QB||＝｜|QA″|－|QB|｜，由三角形的知識得｜｜QA″｜－｜QB|｜≤|A″B|,又｜A″B｜＝eq\r（2－42＋－5＋72)＝2eq\r（2)，所以｜|QA｜－|QB｜｜的最大值為2eq\r（2）。eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)）)本節(jié)課學(xué)習(xí)了：平面直角坐標(biāo)系中的兩點間距離公式和中點公式、坐標(biāo)法及其應(yīng)用．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(作業(yè)))本節(jié)練習(xí)B1,2,3題。eq\o(\s\up7()，\s\do5（設(shè)計感想)）通過本節(jié)課的教學(xué),教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、類比、證明，這樣更有利于學(xué)生掌握知識，更系統(tǒng)地掌握所學(xué)知識，形成新的認(rèn)知結(jié)構(gòu),讓學(xué)生真正地體會到在問題解決中學(xué)習(xí)，在交流中學(xué)習(xí)．eq\o（\s\up7(），\s\do5(備課資料))備選習(xí)題1．證明平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．分析:首先要建立直角坐標(biāo)系，用坐標(biāo)表示有關(guān)量，然后用代數(shù)進行運算，最后把代數(shù)運算“翻譯"成幾何關(guān)系．這一道題可以讓學(xué)生討論解決，讓學(xué)生深刻體會數(shù)形之間的關(guān)系和轉(zhuǎn)化，并從中歸納出應(yīng)用代數(shù)問題解決幾何問題的基本步驟．證明:建立直角坐標(biāo)系,如下圖,以頂點A為坐標(biāo)原點,AB邊所在的直線為x軸,建立直角坐標(biāo)系，有A(0,0）設(shè)D（a，0)，D（b,c），則由平行四邊形的性質(zhì)的點C的坐標(biāo)為(a＋b，c)，因為｜AB｜2＝a2，｜CD|2＝a2，｜AD|2＝b2＋c2＝｜BC|2，|AC｜2＝(a＋b)2＋c2，|BD|2＝（b－a)2＋c2，所以,|AB|2＋｜CD|2＋|AD|2＋|BC|2＝2（a2＋b2＋c2)，｜AC｜2＋｜BD|2＝2（a2＋b2＋c2）．所以|AB｜2＋|CD｜2＋｜AD｜2＋|BC|2＝｜AC|2＋｜BD|2.因此，平行四邊形四條邊的平方和等于兩條對角線的平方和．△ABC中，AD是BC邊上的中線,求證：｜AB｜2＋|AC｜2＝2(｜A