蘇科版九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍專題2.11二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)大題專練(培優(yōu)強(qiáng)化30題)特訓(xùn)(原卷版+解析)

2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.11二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2022·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=?1(1)將該二次函數(shù)化成y=a(x??)(2)指出該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)當(dāng)?3＜x＜2．（2022·江蘇·西安交大蘇州附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線y=x2+x?2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y(1)結(jié)合函數(shù)圖像，當(dāng)?2<x<4時(shí)，直接寫出y的取值范圍______．(2)若點(diǎn)M是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCM面積的最大值．3．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)期末）已知拋物線y=x2?2mx+m2(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；(2)若拋物線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為12，直接寫出m(3)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，在拋物線上有兩點(diǎn)E(a，y1)，F(xiàn)(a＋3，y2)，且y1<y2，求a的取值范圍．4．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c．(1)若二次函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定點(diǎn)D（2，2）是否在二次函數(shù)y1的圖象上；(2)一次函數(shù)y2＝ax+b+c經(jīng)過(guò)二次函數(shù)y1的頂點(diǎn)．①求二次函數(shù)y1的對(duì)稱軸；②當(dāng)b＜0，1＜x＜2時(shí)，比較y1與y2的大小．5．（2022·江蘇南通·九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）．點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足x1＜x2，x1+x2＝2．(1)用含a的代數(shù)式表示b；(2)當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸及a的值；(3)當(dāng)y1＜y2時(shí)，求a的取值范圍．6．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（－2，3）．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)用無(wú)刻度直尺畫出拋物線的對(duì)稱軸l；（用虛線表示畫圖過(guò)程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）(3)結(jié)合圖像，直接寫出當(dāng)y＞3時(shí)，x的取值范圍是．7．（2022·江蘇南通·九年級(jí)階段練習(xí)）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“夢(mèng)想點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)P（2，p）是二次函數(shù)y=x2＋mx＋n的圖象上唯一的“夢(mèng)想點(diǎn)”，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)y＝3x（x＞0），y＝﹣x＋b的圖象的“夢(mèng)想點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求b(3)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)想點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t=b2?2b8．（2020·江蘇徐州·九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x?2的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖像y=ax2+bx+ca>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求a、b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)如果a=1，點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于x軸，垂足為點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E，使DE=PE．①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若直線PD上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．9．（2022·江蘇南通·九年級(jí)期末）定義：Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函數(shù)y=ax2(1)①函數(shù)y=x21≤x≤2的最小值是m，最大值是n，則2m②函數(shù)y=x2______(2)若二次函數(shù)y=ax2?2ax+3是1≤x≤2(3)若函數(shù)y=x2?2mx在1≤x≤10．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y=2x2?4x+3(1)拋物線C頂點(diǎn)坐標(biāo)為______；(2)將拋物線C先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C1，請(qǐng)判斷拋物線C1是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3)當(dāng)?2≤x≤3時(shí)，求該二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍．11．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x(1)用配方法把這個(gè)二次函數(shù)化成y=a(x??)(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)?4≤x≤0時(shí)，結(jié)合圖象直接寫出y的取值范圍．12．（2021·江蘇省南京市浦口區(qū)第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝x2－2mx+2m2－1(m為常數(shù)）．（1）若該函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；（2）將該函數(shù)圖像沿過(guò)其頂點(diǎn)且平行于x軸的直線翻折，得到新函數(shù)圖像．①新函數(shù)的表達(dá)式為________________________，并證明新函數(shù)圖像始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；②已知點(diǎn)A（－2，－1）、B（2，－1），若新函數(shù)圖像與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．13．（2021·江蘇·漣水縣紅日中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，拋物線y=2x2?4x?6與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)C及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)并求出最小值；（3）若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．14．（2021·江蘇·九年級(jí)）已知二次函數(shù)y=x2+bx?c（1）如果a，b，c是整數(shù)，且c<b<8a，求a，b，c值．（2）設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx?c圖象和x軸交點(diǎn)為A、B，和y軸交點(diǎn)為C．如果有關(guān)x方程x15．（2021·江蘇·九年級(jí)）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)，拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，那么我們稱拋物線（1）已知拋物線①y=x2+2x?1，判斷下列拋物線②y=?（2）拋物線C1:y=18(x+1)2?2，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,2)，將拋物線繞點(diǎn)P(t,2)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C（3）點(diǎn)A為拋物線C1:y=18(x+1)2?2的頂點(diǎn)，點(diǎn)B為與拋物線C1關(guān)聯(lián)的拋物線頂點(diǎn)，是否存在以AB為斜邊的等腰直角16．（2021·江蘇·南京鄭和外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m為常數(shù)，且a≠0）．（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積為1時(shí)，求a的值．17．（2021·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期中）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：愛動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn)二次三項(xiàng)式也可以配方，從而解決一些問(wèn)題．例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1（1）嘗試：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是；（2）拓展：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋3x＋y﹣3＝0，則y﹣x的最大值為；（3）應(yīng)用：有長(zhǎng)為28米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為16米），圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的花圃．能圍成面積最大的花圃嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積．18．（2021·江蘇·景山中學(xué)九年級(jí)期中）若兩個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“和諧二次函數(shù)”．（1）請(qǐng)寫出兩個(gè)為“和諧二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2?4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+1，其中y19．（2022·北京市第三中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x(1)求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）；(2)若當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y的最小值是0，請(qǐng)直接寫出m的值；(3)直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)A(?3，0)，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作垂直于y軸的直線l與拋物線y=x2?2mx+m220．（2022·福建·上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期中）已知：拋物線y=a(1)若此拋物線與直線y=x只有一個(gè)公共點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0．①求此拋物線的解析式；②以y軸上的點(diǎn)C0,?2為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱的拋物線y′，若這兩條拋物線交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），求線段(2)設(shè)定a>0，將此拋物線向上平移c個(gè)單位（c>0），此時(shí)與x軸交于點(diǎn)c,0，若當(dāng)0<x<c時(shí)，y>0，求證：ac≤1．21．（2022·浙江·杭州啟正中學(xué)九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)y=14(x?2m)(1)小明說(shuō)：當(dāng)m的值變化時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在一條直線上運(yùn)動(dòng)，你認(rèn)為他的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？(2)已知點(diǎn)Pa?5,t，Q4m+3+a,t都在該二次函數(shù)圖象上，求證：22．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“青一函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“青一點(diǎn)”，例如：“青一函數(shù)”y=x+1，其“青一點(diǎn)”為1,2．(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3“青一函數(shù)”（填“是”或“不是”）；②函數(shù)y=8x的圖像上的青一點(diǎn)是(2)若拋物線y=m?1x2(3)若函數(shù)y=x2+m?k+2x+n4?k23．（2022·北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2?2ax+2a<0與(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；(2)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值是3，求當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最小值；(3)拋物線上的兩點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y24．（2022·浙江·信達(dá)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y=(x?m)((1)當(dāng)m=1時(shí)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,6)(2)若n=m?1，且當(dāng)x??2時(shí)，y隨(3)若該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(0,a)，(3,b)兩點(diǎn)（a、b是實(shí)數(shù)）當(dāng)25．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)F1和F(1)函數(shù)F1為y=x+1，F(xiàn)(2)函數(shù)F1為y=ax2+bx+c（(3)函數(shù)F1為y=m①已知A0,3、B?3,3，F(xiàn)2與線段AB②若m>0，當(dāng)m?4≤x≤m?3時(shí)，設(shè)函數(shù)F2的最大值與最小值的差為?，求?關(guān)于m的函數(shù)解析式；并直接寫出自變量m26．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）在y關(guān)于x的函數(shù)中，對(duì)于實(shí)數(shù)m，n(m>n)，當(dāng)n≤x≤m時(shí)，函數(shù)y有最小值ymin，滿足y(1)當(dāng)n=2，m=4時(shí)，下列函數(shù)____（填序號(hào)）為“青一函數(shù)”．①y=x；②y=2x?3；③y=?1(2)當(dāng)m=3n時(shí)，二次函數(shù)y=x2?2nx+2(3)已知二次函數(shù)y=x2?mx+n227．（2022·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝x2＋ax＋2a（a為常數(shù)）．(1)若a＝1，①求此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)x≤n＋2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出n的取值范圍；③當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，設(shè)此二次函數(shù)的最大值為m與最小值為n，求m－n．(2)若點(diǎn)A（－5，2）、點(diǎn)B（1，2），當(dāng)此二次函數(shù)的圖象與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．28．（2022·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)解析式為y=1ax2?a+2ax?1a≠0，該拋物線與y軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)記為B，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)記為C(1)求點(diǎn)D的縱坐標(biāo)．(2)當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時(shí)，求出a的值．(3)當(dāng)0≤x≤2時(shí)，函數(shù)的最大值與最小值的差為2時(shí)，求a的取值范圍．(4)設(shè)點(diǎn)Ra?3,?1，點(diǎn)A、R關(guān)于直線DE的對(duì)稱點(diǎn)分別為N、M，當(dāng)拋物線在以A、R、M、N為頂點(diǎn)的四邊形內(nèi)部的圖象中，y隨x的增大而增大或y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出a29．（2022·廣東·珠海市紫荊中學(xué)桃園校區(qū)三模）直線y=?12x+1與x，y軸分別交于點(diǎn)A，B(1)求出點(diǎn)A，B的坐標(biāo)，用a表示拋物線的對(duì)稱軸；(2)若函數(shù)y=2x2?4ax+2a2+a在(3)取a=?1，將線段AB平移得到線段A′B′，若拋物線y=2x2?4ax+2a30．（2022·吉林·長(zhǎng)春市第五十二中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=x2?ax+a（a為常數(shù)）的頂點(diǎn)為A，與y(1)點(diǎn)A的坐標(biāo)是，點(diǎn)B的坐標(biāo)是．（均用含a的式子表示）(2)若點(diǎn)A在第三象限，且此拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為-3時(shí)，求此拋物線所對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)的表達(dá)式，并直接寫出函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)x的取值范圍．(3)點(diǎn)C在拋物線y=x2?ax+a（a為常數(shù)）上，且點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為a?1，此拋物線在B、C之間的部分（包括B、C①當(dāng)a=4時(shí)，若直線y=m與圖象G有且只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，求m的取值范圍．②當(dāng)a<0時(shí)，以點(diǎn)B為對(duì)稱中心作邊長(zhǎng)為4的正方形PQMN，該正方形的邊均與某坐標(biāo)軸垂直．當(dāng)圖象G在正方形內(nèi)部（包括邊界）部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值的最大值與最小值的差為32時(shí)，直接寫出a2022-2023學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【蘇科版】專題2.11二次函數(shù)的圖形與性質(zhì)大題專練（培優(yōu)強(qiáng)化30題）一、解答題1．（2022·江蘇·九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=?1(1)將該二次函數(shù)化成y=a(x??)(2)指出該二次函數(shù)的圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)；(3)當(dāng)?3＜x＜【答案】(1)y=?(2)((3)3【分析】（1）用配方法化成頂點(diǎn)式；（2）由頂點(diǎn)式直接寫出頂點(diǎn)坐標(biāo)；（3）結(jié)合拋物線的開口方向、增減性求y的取值范圍．【詳解】（1）y=?=?1（2）因?yàn)閥=?1所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?（3）∵a=?1∴拋物線開口向下，∵頂點(diǎn)為(?∴對(duì)稱軸為直線x=?2．∴x＜?2時(shí)，y隨x的增大而增大，當(dāng)x＞?2時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)∵?3＜且當(dāng)x=?3時(shí)，y=92；當(dāng)x=0時(shí)，∴當(dāng)?3＜x＜【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的頂點(diǎn)式、頂點(diǎn)坐標(biāo)、增減性，通過(guò)開口方向和對(duì)稱軸判斷二次函數(shù)在?3＜2．（2022·江蘇·西安交大蘇州附中九年級(jí)階段練習(xí)）如圖，拋物線y=x2+x?2與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y(1)結(jié)合函數(shù)圖像，當(dāng)?2<x<4時(shí)，直接寫出y的取值范圍______．(2)若點(diǎn)M是直線AC下方拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，求四邊形ABCM面積的最大值．【答案】(1)?(2)4【分析】（1）根據(jù)拋物線解析式即可知該拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=?12，當(dāng)?2<x≤?12時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)?12<x<4時(shí)，y隨x的增大而增大，從而得出此時(shí)y的最小值為?94．再根據(jù)x=?2（2）過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交直線AC于點(diǎn)D．由拋物線解析式可求出A(?2，0)，B(1，0)，C(0，?2)．從而可求出S△ABC=3，直線AC的解析式為y=?x?2．設(shè)M(t，t2+t?2)(?2<t<0)，則D(t，【詳解】（1）∵拋物線解析式為y=x∴該拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=?b∴當(dāng)?2<x≤?12時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)?12<x<4∴當(dāng)?2<x<4時(shí)，y的最小值為(?1∵x=?2到對(duì)稱軸x=?12的距離小于x=4到對(duì)稱軸∴y<4∴當(dāng)?2<x<4時(shí)，y的取值范圍是?9故答案為：?9（2）如圖，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥x軸于點(diǎn)N，交直線AC于點(diǎn)D．對(duì)于y=x2+x?2，令y=0解得：x1∴A(?2，0)，令x=0，則y=∴C(0，∴S△ABC設(shè)直線AC的解析式為y=kx+b(k≠0)，則0=?2k+b?2=b，解得：k=?1∴直線AC的解析式為y=?x?2．設(shè)M(t，t2∵S△ACM∴S△ACM∴S四邊形∵?2<t<0，∴當(dāng)t=?1時(shí)，S四邊形【點(diǎn)睛】本題為二次函數(shù)綜合題，考查二次函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式等知識(shí)．熟練掌握二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)并利用數(shù)形結(jié)合的思想是解題關(guān)鍵．3．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)期末）已知拋物線y=x2?2mx+m2(1)求點(diǎn)P的坐標(biāo)（用含m的代數(shù)式表示）；(2)若拋物線上有且只有兩個(gè)點(diǎn)到x軸的距離為12，直接寫出m(3)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，在拋物線上有兩點(diǎn)E(a，y1)，F(xiàn)(a＋3，y2)，且y1<y2，求a的取值范圍．【答案】(1)(m，－m＋1)(2)1(3)a≥－1【分析】（1）配方法把函數(shù)關(guān)系式變?yōu)轫旤c(diǎn)式可得P點(diǎn)坐標(biāo)；（2）由題意可得頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)－12＜－m＋1＜1（3）根據(jù)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限可得m的取值范圍，根據(jù)y1＜y2可得|a－m|＜|a＋3－m|．分類討論得a取值范圍．(1)y=＝(x－m)2－m＋1所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，－m＋1)．(2)根據(jù)題意可知：頂點(diǎn)P的縱坐標(biāo)－12＜－m＋1＜12，解得(3)當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在第一象限時(shí)，即m>0?m+1>0，可得：0＜m在拋物線上有兩點(diǎn)E(a，y1)，F(xiàn)(a＋3，y2)，且y1＜y2，又拋物線開口朝上，可知：|a－m|＜|a＋3－m|．分類討論：a＜a＋3＜m時(shí)，不符合題意；a≤m＜a＋3時(shí)，|a－m|＜|a＋3－m|m－a＜a＋3－m，解得m≥a＞m－32③m＜a＜a＋3時(shí)，y1＜y2，符合題意，此時(shí)a＞m綜上，a＞m－32又∵0＜m＜1，∴－32＜m－32∵要使得a＞m－32∴a≥－12【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)形結(jié)合、配方法等知識(shí)．4．（2022·江蘇南京·模擬預(yù)測(cè)）已知二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c．(1)若二次函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），判定點(diǎn)D（2，2）是否在二次函數(shù)y1的圖象上；(2)一次函數(shù)y2＝ax+b+c經(jīng)過(guò)二次函數(shù)y1的頂點(diǎn)．①求二次函數(shù)y1的對(duì)稱軸；②當(dāng)b＜0，1＜x＜2時(shí)，比較y1與y2的大?。敬鸢浮?1)見解析；(2)①x＝1；②y1＜y2【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），得出圖象的對(duì)稱軸為直線x＝?1+32＝1，根據(jù)C（0，2）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是（2，2），得出點(diǎn)D（2，2）在二次函數(shù)y1（2）①根據(jù)一次函數(shù)y2＝ax+b+c經(jīng)過(guò)二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的頂點(diǎn)（﹣b2a，4ac?b24a），得到4ac?b24a＝a?（﹣b2a）+b+c②根據(jù)b＜0，推出a＞0，二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象開口向上，根據(jù)b＜0，得到c＞b+c，推出直線y2＝ax+b+c與y軸的交點(diǎn)在拋物線與y軸交點(diǎn)的下方，可知當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y1＜y2．或計(jì)算y1?y2值的正負(fù)，把b=-2a代入，求得y1?y(1)∵二次函數(shù)y1的圖象經(jīng)過(guò)A（﹣1，0），B（3，0），C（0，2），∴圖象的對(duì)稱軸為直線x＝?1+32∴C（0，2）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是（2，2），∴點(diǎn)D（2，2）在二次函數(shù)y1的圖象上；(2)①∵二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c，∴二次函數(shù)y1的頂點(diǎn)為（﹣b2a，4ac?∵一次函數(shù)y2＝ax+b+c經(jīng)過(guò)二次函數(shù)y1的頂點(diǎn)，∴4ac?b24a＝a?（﹣b2a）+∴b＝﹣2a，∴﹣b2a∴二次函數(shù)y1的對(duì)稱軸為直線x＝1；②∵b＜0，∴﹣2a＜0，即a＞0，∴二次函數(shù)y1＝ax2+bx+c的圖象開口向上，∵b＜0，∴c＞b+c，∴直線y2＝ax+b+c與y軸的交點(diǎn)在拋物線與y軸交點(diǎn)的下方，如圖，由圖象可知，當(dāng)1＜x＜2時(shí)，y1＜y2．（2）②方法二：y1﹣y2＝ax2+bx+c﹣（ax+b+c）＝ax（x﹣1）+b（x﹣1）＝（ax+b）（x﹣1），∵b＝﹣2a，∴y1﹣y2＝a（x﹣2）（x﹣1），∵1＜x＜2，a＞0，∴y1﹣y2＜0，∴y1＜y2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的對(duì)稱性和二次函數(shù)與一次函數(shù)的綜合，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是根據(jù)一點(diǎn)的坐標(biāo)和對(duì)稱軸判斷對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，在自變量取值范圍內(nèi)比較兩個(gè)函數(shù)差值的正負(fù)來(lái)比較兩個(gè)函數(shù)值的大?。?．（2022·江蘇南通·九年級(jí)階段練習(xí)）已知拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3）．點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，且滿足x1＜x2，x1+x2＝2．(1)用含a的代數(shù)式表示b；(2)當(dāng)y1＝y(tǒng)2時(shí)，求拋物線的對(duì)稱軸及a的值；(3)當(dāng)y1＜y2時(shí)，求a的取值范圍．【答案】(1)b＝1﹣3a；(2)拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，a的值為1；(3)a＜1且a≠0．【分析】（1）將點(diǎn)A（3，3）代入拋物線表達(dá)式y(tǒng)＝ax2+bx求解即可；（2）首先由y1＝y(tǒng)2得到點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，然后由x1+x2＝2求出對(duì)稱軸為x=1，最后由對(duì)稱軸公式得到?b2a=（3）首先將點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）代入y＝ax2+（1﹣3a）x，然后表示出y1?y2＝（x1﹣x2）（1﹣a），由y1＜y2和x1＜x(1)∵拋物線y＝ax2+bx（a≠0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（3，3），∴9a+3b＝3，∴b＝1﹣3a；(2)∵M(jìn)（x1，y1），N（x2，y2）為拋物線上兩個(gè)不同的點(diǎn)，y1＝y(tǒng)2，∴M（x1，y1），N（x2，y2）關(guān)于拋物線對(duì)稱軸對(duì)稱，而x1+x2＝2，∴對(duì)稱軸為直線x=x即：?b∴解得a＝1；(3)將點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2）代入y＝ax2+（1﹣3a）x得：y1=ax∴y1＝a（x1+x2）（x1﹣x2）+（1﹣3a）（x1﹣x2）＝（x1﹣x2）（2a+1﹣3a）＝（x1﹣x2）（1﹣a），∵x1＜x2，y1＜y2，∴x1﹣x2＜0，y1﹣y2＜0．∴1﹣a＞0．∴a＜1且a≠0．【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的表達(dá)式和性質(zhì)等綜合知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．6．（2022·江蘇南京·九年級(jí)期末）如圖，已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（1，0），B（－2，3）．(1)求該二次函數(shù)的表達(dá)式；(2)用無(wú)刻度直尺畫出拋物線的對(duì)稱軸l；（用虛線表示畫圖過(guò)程，實(shí)線表示畫圖結(jié)果）(3)結(jié)合圖像，直接寫出當(dāng)y＞3時(shí)，x的取值范圍是．【答案】(1)y＝－x2－2x＋3(2)見解析(3)－2＜x＜0【分析】（1）將A（1，0），B（－2，3）代入y＝ax2＋bx＋3即可得到二次函數(shù)表達(dá)式．（2）根據(jù)二次函數(shù)的對(duì)稱性即可畫出拋物線的對(duì)稱軸．（3）根據(jù)圖象即可直接寫出y＞3時(shí)，x的取值范圍．（1）將A（1，0），B（－2，3）代入二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋3，得0=a+b+3解得a=?1該二次函數(shù)的表達(dá)式為y＝－x2－2x＋3．（2）如圖，直線l為所求對(duì)稱軸．（3）－2＜x＜0．【點(diǎn)睛】本題主要考查二次函數(shù)表達(dá)式的求解以及二次函數(shù)對(duì)稱性的應(yīng)用，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2022·江蘇南通·九年級(jí)階段練習(xí)）定義：若一個(gè)函數(shù)圖象上存在橫、縱坐標(biāo)相等的點(diǎn)，則稱該點(diǎn)為這個(gè)函數(shù)圖象的“夢(mèng)想點(diǎn)”．(1)若點(diǎn)P（2，p）是二次函數(shù)y=x2＋mx＋n的圖象上唯一的“夢(mèng)想點(diǎn)”，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；(2)設(shè)函數(shù)y＝3x（x＞0），y＝﹣x＋b的圖象的“夢(mèng)想點(diǎn)”分別為點(diǎn)A，B，過(guò)點(diǎn)B作BC⊥x軸，垂足為C．當(dāng)△ABC的面積為3時(shí)，求b(3)若二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)想點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），且滿足﹣2＜x1＜2，|x1﹣x2|＝2，令t=b2?2b【答案】(1)y=x2－3x＋4(2)－23或43(3)t＞－7【分析】（1）根據(jù)“夢(mèng)想點(diǎn)”定義，得p(2，2)，所以拋物線y=x2＋mx＋n與直線y=x的唯一交點(diǎn)是P（2，2），則方程x2＋mx＋n=x可寫為（x-2）2=0，即可求解；（2）先根據(jù)“夢(mèng)想點(diǎn)”定義，求出點(diǎn)A坐標(biāo)為（3，3），再在函數(shù)y＝－x＋b中，令x＝－x＋b，解得：x＝12b，求得B（12b，12b），所以BC＝12|b|，根據(jù)三角形面積公式得12×12|b（3）根據(jù)“夢(mèng)想點(diǎn)”定義和一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系得到(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4，則(1?ba)2?4a=4，所以t=b2-2b=(2a+1)2-2，又因?yàn)?2<x1<2，|x1-x2|=2，所以-4<x2<4，所以-8<x1x2<8，即-8<1a<8，所以a>18，由(2a（1）解：由題意可知，二次函數(shù)y=x2＋mx＋n的圖象上唯一的“夢(mèng)想點(diǎn)”是P（2，2），即拋物線y=x2＋mx＋n與直線y=x的唯一交點(diǎn)是P（2，2），∴方程x2＋mx＋n=x的根為x1=x2=2，即方程x2＋mx＋n=x可寫為（x-2）2=0，∴m－1=－4，n=4，∴m=－3，n=4，這個(gè)二次函數(shù)的解析式為y=x2－3x＋4；（2）在函數(shù)y＝3x（x＞0）中，令x＝3解得：x＝3，∴A（3，3），在函數(shù)y＝－x＋b中，令x＝－x＋b，解得：x＝12b，∴B（12b，1∵BC⊥x軸，∴C（12b，0），∴BC＝12|∵△ABC的面積為3，∴12×12|b|×|3－1當(dāng)b＜0時(shí)，b2－23b－24＝0，解得b＝－23，當(dāng)0≤b＜23時(shí)，b2－23b＋24＝0，∵Δ＝（－23）2－4×1×24＝－84＜0，∴方程b2－23b＋24＝0沒有實(shí)數(shù)根，當(dāng)b≥23時(shí)，b2－23b－24＝0，解得：b＝43，綜上所述，b的值為－23或43；（3）解：∵二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋1（a，b是常數(shù)，a＞0）的圖象上存在兩個(gè)不同的“夢(mèng)想點(diǎn)”A（x1，x1），B（x2，x2），∴ax2＋bx＋1=x，即ax2＋(b-1)x＋1=0，則x1+x2=1?ba，x1x2=1∵|x1-x2|=2，∴(x1-x2)2=(x1+x2)2-4x1x2=4，則(1?b∴（1-b）2=4a2+4a，∴b2∴t=b2-2b=(2a+1)2-2，∵-2<x1<2，|x1-x2|=2，∴-4<x2<0或0<x2<4，∴-4<x2<4，∴-8<x1x2<8，∴-8<1a∵a>0，∴a>18∴(2a+1)2-2>(2×18+1)2∴t>-716【點(diǎn)睛】本題考查新定義，一次函數(shù)的圖象性質(zhì)，反比例函數(shù)圖象性質(zhì)，二次函數(shù)圖象性質(zhì)，二次函數(shù)與一元二次方程關(guān)系，一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵，題目綜合性較強(qiáng)，屬中考?jí)狠S題．8．（2020·江蘇徐州·九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=x?2的圖像與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B，二次函數(shù)的圖像y=ax2+bx+ca>0經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1)求a、b滿足的關(guān)系式及c的值；(2)如果a=1，點(diǎn)P是直線AB下方拋物線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PD垂直于x軸，垂足為點(diǎn)D，交直線AB于點(diǎn)E，使DE=PE．①求點(diǎn)P的坐標(biāo)；②若直線PD上是否存在點(diǎn)Q，使△ABQ為直角三角形？若存在，求出符合條件的所有點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)b=?2a+1，c=?2(2)①1,?2；②存在，點(diǎn)Q坐標(biāo)為1,2?1或1,?2?1【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)解析式可得出A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，再代入二次函數(shù)解析式中，即可得出c的值和a與b的關(guān)系式；（2）①當(dāng)a=1時(shí)，可得出該二次函數(shù)解析式，設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為a，a2?a?2，根據(jù)（1）可推出OA=OB=2，則∠OAB=45°，再根據(jù)題意即可證△ADE為等腰直角三角形，得出AD=DE，結(jié)合點(diǎn)E為DP中點(diǎn)，即可列出關(guān)于a的一元二次方程，解出②分類討論Ⅰ若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AB，連接BP，在Rt△ADE中，依勾股定理可求出AE的長(zhǎng)，根據(jù)題意易證△BPE?△ADE(ASA)，即得出BE=AE=2．由所作輔助線可確定△BEQ為等腰直角三角形，即得出BQ=BE=2，再在Rt△BEQ中，依勾股定理可求出EQ的長(zhǎng)，從而可求出QD的長(zhǎng)，即可求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；Ⅱ若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)時(shí)，過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AB，交PD于點(diǎn)Q，根據(jù)Ⅰ同理可證△AQE為等腰直角三角形，且即可求出此時(shí)Q點(diǎn)坐標(biāo)；Ⅲ若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)圓周角定理可以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑作⊙E交PD于點(diǎn)Q1，Q2，由AE=2，即得出EQ1=EQ(1)∵對(duì)于一次函數(shù)y=x?2，當(dāng)x=0時(shí)，y=?2；y=0時(shí)，x=2，∴點(diǎn)A坐標(biāo)為(2，0)，點(diǎn)B坐標(biāo)為(0，-2)．則在二次函數(shù)y=ax2將x=2，y=0代入y=ax4a+2b?2=0，即b=?2a+1；(2)當(dāng)a=1時(shí)，b=?2a+1=?2×1+1=?1，則二次函數(shù)表達(dá)式為y=x①設(shè)點(diǎn)P橫坐標(biāo)為a，則點(diǎn)P坐標(biāo)為a由（1）可知，在Rt△AOB中，OA=OB=2，∴∠OAB=45°．根據(jù)作圖可知DE//OB，∴在Rt△ADE中，AD=DE，即x∵點(diǎn)E為DP中點(diǎn)，∴y∴2?a=?解得a1=1，即點(diǎn)P坐標(biāo)為1，12②Ⅰ、若點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)，依題得圖：過(guò)點(diǎn)B作BK⊥AB，連接BP，在Rt△ADE中，依勾股定理得：AE=A∵P坐標(biāo)為1，?2，則∵OB=2，∴BP⊥PD，∴在△BPE和△ADE中∠BEP=∠AEDEP=ED∴△BPE?△ADE(ASA)，∴BP=AD=1，BE=AE=2∵BK⊥AB，∴△BEQ為等腰直角三角形，∴BQ=BE=2∴在Rt△BEQ中，依勾股定理得：∴QD=QE+DE=2+1=3，∴此時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為1，Ⅱ、若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)A作AM⊥AB，交PD于點(diǎn)Q同理可證△AQE為等腰直角三角形，且△AQD≌△AED∴QD=DE=1∴此時(shí)，點(diǎn)Q坐標(biāo)為1，Ⅲ、若點(diǎn)Q為直角頂點(diǎn)依上述過(guò)程知點(diǎn)E為線段AB的中點(diǎn)，則以點(diǎn)E為圓心，AE為半徑作⊙E交PD于點(diǎn)Q1，Q依上述過(guò)程知AE=2∴EQ∴D∴點(diǎn)Q1坐標(biāo)為1∴EQ∴D∴點(diǎn)Q2坐標(biāo)為1綜上可知，點(diǎn)Q坐標(biāo)為1，2?1或1，?【點(diǎn)睛】本題為一次函數(shù)和二次函數(shù)綜合題．考查一次函數(shù)，二次函數(shù)函數(shù)與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，等腰直角三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，全等三角形的判定和性質(zhì)，圓周角定理等知識(shí)．綜合性強(qiáng)，屬于壓軸題，困難題型．在解決（2）②時(shí)正確的作出輔助線和利用分類討論的思想是解題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇南通·九年級(jí)期末）定義：Ax1,y1，Bx2,y2，Cx3,y3是二次函數(shù)y=ax2(1)①函數(shù)y=x21≤x≤2的最小值是m，最大值是n，則2m②函數(shù)y=x2______(2)若二次函數(shù)y=ax2?2ax+3是1≤x≤2(3)若函數(shù)y=x2?2mx在1≤x≤【答案】(1)①＜；②不是(2)0＜a≤32或－3≤a(3)m≤－1【分析】（1）①根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行判斷即可；②根據(jù)“仿三角形函數(shù)”定義進(jìn)行判斷即可；（2）首先求出拋物線的對(duì)稱軸方程，再根據(jù)a=0，a>0和a<0三種情況討論求解即可；（3）求出拋物線的對(duì)稱軸為直線對(duì)稱軸為x=m，再分m≤1、m≥32、1<m≤5(1)①∵y=x2在1≤x≤2的范圍內(nèi)y隨∴當(dāng)x=1時(shí)，m=1當(dāng)x=2時(shí)，n=∴2m=2，n=4故2m<n故答案為：<；②2m<n，不滿足“任意兩數(shù)之和大于第三個(gè)數(shù)”，故函數(shù)y=x2不是(2)y=a=a(=a∴函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為：x=1正面分情況討論：①a=0時(shí)，y=3不成立，舍去；②a>0時(shí)，y在1≤x≤2的范圍內(nèi)y隨x的增大而增大，則ymin=a×∵2∴2×(3?a)≥3∴a≤∴0<a≤③a<0時(shí)，y在1≤x≤2內(nèi)y隨x的增大而減小則ymax=a×∵2∴2×3≥3?a∴a≥?3∴?3≤a<0∴若函數(shù)y=ax2?2ax+3在1≤x≤2上是“仿三角形函數(shù)”，則a的取值范圍為0＜a≤3(3)y=∴對(duì)稱軸為x=m下面分情況討論：①當(dāng)m≤1時(shí)，y在1≤x≤32上隨則ymax=∵2∴2?4m≥解得，m≤?∴m≤?②當(dāng)m≥32時(shí)，y在1≤x≤3則ymin=∵2∴9解得，m≤78與③1<m≤54時(shí)，y∵2∴?2整理得，2(m?34④54<m<32∵2∴?2整理得，2(m?12綜上所述：若函數(shù)y＝x2－2mx在1≤x≤32上是“仿三角形函數(shù)”時(shí)m的取值范圍為m≤－【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，要求學(xué)生能用二次函數(shù)的性質(zhì)處理復(fù)雜數(shù)據(jù)，這種定義類的題目，通常按照題設(shè)順序逐次求解較為容易．10．（2022·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y=2x2?4x+3(1)拋物線C頂點(diǎn)坐標(biāo)為______；(2)將拋物線C先向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到拋物線C1，請(qǐng)判斷拋物線C1是否經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3)當(dāng)?2≤x≤3時(shí)，求該二次函數(shù)的函數(shù)值y的取值范圍．【答案】(1)(1,1)(2)不經(jīng)過(guò)，說(shuō)明見解析(3)1≤y≤19【分析】（1）一般解析式化為頂點(diǎn)式，進(jìn)行求解即可．（2）由題意得出平移后的函數(shù)表達(dá)式，將P點(diǎn)橫坐標(biāo)2代入，求縱坐標(biāo)的值并與3比較，相等則拋物線過(guò)該點(diǎn)．（3）先判斷該函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸在所求自變量的范圍內(nèi)，可求得函數(shù)值的最小值，然后將x=?2，x=3代入解析式求解，取最大的函數(shù)值，進(jìn)而得出取值范圍．（1）解：y=2x2∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為(1,1)故答案為：(1,1)．（2）解：由題意知拋物線C1的解析式為將x=2代入解析式解得y=11≠3∴C1不經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（3）解：∵對(duì)稱軸直線x=1在?2≤x≤3中∴最小的函數(shù)值y=1將x=?2代入解析式得y=19將x=3代入解析式得y=9∵9<19∴函數(shù)值的取值范圍為1≤y≤19．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)值頂點(diǎn)式，圖像的平移，函數(shù)值的取值范圍等知識(shí)．解題的關(guān)鍵在于正確的表示出函數(shù)解析式．11．（2022·江蘇·蘇州工業(yè)園區(qū)金雞湖學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y=x(1)用配方法把這個(gè)二次函數(shù)化成y=a(x??)(2)在所給的平面直角坐標(biāo)系中，畫出這個(gè)二次函數(shù)的圖象；(3)當(dāng)?4≤x≤0時(shí)，結(jié)合圖象直接寫出y的取值范圍．【答案】(1)y=x+1(2)答案見解析；(3)-4≤y≤5【分析】（1）逆用完全平方公式可以得到解答；（2）根據(jù)（1）中所求的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式解析式作圖；（3）根據(jù)（2）中的函數(shù)圖象很直觀的得出答案．（1）解：由題意可得：y=x（2）根據(jù)（1）中的二次函數(shù)的頂點(diǎn)式關(guān)系式可知，該函數(shù)的頂點(diǎn)是（-1，-4）；當(dāng)x=0時(shí)，y=-3，當(dāng)x=-4時(shí)，y=5；當(dāng)y=0時(shí)，即x2+2x-3=0，解得x=1或x=-3，∴該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-1，-4）、（0，-3）、（-4，5）、（1，0）、（-3，0）；所以二次函數(shù)y=x2+2x-3的圖象如圖所示：（3）由（2）圖象可得：當(dāng)?4≤x≤0時(shí)，-4≤y≤5【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的應(yīng)用，熟練掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式及其圖象與性質(zhì)、配方法等是解題關(guān)鍵．12．（2021·江蘇省南京市浦口區(qū)第三中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)y＝x2－2mx+2m2－1(m為常數(shù)）．（1）若該函數(shù)圖像與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)，求m的值；（2）將該函數(shù)圖像沿過(guò)其頂點(diǎn)且平行于x軸的直線翻折，得到新函數(shù)圖像．①新函數(shù)的表達(dá)式為________________________，并證明新函數(shù)圖像始終經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)；②已知點(diǎn)A（－2，－1）、B（2，－1），若新函數(shù)圖像與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出m的取值范圍．【答案】（1）m的值為±1；（2）①y=?x2+2mx?1，新函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,?1)；②m的取值范圍為：m>1或m<?1【分析】（1）△=(?2m)（2）①翻折后的拋物線的解析式的頂點(diǎn)不變，開口相反，可得新函數(shù)的表達(dá)式，當(dāng)x=0時(shí)，y=?1，即可求解；②當(dāng)m>0時(shí)，如上圖實(shí)線部分，新函數(shù)圖象與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)不過(guò)點(diǎn)B，即m>1；當(dāng)m<0時(shí)，同理可得：m<?1，即可求解．【詳解】解：（1）∵△=(?2m)∴m=±1，即函數(shù)圖象與x軸只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，m的值為±1；（2）①∵y=x2?2mx+2圖像翻折后，頂點(diǎn)坐標(biāo)不變，開口向下，a=?1，∴翻折后拋物線的表達(dá)式為：y=?(x?m)故答案為：y=?x當(dāng)x=0時(shí)，y=?1，故新函數(shù)過(guò)定點(diǎn)(0,?1)；②設(shè)定點(diǎn)為C(0,?1)，而點(diǎn)A(?2,?1)、B(2,?1)，即點(diǎn)A、B、C在同一直線上，新拋物線的對(duì)稱軸為x=m，當(dāng)m>0時(shí)，如上圖實(shí)線部分，新函數(shù)圖象與線段AB只有一個(gè)公共點(diǎn)，則函數(shù)不過(guò)點(diǎn)B，即m>1，當(dāng)m<0時(shí)，同理可得：m<?1，從圖象看，當(dāng)m=0時(shí)，也符合題意，故m的取值范圍為：m>1或m<?1或m=0．【點(diǎn)睛】此題是拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)題，主要考查拋物線與直線的交點(diǎn)，解本題的關(guān)鍵是畫出圖象，分析拋物線與線段AB只有一個(gè)交點(diǎn)是解本題的難點(diǎn)．13．（2021·江蘇·漣水縣紅日中學(xué)九年級(jí)階段練習(xí)）如圖所示，拋物線y=2x2?4x?6與x軸相交于A、B兩點(diǎn)，與y軸相交于點(diǎn)C（1）求點(diǎn)C及頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)并求出最小值；（3）若點(diǎn)N是第四象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接BN、CN，求△BCN面積的最大值及此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)．【答案】（1）點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,?6)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,?8)；（2）點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－4），PA+PC的最小值為35；（3）△BCN面積的最大值為274，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為【分析】（1）令拋物線解析式中x=0即可求出C點(diǎn)坐標(biāo)，將拋物線的一般式化為頂點(diǎn)式，即可求出頂點(diǎn)M坐標(biāo)；（2）根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得線段BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)P，先利用待定系數(shù)法求出BC解析式，由此再求出點(diǎn)P坐標(biāo)即可；（3）過(guò)N點(diǎn)作x軸的垂線交直線BC于Q點(diǎn)，設(shè)(n,2n2?4n?6)，進(jìn)而得到Q【詳解】解：（1）將x=0代入y=2x2?4x?6∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,?6)，∵y=2x∴拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,?8)；（2）如圖，設(shè)線段BC與對(duì)稱軸的交點(diǎn)為點(diǎn)P，連接AC，AP，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可得：PA=PB，∴PA+PC=PB+PC=BC，∵兩點(diǎn)之間線段最短，∴此時(shí)PA+PC最小，將y=0代入y=2x得：2x解得：x1=3∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(3,0)，設(shè)直線BC的解析式為y=kx+b，將B(3,0)，C(0,?6)代入，得：3k+b=0b=?6解得：k=2b=?6∴直線BC的解析式為y=2x?6，∵頂點(diǎn)M的坐標(biāo)為(1,?8)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1，將x=1代入y=2x?6，得y=?4，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，－4）；∴PA+PC=BC=故此時(shí)PA+PC的最小值為35（3）過(guò)N點(diǎn)作x軸的垂線交直線BC于Q點(diǎn)，連接BN，CN，如圖1所示：設(shè)N點(diǎn)坐標(biāo)為(n,2n2?4n?6)，則Q點(diǎn)坐標(biāo)為(n,2n?6)∴QN=(2n?6)?(2n∴S=====?3=?3(n?∵a=?3<0，0<n<3，∴當(dāng)n=32時(shí)，S△BCN將n=32代入2n∴△BCN面積的最大值為274，此時(shí)點(diǎn)N的坐標(biāo)為(【點(diǎn)睛】本題是二次函數(shù)綜合題目，考查了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)、待定系數(shù)法求直線的解析式等知識(shí)，本題綜合性較強(qiáng)，具有一定的難度，熟練掌握二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，學(xué)會(huì)用代數(shù)的方法求解幾何問(wèn)題是解決本題的關(guān)鍵．14．（2021·江蘇·九年級(jí)）已知二次函數(shù)y=x2+bx?c（1）如果a，b，c是整數(shù)，且c<b<8a，求a，b，c值．（2）設(shè)二次函數(shù)y=x2+bx?c圖象和x軸交點(diǎn)為A、B，和y軸交點(diǎn)為C．如果有關(guān)x方程x【答案】（1）a=2，b=15，c=14；（2）1【分析】（1）代入兩點(diǎn)坐標(biāo)，求得b、c（用a表示），再由已知c＜b＜8a，聯(lián)立不等式組求得a、b、c的值；（2）設(shè)出程x2+bx-c=0的兩個(gè)根，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系與因式分解求得兩根，得出函數(shù)解析式，進(jìn)一步求得圖象與x、y軸的交點(diǎn)A、B、C三點(diǎn)解答問(wèn)題．【詳解】解：點(diǎn)P（1，a）、Q（2，10a）在二次函數(shù)y=x2+bx-c的圖象上，故1+b-c=a，4+2b-c=10a，解得b=9a-3，c=8a-2；（1）由c＜b＜8a知8a?2<9a?39a?3<8a解得1＜a＜3，又a為整數(shù)，所以a=2，b=9a-3=15，c=8a-2=14；（2）設(shè)m，n是方程的兩個(gè)整數(shù)根，且m≤n．由根與系數(shù)的關(guān)系可得m+n=-b=3-9a，mn=-c=2-8a，消去a，得9mn-8（m+n）=-6，兩邊同時(shí)乘以9，得81mn-72（m+n）=-54，分解因式，得（9m-8）（9n-8）=10．∴9m?8=19n?8=10或9m?8=?109n?8=?1或9m?8=?59n?8=?2解得：m=1n=2或m=?29n=7又∵m，n是整數(shù)，所以后面三組解舍去，故m=1，n=2．因此，b=-（m+n）=-3，c=-mn=-2，二次函數(shù)的解析式為y=x2-3x+2．令y=0，則x=1或x=2，令x=0，則y=2，∴點(diǎn)A、B的坐標(biāo)為（1，0）和（2，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，2），∴△ABC的面積為12【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特點(diǎn)、根與系數(shù)的關(guān)系、不等式組、以及三角形的面積計(jì)算公式．15．（2021·江蘇·九年級(jí)）如果拋物線C1的頂點(diǎn)在拋物線C2上，同時(shí)，拋物線C2的頂點(diǎn)在拋物線C1上，那么我們稱拋物線（1）已知拋物線①y=x2+2x?1，判斷下列拋物線②y=?（2）拋物線C1:y=18(x+1)2?2，動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(t,2)，將拋物線繞點(diǎn)P(t,2)旋轉(zhuǎn)180°得到拋物線C（3）點(diǎn)A為拋物線C1:y=18(x+1)2?2的頂點(diǎn)，點(diǎn)B為與拋物線C1關(guān)聯(lián)的拋物線頂點(diǎn)，是否存在以AB為斜邊的等腰直角【答案】（1）①、②關(guān)聯(lián)，理由見解析；（2）y=?18(x?7)2+6或y=?【分析】（1）首先求得拋物線①的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后檢驗(yàn)是否此點(diǎn)在拋物線②與③上，再求得拋物線②的頂點(diǎn)坐標(biāo)，檢驗(yàn)是否在拋物線①上即可求得答案；（2）首先求得拋物線C1的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可得：點(diǎn)P在直線y=2上，則可作輔助線：作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則可求得：點(diǎn)N的坐標(biāo)，利用頂點(diǎn)式即可求得結(jié)果；（3）分別從當(dāng)A，B，C逆時(shí)針分布時(shí)與當(dāng)A，B，C順時(shí)針分布時(shí)分析，根據(jù)全等三角形的知識(shí)，即可求得點(diǎn)C的坐標(biāo)，注意別漏解．【詳解】解：（1）∵①拋物線y=x2+2x-1=（x+1）2-2的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M（-1，-2），∴②當(dāng)x=-1時(shí)，y=-x2+2x+1=-1-2+1=-2，∴點(diǎn)M在拋物線②上；∵③當(dāng)x=-1時(shí)，y=x2+2x+1=1-2+1=0，∴點(diǎn)M不在拋物線③上；∴拋物線①與拋物線②有關(guān)聯(lián)；∵拋物線②y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2，其頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），經(jīng)驗(yàn)算：（1，2）在拋物線①上，∴拋物線①、②是關(guān)聯(lián)的；（2）拋物線C1：C1:y=1∵動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（t，2），∴點(diǎn)P在直線y=2上，作M關(guān)于P的對(duì)稱點(diǎn)N，分別過(guò)點(diǎn)M、N作直線y=2的垂線，垂足為E，F(xiàn)，則ME=NF=4，∴點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為6，當(dāng)y=6時(shí)，18解得：x1=7，x2=-9，①設(shè)拋物C2的解析式為：y=a（x-7）2+6，∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C2上，∴-2=a（-1-7）2+6，∴a=?1∴拋物線C2的解析式為：y=?1②設(shè)拋物C2的解析式為：y=a（x+9）2+6，∵點(diǎn)M（-1，-2）在拋物線C2上，∴-2=a（-1+9）2+6，∴a=?1∴拋物線C2的解析式為：y=?1（3）點(diǎn)C在y軸上的一動(dòng)點(diǎn)，以AC為腰作等腰直角△ABC，令C的坐標(biāo)為（0，c），則點(diǎn)B的坐標(biāo)分兩類：①當(dāng)A，B，C逆時(shí)針分布時(shí)，如圖中B點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，B作y軸的垂線，垂足分別為H，F(xiàn)，在等腰直角△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，即∠ACH+∠BCH=90°，∵∠ACH+∠CAH=90°，∴∠CAH=∠BCH，又∠AHC=∠BFC=90°，則△BCF≌△CAH（AAS），∴CF=AH=1，BF=CH=c+2，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（c+2，c-1），當(dāng)點(diǎn)B在拋物線C1：y=18(x+1)2?2上時(shí)，c-1=18解得：c=1．②當(dāng)A，B，C順時(shí)針分布時(shí)，如圖中B′點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B′作y軸的垂線，垂足為D，同理可得：點(diǎn)B′的坐標(biāo)為（-c-2，c+1），當(dāng)點(diǎn)B′在拋物線C1：y=18（x+1）2-2上時(shí)，c+1=18（-c-2+1）解得：c=3+42或c=3-4綜上所述，存在三個(gè)符合條件的等腰直角三角形，其中C點(diǎn)的坐標(biāo)分別為：C1（0，1），C2（0，3+42），C3（0，3-4【點(diǎn)睛】此題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)的求解方法，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)．此題綜合性很強(qiáng)，難度較大，注意數(shù)形結(jié)合思想與分類討論思想的應(yīng)用．16．（2021·江蘇·南京鄭和外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)y＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）（a、m為常數(shù)，且a≠0）．（1）求證：不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）設(shè)該函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，當(dāng)△ABC的面積為1時(shí)，求a的值．【答案】（1）見解析；（2）﹣8或8【分析】（1）證法一：令y＝0，可得關(guān)于x的一元二次方程，解得兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，即可證得結(jié)論；證法二：令y＝0，可得關(guān)于x的一元二次方程，運(yùn)用根的判別式即可證得結(jié)論；（2）根據(jù)拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為m、m+1，利用中點(diǎn)公式可得點(diǎn)C坐標(biāo)為（m+12，n），由S△ABC＝12AB?|n|＝12|n|＝1，可得n＝±2，將點(diǎn)C（m+12，2）和C（【詳解】（1）證法一：令y＝0，得a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，化簡(jiǎn)得：a（x﹣m）（x﹣m﹣1）＝0，∴x1＝m，x2＝m+1，∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；證法二：令y＝0，則a（x﹣m）2﹣a（x﹣m）＝0，設(shè)z＝x﹣m，則az2﹣az＝0，∴Δ＝（﹣a）2﹣4a×0＝a2，∵a≠0，∴a2＞0，∴不論a與m為何值，該函數(shù)的圖象與x軸總有兩個(gè)公共點(diǎn)；（2）由（1）得，拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為m、m+1，∴AB＝1，且根據(jù)拋物線對(duì)稱性得頂點(diǎn)橫坐標(biāo)為：m+m+12＝m+1設(shè)點(diǎn)C坐標(biāo)為（m+12，n∴S△ABC＝12AB?|n|＝12|∴|n|＝2，∴n＝±2，將點(diǎn)C（m+12，2）和C（m+12，﹣2）分別代入拋物線解析式y(tǒng)＝a（x﹣m）2﹣a（x﹣得：2＝a（m+12﹣m）2﹣a（m+12﹣m）或﹣2＝a（m+12﹣m）2﹣a（m+1整理得：﹣14a＝2或﹣14解得：a＝﹣8或8．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程根的判別式，一元二次方程的解法，中點(diǎn)公式的應(yīng)用，二次函數(shù)性質(zhì)，三角形面積等，解題關(guān)鍵是運(yùn)用整體思想將（x?m）看作一個(gè)整體或運(yùn)用換元法設(shè)z＝x?m．17．（2021·江蘇揚(yáng)州·九年級(jí)期中）閱讀下面的材料，回答問(wèn)題：愛動(dòng)腦筋的小明發(fā)現(xiàn)二次三項(xiàng)式也可以配方，從而解決一些問(wèn)題．例如：x2﹣2x＋2＝（x2﹣2x＋1）＋1＝（x﹣1）2＋1≥1；因此x2﹣2x＋2有最小值是1（1）嘗試：﹣2x2﹣4x＋3＝﹣2（x2＋2x＋1﹣1）＋3＝﹣2（x＋1）2＋5，因此﹣2x2﹣4x＋3有最大值是；（2）拓展：已知實(shí)數(shù)x，y滿足x2＋3x＋y﹣3＝0，則y﹣x的最大值為；（3）應(yīng)用：有長(zhǎng)為28米的籬笆，一面利用墻（墻的最大可用長(zhǎng)度為16米），圍成一個(gè)長(zhǎng)方形的花圃．能圍成面積最大的花圃嗎？如果能，請(qǐng)求出最大面積．【答案】（1）5；（2）7；（3）能，最大面積為98m2【分析】（1）根據(jù)偶次方的非負(fù)性解答；（2）將函數(shù)方程x2＋3x＋y?3＝0代入y-x，把y-x表示成關(guān)于x的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得最大值．（3）根據(jù)題意列出函數(shù)關(guān)系式，利用配方法解答．【詳解】解：（1）?2x2?4x＋3＝?2（x2＋2x＋1?1）＋3＝-2（x＋1）2＋5≤5，∴?2x2?4x＋3有最大值是5，故答案為：5；（2）解：由x2＋3x＋y?3＝0得y＝?x2?3x＋3，把y代入y-x得：y?x＝x2?3x＋3?x＝?x2?4x＋3＝?（x＋2）2＋3＋4≤7，∴y?x的最大值為7．故答案為：7．（3）解：設(shè)利用墻的一邊長(zhǎng)為x，則x≤16，由題意知：S花圃＝x?28?x2＝?12x2＋14x＝?12（當(dāng)x＝14時(shí)，花圃面積最大，最大面積為98m2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)及求最大值的方法，即完全平方式法，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)及求最大值的方法．18．（2021·江蘇·景山中學(xué)九年級(jí)期中）若兩個(gè)二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)、開口方向都相同，則稱這兩個(gè)二次函數(shù)為“和諧二次函數(shù)”．（1）請(qǐng)寫出兩個(gè)為“和諧二次函數(shù)”的函數(shù)；（2）已知關(guān)于x的二次函數(shù)y1=2x2?4mx+2m2+1和y2=ax2+bx+1，其中y【答案】（1）y=2(x?3)2+4與y=3(x?3)【分析】（1）只需選一個(gè)點(diǎn)作為頂點(diǎn)，工號(hào)兩數(shù)作為二次項(xiàng)系數(shù)，用頂點(diǎn)式表示兩個(gè)為“和諧二次函數(shù)”的函數(shù)表達(dá)式即可；（2）由y1的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)可以求出m的值，然后根據(jù)y1+y2與y1為“和諧二次函數(shù)”就可以求出函數(shù)【詳解】解：（1）設(shè)頂點(diǎn)為(?,k)的二次函數(shù)的關(guān)系式為y=a(x??)當(dāng)a=2，?=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=2(x?3)∵2>0，∴該二次函數(shù)的圖象開口向上；當(dāng)a=3，?=3，k=4時(shí)，二次函數(shù)的關(guān)系式為y=3(x?3)∵3>0，∴該二次函數(shù)的圖象開口向上；∵兩個(gè)函數(shù)y=2(x?3)2+4∴兩個(gè)函數(shù)y=2(x?3)2+4∴符合要求的兩個(gè)“和諧二次函數(shù)”可以為：y=2(x?3)2+4（2）∵y1的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)∴1=2?4m+2解得：m1∴y1∴y1∵y1+y∴y1∴a+2=3，b?4=?6，c+3=4，解得：a=1，b=?2，c=1，∴函數(shù)y2的表達(dá)式y(tǒng)所以函數(shù)y2的圖象的對(duì)稱軸為：x=?∵a=1>0，∴函數(shù)y2當(dāng)0≤x≤3時(shí)，x=1時(shí)，y=0最小，x=3時(shí)，y=4最大，∴y2的取值范圍0≤【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)表達(dá)式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是對(duì)新定義的正確理解．19．（2022·北京市第三中學(xué)九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=x(1)求拋物線的對(duì)稱軸（用含m的式子表示）；(2)若當(dāng)1≤x≤2時(shí)，y的最小值是0，請(qǐng)直接寫出m的值；(3)直線y=x+b與x軸交于點(diǎn)A(?3，0)，與y軸交于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作垂直于y軸的直線l與拋物線y=x2?2mx+m2【答案】(1)x=m(2)m=0或m=3(3)m<?1或m>2【分析】(1)根據(jù)對(duì)稱軸為直線x=?b(2)分三種情況，m≤1，1≤m≤2或m≥2．由二次函數(shù)的性質(zhì)分別列方程求解即可；(3)當(dāng)△OAP為鈍角三角形時(shí)，則0<m?2<m或m?2>?3，分別求解即可．【詳解】（1）解：∵拋物線y=x∴對(duì)稱軸為直線x=?b（2）解：∵拋物線y=x∴拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為(m,?1)，∴m的取值范圍應(yīng)分三種情況，m≤1，1≤m≤2或若m≤1，∴(1?m)2解得m=0或m=2（舍去），若1≤m≤2.，x=m函數(shù)取得最小值為?1，不合題意．若m≥2，x=2函數(shù)取得最小值，∴(2?m)2解得m=3或m=1（舍去），綜上所述，m的值為0或3．（3）解：把點(diǎn)A(?3，0)代入y=x+b的表達(dá)式并解得：則B(0，3)，直線AB的表達(dá)式為：如圖，在直線y=3上，當(dāng)∠AOP=90°時(shí)，點(diǎn)P與當(dāng)y=3時(shí)，y=x則x=m±2，∵點(diǎn)P在對(duì)稱軸的左側(cè)，∴x=m+2>m不符合題意，舍去，則點(diǎn)P(m?2，當(dāng)△OAP為鈍角三角形時(shí)，則0<m?2<m或m?2<?3，解得：m>2或m<?1，∴m的取值范圍是：m>2或m<?1．【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)綜合運(yùn)用，涉及到一次函數(shù)，解不等式，一元二次方程根的判別式，鈍角三角形判斷的方法等知識(shí)點(diǎn)，第三問(wèn)有難度，確定∠AOP為直角時(shí)點(diǎn)P的位置最關(guān)鍵．20．（2022·福建·上杭縣教師進(jìn)修學(xué)校九年級(jí)期中）已知：拋物線y=a(1)若此拋物線與直線y=x只有一個(gè)公共點(diǎn)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)2,0．①求此拋物線的解析式；②以y軸上的點(diǎn)C0,?2為中心，作該拋物線關(guān)于點(diǎn)C對(duì)稱的拋物線y′，若這兩條拋物線交于A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），求線段(2)設(shè)定a>0，將此拋物線向上平移c個(gè)單位（c>0），此時(shí)與x軸交于點(diǎn)c,0，若當(dāng)0<x<c時(shí)，y>0，求證：ac≤1．【答案】(1)①y=?12(2)見解析【分析】（1）①由拋物線經(jīng)過(guò)2，0得b=2a，拋物線與直線y=x只有一個(gè)公共點(diǎn)得方程ax2?bx=x有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，即Δ=0得b+1②頂點(diǎn)為1，12關(guān)于C0，?2對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)是?1，?92，關(guān)于點(diǎn)C中心對(duì)稱的新拋物線y（2）平移后的拋物線為y=ax2?bx+c，又經(jīng)過(guò)c，0，可得b=ac+1，當(dāng)0<x<c時(shí)，y>0【詳解】（1）①∵拋物線經(jīng)過(guò)2,0∴4a?2b=0，即b=2a又∵拋物線與直線y=x只有一個(gè)公共點(diǎn)∴ax2?bx=x即Δ=∴b則a=∴此拋物線的解析式為y=?②∵拋物線y=?∴頂點(diǎn)為1，則頂點(diǎn)1，12關(guān)于C∴關(guān)于點(diǎn)C中心對(duì)稱的新拋物線為y由y=?12x2又∵點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊∴A2，0，則由勾股定理可得AB=（2）平移后的拋物線為y=a∵經(jīng)過(guò)c，0，c>0∴a即b=ac+1又∵當(dāng)0<x<cy>0∴對(duì)稱軸x=∵a>0∴b≥2ac則ac+1≥2ac∴ac≤1【點(diǎn)睛】本題考查二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)；掌握二次函數(shù)圖象旋轉(zhuǎn)、平移時(shí)改變位置，而a的絕對(duì)值不變是解題的關(guān)鍵．21．（2022·浙江·杭州啟正中學(xué)九年級(jí)期中）已知二次函數(shù)y=14(x?2m)(1)小明說(shuō)：當(dāng)m的值變化時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在一條直線上運(yùn)動(dòng)，你認(rèn)為他的說(shuō)法對(duì)嗎？為什么？(2)已知點(diǎn)Pa?5,t，Q4m+3+a,t都在該二次函數(shù)圖象上，求證：【答案】(1)小明的說(shuō)法正確，理由見解析(2)見解析【分析】（1）設(shè)二次函數(shù)y=14(x?2m)2+3?4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為x,y，由二次函數(shù)y=14(x?2m)2+3?4m的頂點(diǎn)坐標(biāo)為2m,3?4m，可得x=2m①y=3?4m②，通過(guò)消去m，得到y(tǒng)=3?2x，從而證明了小明的說(shuō)法正確；（2）由點(diǎn)Pa?5,t，Q4m+3+a,t【詳解】（1）解：小明的說(shuō)法正確，理由如下，設(shè)二次函數(shù)y=14(x?2m)∵二次函數(shù)y=14(x?2m)∴x=2m①由①得，m=x將③代入②中，可得，y=3?4x整理可得，y=3?2x，∴當(dāng)m的值變化時(shí)，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)始終在直線y=3?2x上運(yùn)動(dòng)，小明的說(shuō)法正確．（2）證明：∵點(diǎn)Pa?5,t，Q又∵點(diǎn)Pa?5,t，Q二次函數(shù)y=14(x?2m)∴xP即a?5+4m+3+a2整理得，a=1，∴點(diǎn)P?4,t，Q∵點(diǎn)P?4,t在二次函數(shù)y=∴t=1∴t=m【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）定義：若一個(gè)函數(shù)圖像上存在縱坐標(biāo)是橫坐標(biāo)2倍的點(diǎn)，則把該函數(shù)稱為“青一函數(shù)”，該點(diǎn)稱為“青一點(diǎn)”，例如：“青一函數(shù)”y=x+1，其“青一點(diǎn)”為1,2．(1)①判斷：函數(shù)y=2x+3“青一函數(shù)”（填“是”或“不是”）；②函數(shù)y=8x的圖像上的青一點(diǎn)是(2)若拋物線y=m?1x2(3)若函數(shù)y=x2+m?k+2x+n4?k【答案】(1)①不是，②2,4或?2,?4(2)m<43(3)?3?52【分析】（1）①假設(shè)是青一函數(shù)，設(shè)出青一點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)看是否有解，②設(shè)出青一點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解方程即可得解；（2）設(shè)出青一點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)得到一元二次方程，令判別式Δ>0即可求出m（3）設(shè)青一點(diǎn)坐標(biāo)為x,2x，代入函數(shù)得到一元二次方程，然后令Δ=0，得到n關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系，求出對(duì)稱軸，根據(jù)圖像對(duì)稱軸的位置與m的取值范圍，分情況進(jìn)行討論，不同情況下與取得n最小值構(gòu)成關(guān)于未知數(shù)k【詳解】（1）解：①假設(shè)函數(shù)y=2x+3是青一函數(shù)，設(shè)青一點(diǎn)橫坐標(biāo)為a，縱坐標(biāo)為2a，代入y=2x+3，得2a=2a+3此方程無(wú)解，故函數(shù)y=2x+3不是青一函數(shù)，故答案為：不是②設(shè)函數(shù)y=8x的圖像上的青一點(diǎn)是n,2n，代入2n=解方程得n=±2故答案為：2,4或?2,?4（2）解：設(shè)拋物線y=m?1x2+mx+1則2x=整理得m?1∵有兩個(gè)青一點(diǎn)∴Δ解不等式得：m<即m的取值范圍是m<43（3）解：設(shè)函數(shù)y=x2則2x=整理得x∵存在唯一的一個(gè)“青一點(diǎn)”，∴Δ整理得n=則n關(guān)于m的二次函數(shù)關(guān)系，其圖像對(duì)稱軸為直線m=k當(dāng)k<?1時(shí)，則m=?1時(shí)，n值最小為k整理得k2+3k+1=0，解得k當(dāng)?1≤k≤3時(shí)，則m=k時(shí)，n值最小為k整理得k=0當(dāng)k>3時(shí)，則m=3時(shí)，n值最小為3整理得k2?5k+9=0，綜上得k的值為?3?52【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)解析式與函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系、二次函數(shù)根的判別式、解一元二次方程等知識(shí)，熟練掌握相關(guān)知識(shí)并采用分類討論思想是解題關(guān)鍵．23．（2022·北京市西城外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)期中）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2?2ax+2a<0與(1)求點(diǎn)A的坐標(biāo)及拋物線的對(duì)稱軸；(2)當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值是3，求當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最小值；(3)拋物線上的兩點(diǎn)Px1,y1，Qx2,y【答案】(1)(0,2)；直線x=1；(2)?1；(3)t<?1或t>0．【分析】（1）令x=0可得點(diǎn)A坐標(biāo)，直接用對(duì)稱軸的公式寫出拋物線的對(duì)稱軸；（2）由當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最大值是3，可知拋物線開口向下，可知最大值是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)，最小值是在離對(duì)稱軸比較遠(yuǎn)的x=3時(shí)取到；（3）分兩種情況進(jìn)行討論：①當(dāng)t+1<1時(shí)，需滿足：x=t+1時(shí)的函數(shù)值小于x=t+3時(shí)的函數(shù)值，②t+1>1時(shí)，需滿足：x=t時(shí)的函數(shù)值大于x=t+2時(shí)的函數(shù)值；分別列出不等式即可得到答案．（1）解：令x=0得y=2，∴A(0,2)；拋物線的對(duì)稱軸為直線x=??2a故點(diǎn)A(0,2)；拋物線的對(duì)稱軸為直線x=1．（2）解：∵a<0，∴拋物線的開口向下，∵對(duì)稱軸是直線x=1，在0≤x≤3時(shí)，y的最大值是3∴當(dāng)x=1時(shí)，a?2a+2=3，∴a=?1，∴y=?x∵0≤x≤3，∴當(dāng)x=3時(shí)，y取最小值，y=?(3?1)故當(dāng)0≤x≤3時(shí)，y的最小值為?1．（3）解：對(duì)于t<x1<t+1，t+2<①當(dāng)t+1<1時(shí)，需滿足：x=t+1時(shí)的函數(shù)值小于x=t+3時(shí)的函數(shù)值，∴?(t+1?1)解得：t<?1，∴t<?1；②t+1>1時(shí)，需滿足：x=t時(shí)的函數(shù)值大于x=t+2時(shí)的函數(shù)值，∴?(t?1)解得：t>0，∴t>0；綜上所述，若對(duì)于t<x1<t+1，t+2<x2<t+3，都有y1【點(diǎn)睛】此題是二次函數(shù)綜合題，主要考查了二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，熟練地運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想方法與根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)列出不等式是解此題的關(guān)鍵．24．（2022·浙江·信達(dá)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，設(shè)函數(shù)y=(x?m)((1)當(dāng)m=1時(shí)，若該函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,6)(2)若n=m?1，且當(dāng)x??2時(shí)，y隨(3)若該函數(shù)圖象經(jīng)過(guò)(0,a)，(3,b)兩點(diǎn)（a、b是實(shí)數(shù)）當(dāng)【答案】(1)y(2)m(3)0?【分析】（1）根據(jù)待定系數(shù)法即可求得；（2）求得拋物線與x的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得拋物線的對(duì)稱軸為直線x=m?（3）把(0,a)，(3,b)兩點(diǎn)代入y=(x?【詳解】（1）解：（1）當(dāng)m=1時(shí)，則y把點(diǎn)(2,6)代入y=(x?1)(∴n∴y=(x（2）∵y∴拋物線與x軸的交點(diǎn)為(m,0)，∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x=∴n∴對(duì)稱軸為直線x=∵拋物線開口向上且當(dāng)x??2時(shí)，y隨x∴m∴m（3）證明：∵函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)(0,a)，(3,b)兩點(diǎn)∴a=mn∴==[?(∵2?m∴0<?(0??(∴0?ab【點(diǎn)睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解決問(wèn)題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)．25．（2022·全國(guó)·九年級(jí)專題練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)F1和F(1)函數(shù)F1為y=x+1，F(xiàn)(2)函數(shù)F1為y=ax2+bx+c（(3)函數(shù)F1為y=m①已知A0,3、B?3,3，F(xiàn)2與線段AB②若m>0，當(dāng)m?4≤x≤m?3時(shí)，設(shè)函數(shù)F2的最大值與最小值的差為?，求?關(guān)于m的函數(shù)解析式；并直接寫出自變量m【答案】(1)y=x?1(2)y=?ax2(3)①m的取值范圍為m<?23或m=?【分析】（1）根據(jù)中心對(duì)稱的性質(zhì)可得F2（2）同（1）方法寫出函數(shù)解析式；（3）①分m>0,m<0兩種情況討論，當(dāng)m>0時(shí)，F(xiàn)2與AB無(wú)交點(diǎn)，當(dāng)m<0時(shí)，分頂點(diǎn)在AB上，以及與AB有2個(gè)交點(diǎn)的情況求得m②根據(jù)題意，分m?3≤?2，?2?m?4≥m?3??2，?2?m?4<m?3??2，且【詳解】（1）解：∵函數(shù)F1和F2的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱．F1則F2∴F2的解析式為：?y=?x+1，即y=x?1故答案為：y=x?1；（2）解：函數(shù)F1為y=ax2F2的解析式為?y=a即y=?ax2+bx?c（3）∵函數(shù)F1為y=mx2∴F2：y=?mx2①∵A0,3、B當(dāng)m>0時(shí)，當(dāng)x=0時(shí)，y=5，當(dāng)x=?3時(shí)，y=5+3m≠3，∴F2與AB當(dāng)m<0時(shí)，當(dāng)F2的頂點(diǎn)坐標(biāo)在AB上時(shí)，4m+5=3解得m=?1當(dāng)F2經(jīng)過(guò)點(diǎn)B?3,3解得m=?結(jié)合函數(shù)圖象可知m<?23時(shí)，當(dāng)F2綜上所述，m的取值范圍為m<?23或②若m>0，當(dāng)m?4≤x≤m?3時(shí)，設(shè)函數(shù)F2的最大值與最小值的差為?∵F2：y=?mx21）當(dāng)m?3≤?2，即m≤1，又m>0，即0<m≤1時(shí)，最大值為?mm?3+2最小值為?mm?4+2∴?=?mm?1即?=?2m2）當(dāng)?2?m?4即m≤3最大值為4m+5，最小值為?mm?4+2∴?=?mm?2即?=?m3）當(dāng)?2?m?4<m?3??2即32最大值為4m+5，最小值為?mm?3+22+4m+5∴?=?m3+24）當(dāng)m?4>?2，當(dāng)m?4>?2，即m>2時(shí)最大值為4m+5，最小值為?mm?3+22+4m+5∴?=?m3+2綜上所述，?=?2【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，中心對(duì)稱的性質(zhì)，分類討論是解題的關(guān)鍵．26．（2022·湖南·長(zhǎng)沙市開福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）在y關(guān)于x的函數(shù)中，對(duì)于實(shí)數(shù)m，n(m>n)，當(dāng)n≤x≤m時(shí)，函數(shù)y有最小值ymin，滿足y(1)當(dāng)n=2，m=4時(shí)，下列函數(shù)____（填序號(hào)）為“青一函數(shù)”．①y=x；②y=2x?3；③y=?1(2)當(dāng)m=3n時(shí)，二次函數(shù)y=x2?2nx+2(3)已知二次函數(shù)y=x2?mx+n2【答案】(1)②③(2)n=1(3)n=4?219【分析】（1）根據(jù)一次函數(shù)的性質(zhì)，分別求得最小值，與定義比較即可求解；（2）根據(jù)新定義，可得ymin=123n?n=n，根據(jù)當(dāng)（3）根據(jù)二次函數(shù)y=x2?mx+n2（1）解：①y=x，1>0，y隨x的增大而增大，當(dāng)2≤x≤4時(shí)，函數(shù)y有最小值ymin=2，②y=2x?3，2>0，y隨x的增大而增大，當(dāng)2≤x≤4時(shí)，函數(shù)y有最小值ymin=2×2?3=1，③y=?12x+3，?12<0，y隨x的增大而增減小，當(dāng)2≤x≤4時(shí)，函數(shù)故答案為：②③；（2）當(dāng)m=3n時(shí)，∵當(dāng)n≤x≤3n時(shí)，y∵二次函數(shù)y=x∴拋物線開口向上，對(duì)稱軸為x=n，頂點(diǎn)坐標(biāo)為n,?n∴當(dāng)x=n時(shí)，y∴?解得n=1或n=?2∵m=3n,m>n，則3n>n∴n>0∴n=1（3）∵二次函數(shù)y=x2?mx+∴即m=2+n∴y=x2==∴對(duì)稱軸為x=n2∵當(dāng)n≤x≤2+n時(shí)，函數(shù)y有最小值ymin①當(dāng)n≤n2+1≤2+n∴x=n2+1時(shí)，函數(shù)解得n=4?2193②當(dāng)2+n≤n2+1時(shí)，即n≤?2，y∵當(dāng)n≤x≤2+n時(shí)，函數(shù)y有最小值ymin∴x=2+n時(shí)，ymin解得n=1+172③當(dāng)n≥n2+1時(shí)，即n≥2時(shí)，y∵當(dāng)n≤x≤2+n時(shí)，函數(shù)y有最小值ymin∴x=n時(shí)，y解得n=1（舍去）或n=4，綜上所述，n=4?219【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．27．（2022·吉林長(zhǎng)春·九年級(jí)期末）已知二次函數(shù)y＝x2＋ax＋2a（a為常數(shù)）．(1)若a＝1，①求此二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②當(dāng)x≤n＋2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)，直接寫出n的取值范圍；③當(dāng)－3≤x≤1時(shí)，設(shè)此二次函數(shù)的最大值為m與最小值為n，求m－n．(2)若點(diǎn)A（－5，2）、點(diǎn)B（1，2），當(dāng)此二次函數(shù)的圖象與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，直接寫出a的取值范圍．【答案】(1)①對(duì)稱軸為直線x=?12，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(?12,7(2)13≤a＜4?22或4+22＜【分析】（1）①由a=1即可得到二次函數(shù)的解析式，再化為頂點(diǎn)式，即可得到對(duì)稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)；②由二次函數(shù)的開口方向和對(duì)稱軸得到函數(shù)的增減性，即可得出當(dāng)x<?12，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>?12時(shí)，y隨x的增大而增大，由當(dāng)x≤n＋2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小時(shí)即可得到關(guān)于③結(jié)合二次函數(shù)的增減性求得m和n的值，即可求得m?n的值；（2）由二次函數(shù)圖像與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，故函數(shù)最小值小于2，當(dāng)x=?5和x=1時(shí)，y≥2，從而得到有關(guān)a的不等式組，然后解不等式組即可求得a的取值范圍．(1)解：①當(dāng)a=1時(shí)，y=x∴y=x∴對(duì)稱軸為直線x=?12，頂點(diǎn)坐標(biāo)為②∵y=(x+∴該函數(shù)圖像開口向上，對(duì)稱軸為直線x=?1∴當(dāng)x<?12，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>?12時(shí)，∵當(dāng)x≤n+2時(shí)，函數(shù)值y隨x的增大而減小，∴n+2≤?1∴n≤?5故答案為：n≤?5③∵當(dāng)x<?12時(shí)，y隨x的增大而減小，當(dāng)x>?12時(shí)，y隨∴當(dāng)x=?12時(shí)，y取得最小值∵當(dāng)x=?3時(shí)，y=(?3)當(dāng)x=1時(shí)，y=1∴最大值m=8，∴m?n=8?7(2)∵點(diǎn)A(?5,2)，點(diǎn)B(1,2)，∴AB∥x軸∵二次函數(shù)的圖像與線段AB有兩個(gè)交點(diǎn)，∴y=x2+ax+2a的最小值小于2，x=?5∵y=x∴{2a?解得：13≤a<4?22∴a的取值范圍是13≤a<4?22【點(diǎn)睛】此題考查了二次函數(shù)的圖像的性質(zhì)、二次函數(shù)圖像上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是熟知數(shù)形結(jié)合以及利用二次函數(shù)的增減性解決問(wèn)題．28．（2022·吉林省第二實(shí)驗(yàn)學(xué)校九年級(jí)階段練習(xí)）已知二次函數(shù)解析式為y=1ax2?a+2ax?1a≠0，該拋物線與y軸交于點(diǎn)A，其頂點(diǎn)記為B，點(diǎn)A關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)