上海市師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題含解析

上海市師范大學(xué)附屬中學(xué)2025屆高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試模擬試題注意事項(xiàng)1．考生要認(rèn)真填寫(xiě)考場(chǎng)號(hào)和座位序號(hào)。2．試題所有答案必須填涂或書(shū)寫(xiě)在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．非零向量，，若點(diǎn)關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則向量為A. B.C. D.2．，，這三個(gè)數(shù)之間的大小順序是（）A. B.C. D.3．在平行四邊形中，，則（）A. B.C.2 D.44．若m，n表示兩條不同直線，α表示平面，則下列命題中真命題是（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，則 D.若，，則5．下列命題中是真命題的是（）A.“”是“”的充分條件B.“”是“”的必要條件C.“”是“”的充要條件D.“”是“”的充要條件6．設(shè)是兩條不同的直線,是兩個(gè)不同的平面，且，則下列說(shuō)法正確的是A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則7．如圖：在正方體中，設(shè)直線與平面所成角為，二面角的大小為，則為A. B.C. D.8．已知冪函數(shù)的圖象過(guò)點(diǎn)(2,)，則的值為（）A B.C. D.9．已知函數(shù)y=xa，y=xb，y=cx的圖象如圖所示，則A.c<b<a B.a<b<cC.c<a<b D.a<c<b10．若和都是定義在上的奇函數(shù)，則（）A.0 B.1C.2 D.3二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知集合，，則=______12．在平行四邊形中，為上的中點(diǎn)，若與對(duì)角線相交于，且，則__________13．已知是第四象限角，，則______14．已知函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則下列結(jié)論正確是__________（將所有符合題意的序號(hào)填在橫線上）①函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)；②滿足條件的正整數(shù)的最大值為3；③.15．已知冪函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則___________.16．函數(shù)的圖象的對(duì)稱中心的坐標(biāo)為_(kāi)__________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知函數(shù)是偶函數(shù)（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若函數(shù)的最小值為，求實(shí)數(shù)的值；（3）當(dāng)為何值時(shí)，討論關(guān)于的方程的根的個(gè)數(shù)18．已知函數(shù)⑴判斷并證明函數(shù)的奇偶性；⑵若，求實(shí)數(shù)的值.19．已知是定義在上的奇函數(shù).（1）求實(shí)數(shù)和的值；（2）根據(jù)單調(diào)性的定義證明：在定義域上為增函數(shù).20．直線過(guò)點(diǎn)，且傾斜角為.（1）求直線的方程；（2）求直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積.21．設(shè)是定義在上的偶函數(shù)，的圖象與的圖象關(guān)于直線對(duì)稱，且當(dāng)時(shí)，（）求的解析式（）若在上為增函數(shù)，求的取值范圍（）是否存在正整數(shù)，使的圖象的最高點(diǎn)落在直線上？若存在，求出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解析】如圖由題意點(diǎn)B關(guān)于所在直線的對(duì)稱點(diǎn)為B1，所以∠BOA=∠B1OA，所以又由平行四邊形法則知:,且向量的方向與向量的方向相同，由數(shù)量積的概念向量在向量方向上的投影是OM=，設(shè)與向量方向相同的單位向量為：，所以向量=2=2=，所以=.故選A.點(diǎn)睛：本題利用平行四邊形法則表示和向量，因?yàn)閷?duì)稱，所以借助數(shù)量積定義中的投影及單位向量即可表示出和向量,解題時(shí)要善于借助圖像特征體現(xiàn)向量的工具作用.2、C【解析】利用指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)比較即可【詳解】解：因?yàn)樵谏蠟闇p函數(shù)，且，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，因?yàn)樵谏蠟樵龊瘮?shù)，且，所以，綜上，，故選：C3、B【解析】由條件根據(jù)兩個(gè)向量的加減法的法則，以及其幾何意義，可得，，然后轉(zhuǎn)化求解即可【詳解】可得，，兩式平方相加可得故選：4、A【解析】對(duì)于A，因?yàn)榇怪庇谕黄矫娴膬蓷l直線相互平行，故A正確；對(duì)于B，如果一條直線平行于一個(gè)平面，那么平行于已知直線的直線與該平面的位置關(guān)系有平行或在平面內(nèi)，故B錯(cuò)；對(duì)于C，因同平行于一個(gè)平面的兩條直線異面、相交或平行，故C錯(cuò)；對(duì)于D，與一個(gè)平面的平行直線垂直的直線與已知平面是平行、相交或在面內(nèi)，故D錯(cuò)，選A.5、B【解析】利用充分條件、必要條件的定義逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)槭羌螦的子集，故“”是“”的必要條件，故選項(xiàng)A為假命題；當(dāng)時(shí)，則，所以“”是“”的必要條件，故選項(xiàng)B為真命題；因?yàn)槭巧系臏p函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，，故選項(xiàng)C為假命題；取，，但，故選項(xiàng)D為假命題.故選：B.6、A【解析】本道題目分別結(jié)合平面與平面平行判定與性質(zhì)，平面與平面平行垂直判定與性質(zhì)，即可得出答案．【詳解】A選項(xiàng),結(jié)合一條直線與一平面垂直,則過(guò)該直線的平面垂直于這個(gè)平面,故正確;B選項(xiàng),平面垂直,則位于兩平面的直線不一定垂直,故B錯(cuò)誤;C選項(xiàng),可能平行于與相交線,故錯(cuò)誤;D選項(xiàng),m與n可能異面，故錯(cuò)誤【點(diǎn)睛】本道題目考查了平面與平面平行判定與性質(zhì)，平面與平面平行垂直判定與性質(zhì)，發(fā)揮空間想象能力，找出選項(xiàng)的漏洞，即可．7、B【解析】連結(jié)BC1，交B1C于O，連結(jié)A1O，∵在正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，BC1⊥B1C，BC1⊥DC，∴BO⊥平面A1DCB1，∴∠BA1O是直線A1B與平面A1DCB1所成角θ1，∵BO=A1B，∴θ1=30°；∵BC⊥DC，B1C⊥DC，∴∠BCB1是二面角A1﹣DC﹣A的大小θ2，∵BB1=BC，且BB1⊥BC，∴θ2=45°故答案選：B8、A【解析】令冪函數(shù)且過(guò)(2,)，即有，進(jìn)而可求的值【詳解】令，由圖象過(guò)(2,)∴，可得故∴故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了冪函數(shù)，由冪函數(shù)的形式及其所過(guò)的定點(diǎn)求解析式，進(jìn)而求出對(duì)應(yīng)函數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題9、A【解析】由指數(shù)函數(shù)、冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合圖象可得a>1，b=12，【詳解】由圖象可知：a>1，y=xb的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)4,2當(dāng)x=1時(shí)，y=c∴c<b<a，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，關(guān)鍵掌握指數(shù)函數(shù)，對(duì)數(shù)函數(shù)和冪函數(shù)的圖象和性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.10、A【解析】根據(jù)題意可知是周期為的周期函數(shù)，以及，，由此即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹投际嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，所以，所以，所以是周期為周期函數(shù)，所以因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，即，所以.故選：A.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、{-1,1,2}；【解析】=={-1,1,2}12、3【解析】由題意如圖：根據(jù)平行線分線段成比例定理，可知，又因?yàn)?，所以根?jù)三角形相似判定方法可以知道∵為的中點(diǎn)∴相似比為∴∴故答案為313、【解析】利用同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出的值，在利用誘導(dǎo)公式可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)槭堑谒南笙藿?，，則，所以，.故答案為：.14、①②③【解析】!由題函數(shù)在區(qū)間上是增函數(shù)，則由可得為奇函數(shù)，則①函數(shù)在區(qū)間(,0)上是增函數(shù)，正確；由可得，即有滿足條件的正整數(shù)的最大值為3，故②正確；由于由題意可得對(duì)稱軸，即有.，故③正確故答案為①②③【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，重點(diǎn)是對(duì)稱性和單調(diào)性的運(yùn)用，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題15、【解析】根據(jù)冪函數(shù)定義求出值，再根據(jù)單調(diào)性確定結(jié)果【詳解】由題意，解得或，又函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則，∴故答案為：16、【解析】利用正切函數(shù)的對(duì)稱中心求解即可.【詳解】令＝()，得()，∴對(duì)稱中心的坐標(biāo)為故答案：()三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）（3）當(dāng)時(shí)，方程有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有根；當(dāng)或或時(shí)，方程有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程有四個(gè)根【解析】（1）利用偶函數(shù)滿足，求出的值；（2）對(duì)函數(shù)變形后利用二次函數(shù)的最值求的值；（3）定義法得到的單調(diào)性，方程通過(guò)換元后得到的根的情況，通過(guò)分類討論最終求出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得：，即，所以，其中，∴，解得：【小問(wèn)2詳解】，∴，故函數(shù)的最小值為，令，故的最小值為，等價(jià)于，解得：或，無(wú)解綜上：【小問(wèn)3詳解】由，令，，有由，有，，可得，可知函數(shù)為增函數(shù)，故當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞增，由函數(shù)為偶函數(shù)，可知函數(shù)的增區(qū)間為，減區(qū)間為，令，有，方程（記為方程①）可化為，整理為：（記為方程②），，當(dāng)時(shí)，有，此時(shí)方程②無(wú)解，可得方程①無(wú)解；當(dāng)時(shí)，時(shí)，方程②的解為，可得方程①僅有一個(gè)解為；時(shí)，方程②的解為，可得方程①有兩個(gè)解；當(dāng)時(shí)，可得或，1°當(dāng)方程②有零根時(shí)，，此時(shí)方程②還有一根為，可得此時(shí)方程①有三個(gè)解；2°當(dāng)方程②有兩負(fù)根時(shí)，可得，不可能；3°當(dāng)方程②有兩正根時(shí)，可得：，又由，可得，此時(shí)方程①有四個(gè)根；4°當(dāng)方程②有一正根一負(fù)根時(shí)，，可得：或，又由，可得或，此時(shí)方程①有兩個(gè)根，由上知：當(dāng)時(shí)，方程①有一個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程①?zèng)]有根；當(dāng)或或時(shí)，方程①有兩個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程①有三個(gè)根；當(dāng)時(shí)，方程①有四個(gè)根【點(diǎn)睛】對(duì)于復(fù)合函數(shù)根的個(gè)數(shù)問(wèn)題，要用換元法來(lái)求解，通常方法會(huì)用到根的判別式，導(dǎo)函數(shù)，基本不等式等.18、（1）（2）【解析】（1）求出函數(shù)的定義域，利用函數(shù)的奇偶性的定義判斷即可；（2）是奇函數(shù),則結(jié)合，求解代入求解即可.【詳解】(1)解：是奇函數(shù).證明：要等價(jià)于即故的定義域?yàn)樵O(shè)任意則又因?yàn)樗允瞧婧瘮?shù).(2)由(1)知，是奇函數(shù),則聯(lián)立得即解得19、（1）；（2）見(jiàn)詳解2.【解析】（1）由可得，再求值.（2）設(shè)，作差與零比較.【小問(wèn)1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，，，【小問(wèn)2詳解】設(shè)，則，，，，所以，，故在定義域上為增函數(shù).20、（1）；（2）.【解析】（1）根據(jù)傾斜角得到斜率，再由點(diǎn)斜式，即可得出結(jié)果；（2）分別求出直線與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求出三角形面積.【詳解】（1）∵傾斜角為，∴斜率，∴直線的方程為：，即；（2）由（1）得，令，則，即與軸交點(diǎn)為；令，則，以及與軸交點(diǎn)為；所以直線與坐標(biāo)軸所圍成的三角形面積為.21、（1）；（2）；（3）見(jiàn)解析.【解析】分析：（）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，從而可得結(jié)果；（）由題設(shè)知，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，于是，，從而；（）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故只需研究函數(shù)在的最大值，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，討論兩種情況，即可篩選出符合題意的正整數(shù).詳解：（）當(dāng)時(shí)，，；當(dāng)時(shí)，，∴，（）由題設(shè)知，對(duì)恒成立，即對(duì)恒成立，于是，，從而（）因?yàn)闉榕己瘮?shù)，故只需研究函數(shù)在的最