河南省永城市2025屆高二數學第一學期期末考試試題含解析

河南省永城市2025屆高二數學第一學期期末考試試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號?；卮鸱沁x擇題時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知雙曲線漸近線方程為，則該雙曲線的離心率等于（）A. B.C.2 D.42．設為數列的前n項和，且，則=（）A.26 B.19C.11 D.93．若數列是等比數列，且，則（）A.1 B.2C.4 D.84．中，，，分別為三個內角，，的對邊，若，，，則（）A. B.C. D.5．有下列四個命題，其中真命題是（）A.， B.，，C.，， D.，6．我國古代數學名著《算法統(tǒng)宗》是明代數學家程大位（1533-1606年）所著.該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？”.其意思是：“一座7層塔共掛了381盞燈，且下一層燈數是上一層的2倍，則可得塔的最頂層共有燈幾盞？”.若改為“求塔的最底層幾盞燈？”，則最底層有（）盞.A.192 B.128C.3 D.17．設是區(qū)間上的連續(xù)函數，且在內可導，則下列結論中正確的是（）A.的極值點一定是最值點B.的最值點一定是極值點C.在區(qū)間上可能沒有極值點D.在區(qū)間上可能沒有最值點8．已知雙曲線的離心率為5，則其標準方程為()A. B.C. D.9．設曲線在點處的切線與x軸、y軸分別交于A，B兩點，O為坐標原點，則的面積等于（）A.1 B.2C.4 D.610．在各項均為正數的等比數列中，若，則（）A.6 B.12C.56 D.7811．已知動圓過定點，并且與定圓外切，則動圓的圓心的軌跡是（）A.拋物線 B.橢圓C.雙曲線 D.雙曲線的一支12．已知橢圓方程為，則該橢圓的焦距為（）A.1 B.2C. D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知數列是等差數列，，公差，為其前n項和，滿足，則當取得最大值時，______14．隨機變量X的取值為0，1，2，若，，則_________15．如圖，在正方體中，、分別是、的中點，則異面直線與所成角的大小是____________．16．已知函數，設，且函數有3個不同的零點，則實數k的取值范圍為___________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，（1）當時，求函數的單調遞減區(qū)間；（2）當時，，求實數a的取值范圍18．（12分）已知數列是等差數列，其前n項和為，，，數列滿足(且)，.（1）求和的通項公式；（2）求數列的前n項和.19．（12分）小張在2020年初向建行貸款50萬元先購房，銀行貸款的年利率為4%，要求從貸款開始到2030年要分10年還清，每年年底等額歸還且每年1次，每年至少要還多少錢呢(保留兩位小數)？(提示：(1＋4%)10≈1.48)20．（12分）已知橢圓的左焦點為F，右頂點為，M是橢圓上一點．軸且（1）求橢圓C的標準方程；（2）直線與橢圓C交于E，H兩點，點G在橢圓C上，且四邊形平行四邊形（其中O為坐標原點），求21．（12分）已知函數，.（1）討論的單調性；（2）當時，記在區(qū)間的最大值為M，最小值為N，求的取值范圍.22．（10分）已知函數.（1）求函數在處的切線方程；（2）設為的導數，若方程的兩根為，且，當時，不等式對任意的恒成立，求正實數的最小值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、A【解析】由雙曲線的漸近線方程，可得，再由的關系和離心率公式，計算即可得到所求值【詳解】解：雙曲線的漸近線方程為，由題意可得即，可得由可得，故選：A.2、D【解析】先求得，然后求得.【詳解】依題意，當時，，當時，，，所以，所以.故選：D3、C【解析】根據等比數列的性質，由題中條件，求出，即可得出結果.【詳解】因為數列是等比數列，由，得，所以，因此.故選：C.4、C【解析】利用正弦定理求解即可.【詳解】，，，由正弦定理可得，解得，故選：C.5、B【解析】對于選項A，令即可驗證其不正確；對于選項C、選項D，令，即可驗證其均不正確，進而可得出結果.【詳解】對于選項A，令，則，故A錯；對于選項B，令，則，顯然成立，故B正確；對于選項C，令，則顯然無解，故C錯；對于選項D，令，則顯然不成立，故D錯.故選B【點睛】本題主要考查命題真假的判定，用特殊值法驗證即可，屬于?？碱}型.6、A【解析】根據題意，轉化為等比數列，利用通項公式和求和公式進行求解.【詳解】設這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈.故選：A.7、C【解析】根據連續(xù)函數的極值和最值的關系即可判斷【詳解】根據函數的極值與最值的概念知，的極值點不一定是最值點，的最值點不一定是極值點．可能是區(qū)間的端點，連續(xù)可導函數在閉區(qū)間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數在區(qū)間上單調，則函數在區(qū)間上沒有極值點，所以C正確故選：C.【點睛】本題主要考查函數的極值與最值的概念辨析，屬于容易題8、D【解析】雙曲線離心率公式和a、b、c的關系即可求得m，從而得到雙曲線的標準方程.【詳解】∵雙曲線，∴，又，∴，∵離心率為，∴，解得，∴雙曲線方程.故選：D.9、C【解析】求出原函數的導函數，得到函數在處的導數值，寫出切線方程，分別求得切線在兩坐標軸上的坐標，再由三角形面積公式求解【詳解】由，得，，又切線過點，曲線在點處的切線方程為，取，得，取，得的面積等于故選：C10、D【解析】由等比數列的性質直接求得.【詳解】在等比數列中，由等比數列的性質可得：由，解得：；由可得：，所以.故選：D11、D【解析】結合雙曲線定義的有關知識確定正確選項.【詳解】圓圓心為，半徑為，依題意可知，結合雙曲線的定義可知，的軌跡為雙曲線的一支.故選：D12、B【解析】根據橢圓中之間的關系，結合橢圓焦距的定義進行求解即可.【詳解】由橢圓的標準方程可知：，則焦距為，故選：B.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、9或10【解析】等差數列通項公式的使用.【詳解】數列是等差數列，且，得，得，則有，又因為，公差，所以或10時，取得最大值故答案為：9或1014、##0.4【解析】設出概率，利用期望求出相應的概率，進而利用求方差公式進行求解.【詳解】設，則，從而，解得：，所以故答案為：15、【解析】分別以所在直線為軸，建立空間直角坐標系，設，則，，即異面直線A1M與DN所成角的大小是考點：異面直線所成的角16、【解析】由題意畫出函數圖象，把函數有3個不同的零點的問題轉化為函數與函數有3個交點的問題，分為和時分類討論即可.【詳解】作出函數的圖象如下圖所示，要使函數有3個不同的零點，則函數和函數有三個交點，由已知得函數恒過點,當時，過點時，函數和函數有三個交點，將代入得，即，當時，與相切時，此時函數和函數有兩個交點，如圖所示，，設此時的切點為，則直線的斜率為，直線的方程為，將點代入得，解得，此時的斜率為，將逆時針旋轉至和平行時，即為的位置時，函數和函數有三個交點，此時，故的范圍為，綜上所述實數k的取值范圍為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）（2）【解析】（1）求出函數的導函數，再解導函數的不等式，即可求出函數的單調遞減區(qū)間；（2）依題意可得當時，當時，顯然成立，當時只需，參變分離得到，令，，利用導數說明函數的單調性，即可求出參數的取值范圍；【小問1詳解】解：當時定義域為，所以，令，解得或，令，解得，所以的單調遞減區(qū)間為；【小問2詳解】解：由，即，即，當時顯然成立，當時，只需，即，令，，則，所以在上單調遞減，所以，所以，故實數的取值范圍為.18、（1），；（2）.【解析】(1)根據，列方程組即可求解數列的通項公式，根據可求數列的通項公式；(2)化簡，利用裂項相消法求該數列前n項和.【小問1詳解】設等差數列公差為d，∵，∴，∵公差，∴.由得，即，∴數列是首項為，公比為2的等比數列，∴；【小問2詳解】∵，∴，.19、每年至少要還6.17萬元.【解析】根據貸款總額和還款總額相等，50(1＋4%)10=x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x，求解即可.【詳解】50萬元10年產生本息和與每年還x萬元的本息和相等，故有購房款50萬元十年的本息和：50(1＋4%)10，每年還x萬元的本息和：x·(1＋4%)9＋x·(1＋4%)8＋…＋x＝，從而有50(1＋4%)10＝，解得x≈6.17，即每年至少要還6.17萬元.20、（1）（2）【解析】（1）根據橢圓的簡單幾何性質即可求出；（2）設，聯(lián)立與橢圓方程，求出，再根據平行四邊形的性質求出點的坐標，然后由點G在橢圓C上，可求出，從而可得【小問1詳解】∵橢圓C的右頂點為，∴，∵軸，且，∴，∴，所以橢圓C的標準方程為【小問2詳解】設，將直線代入，消去y并整理得，由，得．（*）由根與系數的關系可得，∴，∵四邊形為平行四邊形，∴，得，將G點坐標代人橢圓C的方程得，滿足（*）式∴21、（1）答案見解析；（2）.【解析】（1）求得，對參數進行分類討論，根據導函數函數值的正負即可判斷的單調性；（2）根據（1）中所求，求得，以及，再求其取值范圍即可.【小問1詳解】因為，故可得，令，可得或；當時，，此時在上單調遞增；當時，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增；當時，當時，，單調遞增；當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.綜上所述：當時，在上單調遞增；當時，和單調遞增，在單調遞減；當時，在和單調遞增，在單調遞減.【小問2詳解】由（1）可知：當時，在單調遞減，在單調遞增又，，故在單調遞減，在單調遞增.則的最小值；又，當時，的最大值，此時；當時，的最大值，此時，令，則，所以在上單調遞減，所以，所以；所以的取值范圍為.22、（1）（2）1【解析】（1）先求導數，根據導數的幾何意義可求得切線方程；（2）將已知