2025屆山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)、第五中學(xué)、高青縣第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題含解析

2025屆山東省淄博市實(shí)驗(yàn)中學(xué)、第五中學(xué)、高青縣第一中學(xué)高二上數(shù)學(xué)期末預(yù)測(cè)試題注意事項(xiàng)：1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2．選擇題必須使用2B鉛筆填涂；非選擇題必須使用0．5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫(xiě)，字體工整、筆跡清楚。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．《周髀算經(jīng)》有這樣一個(gè)問(wèn)題：從冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、驚蟄、春分、清明、谷雨、立夏、小滿(mǎn)、芒種十二個(gè)節(jié)氣日影長(zhǎng)減等寸，冬至、立春、春分日影之和為三丈一尺五寸，前九個(gè)節(jié)氣日影之和為八丈五尺五寸（注：一丈等于十尺，一尺等于十寸），問(wèn)立夏日影長(zhǎng)為（）A.一尺五寸 B.二尺五寸C.三尺五寸 D.四尺五寸2．已知為兩條不同的直線，為兩個(gè)不同的平面，則下列結(jié)論正確的是()A.若，則B.若，則C.若，則D.若，則3．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則（）A.14 B.9C.4 D.24．若某群體中的成員只用現(xiàn)金支付的概率為，既用現(xiàn)金支付也用非現(xiàn)金支付的概率為，則不用現(xiàn)金支付的概率為（）A. B.C. D.5．已知橢圓和雙曲線有共同焦點(diǎn)，是它們一個(gè)交點(diǎn)，且，記橢圓和雙曲線的離心率分別為，則的最大值為A.3 B.2C. D.6．設(shè)函數(shù)，，，則（）A. B.C. D.7．若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知是直線的方向向量，為平面的法向量，若，則的值為（）A. B.C.4 D.9．已知一組數(shù)據(jù)為：2，4，6，8，這4個(gè)數(shù)的方差為（）A.4 B.5C.6 D.710．若方程表示圓，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.11．拋物線的準(zhǔn)線方程是A.x=1 B.x=-1C. D.12．1202年，意大利數(shù)學(xué)家斐波那契出版了他的《算盤(pán)全書(shū)》．他在書(shū)中收錄了一些有意思的問(wèn)題，其中有一個(gè)關(guān)于兔子繁殖的問(wèn)題：如果1對(duì)兔子每月生1對(duì)小兔子（一雌一雄），而每1對(duì)小兔子出生后的第3個(gè)月里，又能生1對(duì)小兔子，假定在不發(fā)生死亡的情況下，如果用Fn表示第n個(gè)月的兔子的總對(duì)數(shù)，則有(n＞2)，．設(shè)數(shù)列{an}滿(mǎn)足：an＝，則數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為（）A.11 B.12C.13 D.18二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若“”是“”必要不充分條件，則實(shí)數(shù)的最大值為_(kāi)______14．如圖所示，在平行六面體中，，若，則___________.15．已知是雙曲線的左焦點(diǎn)，圓與雙曲線在第一象限的交點(diǎn)，若的中點(diǎn)在雙曲線的漸近線上，則此雙曲線的離心率是___________.16．圓被直線所截得弦的最短長(zhǎng)度為_(kāi)__________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）設(shè)函數(shù)，（1）求的最大值；（2）求證：對(duì)于任意x∈(1,7),e1-x+18．（12分）在①，；②，，③，這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中并解決問(wèn)題問(wèn)題：設(shè)等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，________________，若，判斷是否存在最大值，若存在，求出取最大值時(shí)的值；若不存在，說(shuō)明理由注：如果選擇多個(gè)條件分別解答．按第一個(gè)解答記分19．（12分）某電腦公司為調(diào)查旗下A品牌電腦的使用情況，隨機(jī)抽取200名用戶(hù)，根據(jù)不同年齡段（單位：歲）統(tǒng)計(jì)如下表：分組頻率/組距0.010.040.070.060.02（1）根據(jù)上表，試估計(jì)樣本的中位數(shù)、平均數(shù)（同一組數(shù)據(jù)以該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表，結(jié)果精確到0.1）；（2）按照年齡段從內(nèi)的用戶(hù)中進(jìn)行分層抽樣，抽取6人，再?gòu)闹须S機(jī)選取2人贈(zèng)送小禮品，求恰有1人在內(nèi)的概率20．（12分）某市為加強(qiáng)市民對(duì)新冠肺炎的知識(shí)了解，面向全市征召義務(wù)宣傳志愿者.現(xiàn)從符合條件的志愿者中隨機(jī)抽取100名按年齡分組：第1組[20，25），共5人，第2組[25，30），共35人，第3組[30，35），第4組[35，40），第5組[40，45]，得到的頻率分布直方圖如圖所示.（1）求a的值；（2）若從第3，4，5組中用分層抽樣的方法抽取6名志愿者參加廣場(chǎng)宣傳活動(dòng)，且該市決定在第3，4組的志愿者中隨機(jī)抽取2名志愿者介紹宣傳經(jīng)驗(yàn)，求第3組至少有-名志愿者被抽中的概率.21．（12分）年月日，中國(guó)向世界莊嚴(yán)宣告，中國(guó)脫貧攻堅(jiān)戰(zhàn)取得了全面勝利，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下萬(wàn)農(nóng)村貧困人口全部脫貧，個(gè)貧困縣全部摘帽，萬(wàn)個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對(duì)貧困的艱巨任務(wù)，困擾中華民族幾千年的絕對(duì)貧困問(wèn)題得到了歷史性的解決！為了鞏固脫貧成果，某農(nóng)科所實(shí)地考察，研究發(fā)現(xiàn)某脫貧村適合種植、兩種經(jīng)濟(jì)作物，可以通過(guò)種植這兩種經(jīng)濟(jì)作物鞏固脫貧成果，通過(guò)大量考察研究得到如下統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)：經(jīng)濟(jì)作物的畝產(chǎn)量約為公斤，其收購(gòu)價(jià)格處于上漲趨勢(shì)，最近五年的價(jià)格如下表：年份編號(hào)年份單價(jià)（元/公斤）經(jīng)濟(jì)作物的收購(gòu)價(jià)格始終為元/公斤，其畝產(chǎn)量的頻率分布直方圖如下：（1）若經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)（單位：元/公斤）與年份編號(hào)具有線性相關(guān)關(guān)系，請(qǐng)求出關(guān)于的回歸直線方程，并估計(jì)年經(jīng)濟(jì)作物的單價(jià)；（2）用上述頻率分布直方圖估計(jì)經(jīng)濟(jì)作物的平均畝產(chǎn)量（每組數(shù)據(jù)以區(qū)間的中點(diǎn)值為代表），若不考慮其他因素，試判斷年該村應(yīng)種植經(jīng)濟(jì)作物還是經(jīng)濟(jì)作物？并說(shuō)明理由附：，22．（10分）如圖，矩形ABCD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，CD的中點(diǎn)，，，以EF為軸，將正方形AEFD翻折至與平面EBCF垂直的位置處.請(qǐng)按圖中所給的方法建立空間直角坐標(biāo)系，然后用空間向量坐標(biāo)法完成下列問(wèn)題（1）求證：直線平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、D【解析】結(jié)合等差數(shù)列知識(shí)求得正確答案.【詳解】設(shè)冬至日影長(zhǎng)，公差為，則，所以立夏日影長(zhǎng)丈，即四尺五寸.故選：D2、D【解析】根據(jù)空間里面直線與平面、平面與平面位置關(guān)系的相關(guān)定理逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】A，若，則或異面，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；B，若，則或相交，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；C，若，則α，β不一定垂直，故該選項(xiàng)錯(cuò)誤；D，若，則利用面面垂直的性質(zhì)可得，故該選項(xiàng)正確.故選：D.3、C【解析】根據(jù)給定條件結(jié)合橢圓、雙曲線方程的特點(diǎn)直接列式計(jì)算作答.【詳解】設(shè)橢圓半焦距為c，則，而橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，則在雙曲線中，，即有，解得，所以.故選：C4、A【解析】利用對(duì)立事件概率公式可求得所求事件的概率.【詳解】由對(duì)立事件的概率公式可知，該群體中的成員不用現(xiàn)金支付的概率為.故選：A.5、D【解析】設(shè)橢圓長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)a2，焦距2c．根據(jù)橢圓及雙曲線的定義可以用a1，a2表示出|PF1|，|PF2|，在△F1PF2中根據(jù)余弦定理可得到，利用基本不等式可得結(jié)論【詳解】如圖，設(shè)橢圓的長(zhǎng)半軸長(zhǎng)為a1，雙曲線的半實(shí)軸長(zhǎng)為a2，則根據(jù)橢圓及雙曲線的定義：|PF1|+|PF2|＝2a1，|PF1|﹣|PF2|＝2a2，∴|PF1|＝a1+a2，|PF2|＝a1﹣a2，設(shè)|F1F2|＝2c，∠F1PF2＝，則：在△PF1F2中，由余弦定理得，4c2＝（a1+a2）2+（a1﹣a2）2﹣2（a1+a2）（a1﹣a2）cos∴化簡(jiǎn)得：a12+3a22＝4c2，該式可變成：，∴≥2∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查圓錐曲線的共同特征，考查通過(guò)橢圓與雙曲線的定義求焦點(diǎn)三角形三邊長(zhǎng)，考查利用基本不等式求最值問(wèn)題，屬于中檔題6、A【解析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)得出在的單調(diào)性，進(jìn)而由單調(diào)性得出大小關(guān)系.【詳解】因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增.因?yàn)椋?，而，所?因?yàn)?，且，所?即.故選：A7、C【解析】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于方程有兩個(gè)根，等價(jià)于與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，通過(guò)導(dǎo)數(shù)分析的單調(diào)性，根據(jù)圖象即可求出求出的范圍.【詳解】函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，方程有兩個(gè)根，，分離參數(shù)得，與圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，令，，令，解得當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減，且在處取得極大值及最大值，可以畫(huà)出函數(shù)的大致圖象如下：觀察圖象可以得出.故選：C.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)零點(diǎn)的應(yīng)用，構(gòu)造函數(shù)求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用函數(shù)極值和導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.8、A【解析】由，可得，再計(jì)算即可求解.【詳解】由題意可知，所以，即.故選：A9、B【解析】根據(jù)數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差的計(jì)算公式，準(zhǔn)確計(jì)算，即可求解.【詳解】由平均數(shù)的計(jì)算公式，可得，所以這4個(gè)數(shù)的方差為故選：B.10、D【解析】將方程化為標(biāo)準(zhǔn)式即可.【詳解】方程化為標(biāo)準(zhǔn)式得，則.故選：D.11、C【解析】先把拋物線方程整理成標(biāo)準(zhǔn)方程，進(jìn)而求得p，再根據(jù)拋物線性質(zhì)得出準(zhǔn)線方程【詳解】解：整理拋物線方程得，∴p＝∵拋物線方程開(kāi)口向上，∴準(zhǔn)線方程是y＝﹣故答案為C【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和簡(jiǎn)單性質(zhì)．屬基礎(chǔ)題12、B【解析】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，再根據(jù)an＝，即可求出數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和【詳解】由奇數(shù)+奇數(shù)＝偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)＝奇數(shù)可知，數(shù)列{Fn}中F3，F(xiàn)6，F(xiàn)9，F(xiàn)12，，F(xiàn)3n為偶數(shù)，其余項(xiàng)都為奇數(shù)，∴前36項(xiàng)共有12項(xiàng)為偶數(shù)，∴數(shù)列{an}的前36項(xiàng)和為12×1+24×0＝12.故選：B二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】設(shè)的解集為集合，由題意可得是的真子集，即可求解.【詳解】由得或，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，設(shè)或，，因?yàn)椤啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，所以是的真子集，所以故答案為：【點(diǎn)睛】結(jié)論點(diǎn)睛：本題考查充分不必要條件的判斷，一般可根據(jù)如下規(guī)則判斷：（1）若是的必要不充分條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（2）是的充分不必要條件，則對(duì)應(yīng)集合是對(duì)應(yīng)集合的真子集；（3）是的充分必要條件，則對(duì)應(yīng)集合與對(duì)應(yīng)集合相等；（4）是的既不充分又不必要條件，對(duì)的集合與對(duì)應(yīng)集合互不包含14、2【解析】題中幾何體為平行六面體，就要充分利用幾何體的特征進(jìn)行轉(zhuǎn)化，,再將轉(zhuǎn)化為，以及將轉(zhuǎn)化為,,總之等式右邊為，，,從而得出，.【詳解】解：因?yàn)?，又，所以，，則.故答案為：2.【點(diǎn)睛】要充分利用幾何體的幾何特征，以及將作為轉(zhuǎn)化的目標(biāo)，從而得解.15、【解析】計(jì)算點(diǎn)漸近線的距離，從而得，由勾股定理計(jì)算，由雙曲線定義列式，從而計(jì)算得，即可計(jì)算出離心率.【詳解】設(shè)雙曲線右焦點(diǎn)為，因?yàn)榈闹悬c(diǎn)在雙曲線的漸近線上，由可知，，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以，所以，即垂直平分線段，所以到漸近線的距離為，可得，所以，由雙曲線定義可知，，即，所以，所以.故答案為：【點(diǎn)睛】雙曲線的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出，代入公式；②只需要根據(jù)一個(gè)條件得到關(guān)于的齊次式，結(jié)合轉(zhuǎn)化為的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以或轉(zhuǎn)化為關(guān)于的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得(的取值范圍)16、【解析】首先確定直線所過(guò)定點(diǎn)；由圓的方程可確定圓心和半徑，進(jìn)而求得圓心到的距離，由此可知所求最短長(zhǎng)度為.【詳解】由得：，直線恒過(guò)點(diǎn)；，在圓內(nèi)；又圓的圓心為，半徑，圓心到點(diǎn)的距離，所截得弦的最短長(zhǎng)度為.故答案為：.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）求出，討論其導(dǎo)數(shù)后可得原函數(shù)的單調(diào)性，從而可得函數(shù)的最大值.（2）先證明任意的，總有，再利用放縮法和換元法將不等式成立問(wèn)題轉(zhuǎn)化為任意恒成立，后者可利用導(dǎo)數(shù)證明.【小問(wèn)1詳解】，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，故在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)，故.【小問(wèn)2詳解】因?yàn)?，故?dāng)時(shí)，，即，而在為減函數(shù)，故在上有，故任意的，總有.要證任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，由（1）可得，任意，有即，故即證：任意恒成立，設(shè)，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，即證：任意恒成立，設(shè)，則，而在為增函數(shù)，，故存在，使得，且時(shí)，，時(shí)，，故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，故任意，總有，故任意恒成立，所以任意恒成立.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：不等式的恒成立，可結(jié)合不等式的形式將其轉(zhuǎn)化為若干段上的不等式的恒成立，在每段上可采用不同的方式（導(dǎo)數(shù)、放縮法等）進(jìn)行處理.18、答案不唯一，具體見(jiàn)解析【解析】選①：易得，法一：令求n，即可為何值時(shí)取最大值；法二：寫(xiě)出，利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)判斷為何值時(shí)有最大值；選②：由數(shù)列前n項(xiàng)和及等差數(shù)列下標(biāo)和的性質(zhì)易得、即可確定有最大值時(shí)值；選③：由等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式易得、即可確定有最大值時(shí)值；【詳解】選①：設(shè)數(shù)列的公差為，，，解得，即，法一：當(dāng)時(shí)，有，得，∴當(dāng)時(shí)，；，；時(shí)，，∴或時(shí)，取最大值法二：，對(duì)稱(chēng)軸，∴或時(shí)，取最大值選②：由，得，由等差中項(xiàng)的性質(zhì)有，即，由，得，∴，故，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故時(shí)，取最大值選③：由，得，可得，由，得，可得，∴，故，∴當(dāng)時(shí)，，時(shí)，，故時(shí)，取最大值【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：根據(jù)所選的條件，結(jié)合等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的性質(zhì)、下標(biāo)和相等的性質(zhì)等確定數(shù)列中項(xiàng)的正負(fù)性，找到界點(diǎn)n值即可.19、（1）中位數(shù)為38.6，平均數(shù)為38.5歲；（2）.【解析】（1）由中位數(shù)分?jǐn)?shù)據(jù)兩邊的頻率相等，列方程求中位數(shù)；根據(jù)各組數(shù)據(jù)的中點(diǎn)數(shù)乘以頻率即可得平均數(shù)；（2）由分層抽樣確定從中各抽4人、2人，列舉出隨機(jī)選取2人的所有組合，得到恰有1人在的組合數(shù)，即可求概率.【詳解】（1）中位數(shù)在中，設(shè)為，則，解得.平均數(shù)為歲.所以樣本的中位數(shù)約為38.6，平均數(shù)為38.5歲.（2）根據(jù)分層抽樣法，其中位于中的有4人，記為，，，；位于中的有2人，記為，.從6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15種情況，恰有1人在內(nèi)的有，，，，，，，，共8種情況，∴恰有1人在內(nèi)的概率為.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：由中位數(shù)的性質(zhì)以及平均數(shù)與各組數(shù)據(jù)中點(diǎn)值、頻率的關(guān)系求中位數(shù)、平均數(shù)；根據(jù)分層抽樣確定各組選取人數(shù)，利用列舉法求概率.20、（1）0.04；（2）.【解析】（1）根據(jù)頻率的計(jì)算公式，結(jié)合概率之和為1，即可求得參數(shù)；（2）根據(jù)題意求得抽樣比以及第三組和第四組各抽取的人數(shù)，再列舉所有可能抽取的情況，找出滿(mǎn)足題意的情況，利用古典概型的概率計(jì)算公式即可求得結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】第一組頻率為，第二組的頻率為，則第一組與第二組的頻率之和為，又，故.【小問(wèn)2詳解】第3組的人數(shù)為，第4組的人數(shù)為，第5組的人數(shù)為，因?yàn)榈?，4，5組共有60名志愿者，所以利用分層抽樣的方法在60名志