2025屆甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2025屆甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)第一中學(xué)高一數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．一半徑為2m的水輪，水輪圓心O距離水面1m；已知水輪按逆時針做勻速轉(zhuǎn)動，每3秒轉(zhuǎn)一圈，且當(dāng)水輪上點P從水中浮現(xiàn)時（圖中點）開始計算時間．如圖所示，建立直角坐標(biāo)系，將點P距離水面的高度h（單位：m）表示為時間t（單位：s）的函數(shù)，記，則（）A.0 B.1C.3 D.42．若函數(shù)的圖象上存在一點滿足，且，則稱函數(shù)為“可相反函數(shù)”，在①；②；③；④中，為“可相反函數(shù)”的全部序號是（）A.①② B.②③C.①③④ D.②③④3．設(shè)正實數(shù)滿足，則的最大值為（）A. B.C. D.4．函數(shù)的圖象如圖所示，則在區(qū)間上的零點之和為（）A. B.C. D.5．若直線平面，直線平面，則直線a與直線b的位置關(guān)系為（）A.異面 B.相交C.平行 D.平行或異面6．將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標(biāo)縮短到原來的，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)在上的最大值和最小值分別為A. B.C. D.7．已知則（）A. B.C. D.8．關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實數(shù)m的取值范圍是（）A. B.C. D.9．在數(shù)學(xué)中，布勞威爾不動點定理是拓?fù)鋵W(xué)里一個非常重要的不動點定理，它可應(yīng)用到有限維空間，并構(gòu)成一般不動點定理的基石，布勞威爾不動點定理得名于荷蘭數(shù)學(xué)家魯伊茲·布勞威爾(L.E.J.Brouwer)，簡單的講就是對于滿足一定條件的連續(xù)函數(shù)，存在點，使得，那么我們稱該函數(shù)為“不動點”函數(shù)，下列為“不動點”函數(shù)的是（）A. B.C. D.10．在梯形中，，，.將梯形繞所在直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體的體積為A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．化簡___________.12．已知，α為銳角，則___________.13．函數(shù)的定義域是___________.14．已知集合A＝{﹣1，2，3}，f：x→2x是集合A到集合B的映射，則寫出一個滿足條件的集合B_____15．已知，，試用a、b表示________.16．已知集合，，則_________.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知A（1，1）和圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1，一束光線從A發(fā)出，經(jīng)x軸反射后到達(dá)圓C（1）求光線所走過的最短路徑長；（2）若P為圓C上任意一點，求x2+y2﹣2x﹣4y的最大值和最小值18．已知函數(shù)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)時，取得最大值3；當(dāng)時，取得最小值.（1）求函數(shù)的解析式；（2）求函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間；（3）當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)m的取值范圍.19．已知函數(shù)的最小正周期為（1）求當(dāng)為偶函數(shù)時的值；（2）若的圖象過點，求的單調(diào)遞增區(qū)間20．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，為單位圓上一點，射線OA繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)后交單位圓于點B，點B的縱坐標(biāo)y關(guān)于的函數(shù)為.（1）求函數(shù)的解析式，并求；（2）若，求的值.21．已知兩條直線l1：ax＋2y－1＝0，l2：3x＋(a＋1)y＋1＝0.(1)若l1∥l2，求實數(shù)a的值；(2)若l1⊥l2，求實數(shù)a的值

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、C【解析】根據(jù)題意設(shè)h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，求出φ、A、T和k、ω的值，寫出函數(shù)解析式，計算f（t）+f（t+1）+f（t+2）的值【詳解】根據(jù)題意，設(shè)h＝f（t）＝Asin（ωt+φ）+k，（φ＜0），則A＝2，k＝1，因為T＝3，所以ω，所以h＝2sin（t+φ）+1，又因為t＝0時，h＝0，所以0＝2sinφ+1，所以sinφ，又因為φ＜0，所以φ，所以h＝f（t）＝2sin（t）+1；所以f（t）sint﹣cost+1，f（t+1）＝2sin（t）+1＝2cost+1，f（t+2）＝2sin（t）+1sint﹣cost+1，所以f（t）+f（t+1）+f（t+2）＝3故選：C2、D【解析】根據(jù)已知條件把問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)與直線有不在坐標(biāo)原點的交點，結(jié)合圖象即可得到結(jié)論.【詳解】解：由定義可得函數(shù)為“可相反函數(shù)”，即函數(shù)與直線有不在坐標(biāo)原點的交點①的圖象與直線有交點，但是交點在坐標(biāo)原點，所以不是“可相反函數(shù)”；②的圖象與直線有交點在第四象限，且交點不在坐標(biāo)原點，所以是“可相反函數(shù)”；③與直線有交點在第二象限，且交點不在坐標(biāo)原點，所以是“可相反函數(shù)”；④的圖象與直線有交點在第四象限，且交點不在坐標(biāo)原點，所以是“可相反函數(shù)”.結(jié)合圖象可得：只有②③④符合要求；故選：D3、C【解析】根據(jù)基本不等式可求得最值.【詳解】由基本不等式可得，即，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時，取等號，故選：C.4、D【解析】先求出周期，確定，再由點確定，得函數(shù)解析式，然后可求出上的所有零點【詳解】由題意，∴，又且，∴，∴由得，，，在內(nèi)有：，它們的和為故選：D5、C【解析】利用線面垂直的性質(zhì)定理進(jìn)行判斷.【詳解】由于垂直于同一平面的兩直線平行，故當(dāng)直線平面，直線平面時，直線與直線平行.故選：C.6、A【解析】先化簡f（x）,再結(jié)合函數(shù)圖象的伸縮變換，得到函數(shù)y＝g（x）的解析式，進(jìn)而根據(jù)正弦型函數(shù)最值的求法，求出函數(shù)的最大值與最小值【詳解】∵函數(shù)，∴g（x）∵x∈∴4x∈∴當(dāng)4x時，g（x）取最大值1；當(dāng)4x時，g（x）取最小值故選A.7、D【解析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系式求出和，然后利用兩角和的余弦公式展開代入即可求出cos（α+β）【詳解】∵∴∴，∴，∴故選：D8、D【解析】把方程的根轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)的零點問題，恰有一個零點屬于，分為三種情況，即可得解.【詳解】方程對應(yīng)的二次函數(shù)設(shè)為：因為方程恰有一根屬于，則需要滿足：①，，解得：；②函數(shù)剛好經(jīng)過點或者，另一個零點屬于，把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，不合題意，舍去把點代入，解得：，此時方程為，兩根為，，而，故符合題意；③函數(shù)與x軸只有一個交點，橫坐標(biāo)屬于，，解得，當(dāng)時，方程的根為，不合題意；若，方程的根為，符合題意綜上：實數(shù)m的取值范圍為故選：D9、C【解析】根據(jù)已知定義，將問題轉(zhuǎn)化為方程有解，然后逐項進(jìn)行求解并判斷即可.【詳解】根據(jù)定義可知：若有不動點，則有解.A．令，所以，此時無解，故不是“不動點”函數(shù)；B．令，此時無解，，所以不是“不動點”函數(shù)；C．當(dāng)時，令，所以或，所以“不動點”函數(shù)；D．令即，此時無解，所以不是“不動點”函數(shù).故選：C.10、C【解析】由題意可知旋轉(zhuǎn)后的幾何體如圖:

直角梯形ABCD繞AD所在的直線旋轉(zhuǎn)一周而形成的曲面所圍成的幾何體是一個底面半徑為1，母線長為2的圓柱挖去一個底面半徑同樣是1、高為1的圓錐后得到的組合體，所以該組合體的體積為故選C.考點：1、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征；2、空間幾何體的體積.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解析】利用向量的加法運算，即可得到答案；【詳解】，故答案為：12、【解析】由同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式可得結(jié)果.【詳解】因為，且為銳角，則，所以，故.故答案為：.13、【解析】利用根式、分式的性質(zhì)求函數(shù)定義域即可.【詳解】由解析式知：，則，可得，∴函數(shù)定義域為.故答案為：.14、{﹣2，4，6}【解析】先利用應(yīng)關(guān)系f：x→2x，根據(jù)原像求像的值，像的值即是滿足條件的集合B中元素【詳解】∵對應(yīng)關(guān)系為f：x→2x，={-1，2，3}，∴2x=-2，4，6共3個值，則-2，4，6這三個元素一定在集合B中，根據(jù)映射的定義集合B中還可能有其他元素，我們可以取其中一個滿足條件的集合B，不妨取集合B={-2，4，6}.故答案為：{-2，4，6}【點睛】本題考查映射的概念，像與原像的定義，集合A中所有元素的集合即為集合B中元素集合.15、【解析】根據(jù)對數(shù)式指數(shù)式互化公式，結(jié)合對數(shù)換底公式、對數(shù)的運算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，所以，因此有：，故答案為：16、【解析】由對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，求出集合A，再根據(jù)交集的定義即可求解.【詳解】解：，，，故答案為：.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）；（2）最大值為11，最小值為﹣1【解析】(1)點關(guān)于x軸的對稱點在反射光線上,當(dāng)反射光線從點經(jīng)軸反射到圓周的路程最短,最短為;(2)將式子化簡得到,轉(zhuǎn)化為點點距,進(jìn)而轉(zhuǎn)化為圓心到的距離,加減半徑,即可求得最值.【詳解】（1）關(guān)于x軸的對稱點為，由圓C：（x+2）2+（y﹣2）2＝1得圓心坐標(biāo)為C（﹣2，2），∴，即光線所走過的最短路徑長為；（2）x2+y2﹣2x﹣4y＝（x﹣1）2+（y﹣2）2﹣5（x﹣1）2+（y﹣2）2表示圓C上一點P（x，y）到點（1，2）的距離的平方，由題意，得，因此，x2+y2﹣2x﹣4y的最大值為11，最小值為﹣1【點睛】本題考查最短路徑問題,以及圓外一點到圓上一點的距離的最值問題,屬于基礎(chǔ)題;求最短路徑時作對稱點,由兩點之間線段最短的原理確定長度,將圓外一點距離的最值轉(zhuǎn)化為點到圓心的距離和半徑之間的關(guān)系.18、（1）；（2）；（3）.【解析】（1）根據(jù)函數(shù)在同一周期的最值，確定最小正周期和，再由最大值求出，即可得出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間列出不等式求解，即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)自變量的范圍，先確定的范圍及單調(diào)性，根據(jù)函數(shù)有兩個零點，推出函數(shù)與直線有兩不同交點，進(jìn)而可得出結(jié)果.【詳解】（1）因為函數(shù)，在同一周期內(nèi)，當(dāng)時，取得最大值3；當(dāng)時，取得最小值，，，則，所以；又，所以，解得，又，所以，因此；（2）由，解得，∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為；（3）由，解得，即函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為；，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增；所以，，，又有兩個零點，等價于方程有兩不等實根，即函數(shù)與直線有兩不同交點，因此，只需，解得，即實數(shù)的取值范圍是【點睛】思路點睛：已知含三角函數(shù)的函數(shù)在給定區(qū)間的零點個數(shù)求參數(shù)時，一般需要分離參數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與參數(shù)對應(yīng)的直線交點問題求解，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，確定其在給定區(qū)間的單調(diào)性與最值等，即可求解（有時需要利用數(shù)形結(jié)合的方法求解）.19、（1）；（2）.【解析】（1）由為偶函數(shù)，求出的值，結(jié)合的范圍，即可求解；（2）由函數(shù)的周期求出值，將點代入解析式，結(jié)合的范圍，求出，根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間，整體代換，即可求出結(jié)論.【詳解】（1）當(dāng)為偶函數(shù)時，，；（2）函數(shù)的最小正周期為，，當(dāng)時，，將點代入得，，，單調(diào)遞增需滿足，，，所以單調(diào)遞增是；當(dāng)時，，將點代入得，，的值不存在，綜上，的單調(diào)遞增區(qū)間.【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，利用三角函數(shù)值求角，要注意角的范圍，考查計算求解能力，不要忽略的正負(fù)分類討論，是本題的易錯點，屬于中檔題.20、（1），；（2）.【解析】（1）由三角函數(shù)的定義得到，進(jìn)而代入計算；（2）由已知得，將所求利用誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化即得.【詳解】解：（1）因為，所以，由三角函數(shù)定義，得.所以.（2）因為，所以，所以.【點睛】本題考查三角函數(shù)的定義，三角函數(shù)性質(zhì)，誘導(dǎo)公式.考查運算求解能力，推理論證能力.考查轉(zhuǎn)化與化歸，數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想.已知求時要將已知中角作為整體不分