北京東城55中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題含解析

北京東城55中學(xué)2025屆高二上數(shù)學(xué)期末質(zhì)量跟蹤監(jiān)視模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．如圖，在四面體中，，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，，則（）A. B.C. D.2．如果，，…，是拋物線C：上的點(diǎn)，它們的橫坐標(biāo)依次為，，…，，點(diǎn)F是拋物線C的焦點(diǎn).若=10，=10+n，則p等于（）A.2 B.C. D.43．某公司有1000名員工，其中：高層管理人員為50名，屬于高收入者；中層管理人員為150名，屬于中等收入者；一般員工為800名，屬于低收入者．要對(duì)這個(gè)公司員工的收入情況進(jìn)行調(diào)查，欲抽取100名員工，應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為（）A.100 B.15C.80 D.504．已知數(shù)列滿足，，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若對(duì)于任意，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍為（）A. B.C. D.5．已知為偶函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，，其中為的導(dǎo)數(shù)，則不等式的解集為()A. B.C. D.6．已知直線與圓相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，的值是（）A. B.C. D.7．在中，角、、的對(duì)邊分別是、、，若．則的大小為（）A. B.C. D.8．已知是等比數(shù)列，，，則（）A. B.C. D.9．在長(zhǎng)方體中，（）A. B.C. D.10．已知函數(shù)，則（）A.0 B.1C.2 D.11．已知直線和平面，且在上，不在上，則下列判斷錯(cuò)誤的是（）A.若，則存在無數(shù)條直線，使得B.若，則存在無數(shù)條直線，使得C.若存在無數(shù)條直線，使得，則D.若存在無數(shù)條直線，使得，則12．等差數(shù)列中，若，則（）A.42 B.45C.48 D.51二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．過拋物線的焦點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)、，且點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，過點(diǎn)和拋物線頂點(diǎn)的直線交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)，則的面積為___________.14．在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.15．已知從某班學(xué)生中任選兩人參加農(nóng)場(chǎng)勞動(dòng)，選中兩人都是男生的概率是，選中兩人都是女生的概率是，則選中兩人中恰有一人是女生的概率為______16．如圖，某海輪以的速度航行，若海輪在點(diǎn)測(cè)得海面上油井在南偏東，向北航行后到達(dá)點(diǎn)，測(cè)得油井在南偏東，海輪改為沿北偏東的航向再行駛到達(dá)點(diǎn)，則，間的距離是________三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在①；②，這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問題中，然后解答補(bǔ)充完整的題目.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)的面積為S，已知_________.（1）求的值；（2）若，求值.注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.18．（12分）如圖，漁船甲位于島嶼A的南偏西60°方向的B處，且與島嶼A相距12海里，漁船乙以10海里/小時(shí)的速度從島嶼A出發(fā)沿正北方向航行，若漁船甲同時(shí)從B處出發(fā)沿北偏東α的方向追趕漁船乙，剛好用2小時(shí)追上.（1）求漁船甲的速度；（2）求的值.19．（12分）已知O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P在拋物線C：上，點(diǎn)F為拋物線C的焦點(diǎn)，記P到直線的距離為d，且.（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若過點(diǎn)的直線l與拋物線C相切，求直線l的方程.20．（12分）如圖，三棱柱中，底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1，（1）設(shè)，，，用向量表示，并求出的長(zhǎng)度；（2）求異面直線與所成角的余弦值21．（12分）如圖，在長(zhǎng)方體中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，側(cè)棱長(zhǎng)為2，且動(dòng)點(diǎn)P在線段AC上運(yùn)動(dòng)（1）若Q為的中點(diǎn)，求點(diǎn)Q到平面的距離；（2）設(shè)直線與平面所成角為，求的取值范圍22．（10分）如圖，四棱錐中，底面為梯形，底面，，，，.（1）求證：平面平面；（2）設(shè)為上一點(diǎn)，滿足，若直線與平面所成的角為，求二面角的余弦值.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】利用插點(diǎn)的方法，將歸結(jié)到題目中基向量中去，注意中線向量的運(yùn)用.【詳解】.故選：B.2、A【解析】根據(jù)拋物線定義得個(gè)等式，相加后，利用已知條件可得結(jié)果.【詳解】拋物線C：的準(zhǔn)線為，根據(jù)拋物線的定義可知，，，，，所以，所以，所以，所以.故選：A【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用拋物線的定義解題是解題關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.3、C【解析】按照比例關(guān)系，分層抽取.【詳解】由題意可知，所以應(yīng)當(dāng)抽取的一般員工人數(shù)為.故選：C4、C【解析】由已知得，根據(jù)等比數(shù)列的定義得數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，由此求得，然后利用裂項(xiàng)求和法求得，進(jìn)而求得的取值范圍.【詳解】解：依題意，當(dāng)時(shí)，，則，所以數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，，即，所以，所以，所以的取值范圍是.故選：C.5、A【解析】根據(jù)已知不等式和要求解的不等式特征，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為解不等式.通過已知條件研究g(x)的奇偶性和單調(diào)性即可解該不等式.【詳解】令，則根據(jù)題意可知，，∴g(x)是奇函數(shù)，∵，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，∵g(x)是奇函數(shù)，g(0)＝0，∴g(x)在R上單調(diào)遞減，由不等式得，.故選：A.6、C【解析】利用點(diǎn)到直線的距離公式和弦長(zhǎng)公式可以求出的面積是關(guān)于的一個(gè)式子，即可求出答案.【詳解】圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)為..當(dāng)，即時(shí)，取得最大值.故選：C.7、B【解析】利用余弦定理結(jié)合角的范圍可求得角的值，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的值.【詳解】因?yàn)椋瑒t，則，由余弦定理可得，因?yàn)?，則，故.故選：B.8、D【解析】由，，可求出公比，從而可求出等比數(shù)的通項(xiàng)公式，則可求出，得數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列，然后利用等比數(shù)的求和公式可求得答案【詳解】由題得.所以，所以.所以，所以數(shù)列是一個(gè)等比數(shù)列.所以=.故選：D9、D【解析】根據(jù)向量的運(yùn)算法則得到，帶入化簡(jiǎn)得到答案.【詳解】在長(zhǎng)方體中，易知，所以.故選：D.10、C【解析】對(duì)函數(shù)f(x)求導(dǎo)即可求得結(jié)果.【詳解】函數(shù),則，，故選C【點(diǎn)睛】本題考查正弦函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.11、D【解析】根據(jù)直線和直線，直線和平面的位置關(guān)系依次判斷每一個(gè)選項(xiàng)得到答案.【詳解】若，則平行于過的平面與的交線，當(dāng)時(shí)，，則存在無數(shù)條直線，使得，A正確；若，垂直于平面中的所有直線，則存在無數(shù)條直線，使得，B正確；若存在無數(shù)條直線，使得，，，則，C正確；當(dāng)時(shí)，存在無數(shù)條直線，使得，D錯(cuò)誤.故選：D.12、C【解析】結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)求得正確答案.【詳解】依題意是等差數(shù)列，，.故選：C二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、##【解析】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可求得直線、的方程，求出點(diǎn)、的坐標(biāo)，可求得以及點(diǎn)到直線的距離，利用三角形的面積公式可求得的面積.【詳解】不妨設(shè)點(diǎn)為第一象限內(nèi)的點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，其中，則，可得，即點(diǎn)，拋物線的焦點(diǎn)為，，所以，直線的方程為，聯(lián)立，解得或，即點(diǎn)，所以，，直線的方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，聯(lián)立，可得點(diǎn)，點(diǎn)到直線的距離為，因此，.故答案為：.14、【解析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，所以在軸上的投影向量為.故答案為:15、【解析】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，根據(jù)為互斥事件，與為對(duì)立事件，從而可求出答案.【詳解】記“選中兩人都是男生”為事件，“選中兩人都是女生”為事件，“選中兩人中恰有一人是女生”為事件，易知為互斥事件，與為對(duì)立事件，又，所以.故答案為：.16、【解析】根據(jù)條件先由正弦定理求出的長(zhǎng)，得出,求出的長(zhǎng)，由勾股定理可得答案.【詳解】海輪向北航行后到達(dá)點(diǎn)，則由題意，在中，又則,由正弦定理可得：,即在中，，所以故答案為：三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、條件選擇見解析；（1）；（2）.【解析】（1）若選擇①，先利用正弦定理進(jìn)行邊角互化，再結(jié)合正余弦的和差角公式化簡(jiǎn)可得，得出；若選擇②，利用余弦定理及面積公式可得，得；（2）由（1）可知，由及得，，再根據(jù)余弦定理求解的值.【詳解】解析：（1）選擇條件①.，，得，選擇條件②，由余弦定理及三角形的面積公式可得：，得.（2）由得，∵，，∴，解得.由余弦定理得：.【點(diǎn)睛】本題考查解三角形，難度一般.解答的關(guān)鍵在于根據(jù)題目中邊角關(guān)系，運(yùn)用正弦定理進(jìn)行邊角互化、再根據(jù)兩角和與差的正弦公式進(jìn)行化簡(jiǎn)是關(guān)鍵.一般地，當(dāng)?shù)仁街泻衋,b,c的關(guān)系式，且全為二次時(shí)，可利用余弦定理進(jìn)行化簡(jiǎn)；當(dāng)含有內(nèi)角的正弦值及邊的關(guān)系，且為一次式時(shí)，可考慮采用正弦定理進(jìn)行邊角互化.18、（1）14海里小時(shí)；（2）.【解析】（1）由題意知，，，.在△中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出漁船甲的速度.（2）在△中，，，，，由正弦定理，即可解出的值.【小問1詳解】(1）依題意，，，，.在△中，由余弦定理，得.解得.故漁船甲的速度為海里小時(shí).即漁船甲的速度為14海里小時(shí).【小問2詳解】在△中，因?yàn)?，，，，由正弦定理，得，?值為.19、（1）；（2）或.【解析】（1）根據(jù)拋物線的定義進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)直線l是否存在斜率分類討論，結(jié)合一元二次方程根的判別式進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】因?yàn)?，所以P到直線的距離等于，所以拋物線C的準(zhǔn)線為，所以，，所以拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；【小問2詳解】當(dāng)直線l的斜率不存在時(shí)，方程為，此時(shí)直線l恰與拋物線C相切當(dāng)直線l的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，聯(lián)立方程，得若，顯然不合題意；若，則，解得此時(shí)直線l的方程為綜上，直線l與拋物線C相切時(shí)，l的方程為或.20、（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)向量加減法運(yùn)算法則可得，根據(jù)計(jì)算可得的長(zhǎng)度；（2）根據(jù)空間向量的夾角公式計(jì)算可得結(jié)果.【小問1詳解】，因?yàn)椋砜傻?，所以【小?詳解】因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以所以異面直線與所成角的余弦值為21、（1）1（2）【解析】(1)以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求出平面的法向量，結(jié)合點(diǎn)到平面的距離的向量求法計(jì)算即可；(2)設(shè)點(diǎn)，，進(jìn)而得出的坐標(biāo)，利用向量的數(shù)量積即可列出線面角正弦值的表達(dá)式，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)果.【小問1詳解】由題意，分別以AB，AD，為x，y，z軸正向建立直角坐標(biāo)系，于是，，，，，設(shè)平面法向量所以，解得，，令得，，設(shè)點(diǎn)Q到平面的距離為d，【小問2詳解】由（1）可知，平面的法向量，由P點(diǎn)在線段AC上運(yùn)動(dòng)可設(shè)點(diǎn)，于是，，所以，的取值范圍是22、（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由三角形的邊角關(guān)系可證，再由底面，可得.即可證明底面，由面面垂直的判定定理得證.（2）以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，