1.1.1(2)等腰三角形的判定（備作業(yè)）2021-2022學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)(北師大版)

1.1.1(2)等腰三角形的判定一、單選題1．已知一個(gè)三角形中有兩個(gè)角度數(shù)如下，其中不能構(gòu)成等腰三角形的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】先利用三角形內(nèi)角和定理求出另一個(gè)角的度數(shù)，然后根據(jù)等角對(duì)等邊求解即可．【解析】解：A、由題意可得另一個(gè)角的度數(shù)為70°，即三角形的三個(gè)角的度數(shù)分別為40°，70°，70°是等腰三角形，不符合題意；B、由題意可得另一個(gè)角的度數(shù)為50°，即三角形的三個(gè)角的度數(shù)分別為50°，50°，80°是等腰三角形，不符合題意；C、由題意可得另一個(gè)角的度數(shù)為30°，即三角形的三個(gè)角的度數(shù)分別為30°，60°，90°不是等腰三角形，符合題意；D、由題意可得另一個(gè)角的度數(shù)為30°，即三角形的三個(gè)角的度數(shù)分別為30°，30°，120°是等腰三角形，不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．2．下列三角形中，等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)【答案】B【分析】根據(jù)題圖所給信息，根據(jù)邊或角分析即可【解析】解：第一個(gè)圖形中有兩邊相等，故第一個(gè)三角形是等腰三角形，第二個(gè)圖形中的三個(gè)角分別為50°，35°，95°，故第二個(gè)三角形不是等腰三角形；第三個(gè)圖形中的三個(gè)角分別為100°，40°，40°，故第三個(gè)三角形是等腰三角形；第四個(gè)圖形中的三個(gè)角分別為90°，45°，45°，故第四個(gè)三角形是等腰三角形；故答案為：B．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，掌握等腰三角形的判定是解題的關(guān)鍵．3．用反證法證明“若，，則”時(shí)，應(yīng)假設(shè)（）A．a(chǎn)不垂直于c B．a(chǎn)，b都不垂直于cC． D．a(chǎn)與b相交【答案】D【分析】根據(jù)反證法的步驟中，第一步是假設(shè)結(jié)論不成立，反面成立，即可解答．【解析】解：用反證法證明“在同一平面內(nèi)，若a⊥c，b⊥c，則a∥b”，應(yīng)假設(shè)：a不平行b或a與b相交．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了反證法，解此題關(guān)鍵要懂得反證法的意義及步驟．反證法的步驟是：（1）假設(shè)結(jié)論不成立；（2）從假設(shè)出發(fā)推出矛盾；（3）假設(shè)不成立，則結(jié)論成立．在假設(shè)結(jié)論不成立時(shí)要注意考慮結(jié)論的反面所有可能的情況，如果只有一種，那么否定一種就可以了，如果有多種情況，則必須一一否定．4．下列條件：①已知兩腰；②已知底邊和頂角；③已知頂角與底角；④已知底邊和底邊上的高，能確定一個(gè)等腰三角形的是（）A．①和② B．③和④ C．②和④ D．①和④【答案】C【分析】能不能確定一個(gè)等腰三角形，主要看給出同樣條件的兩個(gè)三角形是不是全等，根據(jù)這一標(biāo)準(zhǔn)對(duì)四個(gè)條件進(jìn)行判斷即可確定選項(xiàng)．【解析】解：下列條件能不能確定一個(gè)等腰三角形，主要看給出的條件的兩個(gè)三角形是不是全等：①已知兩腰，SS不能判定兩個(gè)三角形全等，所以不能確定一個(gè)等腰三角形；②已知底邊和頂角，AAS或ASA能判定兩個(gè)三角形全等，所以可以確定一個(gè)等腰三角形；③已知頂角和底角，AAA不能判定兩個(gè)三角形全等，所以不能確定一個(gè)等腰三角形；④已知底邊和底邊上的高，可以判定兩個(gè)三角形全等，所以可以確定一個(gè)等腰三角形；∴②④可以確定一個(gè)等腰三角形，故選：C．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)及全等三角形的判定，把能不能確定一個(gè)等腰三角形轉(zhuǎn)化為同樣條件的兩個(gè)三角形是不是全等是解題的關(guān)鍵．5．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E足BC上的點(diǎn)，∠BAD=∠DAE＝∠EAC，圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)為（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】C【分析】根據(jù)△ABC中，AB＝AC，∠ABC＝36°，D、E是BC上的點(diǎn)，∠BAD＝∠DAE＝∠EAC這些條件，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°和等腰三角形的性質(zhì)，求出各個(gè)角的度數(shù)，即可判斷．【解析】解：因?yàn)樵凇鰽BC中，AB＝AC，所以△ABC是等腰三角形，因?yàn)椤螧AD＝∠DAE＝∠EAC＝（180°?36°?36°）÷3＝36°，所以△ABD、△ADE、△AEC是等腰三角形，又因?yàn)椤螧AE＝∠CAD＝36°＋36°＝72°，∠BEA＝∠CDA＝180°?72°?36°＝72°，所以∠BAE＝∠CAD＝∠BEA＝∠CDA＝72°，所以△BAE、△CAD是等腰三角形，一共有6個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．6．如圖，已知ABC≌DCE，∠A＝∠B＝70°，連接AE，得到∠AED＝（）A．30° B．35° C．40° D．45°【答案】B【分析】首先求出∠ACB，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到相等的邊和角，從而結(jié)合∠ACE求出∠CAE=∠CEA=75°，再利用角的和差得到∠AED．【解析】解：如圖，連接AE，∵∠A＝∠B＝70°，∴∠ACB=180°70°×2=40°，∵△ABC≌△DCE，∴∠EDC=∠ECD=∠A=70°，∠DEC=∠A=40°，AC=EC，∴∠CAE=∠CEA，∵∠ACE=∠ECD∠ACB=30°，∴∠CAE=∠CEA=75°，∴∠AED=∠CEA∠DEC=35°，故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵是要熟練運(yùn)用這些定理進(jìn)行邊和角的轉(zhuǎn)化．7．如圖，在ABC中，∠BAC＝80°，D，E為BC上的兩個(gè)點(diǎn)，且AB＝BE，AC＝CD，則∠DAE的度數(shù)為（）

A．60° B．50° C．45° D．40°【答案】B【分析】根據(jù)等腰三角形性質(zhì)得出，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及各角之間的關(guān)系進(jìn)行等量代換計(jì)算即可得到結(jié)論．【解析】解：∵，∴，∴，①∵，∴，∴，②①+②得：∴，∴，∴，∴．∵，∴，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】題目主要考查等腰三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理，找準(zhǔn)各角之間的關(guān)系進(jìn)行等量代換計(jì)算是解題關(guān)鍵．8．“三等分角”大約是在公元前五世紀(jì)由古希臘人提出來(lái)的．借助如圖所示的“三等分角儀”能三等分任一角．這個(gè)三等分角儀由兩根有槽的棒，組成，兩根棒在點(diǎn)相連并可繞轉(zhuǎn)動(dòng)，點(diǎn)固定，，點(diǎn)，可在槽中滑動(dòng)，若，則的度數(shù)是（）

A．62° B．67° C．76° D．82°【答案】C【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，求出的度數(shù)，從而求得的度數(shù)．【解析】解：∵∴，又∵∴又∵∴，∴故答案為C．【點(diǎn)睛】此題主要考查了等腰三角形以及三角形外角的性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．9．如圖，在直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B在軸y上，∠BAO＝45°，P是坐標(biāo)軸上的一點(diǎn)．若以A、B、P三點(diǎn)組成的三角形為等腰三角形，則滿足條件的P點(diǎn)共有（）A．4個(gè) B．6個(gè) C．7個(gè) D．8個(gè)【答案】C【分析】利用可得到點(diǎn)在原點(diǎn)滿足條件，然后分別以、為圓心，為半徑畫(huà)弧，所畫(huà)的弧與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為點(diǎn)、兩點(diǎn)除外）．【解析】解：如圖，滿足條件的點(diǎn)有7個(gè)．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定，解題的關(guān)鍵是掌握如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等．10．如圖，在中，和的平分線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交于交于，若則線段的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．【答案】A【分析】由∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，利用兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等，利用等量代換可∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，然后即可求得結(jié)論．【解析】解：∵∠ABC、∠ACB的平分線相交于點(diǎn)D，∴∠MBD=∠DBC，∠DCN=∠DCB，∵M(jìn)N∥BC，∴∠DBC=∠MDB，∠NDC=∠DCB，∴∠MBD=∠MDB，∠NDC=∠DCN，∴BM=MD，DN=CN，∴MN=MD+DN，即MN=BM+CN．∵BM+CN=8∴MN=8，故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對(duì)等腰三角形的判定與性質(zhì)和平行線性質(zhì)的理解與掌握．此題關(guān)鍵是證明△BME△CNE是等腰三角形．二、填空題11．用反證法證明時(shí)應(yīng)先假設(shè)__________，即__________．【答案】不小于大于或等于【分析】根據(jù)反證法的第一步是假設(shè)結(jié)論不成立而解答即可．【解析】用反證法證明命題若時(shí)，應(yīng)先假設(shè)則，即．【點(diǎn)睛】本題考查的是反證法，解此題關(guān)鍵要懂反證法的意義及步驟．12．如圖，∠B＝∠C，∠1＝∠2，且BE＝6，DE＝2，則BC的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】10【分析】結(jié)合題意，根據(jù)等腰三角形性質(zhì)，得AD＝AE，根據(jù)補(bǔ)角的性質(zhì)計(jì)算，得∠BDA＝∠CEA，根據(jù)全等三角形性質(zhì)，通過(guò)證明△ABD≌△ACE，得BD＝CE，即可得出答案．【解析】∵∠1＝∠2，∴為等腰三角形∴∠BDA＝∠CEA，AD＝AE，在△ABD與△ACE中，∴△ABD≌△ACE∴BD＝CE，∵BE＝6，DE＝2，∴BD＝CE＝6﹣2＝4，∴BC＝BE+CE＝6+4＝10，故答案為：10．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形、全等三角形、補(bǔ)角的知識(shí)；解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形、全等三角形的性質(zhì)，從而完成求解．13．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝6，F(xiàn)是BC邊上任意一點(diǎn)，過(guò)F作FD⊥AB于D，F(xiàn)E⊥AC于E，若S△ABC＝12，則FE+FD＝___．【答案】4【分析】連接，根據(jù)，即可求解．【解析】解：連接，如圖：則，∴∵∴∴故答案為【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)，正確理解題意，根據(jù)等面積法列出等式是解題的關(guān)鍵．14．如圖，△ABC中，BC=6，BO與CO分別是∠ABC與∠ACB的平分線，OD//AB，OE//AC．則△ODE的周長(zhǎng)是__________．【答案】6【分析】由OB，OC分別是△ABC的∠ABC和∠ACB的平分線和OD∥AB、OE∥AC可推出BD＝OD，OE＝EC，顯然△ODE的周長(zhǎng)即為BC的長(zhǎng)度．【解析】解：∵OD∥AB，∴∠ABO＝∠BOD，∵OB平分∠ABC，∴∠ABO＝∠OBD，∴∠OBD＝∠BOD，∴BD＝OD，則同理可得CE＝OE，∴△ODE的周長(zhǎng)＝OD＋DE＋OE＝BD＋DE＋EC＝BC＝6．故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，熟練掌握等腰三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．如圖，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)角α，得到△ADE，若點(diǎn)E恰好在CB的延長(zhǎng)線上，則∠BED的度數(shù)為_(kāi)________．（用含有α的式子表示）【答案】【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，根據(jù)等邊對(duì)等角和三角形內(nèi)角和定理即可得到，由此即可得到答案．【解析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得，，，∴，∴．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)與判定，三角形內(nèi)角和定理，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．16．如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD是∠ABC的平分線．問(wèn)在直線BC上是否存在點(diǎn)P，使△CDP是以CD為一腰的等腰三角形．___（用“存在”或“不存在”填空）．如果存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出相應(yīng)的∠CPD的度數(shù)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．___【答案】存在72°或36°或54°【分析】使△CDP為等腰三角形，則可能是CD=CP，DP=CD，因?yàn)椤螦CB=∠BDC，所以不可能PC=PD．【解析】解：存在3個(gè)點(diǎn)P，使得△CDP是等腰三角形．當(dāng)以∠CDP為頂角，CD為一腰時(shí)，∠CPD=72°；當(dāng)以∠DCP為頂角，CD為一腰時(shí)，存在兩點(diǎn)P，一點(diǎn)在線段BC延長(zhǎng)線上，此時(shí)∠CPD=36°；一點(diǎn)在線段BC上，此時(shí)∠CPD==54°．故答案為：存在；72°或36°或54°．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)和判定、角的平分線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理；由已知條件利用相關(guān)的性質(zhì)求得各個(gè)角的度數(shù)是正確解答本題的關(guān)鍵．17．如圖，∠ABC的平分線BF與△ABC中∠ACB的相鄰?fù)饨恰螦CG的平分錢(qián)CF相交于F，過(guò)F作DF∥BC，交AB于D，交AC于E，若BD＝8cm，CE＝5cm，則DE的長(zhǎng)___．【答案】3cm【分析】根據(jù)已知條件，BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，且DE∥BC，可得∠DBF=∠DFB，∠ECF=∠EFC，根據(jù)等角對(duì)等邊得出DF=BD，CE=EF，根據(jù)BDCE=DE即可求得．【解析】解：∵BF、CF分別平分∠ABC、∠ACB的外角，∴∠DBF=∠CBF，∠FCE=∠FCG，∵DE∥BC，∴∠DFB=∠CBF，∠EFC=∠FCG，∴∠DBF=∠DFB，∠FCE=∠EFC，∴BD=FD=8cm，EF=CE=5cm，∴DE=FDEF=BDCE=85=3（cm），故答案為：3cm．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等腰三角形的性質(zhì)以及平行線的性質(zhì)，利用邊角關(guān)系并結(jié)合等量代換來(lái)推導(dǎo)證明是本題的特點(diǎn)．18．如圖，在中，，點(diǎn)D在邊BC上，過(guò)點(diǎn)D作，垂足為E，，垂足為D，連接EF，若，，則的度數(shù)為_(kāi)_____．

【答案】60°【分析】根據(jù)，，可求∠ABC=∠ACB=，由，，可得∠BED=∠FDC=90°，可證△BED≌△CDF（AAS），得出∠EFD=∠FED，可求∠EDB=90°∠B=50°，∠EDF=90°∠EDB=40°，∠CFD=90°∠C=50°，利用等腰三角形的性質(zhì)與內(nèi)角和可求∠EFD=∠FED=，利用平角定義可求∠AFE=180°∠DFC∠EFD=180°50°70°=60°即可．【解析】解：∵，，∴∠ABC=∠ACB=，∵，，∴∠BED=∠FDC=90°，在△BED和△CDF中，，∴△BED≌△CDF（AAS），∴DE=FD，∴∠EFD=∠FED，∵∠BED=∠FDC=90°，∴∠EDB+∠B=90°，∠EDB+∠EDF=90°，∠C+∠CFD=90°，∴∠EDB=90°∠B=50°，∠EDF=90°∠EDB=40°，∠CFD=90°∠C=50°，∴∠EFD=∠FED=，∴∠AFE=180°∠DFC∠EFD=180°50°70°=60°．故答案為60°．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角定義，掌握等腰三角形性質(zhì)與判定，三角形全等判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，平角定義是解題關(guān)鍵．三、解答題19．用反證法證明：兩條直線被第三條直線所截．如果同旁內(nèi)角互補(bǔ)，那么這兩條直線平行．已知：如圖，直線l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求證：l1l2證明：假設(shè)l1l2，即l1與l2交與相交于一點(diǎn)P．則∠1+∠2+∠P180°所以∠1+∠2180°，這與矛盾，故不成立．所以．【答案】；不平行；；三角形內(nèi)角和定理；；∠1+∠2=180°；假設(shè)；結(jié)論成立，l1∥l2．【分析】先假設(shè)l1不平行l(wèi)2，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理，可得∠1+∠2+∠P=180°，從而得到∠1+∠2＜180°，與已知矛盾，即可求證．【解析】已知：如圖，直線l1，l2被l3所截，∠1+∠2=180°．求證：證明：假設(shè)l1不平行l(wèi)2，即l1與l2交與相交于一點(diǎn)P．則∠1+∠2+∠P=180°（三角形內(nèi)角和定理），所以∠1+∠2＜180°，這與∠1+∠2=180°矛盾，故假設(shè)不成立．所以結(jié)論成立，l1∥l2．【點(diǎn)睛】本題主要考查了反證法，熟練掌握反證法證明的基本過(guò)程，解題的關(guān)鍵是找到與已知相矛盾的條件．20．如圖，點(diǎn)D是線段CE上一點(diǎn)，且AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE．（1）求證：BD＝CE；（2）若∠B＝40°，∠E＝80°，求∠CAD的度數(shù)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）證明△ABD≌△ACE（SAS），由全等三角形的性質(zhì)可得出BD＝CE；（2）由全等三角形的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理求出∠CAE＝60°，由等腰三角形的性質(zhì)求出∠DAE＝20°，則可求出答案．【解析】解：（1）證明∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE；（2）∵△ABD≌△ACE，∴∠B＝∠C＝40°，∵∠E＝80°，∴∠CAE＝180°﹣∠C﹣∠E＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵AD＝AE，∴∠ADE＝∠E，∴∠DAE＝180°﹣2∠E＝180°﹣160°＝20°，∴∠CAD＝∠CAE﹣∠DAE＝60°﹣20°＝40°．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．21．如圖，在中，平分，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，且于點(diǎn)F．求證：F是的中點(diǎn)．【答案】見(jiàn)解析【分析】根據(jù)已知條件證明，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)即可得解．【解析】解：∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴是的中點(diǎn)．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，根據(jù)已知求證是解本題的關(guān)鍵．22．用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角．已知：．求證：中不能有兩個(gè)角是直角．【答案】證明見(jiàn)解析【分析】根據(jù)反證法的證法步驟知：第一步反設(shè)，假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角、、中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)，第二步得出矛盾：，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾，不成立；第三步下結(jié)論：所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角，從而得出原命題正確．【解析】證明：假設(shè)三角形的三個(gè)內(nèi)角、、中有兩個(gè)直角，不妨設(shè)，則，這與三角形內(nèi)角和為相矛盾，不成立；∴一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)直角．【點(diǎn)睛】此題主要考查了反證法的應(yīng)用，反證法是一種簡(jiǎn)明實(shí)用的數(shù)學(xué)證題方法，也是一種重要的數(shù)學(xué)思想．相對(duì)于直接證明來(lái)講，反證法是一種間接證法．它是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中一種很重要的證題方法．其實(shí)質(zhì)是運(yùn)用“正難則反”的策略，從否定結(jié)論出發(fā)，通過(guò)邏輯推理，導(dǎo)出矛盾．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，D是BC邊上的中點(diǎn)，連結(jié)AD，BE平分∠ABC交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF∥BC交AB于點(diǎn)F．（1）若∠C＝36°，求∠BAD的度數(shù)．（2）求證：FB＝FE．【答案】（1）54°，（2）見(jiàn)解析【分析】（1）利用等腰三角形的三線合一的性質(zhì)證明∠ADB＝90°，再利用等腰三角形的性質(zhì)求出∠ABC即可解決問(wèn)題．（2）利用角平分線性質(zhì)和平行線性質(zhì)證明∠FBE＝∠FEB即可．【解析】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC，∵∠C＝36°，∴∠ABC＝36°，∵D為BC的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴∠BAD＝90°﹣∠ABC＝90°﹣36°＝54°．（2）∵BE平分∠ABC，∴∠ABE＝∠EBC，又∵EF∥BC，∴∠EBC＝∠BEF，∴∠EBF＝∠FEB，∴BF＝EF．【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和判定，熟練運(yùn)用平行線進(jìn)行角的推導(dǎo)和證明．24．已知：在中，，平分，交于點(diǎn)，點(diǎn)在線段上（點(diǎn)不與點(diǎn)，重合），且．求證：．

【答案】見(jiàn)解析【分析】在BC上截取BF=AB，連接EF，證明△ABE≌△FBE，推AE=EF，∠EAB=∠EFB，再根據(jù)三角形的外角等于不相鄰的連個(gè)內(nèi)角的和這一定理，寫(xiě)出∠EFB=∠FEC+∠ECB，通過(guò)等量代換推∠ECB=∠FEC，進(jìn)一步證明EF=FC，再通過(guò)等量代換，證明AE+AB=BC．【解析】證明：在BC上截取BF=AB，連接EF，∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=∠DBC，在△ABE與△FBE中，，∴△ABE≌△FBE（SAS），∴AE=EF，∠EAB=∠EFB，∵∠EAB=2∠ECB，∠EFB=∠FEC+∠ECB，∴2∠ECB=∠FEC+∠ECB，∴∠ECB=∠FEC，∴EF=FC，∵BC=BF+FC，∴AE+AB=BC．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握判定與性質(zhì)的綜合應(yīng)用，在BC上截取BF=AB，連接EF，證明△ABE≌△FBE是解題的關(guān)鍵．25．（1）如圖①，在△ABC中，∠B=60°，∠C=80°，AD平分∠BAC．求證：AD=AC；（2）如圖②，在△ABC中，點(diǎn)E在BC邊上，中線BD與AE相交于點(diǎn)P，AP=BC．求證：PE=BE．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）先計(jì)算∠BAC=40°，再計(jì)算∠BAD=20°，從而計(jì)算∠ADC=80°，得到∠ADC=∠C即得到AD=AC；（2）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，證明CB=CF，從而利用平行線的性質(zhì)，等角對(duì)等邊原理證明即可．【解析】（1）∵∠B=60°，∠C=80°，∴∠BAC=40°，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD=20°，∴∠ADC=∠B+∠BAD=80°，∵∠C=80°，∴∠ADC=∠C，∴AD=AC．（2）過(guò)點(diǎn)C作CF∥AP，交BP的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，∴∠DPA=∠DFC，∠DAP=∠DCF，∵AD=DC，∴△DPA≌△DFC，∴PA=FC，∵PA=BC，∴CB=CF，∴∠FBC=∠F，∵CF∥AP，∴∠BPE=∠F，∴∠FBC=∠BPE，∴PE=BE．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形外角的性質(zhì)，等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的判定定理，三角形全等的判定是解題的關(guān)鍵．26．在△ABC中，AB＝AC，D、E分別是BC、AC上的點(diǎn)．（1）如圖1，若AB＝DC，∠ADE＝∠B，求證：△ABD≌△DCE（2）如圖2，若AB＝DC，F(xiàn)為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：AB＝CF＋AE【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）根據(jù)，結(jié)合平角的性質(zhì)和三角形內(nèi)角和性質(zhì)，可求出，再結(jié)合已知條件即可證明（2）根據(jù)已知條件證明，得，利用，即可求解【解析】（1）證明：，，在和中（2），點(diǎn)為中點(diǎn)和中中【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握等腰三角形的性質(zhì)和全等三角