定積分在物理上的應用

第三節(jié)定積分在物理上的應用一、變力沿直線所作的功二、水壓力三、引力四、小結用元素法建立坐標軸如上圖所示,提示：根據(jù)物理學,在電量為+q的點電荷所產(chǎn)生的電場中,距離點電荷r處的單位正電荷所受到的電場力的大小為：問題：物體在變力F(x)的作用下，從x軸上a點移動到b點，求變力所做的功。用元素法1）在[a,b]上考慮小區(qū)間[x,x+x]，在此小區(qū)間上

W

dW=F(x)dx2）將dW從a到b求定積分，就得到所求的功F(x)F(x)F提示：由物理學知道,一定量的氣體在等溫條件下,壓強p與體積V的乘積是常數(shù)k

,即解建立坐標系如圖這一薄層水的重力為功元素為(kN

m)kJ把這一薄層水抽出水池所作的功等于克服這一薄層重量所作的功例4修建一座大橋墩時，先要下圍囹，并且抽盡其中的水以便施工，已知圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高出水面3m,求抽盡水所作的功。xxdx273200分析（如下圖）建立坐標系：

因這一薄層水抽出圍囹所作的功近似于克服這一薄層重量所作的功，所以功元素為：解建立坐標系如圖這一薄層水的重力為于是在[3,30]上，抽盡水所作的功為：xxdx273200xxdx273200問題：水的壓力是如何產(chǎn)生的？水有重量，所以水也會對與其接觸的物體產(chǎn)生壓力，水的壓力來自水中的四面八方。水壓的強度和水的深度有關，愈深則水的壓強愈大。問題：水庫的堤壩為什么上邊窄，下邊寬？如果有一面積為A的平板水平地放置在水深為h處，那么，平板一側所受的水壓力為：P

p·A如果這個平板鉛直放置在水中，那么，由于水深不同的點處壓強p不相等，所以平板所受水的壓力就不能用上述方法計算．yy例6解如圖建立坐標系,此閘門一側受到靜水壓力為其中k為引力系數(shù)，引力的方向沿著兩質點連線方向．如果要計算一根細棒對一個質點的引力，那么，由于細棒上各點與該質點的距離是變化的，且各點對該質點的引力的方程向也是變化的，就不能用上述公式來計算．這是引力dF的方向不隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形。由對稱性知,引力在鉛直方向分力這是引力dF的方向隨小區(qū)間[x,x+dx]的改變而變化的情形,應將引力dF分解為dFx和dFy后再分別用定積分計算尤其是如何在具體問題中取“微元”——微功、微壓力、微引力等。這對于從形式到內容真正地把握公式是非常必要的，相反如果僅滿足于套用公式解決一些簡單問題而不求甚解，那么遇到一些稍有靈活性的問題，便可能束手無策，不知如何下手。關于定積分在物理方面的應用，除了應熟記各個公式的結果外，還須了解其推導過程。解設木板對鐵釘?shù)淖枇榈谝淮五N擊時所作的功為作業(yè)，5題：用鐵錘把釘子釘入木板，設木板對鐵釘?shù)淖枇εc鐵釘進入木板的深度成正比，鐵錘在第一次錘擊時將鐵釘擊入1厘米，若每次錘擊所作的功相等，問第n次錘擊時又將鐵釘擊入多少？設

次擊入的總深度為厘米次錘擊所作的總功為依題意知，每次錘擊所作的功相等．次擊入的總深度為第次擊入的深度為

自地面垂直向上發(fā)射火箭，火箭質量為m，試計算將火箭發(fā)射到超出地球的引力范圍時克服引力所作的功，并由此計算初速度至少為多少才可使火箭超出地球的引力范圍？Ex

分析：取坐標系如圖，設地球半徑為R，質量為M，火箭質量為m,與地心的距離為x,根據(jù)萬有引力定律，火箭所受地球引力為：Rxx火箭所受地球引力為：Rxdxxx+dxdW當x=R時，引力=重力推動火箭，推力=引力功元素微元素全部功Rxdxxx+dx

自地面垂直向上發(fā)射火箭，火箭質量為m，試計算將火箭發(fā)射到超出地球的引力范圍時克服引力所作的功，并由此計算初速度至少為多少才可使火箭超出地球的引力范圍？Ex

利用“微元法”思想求變力作功、水壓力和引力等物理問題．（注意熟悉相關的物理知識）四、小結思考題一球完全浸沒水中，問該球面所受的總壓力與球浸沒的深度有無關系？它所受的總壓力與它在水中受到的浮力有何關系？思考題解答