8.5.1　直線與直線平行

8.5.1

直線與直線平行一二

一、基本事實41.思考如圖,長方體ABCD-A'B'C'D'中,BB'∥AA',DD'∥AA',BB'與DD'平行嗎?提示BB'與DD'平行.一二2.填空

一二3.做一做已知棱長為a的正方體ABCD-A'B'C'D'中,M,N分別為CD,AD的中點(diǎn),則MN與A'C'的位置關(guān)系是

.

答案:平行解析:如圖所示,∵M(jìn),N分別為CD,AD的中點(diǎn),MN

AC,由正方體的性質(zhì)可得AC

A'C',即MN與A'C'平行.一二二、等角定理1.思考(1)如圖,在四棱柱ABCD-A'B'C'D'中,底面ABCD為菱形,∠ADC與∠A'D'C',∠ADC與∠A'B'C'的兩邊分別對應(yīng)平行,這兩組角的大小關(guān)系如何?提示∠ADC=∠A'D'C',∠ADC+∠A'B'C'=180°.(2)平面上,我們?nèi)菀鬃C明“如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ)”,在空間中,該結(jié)論是否仍然成立?提示仍然成立.(3)空間中兩個角相等或互補(bǔ),這兩個角的兩邊是否對應(yīng)平行?

提示不一定.一二2.填空如果空間中兩個角的兩條邊分別對應(yīng)平行,那么這兩個角相等或互補(bǔ).3.做一做(1)已知∠BAC=30°,AB∥A'B',AC∥A'C',則∠B'A'C'=(

)A.30° B.150°C.30°或150° D.大小無法確定答案:C解析:當(dāng)∠B'A'C'與∠BAC開口方向相同時,∠B'A'C'=30°;當(dāng)∠B'A'C'與∠BAC開口方向相反時,∠B'A'C'=150°.一二(2)判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內(nèi)畫“√”,錯誤的畫“×”.①兩條直線和第三條直線成等角,則這兩條直線平行.(

)②如果兩個角的對應(yīng)邊互相平行,且方向都相反,則兩個角互補(bǔ).(

)答案:①×②×探究一探究二隨堂演練平行線傳遞性的應(yīng)用例1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是BC,A1D1的中點(diǎn).求證:空間四邊形B1EDF是菱形.分析取B1C1的中點(diǎn)G,證明四邊形GEDD1,FB1GD1都是平行四邊形,從而得到四邊形B1EDF是平行四邊形,再證明B1E=B1F即可.探究一探究二隨堂演練證明:取B1C1的中點(diǎn)G,連接GD1,GE,則GE∥C1C∥D1D,GE=C1C=D1D,∴四邊形GEDD1是平行四邊形,GD1∥ED,GD1=ED.∵FD1∥B1G,FD1=B1G,∴四邊形FB1GD1是平行四邊形,∴B1F∥GD1,B1F=GD1,∴B1F∥ED,B1F=ED,∴四邊形B1EDF是平行四邊形,反思感悟

判斷兩條直線平行,除了平面幾何中常用的判斷方法以外,基本事實4,即平行線的傳遞性,也是判斷兩直線平行的重要依據(jù).解題時要注意中位線的作用.探究一探究二隨堂演練變式訓(xùn)練1在正方體ABCD-A1B1C1D1中,若M1,N1分別是A1D1和D1C1的中點(diǎn),則四邊形M1N1CA是

.(填“平行四邊形”或“梯形”)

答案:梯形解析:如圖,連接A1C1.∵M(jìn)1,N1分別是A1D1,D1C1的中點(diǎn),∴M1N1∥A1C1,且M1N1=A1C1.由正方體的性質(zhì)可知:A1C1∥AC,且A1C1=AC,∴M1N1∥AC,且M1N1=AC,∴四邊形M1N1CA是梯形.探究一探究二隨堂演練等角定理的應(yīng)用例2如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,M,M1分別是棱AD和A1D1的中點(diǎn).(1)求證:四邊形BB1M1M為平行四邊形;(2)求證:∠B1M1C1=∠BMC.分析(1)通過基本事實4證明MM1∥BB1,且MM1=BB1;(2)由(1)知B1M1∥BM,同理證得C1M1∥CM,再由等角定理證得∠BMC=∠B1M1C1.也可以通過證明△BCM≌△B1C1M1證出∠BMC=∠B1M1C1.探究一探究二隨堂演練證明:(1)在正方形ADD1A1中,M,M1分別為AD,A1D1的中點(diǎn),∴MM1

AA1.又AA1

BB1,∴MM1∥BB1,且MM1=BB1,∴四邊形BB1M1M為平行四邊形.(2)(方法一)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1∥BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1∥CM.由平面幾何知識可知,∠BMC和∠B1M1C1都是銳角.∴∠BMC=∠B1M1C1.(方法二)由(1)知四邊形BB1M1M為平行四邊形,∴B1M1=BM.由(1)同理可得四邊形CC1M1M為平行四邊形,∴C1M1=CM.又B1C1=BC,∴△B1C1M1≌△BCM,∴∠B1M1C1=∠BMC.探究一探究二隨堂演練反思感悟

證明角相等,利用空間等角定理是常用的思考方法;另外也可以通過證明兩個三角形全等或相似來證明兩角相等.在應(yīng)用等角定理時,應(yīng)注意當(dāng)兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行且方向都相同或相反時,這兩個角相等,否則這兩個角互補(bǔ).因此,在證明兩個角相等時,只說明兩個角的兩邊分別對應(yīng)平行是不夠的.探究一探究二隨堂演練變式訓(xùn)練2如圖,已知三棱錐A-BCD的四個面分別是△ABC,△ABD,△ACD和△BCD,E,F,G分別為線段AB,AC,AD上的點(diǎn),EF∥BC,FG∥CD.求證:△EFG∽△BCD.證明:∵在△ABC中,EF∥BC,∵∠EFG與∠BCD的兩條邊分別對應(yīng)平行,且方向相同,∴∠EFG=∠BCD.同理∠FGE=∠CDB.∴△EFG∽△BCD.探究一探究二隨堂演練1.如果OA∥O1A1,OB∥O1B1,那么∠AOB與∠A1O1B1(

)A.相等 B.互補(bǔ)C.相等或互補(bǔ) D.以上均不對答案:C解析:由題意,兩角對應(yīng)邊平行,如果方向均相同或相反,則兩角相等,如果一組對應(yīng)邊方向相同,另一組對應(yīng)邊方向相反,則兩角互補(bǔ).探究一探究二隨堂演練2.如圖所示,在三棱錐S-MNP中,E,F,G,H分別是棱SN,SP,MN,MP的中點(diǎn),則EF與HG的位置關(guān)系是

(

)A.平行B.相交C.異面D.平行或異面答案:A解析:∵E,F分別是SN和SP的中點(diǎn),∴EF∥PN.同理可證HG∥PN,∴EF∥HG.探究一探究二隨堂演練3.若OA∥O'A',OB∥O'B',且∠AOB=130°,則∠A'O'B'為(

)A.130° B.50°C.130°或50° D.不能確定答案:C解析:根據(jù)定理,∠A'O'B'與∠AOB相等或互補(bǔ),即∠A'O'B'=130°或∠A'O'B'=50°.探究一探究二隨堂演練4.如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,M,N,P分別為A1C1,AC和AB的中點(diǎn).求證