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2022-2023學(xué)年湖南省長(zhǎng)沙市高三下期末教學(xué)檢測(cè)試題數(shù)學(xué)試題試卷注意事項(xiàng):1.答題前,考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫清楚,將條形碼準(zhǔn)確粘貼在考生信息條形碼粘貼區(qū)。2.選擇題必須使用2B鉛筆填涂;非選擇題必須使用0.5毫米黑色字跡的簽字筆書(shū)寫,字體工整、筆跡清楚。3.請(qǐng)按照題號(hào)順序在各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答,超出答題區(qū)域書(shū)寫的答案無(wú)效;在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。4.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.已知,滿足條件(為常數(shù)),若目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,則()A. B. C. D.2.已知向量,滿足||=1,||=2,且與的夾角為120°,則=()A. B. C. D.3.已知正方體的棱長(zhǎng)為2,點(diǎn)為棱的中點(diǎn),則平面截該正方體的內(nèi)切球所得截面面積為()A. B. C. D.4.已知函數(shù)(其中,,)的圖象關(guān)于點(diǎn)成中心對(duì)稱,且與點(diǎn)相鄰的一個(gè)最低點(diǎn)為,則對(duì)于下列判斷:①直線是函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸;②點(diǎn)是函數(shù)的一個(gè)對(duì)稱中心;③函數(shù)與的圖象的所有交點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和為.其中正確的判斷是()A.①② B.①③ C.②③ D.①②③5.雙曲線的漸近線方程是()A. B. C. D.6.定義在上的奇函數(shù)滿足,若,,則()A. B.0 C.1 D.27.設(shè)命題p:>1,n2>2n,則p為()A. B.C. D.8.設(shè)集合,,則().A. B.C. D.9.已知,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn),則正實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.10.我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果,哥德巴赫猜想的內(nèi)容是:每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和,例如:,,,那么在不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù),其和等于16的概率為()A. B. C. D.11.2019年10月17日是我國(guó)第6個(gè)“扶貧日”,某醫(yī)院開(kāi)展扶貧日“送醫(yī)下鄉(xiāng)”醫(yī)療義診活動(dòng),現(xiàn)有五名醫(yī)生被分配到四所不同的鄉(xiāng)鎮(zhèn)醫(yī)院中,醫(yī)生甲被指定分配到醫(yī)院,醫(yī)生乙只能分配到醫(yī)院或醫(yī)院,醫(yī)生丙不能分配到醫(yī)生甲、乙所在的醫(yī)院,其他兩名醫(yī)生分配到哪所醫(yī)院都可以,若每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生,則不同的分配方案共有()A.18種 B.20種 C.22種 D.24種12.已知函數(shù).下列命題:①函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱;②函數(shù)是周期函數(shù);③當(dāng)時(shí),函數(shù)取最大值;④函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象沒(méi)有公共點(diǎn),其中正確命題的序號(hào)是()A.①④ B.②③ C.①③④ D.①②④二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知雙曲線(a>0)的一條漸近線方程為,則a=_______.14.在中,、的坐標(biāo)分別為,,且滿足,為坐標(biāo)原點(diǎn),若點(diǎn)的坐標(biāo)為,則的取值范圍為_(kāi)_________.15.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和,若,,且,,則________.16.直線與拋物線交于兩點(diǎn),若,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(12分)(Ⅰ)證明:;(Ⅱ)證明:();(Ⅲ)證明:.18.(12分)設(shè)點(diǎn)分別是橢圓的左,右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,直線與軸交于點(diǎn),過(guò)點(diǎn)且斜率的直線與橢圓交于兩點(diǎn),為線段的中點(diǎn),直線交直線于點(diǎn),證明:直線.19.(12分)已知向量,.(1)求的最小正周期;(2)若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且,求的面積.20.(12分)如圖,三棱臺(tái)中,側(cè)面與側(cè)面是全等的梯形,若,且.(Ⅰ)若,,證明:∥平面;(Ⅱ)若二面角為,求平面與平面所成的銳二面角的余弦值.21.(12分)某大型公司為了切實(shí)保障員工的健康安全,貫徹好衛(wèi)生防疫工作的相關(guān)要求,決定在全公司范圍內(nèi)舉行一次普查,為此需要抽驗(yàn)1000人的血樣進(jìn)行化驗(yàn),由于人數(shù)較多,檢疫部門制定了下列兩種可供選擇的方案.方案①:將每個(gè)人的血分別化驗(yàn),這時(shí)需要驗(yàn)1000次.方案②:按個(gè)人一組進(jìn)行隨機(jī)分組,把從每組個(gè)人抽來(lái)的血混合在一起進(jìn)行檢驗(yàn),如果每個(gè)人的血均為陰性,則驗(yàn)出的結(jié)果呈陰性,這個(gè)人的血只需檢驗(yàn)一次(這時(shí)認(rèn)為每個(gè)人的血化驗(yàn)次);否則,若呈陽(yáng)性,則需對(duì)這個(gè)人的血樣再分別進(jìn)行一次化驗(yàn),這樣,該組個(gè)人的血總共需要化驗(yàn)次.假設(shè)此次普查中每個(gè)人的血樣化驗(yàn)呈陽(yáng)性的概率為,且這些人之間的試驗(yàn)反應(yīng)相互獨(dú)立.(1)設(shè)方案②中,某組個(gè)人的每個(gè)人的血化驗(yàn)次數(shù)為,求的分布列;(2)設(shè),試比較方案②中,分別取2,3,4時(shí),各需化驗(yàn)的平均總次數(shù);并指出在這三種分組情況下,相比方案①,化驗(yàn)次數(shù)最多可以平均減少多少次?(最后結(jié)果四舍五入保留整數(shù))22.(10分)在平面直角坐標(biāo)系中,為直線上動(dòng)點(diǎn),過(guò)點(diǎn)作拋物線:的兩條切線,,切點(diǎn)分別為,,為的中點(diǎn).(1)證明:軸;(2)直線是否恒過(guò)定點(diǎn)?若是,求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說(shuō)明理由.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】
由目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,我們可以畫(huà)出滿足條件件為常數(shù))的可行域,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的解析式形式,分析取得最優(yōu)解的點(diǎn)的坐標(biāo),然后根據(jù)分析列出一個(gè)含參數(shù)的方程組,消參后即可得到的取值.【詳解】畫(huà)出,滿足的為常數(shù))可行域如下圖:由于目標(biāo)函數(shù)的最大值為9,可得直線與直線的交點(diǎn),使目標(biāo)函數(shù)取得最大值,將,代入得:.故選:.【點(diǎn)睛】如果約束條件中含有參數(shù),我們可以先畫(huà)出不含參數(shù)的幾個(gè)不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,分析取得最優(yōu)解是哪兩條直線的交點(diǎn),然后得到一個(gè)含有參數(shù)的方程(組,代入另一條直線方程,消去,后,即可求出參數(shù)的值.2.D【解析】
先計(jì)算,然后將進(jìn)行平方,,可得結(jié)果.【詳解】由題意可得:∴∴則.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查的是向量的數(shù)量積的運(yùn)算和模的計(jì)算,屬基礎(chǔ)題。3.A【解析】
根據(jù)球的特點(diǎn)可知截面是一個(gè)圓,根據(jù)等體積法計(jì)算出球心到平面的距離,由此求解出截面圓的半徑,從而截面面積可求.【詳解】如圖所示:設(shè)內(nèi)切球球心為,到平面的距離為,截面圓的半徑為,因?yàn)閮?nèi)切球的半徑等于正方體棱長(zhǎng)的一半,所以球的半徑為,又因?yàn)?,所以,又因?yàn)?,所以,所以,所以截面圓的半徑,所以截面圓的面積為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查正方體的內(nèi)切球的特點(diǎn)以及球的截面面積的計(jì)算,難度一般.任何一個(gè)平面去截球,得到的截面一定是圓面,截面圓的半徑可通過(guò)球的半徑以及球心到截面的距離去計(jì)算.4.C【解析】分析:根據(jù)最低點(diǎn),判斷A=3,根據(jù)對(duì)稱中心與最低點(diǎn)的橫坐標(biāo)求得周期T,再代入最低點(diǎn)可求得解析式為,依次判斷各選項(xiàng)的正確與否.詳解:因?yàn)闉閷?duì)稱中心,且最低點(diǎn)為,所以A=3,且由所以,將帶入得,所以由此可得①錯(cuò)誤,②正確,③當(dāng)時(shí),,所以與有6個(gè)交點(diǎn),設(shè)各個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)依次為,則,所以③正確所以選C點(diǎn)睛:本題考查了根據(jù)條件求三角函數(shù)的解析式,通過(guò)求得的解析式進(jìn)一步研究函數(shù)的性質(zhì),屬于中檔題.5.C【解析】
根據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程即可得出該雙曲線的漸近線方程.【詳解】由題意可知,雙曲線的漸近線方程是.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的漸近線方程的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意雙曲線的簡(jiǎn)單性質(zhì)的合理運(yùn)用.6.C【解析】
首先判斷出是周期為的周期函數(shù),由此求得所求表達(dá)式的值.【詳解】由已知為奇函數(shù),得,而,所以,所以,即的周期為.由于,,,所以,,,.所以,又,所以.故選:C【點(diǎn)睛】本小題主要考查函數(shù)的奇偶性和周期性,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】根據(jù)命題的否定,可以寫出:,所以選C.8.D【解析】
根據(jù)題意,求出集合A,進(jìn)而求出集合和,分析選項(xiàng)即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意,則故選:D【點(diǎn)睛】此題考查集合的交并集運(yùn)算,屬于簡(jiǎn)單題目,9.B【解析】
先利用向量數(shù)量積和三角恒等變換求出,函數(shù)在區(qū)間上恰有個(gè)極值點(diǎn)即為三個(gè)最值點(diǎn),解出,,再建立不等式求出的范圍,進(jìn)而求得的范圍.【詳解】解:令,解得對(duì)稱軸,,又函數(shù)在區(qū)間恰有個(gè)極值點(diǎn),只需解得.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查利用向量的數(shù)量積運(yùn)算和三角恒等變換與三角函數(shù)性質(zhì)的綜合問(wèn)題.(1)利用三角恒等變換及輔助角公式把三角函數(shù)關(guān)系式化成或的形式;(2)根據(jù)自變量的范圍確定的范圍,根據(jù)相應(yīng)的正弦曲線或余弦曲線求值域或最值或參數(shù)范圍.10.B【解析】
先求出從不超過(guò)18的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)的所有可能結(jié)果,然后再求出其和等于16的結(jié)果,根據(jù)等可能事件的概率公式可求.【詳解】解:不超過(guò)18的素?cái)?shù)有2,3,5,7,11,13,17共7個(gè),從中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)共有,其和等于16的結(jié)果,共2種等可能的結(jié)果,故概率.故選:B.【點(diǎn)睛】古典概型要求能夠列舉出所有事件和發(fā)生事件的個(gè)數(shù),本題不可以列舉出所有事件但可以用分步計(jì)數(shù)得到,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
分兩類:一類是醫(yī)院A只分配1人,另一類是醫(yī)院A分配2人,分別計(jì)算出兩類的分配種數(shù),再由加法原理即可得到答案.【詳解】根據(jù)醫(yī)院A的情況分兩類:第一類:若醫(yī)院A只分配1人,則乙必在醫(yī)院B,當(dāng)醫(yī)院B只有1人,則共有種不同分配方案,當(dāng)醫(yī)院B有2人,則共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A只分配1人時(shí),共有種不同分配方案;第二類:若醫(yī)院A分配2人,當(dāng)乙在醫(yī)院A時(shí),共有種不同分配方案,當(dāng)乙不在A醫(yī)院,在B醫(yī)院時(shí),共有種不同分配方案,所以當(dāng)醫(yī)院A分配2人時(shí),共有種不同分配方案;共有20種不同分配方案.故選:B【點(diǎn)睛】本題考查排列與組合的綜合應(yīng)用,在做此類題時(shí),要做到分類不重不漏,考查學(xué)生分類討論的思想,是一道中檔題.12.A【解析】
根據(jù)奇偶性的定義可判斷出①正確;由周期函數(shù)特點(diǎn)知②錯(cuò)誤;函數(shù)定義域?yàn)?,最值點(diǎn)即為極值點(diǎn),由知③錯(cuò)誤;令,在和兩種情況下知均無(wú)零點(diǎn),知④正確.【詳解】由題意得:定義域?yàn)?,,為奇函?shù),圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱,①正確;為周期函數(shù),不是周期函數(shù),不是周期函數(shù),②錯(cuò)誤;,,不是最值,③錯(cuò)誤;令,當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無(wú)交點(diǎn);當(dāng)時(shí),,,,此時(shí)與無(wú)交點(diǎn);綜上所述:與無(wú)交點(diǎn),④正確.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)與導(dǎo)數(shù)知識(shí)的綜合應(yīng)用,涉及到函數(shù)奇偶性和周期性的判斷、函數(shù)最值的判斷、兩函數(shù)交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題的求解;本題綜合性較強(qiáng),對(duì)于學(xué)生的分析和推理能力有較高要求.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.3【解析】
雙曲線的焦點(diǎn)在軸上,漸近線為,結(jié)合漸近線方程為可求.【詳解】因?yàn)殡p曲線(a>0)的漸近線為,且一條漸近線方程為,所以.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的漸近線,明確雙曲線的焦點(diǎn)位置,寫出雙曲線的漸近線方程的對(duì)應(yīng)形式是求解的關(guān)鍵,側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).14.【解析】
由正弦定理可得點(diǎn)在曲線上,設(shè),則,將代入可得,利用二次函數(shù)的性質(zhì)可得范圍.【詳解】解:由正弦定理得,則點(diǎn)在曲線上,設(shè),則,,又,,因?yàn)?,則,即的取值范圍為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查雙曲線的定義,考查向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算,考查學(xué)生計(jì)算能力,有一定的綜合性,但難度不大.15.【解析】
由題可得,解得,所以,,上述兩式相減可得,即,因?yàn)?,所以,即,所以?shù)列是以為首項(xiàng),為公差的等差數(shù)列,所以.16.【解析】
由已知可知直線過(guò)拋物線的焦點(diǎn),求出弦的中點(diǎn)到拋物線準(zhǔn)線的距離,進(jìn)一步得到弦的中點(diǎn)到直線的距離.【詳解】解:如圖,直線過(guò)定點(diǎn),,而拋物線的焦點(diǎn)為,,弦的中點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,則弦的中點(diǎn)到直線的距離等于.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡(jiǎn)單性質(zhì),考查直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用,體現(xiàn)了數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17.(Ⅰ)見(jiàn)解析(Ⅱ)見(jiàn)解析(Ⅲ)見(jiàn)解析【解析】
運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明即可得到結(jié)果化簡(jiǎn),運(yùn)用累加法得出結(jié)果運(yùn)用放縮法和累加法進(jìn)行求證【詳解】(Ⅰ)數(shù)學(xué)歸納法證明時(shí),①當(dāng)時(shí),成立;②當(dāng)時(shí),假設(shè)成立,則時(shí)所以時(shí),成立綜上①②可知,時(shí),(Ⅱ)由得所以;;故,又所以(Ⅲ)由累加法得:所以故【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的綜合,運(yùn)用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式的成立,結(jié)合已知條件進(jìn)行化簡(jiǎn)求出化簡(jiǎn)后的結(jié)果,利用放縮法求出不等式,然后兩邊同時(shí)取對(duì)數(shù)再進(jìn)行證明,本題較為困難。18.(1)(2)見(jiàn)解析【解析】
(1)設(shè),求出后由二次函數(shù)知識(shí)得最小值,從而得,即得橢圓方程;(2)設(shè)直線的方程為,代入橢圓方程整理,設(shè),由韋達(dá)定理得,設(shè),利用三點(diǎn)共線,求得,然后驗(yàn)證即可.【詳解】解:(1)設(shè),則,所以,因?yàn)椋援?dāng)時(shí),值最小,所以,解得,(舍負(fù))所以,所以橢圓的方程為,(2)設(shè)直線的方程為,聯(lián)立,得.設(shè),則,設(shè),因?yàn)槿c(diǎn)共線,又所以,解得.而所以直線軸,即.【點(diǎn)睛】本題考查求橢圓方程,考查直線與橢圓相交問(wèn)題.直線與橢圓相交問(wèn)題,采取設(shè)而不求思想,設(shè),設(shè)直線方程,應(yīng)用韋達(dá)定理,得出,再代入題中需要計(jì)算可證明的式子參與化簡(jiǎn)變形.19.(1);(2)或【解析】
(1)利用平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算可得,利用正弦函數(shù)的周期性即可求解;(2)由(1)可求,結(jié)合范圍,可求的值,由余弦定理可求的值,進(jìn)而根據(jù)三角形的面積公式即可求解.【詳解】(1)∴最小正周期.(2)由(1)知,∴∴,又∴或.解得或當(dāng)時(shí),由余弦定理得即,解得.此時(shí).當(dāng)時(shí),由余弦定理得.即,解得.此時(shí).【點(diǎn)睛】本題主要考查了平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算、正弦函數(shù)的周期性,考查余弦定理、三角形的面積公式在解三角形中的綜合應(yīng)用,考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想,屬于基礎(chǔ)題.20.(Ⅰ)見(jiàn)解析;(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)連接,由比例可得∥,進(jìn)而得線面平行;(Ⅱ)過(guò)點(diǎn)作的垂線,建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則求得平面的法向量為,設(shè)平面的法向量為,由求二面角余弦即可.試題解析:(Ⅰ)證明:連接,梯形,,易知:;又,則∥;平面,平面,可得:∥平面;(Ⅱ)側(cè)面是梯形,,,,則為二面角的平面角,;均為正三角形,在平面內(nèi),過(guò)點(diǎn)作的垂線,如圖建立空間直角坐標(biāo)系,不妨設(shè),則,故點(diǎn),;設(shè)平面的法向量為,則有:;設(shè)平面的法向量為,則有:;,故
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