【易錯(cuò)專訓(xùn)】01 菱形的性質(zhì)與判定（解析版）

【突破易錯(cuò)·沖刺滿分】2021-2022學(xué)年九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)期末突破易錯(cuò)挑戰(zhàn)滿分（北師大版）易錯(cuò)01菱形的性質(zhì)與判定【易錯(cuò)1例題】菱形的性質(zhì)1．（2021·蘇州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校八年級(jí)期中）下列關(guān)系中，是菱形的性質(zhì)但不是平行四邊形的性質(zhì)的是（）A．對(duì)角線垂直 B．兩組對(duì)邊分別平行 C．對(duì)角線互相平分 D．兩組對(duì)角分別相等【答案】A【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和菱形的性質(zhì)對(duì)各選項(xiàng)進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、菱形的對(duì)角線互相垂直平分、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，符合題意；B、菱形、平行四邊形的對(duì)邊平行且相等，不符合題意；C、菱形、平行四邊形的對(duì)角線互相平分，不符合題意；D、菱形、平行四邊形的兩組對(duì)角分別相等，不符合題意；故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．【易錯(cuò)2例題】菱形的判定2．（2021·廣西崇左市·八年級(jí)期末）如圖，在平行四邊形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分別為E，F(xiàn)，且BE＝DF．（1）求證：平行四邊形ABCD是菱形；（2）若AB＝10，AC＝12，求平行四邊形ABCD面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）108．【分析】（1）先根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)可得，再根據(jù)三角形全等的判定定理與性質(zhì)可得，然后根據(jù)菱形的判定即可得證；（2）連接，交于點(diǎn)，先根據(jù)菱形的性質(zhì)可得，再利用勾股定理可得，從而可得，然后利用菱形的面積公式即可得．【詳解】解：（1）∵四邊形是平行四邊形，∴，又∵，，在和中，，∴，∴，又∵四邊形是平行四邊形，∴平行四邊形是菱形；（2）如圖，連接，交于點(diǎn)，∵平行四邊形是菱形，∴，在中，，∴，則平行四邊形面積為．【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練掌握菱形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．【專題訓(xùn)練】選擇題1．（2021·河南中考真題）關(guān)于菱形的性質(zhì)，以下說(shuō)法不正確的是（）A．四條邊相等 B．對(duì)角線相等 C．對(duì)角線互相垂直 D．是軸對(duì)稱圖形【答案】B【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)判斷即可．【詳解】解：A、菱形的四條邊都相等，A選項(xiàng)正確，不符合題意；B、菱形的對(duì)角線不一定相等，B選項(xiàng)錯(cuò)誤，符合題意；C、菱形的對(duì)角線互相垂直，C選項(xiàng)正確，不符合題意；D、菱形是軸對(duì)稱圖形，D選項(xiàng)正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了對(duì)菱形的性質(zhì)的理解，關(guān)鍵是根據(jù)菱形的性質(zhì)解答．2．（2021·安徽八年級(jí)期末）下列命題正確的是（）A．一組鄰邊相等的四邊形是菱形B．對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形C．對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形是菱形D．對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形【答案】D【分析】根據(jù)菱形的判定定理即可判斷求解．【詳解】A一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故命題錯(cuò)誤；B.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故命題錯(cuò)誤；C.對(duì)角線互相垂直且相等的四邊形不一定是菱形，故命題錯(cuò)誤；D.對(duì)角線互相垂直且平分的四邊形是菱形，正確故選D．【點(diǎn)睛】此題主要考查菱形的判定，解題的關(guān)鍵是熟知菱形的判定定理．3．（2021·江蘇揚(yáng)州市·八年級(jí)期中）如圖，四邊形是菱形，，，于H，則等于（）A． B． C．5 D．4【答案】A【分析】先根據(jù)菱形的性質(zhì)得OA=OC，OB=OD，AC⊥BD，再利用勾股定理計(jì)算出AB=10，然后根據(jù)菱形的面積公式得到?AC?BD=DH?AB，再解關(guān)于DH的方程即可．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴OA=OC=8，OB=OD=6，AC⊥BD，在Rt△AOB中，AB==10，∵S菱形ABCD=?AC?BD，S菱形ABCD=DH?AB，∴DH?10=×12×16，∴DH=．故選A．【點(diǎn)睛】本題考查了勾股定理，以及菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)；菱形的四條邊都相等；菱形的兩條對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角；菱形的面積等于對(duì)角線乘積的一半．4．（2021·北京八年級(jí)期末）如圖，菱形ABCD的一邊中點(diǎn)M到對(duì)角線交點(diǎn)O的距離為3cm，則菱形ABCD周長(zhǎng)為（）A．10cm B．12cm C．16cm D．24cm【答案】D【分析】由菱形的性質(zhì)可得AB=AD=CD=BC，BO=DO，由三角形的中位線定理可得AD=2OM=6cm，即可求解．【詳解】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=AD=CD=BC，BO=DO，又∵點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，∴AD=2OM=6cm，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)=4×6=24cm，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，三角形中位線定理，掌握菱形的的對(duì)角線互相平分是解題的關(guān)鍵．5．（2021·江蘇八年級(jí)期中）如圖，在菱形ABCD中，M，N分別在AB，CD上，且，MN與AC交于點(diǎn)O，連接BO．若，則的度數(shù)為（）A．26° B．52° C．64° D．77°【答案】C【分析】根據(jù)菱形的性質(zhì)以及，利用可得，可得，然后可得，繼而可求得的度數(shù)．【詳解】解：四邊形為菱形，，，，，在和中，，，，，，，，，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)和全等三角形的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握菱形對(duì)邊平行以及對(duì)角線相互垂直的性質(zhì)．二、填空題6．（2021·黑龍江九年級(jí)期末）如圖，四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，AC⊥BD，且AC平分BD，若添加一個(gè)條件_____，則四邊形ABCD為菱形．【答案】OA＝OC【分析】添加條件OA＝OC，先證四邊形ABCD是平行四邊形，再由AC⊥BD，即可得出平行四邊形ABCD是菱形．【詳解】.解：添加一個(gè)條件OA＝OC，則四邊形ABCD為菱形，理由如下：∵AC平分BD，OA＝OC，∴四邊形ABCD是平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴平行四邊形ABCD是菱形，故答案為：OA＝OC．【點(diǎn)睛】此題主要考查了菱形的判定以及平行四邊形的判定，熟練掌握菱形的判定和平行四邊形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．7．（2021·湖北九年級(jí)一模）如圖，將菱形ABCD折疊，使點(diǎn)B落在AD邊的點(diǎn)F處，折痕為CE．若∠D＝70°，則∠AEF＝________．【答案】30°．【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)可得∠ECB=∠ECF，CB=CF，根據(jù)菱形的性質(zhì)可得CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，求出等腰三角形△DCF的頂角∠DCF，求出∠BCF的度數(shù)，利用平角求出∠AEF即可．【詳解】解：在菱形ABCD中，CB=CD，∠B=∠D=70°，∠BCD=180°-∠D=110°，根據(jù)折疊可得：∠ECB=∠ECF，CB=CF，∴CF=CD∴∠DCF=180°-70°-70°=40°，∴∠ECF=（∠BCD-∠DCF）=35°，∴∠BCF=2∠ECF=70°，∴∠BEF=360°-∠B-∠BCF-∠EFC=360°-70°-70°-70°=150°，∴∠AEF=180°-∠BEF=180°-150°=30°．故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查圖形的翻折變換，關(guān)鍵是掌握折疊的性質(zhì)：折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．8．（2021·平山縣外國(guó)語(yǔ)中學(xué)八年級(jí)期中）如圖，以菱形的頂點(diǎn)O為原點(diǎn)，對(duì)角線所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，若，點(diǎn)C的坐標(biāo)為，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_____．【答案】【分析】作輔助線連接AB，用菱形對(duì)角線、邊的性質(zhì)，求出兩邊OA、OD的長(zhǎng)度，再求出AD的長(zhǎng)，進(jìn)而推出點(diǎn)A的坐標(biāo)．【詳解】如圖，連接AB，交OC于點(diǎn)D．四邊形AOBC是菱形，在中，點(diǎn)A的坐標(biāo)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)(對(duì)角線互相垂直平分，四條邊都相等)，勾股定理的應(yīng)用(在直角三角形中，兩直角邊的平方之和等于斜邊的平方)，解題的關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造直角三角形．9．（2021·貴州中考真題）如圖，在菱形ABCD中，，，Q為AB的中點(diǎn)，P為對(duì)角線BD上的任意一點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)____________．【答案】【分析】連接AC，CQ，則CQ的長(zhǎng)即為AP+PQ的最小值，再根據(jù)菱形ABCD中，∠BCD=120°得出∠ABC的度數(shù)，進(jìn)而判斷出△ABC是等邊三角形，故△BCQ是直角三角形，根據(jù)勾股定理即可得出CQ的長(zhǎng)．【詳解】解：連接AC，CQ，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴A、C關(guān)于直線BD對(duì)稱，

∴CQ的長(zhǎng)即為AP+PQ的最小值，

∵∠BCD=120°，

∴∠ABC=60°，

∴△ABC是等邊三角形，

∵Q是AB的中點(diǎn)，

∴CQ⊥AB，BQ=BC=×2=1，

∴CQ=．

故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了軸對(duì)稱-最短路線問(wèn)題，熟知菱形的性質(zhì)及兩點(diǎn)之間線段最短是解答此題的關(guān)鍵．10．（2021·浙江八年級(jí)期末）如圖1，點(diǎn)從菱形的頂點(diǎn)出發(fā)，沿以1cm/s的速度勻速運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，圖2是點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，的面積隨時(shí)間變化的關(guān)系圖象，則的值為_(kāi)_____．【答案】【分析】通過(guò)分析圖象，點(diǎn)F從點(diǎn)A到B用as，此時(shí)，△FDC的面積為2a，依此可求菱形的高DE，再由圖象可知，BD=5，應(yīng)用勾股定理即可求出a的值．【詳解】解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BC于點(diǎn)E，由圖象可知，點(diǎn)F從點(diǎn)A到B用as，△FDC的面積為2acm2．∴AB=a，∴AB?DE=a?DE=2a，∴DE=4，當(dāng)F從B到D時(shí)，用5s，∴BD=5，Rt△DBE中，，∵ABCD是菱形，∴AE=a-3，AD=a，Rt△ADE中，∴a2=42+（a-3）2，解得a=．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題綜合考查了菱形性質(zhì)和一次函數(shù)圖象性質(zhì)，解答過(guò)程中要注意函數(shù)圖象變化與動(dòng)點(diǎn)位置之間的關(guān)系．三、解答題11．（2021·湖南長(zhǎng)沙市·八年級(jí)期末）如圖，四邊形是邊長(zhǎng)為的菱形，其中對(duì)角線的長(zhǎng)為．計(jì)算：（1）對(duì)角線的長(zhǎng)度．（2）菱形的面積．【答案】（1）；（2）【分析】（1）因?yàn)榱庑蔚膶?duì)角線互相垂直平分，可利用勾股定理求得BE或DE的長(zhǎng)，從而求得BD的長(zhǎng)；（2）利用菱形的面積公式：兩條對(duì)角線的積的一半求得面積．【詳解】解：（1）∵四邊形為菱形，∴，且，且，∵菱形的邊長(zhǎng)為，∴，在中，，∴；（2）∵，，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查菱形的性質(zhì)、勾股定理、菱形的面積公式：兩條對(duì)角線的積的一半和菱形的對(duì)角線性質(zhì)，綜合運(yùn)用相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．12．（2021·北京八年級(jí)期末）如圖，在菱形ABCD中，AC，BD相交于點(diǎn)O，E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB．（1）求∠DAB和∠CAB的度數(shù)；（2）如果AC＝4，求DE和AD的長(zhǎng)．【答案】（1）∠DAB=60°，∠CAB=30°；（2）AD=4，DE=【分析】（1）由菱形的性質(zhì)可得AD=AB，∠DAC=∠CAB，由線段垂直平分線的性質(zhì)可得AD=BD，可證△ADB是等邊三角形，即可求解；（2）在Rt△ABO中，由勾股定理可求OB的長(zhǎng)，即可求AD，DE的長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AD=AB，∠DAC=∠CAB，AO=CO，AC⊥BD，BO=DO，∵E為AB的中點(diǎn)，DE⊥AB，∴AD=BD，∴AD=AB=DB，∴△ABD是等邊三角形，∴∠DAB=60°，∴∠CAB=30°；（2）∵AC=，∴AO=CO=，∵AB2-BO2=AO2，∴3BO2=12，∴BO=2，∴DB=4=AD=AB，∴AE=BE=2，∴DE=．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理，證明△ABD是等邊三角形是解題的關(guān)鍵．13．（2021·江蘇八年級(jí)期末）如圖，在四邊形中，，對(duì)角線的垂直平分線與邊、分別相交于點(diǎn)、．（1）求證：四邊形是菱形；（2）若，，，求菱形的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)詳解；（2）菱形的周長(zhǎng)為．【分析】（1）根據(jù)題意易得，則有，進(jìn)而可得四邊形是平行四邊形，然后問(wèn)題可求證；（2）由（1）可得，則可設(shè)，則有，然后根據(jù)勾股定理可建立方程求解．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵對(duì)角線的垂直平分線與邊、分別相交于點(diǎn)、，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵，∴四邊形是菱形；（2）解：由（1）可得四邊形是菱形，∴，設(shè)，∵，∴，∵，，∴由勾股定理可得，解得：，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查勾股定理及菱形的判定與性質(zhì)，熟練掌握勾股定理及菱形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2021·江蘇南京市·八年級(jí)期末）如圖，點(diǎn)E、F分別在?ABCD的邊AB、CD的延長(zhǎng)線上，且BE＝DF，連接AC、EF、AF、CE，AC與EF交于點(diǎn)O．（1）求證：AC、EF互相平分；（2）若EF平分∠AEC，求證：四邊形AECF是菱形．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析【分析】（1）由平行四邊形的性質(zhì)得AB=DC，AB∥DC，再證AE=CF，即可得出結(jié)論；（2）證出∠CEO=∠CFO，則CE=CF，再由（1）可知，四邊形AECF是平行四邊形，即可得出結(jié)論．【詳解】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=DC，AB∥DC，又∵BE=DF，∴AB+BE=DC+DF，即AE=CF，∵AE=CF，AE∥CF，∴四邊形AECF是平行四邊形．∴AC、EF互相平分；（2）∵AB∥DC，∴∠AEO=∠CFO，∵EF平分∠AEC，∴∠AEO=∠CEO，∴∠CEO=∠CFO∴CE=CF，由（1）可知，四邊形AECF是平行四邊形，∴平行四邊形AECF是菱形．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定、平行四邊形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)；熟練掌握菱形的判定，證明四邊形AECF為平行四邊形是解題的關(guān)鍵．15．（2021·安徽八年級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，，對(duì)角線于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)D作交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，且．（1）求證：四邊形ABCD是菱形：（2）若，，求菱形ABCD的周長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到BD⊥DE，根據(jù)直角三角形斜邊中線的性質(zhì)得到BC=CD=CE，證明四邊形ACED為平行四邊形得到AD=CE，結(jié)合AC⊥BD，可得四邊形ABCD為菱形；（2）利用中位線定理求出OD=DE=2，根據(jù)菱形的性質(zhì)，利用勾股定理求出CD，從而得到菱形的周長(zhǎng)．【詳解】解：（1）∵AC⊥BD，DE∥AC，∴BD⊥DE，∵BC=CE，∴BC=CD=CE，∵AD∥BC，∴四邊形ACED為平行四邊形，∴AD=CE=BC，∴四邊形ABCD為平行四邊形，又∵AC⊥BD，∴四邊形ABCD為菱形；（2）∵O為BD中點(diǎn)，BC=CE，∴OC為△BDE的中位線，又∵OC=1，OD=DE，∴OD=DE=2，∵∠DOC=90°，∴CD==，∴菱形ABCD的周長(zhǎng)為4CD=．【點(diǎn)睛】本題考查了菱形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，勾股定理，平行線的性質(zhì)，中位線定理，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用菱形的性質(zhì)求解．16．（專題08特殊四邊形的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用-2020-2021學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)下學(xué)期期末專項(xiàng)復(fù)習(xí)（湘教版））如圖，在中，，分別是，的中點(diǎn)，，延長(zhǎng)到，使得