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文檔簡(jiǎn)介
第頁第01講銳角三角函數(shù)和特殊角的三角函數(shù)理解銳角正弦、余弦和正切概念的意義,并會(huì)求銳角的正弦值、余弦值和正切值;2.會(huì)推算30°、45°、60°角的三角函數(shù)值,并熟練準(zhǔn)確的記住特殊角的三角函數(shù)值;
3.理解并能熟練運(yùn)用“同角三角函數(shù)的關(guān)系”及“銳角三角函數(shù)值隨角度變化的規(guī)律”.知識(shí)點(diǎn)1銳角三角函數(shù)的概念如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A所對(duì)的邊BC記為a,叫做∠A的對(duì)邊,也叫做∠B的鄰邊,∠B所對(duì)的邊AC記為b,叫做∠B的對(duì)邊,也是∠A的鄰邊,直角C所對(duì)的邊AB記為c,叫做斜邊.
銳角A的對(duì)邊與斜邊的比叫做∠A的正弦,記作sinA,即;銳角A的鄰邊與斜邊的比叫做∠A的余弦,記作cosA,即;銳角A的對(duì)邊與鄰邊的比叫做∠A的正切,記作tanA,即.同理;;.
注意:正弦、余弦、正切函數(shù)是在直角三角形中定義的,反映了直角三角形邊與角的關(guān)系,是兩條線段的比值.角的度數(shù)確定時(shí),其比值不變,角的度數(shù)變化時(shí),比值也隨之變化.
(2)sinA,cosA,tanA分別是一個(gè)完整的數(shù)學(xué)符號(hào),是一個(gè)整體,不能寫成,,,不能理解成sin與∠A,cos與∠A,tan與∠A的乘積.書寫時(shí)習(xí)慣上省略∠A的角的記號(hào)“∠”,但對(duì)三個(gè)大寫字母表示成的角(如∠ABC),其正切應(yīng)寫成“tan∠ABC”,不能寫成“tanABC”;另外,、、常寫成、、.
(3)任何一個(gè)銳角都有相應(yīng)的銳角三角函數(shù)值,不因這個(gè)角不在某個(gè)三角形中而不存在.
(4)由銳角三角函數(shù)的定義知:當(dāng)角度在0°<∠A<90°間變化時(shí),,,tanA>0知識(shí)點(diǎn)2銳角三角函數(shù)的增減性(1)在0°-90°之間,銳角的正弦值隨角度的增大而增大;(2)在0°-90°之間,銳角的余弦值隨角度的增大而減??;(3)在0°-90°之間,銳角的正切值隨角度的增大而增大.知識(shí)點(diǎn)2特殊角的三角函數(shù)值利用三角函數(shù)的定義,可求出30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值,歸納如下:銳角30°45°160°注意:
(1)通過該表可以方便地知道30°、45°、60°角的各三角函數(shù)值,它的另一個(gè)應(yīng)用就是:如果知道了一個(gè)銳角的三角函數(shù)值,就可以求出這個(gè)銳角的度數(shù),例如:若,則銳角.
(2)仔細(xì)研究表中數(shù)值的規(guī)律會(huì)發(fā)現(xiàn):
、、的值依次為、、,而、、的值的順序正好相反,、、的值依次增大,其變化規(guī)律可以總結(jié)為:
①正弦、正切值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而增大(或減小);
②余弦值隨銳角度數(shù)的增大(或減小)而減小(或增大).
知識(shí)點(diǎn)3銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系如圖所示,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)互余關(guān)系:,;
(2)平方關(guān)系:;
(3)倒數(shù)關(guān)系:或;
(4)商數(shù)關(guān)系:.
注意:
銳角三角函數(shù)之間的關(guān)系式可由銳角三角函數(shù)的意義推導(dǎo)得出,常應(yīng)用在三角函數(shù)的計(jì)算中,計(jì)算時(shí)巧用這些關(guān)系式可使運(yùn)算簡(jiǎn)便.【題型1銳角三角函數(shù)的概念】【典例1】(2022秋?西崗區(qū)校級(jí)期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=3,則tanA的值是()A. B. C. D.【變式1-1】(2022秋?金山區(qū)校級(jí)期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=1,AB=3,下列各式中,正確的是()A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cotA=【變式1-2】(2022秋?晉江市期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=6,則AC=()A.10 B.8 C.5 D.4【變式1-3】(2022秋?貴池區(qū)期末)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=13,BC=12,下列三角函數(shù)正確的是()A.sinB= B.cosA= C.tanB= D.cosB=【題型2銳角三角函數(shù)的增減性】【典例2】(2022秋?興隆縣期中)如果∠α為銳角,且sinα=0.6,那么α的取值范圍是()A.0°<α≤30° B.30°<α<45° C.45°<α<60° D.60°<α≤90°【變式2-1】(2021秋?周村區(qū)期末)已知cosα=,則銳角α的取值范圍是()A.0°<α<30° B.30°<α<45° C.45°<α<60° D.60°<α<90°【變式2-2】(2022?五通橋區(qū)模擬)若銳角α滿足cosα<且tanα<,則α的范圍是()A.30°<α<45°B.45°<α<60° C.60°<α<90° D.30°<α<60°【變式2-3】(2022春?洪澤區(qū)校級(jí)月考)比較大?。簊in80°sin50°(填“>”或“<”).【題型3特殊角三角函數(shù)值】【典例3】(2023?紅橋區(qū)二模)tan30°的值等于()A. B. C.1 D.【變式3-1】(2022秋?云州區(qū)期末)已知∠α為銳角,且sinα=,則∠α=()A.30° B.45° C.60° D.90°【變式3-2】(2023秋?莘縣校級(jí)月考)在△ABC中,若cosA=,tanB=,這個(gè)三角形一定是()A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形【變式3-3】(2023?江都區(qū)模擬)在△ABC中,若|sinA﹣|+(﹣cosB)2=0,則∠C的度數(shù)是()A.45° B.75° C.105° D.120°【題型4同角三角函數(shù)的關(guān)系】【典例4】(2023秋?沙坪壩區(qū)校級(jí)月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,cosA=,則tanA的值為()A. B. C. D.8【變式4-1】(2023?泉州一模)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,則cosA的值等于()A. B. C. D.【變式4-2】(2022秋?淥口區(qū)期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,若cosA=,則sinA的值為()A. B. C. D.【變式4-3】(2022秋?石景山區(qū)校級(jí)期末)在△ABC中,∠C=90°,,則sinA的值是()A. B. C. D.【題型5互余兩角三角函數(shù)的關(guān)系】【典例5】(2023秋?南崗區(qū)校級(jí)月考)在Rt△ABC中,∠C=90°,,則tanB等于()A. B. C. D.【變式5-1】(2022秋?磴口縣校級(jí)期末)在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,則cosB的值為()A. B. C. D.【變式5-2】(2023春?普陀區(qū)期中)在Rt△ABC中,∠C=90°,若sinA=,則cosB=()A. B. C. D.【變式5-3】(2022秋?太康縣期末)在三角形ABC中,∠C為直角,sinA=,則tanB的值為()A. B. C. D.【變式5-4】(2022秋?池州期末)在Rt△ACB中,∠C=90°,,則sinB的值為()A. B. C. D.【題型6三角函數(shù)的計(jì)算】【典例6】(2023秋?聊城月考)計(jì)算:(1)2cos30°﹣tan60°+sin45°cos45°;(﹣1)2023+2sin45°﹣cos30°+sin60°+tan260°.【變式6-1】(2022秋?浦東新區(qū)期末)計(jì)算:4sin45°﹣2tan30°cos30°+.【變式6-2】(2022秋?濟(jì)南期末)計(jì)算:sin30°﹣tan30°?tan60°+cos245°.【變式6-3】(2023?虹口區(qū)一模)計(jì)算:cos245°﹣+cot230°.1.(2021?云南)在△ABC中,∠ABC=90°.若AC=100,sinA=,則AB的長(zhǎng)是()A. B. C.60 D.802.(2021?天津)tan30°的值等于()A. B. C.1 D.23.(2019?懷化)已知∠α為銳角,且sinα=,則∠α=()A.30° B.45° C.60° D.90°4.(2022?濱州)在Rt△ABC中,若∠C=90°,AC=5,BC=12,則sinA的值為.5.(2022?廣東)sin30°=.6.(2022?荊門)計(jì)算:+cos60°﹣(﹣2022)0=.7.(2022?金華)計(jì)算:(﹣2022)0﹣2tan45°+|﹣2|+.一.選擇題(共8小題)1.已知,則∠A=()A.30° B.45° C.60° D.90°2.在Rt△ABC中,∠C=90°,,那么cosA的值是()A. B. C. D.3.在△ABC中,∠C=90°,AB=5,BC=4,那么∠A的正弦值是()A. B. C. D.4.如圖,將△ABC放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,點(diǎn)A,B,C均在格點(diǎn)上,則tanC的值是()A.2 B. C.1 D.5.已知△ABC中,sinA=,tanB=1,則△ABC的形狀()A.一定是銳角三角形 B.一定是直角三角形 C.一定是鈍角三角形 D.無法確定6.如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,下列式子正確的是()A.sinA= B.cosA= C.tanA= D.cosB=7.已知α為銳角,且sin(α﹣10°)=,則α等于()A.70° B.60° C.50° D.30°8.在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=2,BC=3,那么下列各式中,正確的是()A.sinB= B.cosB= C.tanB= D.tanB=二.填空題(共2小題)9.cos30°=.10.如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,sinA=,BC=8,則AB=.三.解答題(共2小題)11.計(jì)算:(1);(2)4sin60°?tan30°﹣cos245°.12.閱讀下列材料,并完成相應(yīng)的任務(wù).初中階段,我們所學(xué)的銳角三角函數(shù)反映了直角三角形中的邊角關(guān)系:sinα=cosα=tanα=一般地,當(dāng)α、β為任意角時(shí)
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