高考理科數(shù)學(xué)必會(huì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

高考理科數(shù)學(xué)必會(huì)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

§1集合與簡(jiǎn)易邏輯

-、集合間的父系和其運(yùn)算

（1）符號(hào)〃3〃是表示元素與集合之間今系的?如立體幾何中的體現(xiàn)出

與直線（面）的突系；

符號(hào)〃王〃或〃q或.〃等是表示集合與集合之間關(guān)系的，立體

幾何中的體弧湎與直線（面）的關(guān)系。

（2）；A\JB=；Cb,A=.

（3）交、并、補(bǔ)的運(yùn)算性質(zhì)：對(duì)于任意集合A、B，

C”（An8）=QAU「.田加（AUB）=gACIQB

切記：A^B<=>Ar\B=A<^>A^B<^A<JB=B.

（4）集合中元素的個(gè)數(shù)的計(jì)算：

若集合A中有〃個(gè)元素，則集合A的所有不同的子集個(gè)數(shù)為2〃,所有真子

集的個(gè)數(shù)是（2〃-1）-所有非空真子集的個(gè)數(shù)是（2〃-2）。

二、常用邏輯用語(yǔ)：

1、四種命題：

⑴原命題：若p則q;⑵逆命題：若q則p;⑶否命題：若「p則」q;（4）

逆否命題：若「q則「p

注：1、原命題與逆否命題等價(jià)；逆命題與否命題等價(jià)。判斷命題真假時(shí)注

意轉(zhuǎn)化。

2、注意命題的否定與否命題的區(qū)別：命題〃=,/否定形式是;否命題

是命題"p或夕"的否定是〃-p且r"；"p旦""的否定是"-p或r".

假假假假真

〃或命題〃的真假特點(diǎn)是〃一真即真,要假全假〃；

〃巨命題〃的真假特點(diǎn)是〃一假即假，要真全真〃；

〃非命題〃的真假特點(diǎn)是"一真一假〃

4、充要條件

由條件可推出結(jié)論，條件是結(jié)論成立的充分條件；由結(jié)論可推出條件，則條件

是結(jié)論成立的必要條件。

5、全稱命題與特稱命題：

短語(yǔ)〃所有〃在陳述中表示所述事物的全體?邏輯中通常叫做全稱量詞，并用

符號(hào)v表示。含有全體量詞的命題?叫做全稱命題。

短語(yǔ)〃有一個(gè)〃或〃有些〃或〃至少有一個(gè)〃在陳述中表示所述事物的個(gè)體或

部分，邏輯中通常叫做存在量詞，并用符號(hào)m表示，含有存在量詞的命題?叫做

存在性命題。

全稱命題p:TxeM,p(x)；全稱命題p的否定-<p:°

特稱命題p：；特稱命題p的否定」p:；

§2函數(shù)和導(dǎo)數(shù)

一、函數(shù)的性質(zhì)

1?定義域(自然定義域、分段函數(shù)的定義域、應(yīng)用題中的定義域等)；

2?值域(求值域：分析法、圖象法、單調(diào)性法、基本不等式法、換元法、

判別式法等)；

3?奇偶性(在整個(gè)定義域內(nèi)考慮)，判斷方法：

I.定義法——步驟：求出定義域并判斷定義域是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱；求/(-x)；

比較/(r)與/(幻或/(T)與-7(X)的關(guān)系；口.圖象法；

常用的結(jié)論

①已知：H(x)=f(x)g(x)

若非零函數(shù)/(%)超(幻的奇偶性相同,則在公共定義域內(nèi)”(幻為偶函數(shù)；

若非零函數(shù)F(x),ga)的奇偶性相反,則在公共定義域內(nèi)為奇函數(shù)；

②若/(幻是奇函數(shù)，且Ow定義域，則/,(())=0.

4?單調(diào)性(在定義域的某一個(gè)子集內(nèi)考慮)，證明函數(shù)單調(diào)性的方法：

(1),定義法步驟①：設(shè)和芍€A且X]<x2；②作差/a)-/(%2)(一般結(jié)果

要分解為若干個(gè)因式的乘積?且每一個(gè)因式的正或負(fù)號(hào)能清楚地判斷出)；③判

斷正負(fù)號(hào)。

另解:設(shè)石同x產(chǎn)9則

(x-x)[/(^)-/te)]>0o”卬-"通)>0o/⑴在上是增函數(shù)；

12Xl-X2

(X)-x,)[f(Xy)-/(x,)1<0<=>)""2)<oo/(x)在,,句上是減函數(shù).

'~為一了2

(2).(多項(xiàng)式函數(shù))用導(dǎo)數(shù)證明：若在某個(gè)區(qū)間A內(nèi)有導(dǎo)數(shù)，則

/(x)>0(xGA)?/(x)在A內(nèi)為增函數(shù)；/(x)<0(xeA)<=>f(x)在A內(nèi)為減函

數(shù).

(3)求單調(diào)區(qū)間的方法：a.定義法：b.導(dǎo)數(shù)法：c.圖象法：

d.復(fù)合函數(shù))，=/0刈在公共定義域上的單調(diào)性：若f與g的單調(diào)性相同?

則八冢初為增函數(shù)；若f與g的單調(diào)性相反,則/卜(劃為減函數(shù)。注意：先

求定義域，單調(diào)區(qū)間是定義域的子集.????

?(4)二屆看甬山法隹.:..........

①奇函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相同；

②偶函數(shù)在其對(duì)稱區(qū)間上的單調(diào)性相反；

③在公共定義域內(nèi)：

F(x)(增)=八幻(增)+總)(增)；F(x)(減)=/*)(減)+E)(減);

F(x)(增)=/5)(增)-⑺(減)；F(x)(減)=/*)(減)-g(x)(增);

④一個(gè)重要的函數(shù)：函數(shù)尸小+口。>0/>0)在(_8,飛叵]或廬+s|上單調(diào)遞

增；在卜,0)或1a用上是單調(diào)遞減.

5?函數(shù)的周期性

(1)定義：若T為非零常數(shù)-對(duì)于定義域內(nèi)的任一X，使“x+T)=f(x)恒成

立，則人為)叫做周期函數(shù)，T叫做這個(gè)函數(shù)/(%)的一個(gè)周期.T的整數(shù)倍都是/*)

的周期。

二、函數(shù)的圖象

1?基本函數(shù)的圖象：(1)一次函數(shù)、(2)二次函數(shù)、(3)反比例函數(shù)、(4)

指數(shù)函數(shù)、(5)對(duì)數(shù)函數(shù)、(6)三角函數(shù)、(7)函數(shù)y=ax+9(a>o4>o).

x

2?圖象的變換

(1)平移變換

①函數(shù)y=/(x+〃)(a>0)的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向左平移a個(gè)單

位得到的；函數(shù)y=f(x+a)3v0)的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸向右平移a

個(gè)單位得到的；

②函數(shù)y=f(x)+a(a>0)的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖象沿y軸向上平移〃個(gè)單

位得到的；函數(shù)十a(chǎn)(a<0)的圖象是把函數(shù)y=f(x)的圖象沿)，軸向下平移a

個(gè)單位得到的；

(2)對(duì)稱變換

①函數(shù)y=f(x)與函數(shù))，=/(一)的圖象關(guān)于直線X=0對(duì)稱；

函數(shù)y=/(x)與函數(shù)y=—/(》)的圖象關(guān)于直線y=o對(duì)稱；

函數(shù)y="為與函數(shù)>的圖象關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱；

②如果函數(shù)y=f(x)對(duì)于一場(chǎng)xeR,都有f(a+x)=f(a-x),則y=7")的圖象關(guān)

于直線對(duì)稱；如果函數(shù)y=f(x)對(duì)于一切xwR,都有f(a+x)+jf(a-x)=2b，則

y=/W的圖象關(guān)于點(diǎn)3,b)對(duì)稱°

③函數(shù)y=/(a+x)與函數(shù)),二f(a-x)的圖象關(guān)于直線x=〃對(duì)稱。

④y=尸(x)與y=/(x)關(guān)于直y=%對(duì)稱。

(3)伸縮變換(主要在三角函數(shù)的圖象變換中)

三、函數(shù)的反函數(shù)：

1?求反函數(shù)的步驟：

(1)求原函數(shù)y=/(x)(xwA)的值域B

(2)把)，=/*)看作方程，解出x=<p(y)(注意開(kāi)平方時(shí)的符號(hào)取舍)；

(3)互換X、y，得丁=/(幻的頁(yè)函數(shù)為y=ji(x)(x￡8).

2?定理：(1)/-'(/?)=?<=>f(a)=b,即點(diǎn)(a,8)在原函數(shù)圖象上o點(diǎn)(b,〃)在反函

數(shù)圖象上；

(2)原函數(shù)與反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱.

3?有用的結(jié)論：原函數(shù))，=/(?在區(qū)間［YM］上單調(diào)的，則一定存在反函數(shù)?目

反函數(shù)y=/T(x)也單調(diào)的，且單調(diào)性相同；但一個(gè)函數(shù)存在反函數(shù)?此函數(shù)

不一定單調(diào)。

四、函數(shù)、方程與不等式

1?〃實(shí)系數(shù)一元二次方程a?+灰+°=0有實(shí)數(shù)解〃轉(zhuǎn)化為〃△="—44之0〃.

你是否注意到必須。工0；當(dāng)〃=0時(shí)，〃方程有解〃不能轉(zhuǎn)化為A=b2-4acN0。若

原題中沒(méi)有指出是〃二次〃方程、函數(shù)或不等式，你是否考慮到二次項(xiàng)系數(shù)可

能為零的情形？

2、利用二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，討論一元二次方程實(shí)根的分布。

設(shè)xPx2為方程f(x)=0,(。>0)的兩個(gè)實(shí)

①若王<m,x2>m,則of(m)<0；

②當(dāng)在區(qū)間(九〃)內(nèi)有且只有一個(gè)實(shí)

時(shí)，

③當(dāng)在區(qū)間(見(jiàn)〃)內(nèi)有且只有兩個(gè)實(shí)根時(shí)，④若

VA

f(m)>0

f(n)<0

/(P)<0

注意：①根據(jù)要求先畫(huà)出拋物線,然后寫出圖象成立的充要條件。

②注意端點(diǎn)，驗(yàn)證端點(diǎn)。

五、指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

1?指數(shù)式與對(duì)數(shù)式：M=N《awR,N>uN=b

對(duì)數(shù)的三個(gè)性質(zhì):①N>0；②log/=0；@logfla=l

對(duì)數(shù)恒等式:①a"*”=N;②嚏2=理也；③嗨M

log,”a優(yōu)

對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì):①嗨（硼=夠“+現(xiàn)”；②log.Ar=〃bg“M；

指數(shù)運(yùn)算性質(zhì)：①屋②（/），=〃〃③（昉y=。方（a>O,b>O",seQ）

2?指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)

（1）特征圖象與性質(zhì)歸納（列表）

指數(shù)函數(shù)y=aX(a>0,awl)對(duì)數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,a

Hl)

0<a<l0<a<l

a>la>l

特征

圖象

定義(-oo?+oo)(0，+8)

域

值域(0?+OO)(-8，+OO)

單調(diào)減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù)

性

定點(diǎn)(0.1)(l'O)

函數(shù)x<0時(shí),x<o時(shí),0<x<l0<x<l

值分布y>i;0<y<l;時(shí)，y>0;時(shí)，y<0;

x>0時(shí)?x>0時(shí)，X>1時(shí)，X>1時(shí)，

0<y<ly>iy<0y>0

（2）有用的結(jié)論

①函數(shù)y="與y=log〃x（〃>0且〃工0）圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱；函數(shù)y="

與y=「（4>0且々工1）圖象關(guān)于y軸對(duì)稱；函數(shù)y=log[%與y=logqX（a>0且。工0）

a

圖象關(guān)于X軸對(duì)稱.

②記住兩個(gè)指數(shù)（對(duì)數(shù)）函數(shù)的圖象如何區(qū)別？

六、導(dǎo)數(shù)：

1?幾種常見(jiàn)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)

(1)(7=0(C為常數(shù))(2)(x〃)=nx""(〃￡Q)⑶(sinx)'=cosx⑷(cosx)'二-sinx⑸

(Inx/=—(6)(logaxy=—log/(7)(ex)'=ex(8)(axY=ax\na

xx

2-導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則

(1)(?±V)=M±V(2)(wv)=wv+wv(3)(—)=UV(v0).

VV

3-復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則

設(shè)函數(shù)〃=9(X)在點(diǎn)X處有導(dǎo)數(shù)％=Q(X)，函數(shù))；=/(〃)在點(diǎn)x處的對(duì)應(yīng)點(diǎn)U處

有導(dǎo)數(shù)以=/(〃)，則復(fù)合函數(shù)y=/(e(x))在點(diǎn)X處有導(dǎo)數(shù)，且”=”?〃；，或?qū)懽?/p>

f(以制)=/(〃)，*).

4?導(dǎo)數(shù)的幾何物理意義：

(1)幾何意義：k=f/(Xo)表示曲線y=f(x)在點(diǎn)P(Xo,f(Xo))的切線的斜率。

!

曲線在點(diǎn)P(Xo,f(Xo))處的切線方程為：y-f(x0)=f(x0)(x-x0)

(2)V=s/⑴表示即時(shí)速度,a=v?t)表示加速度。

5?單調(diào)區(qū)間的求解過(guò)程：已知y=

①分析＞=/(%)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)y'=/?)；

③解不等式:(幻＞0，解集在定義域內(nèi)的部分為增區(qū)間；解不等式廣(幻＜0，

解集在定義域內(nèi)的部分為減區(qū)間。(或用列表法，見(jiàn)課本)

6?求極大、極小值:已知y=/(x)

①分析y=，x)的定義域；

②求導(dǎo)數(shù)曠=/3；

③求解方程f\x)=0(設(shè)有根石五…，與)；

④列表判斷〃+1個(gè)區(qū)間內(nèi)導(dǎo)數(shù)的符號(hào)，判斷了a)j(w),…JK)是否為極值，

如果是，是極大還是極小值。

注：判別了(/)是極大(小)值的方法

當(dāng)函數(shù)/(幻在點(diǎn)X。處連續(xù)時(shí)，

(1)如果在與附近的左側(cè):。)＞0?右側(cè)rw＜o(jì)，則〃/)是極大值；

(2)如果在與附近的左側(cè)廣(幻＜0，右側(cè)/v)＞()?則八與)是極小值.

注意：f/(Xo)=O不能得到當(dāng)X=Xo時(shí)，函數(shù)有極值；但是，當(dāng)X=Xo時(shí)，函

數(shù)有極值=f(Xo)=0

7-求函數(shù)在某閉區(qū)間［a,b］上的最大、最小值：

①②③同上;④比較/⑷、/a))(w)，…J?)、7?，最大的為了")2，最

小的為/*濡.

注意：極值H最值；最值問(wèn)題一般僅在閉區(qū)間上研究(實(shí)際應(yīng)用題除外，即

應(yīng)用題中有開(kāi)區(qū)間問(wèn)題).

§3數(shù)列

-、數(shù)列的定義和基本問(wèn)題

1?通項(xiàng)公式：盤=，(〃)(用函數(shù)的觀念理解和研究數(shù)列，特別注意其定義域的

特殊性)；

2?前n項(xiàng)和:+；

3?通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和的關(guān)系(是數(shù)列的基本問(wèn)題也是考試的熱點(diǎn))：

S],n=\

a?=<

二、等差數(shù)列：

1,定義和等價(jià)定義:%=3(〃22)0｛〃“｝是等差數(shù)列；

2?通項(xiàng)公式：an=ax+(n-\)d=An+B；推廣：an=am+(/?-m)d；

3?前n項(xiàng)和公式：5“=生衛(wèi).〃=加|+迪二2[=4〃2+8〃；

4?重要性質(zhì)舉例：①a與b的等差中項(xiàng)A="；

2

②若m+〃=p+q,則+4；特別地：若m+〃=2p,則4〃,+?！?24；

③奇數(shù)項(xiàng)"嗎嗎，…成等差數(shù)列*公差為2d；偶數(shù)項(xiàng)4MM6，…成等差數(shù)列*公

差為2d.

④右有奇數(shù)項(xiàng)2〃+1項(xiàng),則Szn+i=(2〃+1)〃中；S奇-S偶=a中，S杼=n1〃中,S偶=P?'。中,

a=a

(an+l)/

若有偶數(shù)項(xiàng)2n項(xiàng)，則s偶-s奇=出，其中d為公差；

⑤設(shè)A=S0，B=S2nSn，C=S3nS2n-貝I」有2B=AiC；

⑥當(dāng)q>0,d<0時(shí)，S.有最大值；當(dāng)q<0,d>0時(shí)，S,有最小值.

⑦用一次函數(shù)理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式；用二次函數(shù)理解等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

公式.

(8)若等差數(shù)列｛%｝的前2〃-1項(xiàng)的和為S2“_「等差數(shù)列吼｝的前2〃-1項(xiàng)的和為

品”「則會(huì)=2

三、等比數(shù)列:

1,定義:—=之2當(dāng)00國(guó)工0)=｛4｝成等比數(shù)列；

%

nx

2,通項(xiàng)公式:an=axq~；推廣；

叫(q=1)

3?前n項(xiàng)和S”=4(1—/)a-aq一；(注意對(duì)公比的討論)

_2_=ZLx__an((q01)

\-q\-q

4?重要性質(zhì)舉例①a與b的等比中項(xiàng)GoG2="=G=±J茄(外。同號(hào));

②若加+〃=〃+g,貝；特別地：若m+〃=2p,則a,〃q=a；；

③設(shè)A=S「B=S2n-Sn?C=S3n-S2n*則有出=AC；

④用指數(shù)函數(shù)理解等比數(shù)列(當(dāng)4>0,夕>0,夕工1時(shí))的通項(xiàng)公式.

四、等差數(shù)列與等比數(shù)列的關(guān)系舉例

1?血｝成等差數(shù)列o付"｝成等比數(shù)列；2?｛叫成等比數(shù)列=｛喘可｝成等差

數(shù)列.

五、數(shù)列求和方法：

1-等差數(shù)列與等比數(shù)列；2?幾種特殊的求和方法

(1)裂項(xiàng)相消法；*=----------5----------=-^(—----------—)

(An+B)(An+C)C-BAn+BAn^-C

(2)錯(cuò)位相減法：其中也｝是等差數(shù)列,匕｝是等比數(shù)列

記S“=44+30+…+%TC〃T+%C〃；則夕S.=g+……+

(3)通項(xiàng)分解法：an=bH±cn

六、遞推數(shù)列與數(shù)列思想

1?遞推數(shù)列

(1)能根據(jù)遞推公式寫出數(shù)列的前幾項(xiàng)；

(2)常見(jiàn)題型：由/,⑸嗎)=0?求4,S”.解題思路：利用%=S〃-S,I，522)

2?數(shù)學(xué)思想

(1)迭加累加(等差數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法)若可-a”—=/(〃),(〃22)，則……；

(2)迭乘累乘(等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的推導(dǎo)方法)若&=g(〃)(〃Z2)，則……；

%

(3)逆序相加(等差數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法)；

(4)錯(cuò)位相減(等比數(shù)列求和公式的推導(dǎo)方法).

§4三角函數(shù)

一、三角函數(shù)的基本概念

1?終邊相同的角的表示方法(終邊在X軸上；終邊在y軸上；終邊在直線y=x

上；終邊在第一象限等)，理解弧度的意義，并能正確進(jìn)行弧度和角度的換算；

2-任意角的三角函數(shù)的定義(三個(gè)三角函數(shù))、三角函數(shù)的符號(hào)規(guī)律、特殊角

的三角函數(shù)值、同角三角函數(shù)的關(guān)系式(三個(gè)：平方關(guān)系、商數(shù)父系、倒數(shù)關(guān)

系)sin2<9+cos2^=1?tan^=^^-*l+tan2a=一二誘導(dǎo)公式(奇變偶不變,符號(hào)

co3cos-a..................

薄蒙眼；

二、兩角和與差的三角函數(shù)

1?和(差)角公式

(1)sin(a+/)二；(2)sin(a-p}-.

(3)cos(a+/?)=；(4)cos(a-p)=.

(5)tan(a+/7)=；(6)tan(a一夕)=.

2-二倍角公式：(1)sin2a二；

(2)cos2a===；

(3)tan2a=.

3?有用的公式

(1)升(降)帚公式：sin2a=--8s2a'cos2a=+C0S；sinacos?=—sin2a；

222

(2)輔助角公式：asina+bcosa=\la2+Z?2sin(a+cp)(0由a,。具體的值確定)；

(3)正切公式的變形：

c/C、，、"1tana+tan￡

tana+tan/>=tan(a+p)(l-tana-tanp)tan?-tan/>=1----------—

tan(a+ft)

4?有用的解題思路

(1)〃變角找思路，范圍保運(yùn)算〃；(2)〃降鬲——輔助角公式——正弦型

函數(shù)〃；

(3)巧用sina±cosa與sincrcosa的關(guān)系；(4)巧用二角函數(shù)線----數(shù)形結(jié)

口.

三、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1?列表綜合三個(gè)三角函數(shù)y=sinx，y=cosx,y=tanx的圖象與性質(zhì)，并挖

掘：

(1)最值的情況；(2)三函數(shù)的周期公式：

函數(shù)y=Asin(s+0)，XWR和函數(shù)y=Acos(?x+0)，XER(A,IO,0為常數(shù)，且AHO,

3>0)的周期7=女；若3未說(shuō)明大于0,則丁=生；函數(shù)尸tanQE+p)，

co\co\

xw%笈+乙,2￡Z(A,CO,°為常數(shù),且A/0?3>0)的周期7=2.

2co

(3)會(huì)從圖象歸納單調(diào)性、對(duì)稱軸和對(duì)稱中心；

),=sinx的單調(diào)遞增區(qū)間為限乃-工,2就+4級(jí)單調(diào)遞減區(qū)間為

_22_

2左萬(wàn)+^,2%乃+葛keZ,對(duì)稱軸為x=攵/+g(女eZ),對(duì)稱中心為(攵;r,0)(女wZ)

y=cosx的單調(diào)遞增區(qū)間為[2&乃-%,2左司ZwZ單調(diào)遞減區(qū)間為[2&乃,2攵乃+]]4€2，

對(duì)稱軸為x=A乃(2EZ),對(duì)稱中心為(版?+',())(k€Z)

y=tanx的單調(diào)遞增區(qū)間為(％乃-生,2乃+工keZ,對(duì)稱中心為(七肛0)(keZ)

<22J2

2?了解正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象的畫(huà)法，會(huì)用"五點(diǎn)法〃畫(huà)正弦、余

弦函數(shù)和函數(shù)y=Asin(5+0)的簡(jiǎn)圖,并能由圖象寫出解析式,

(1)〃五點(diǎn)法〃作圖的列表方式；

(2)求解析式〉=4$出(皿r+0)時(shí)初相夕的確定方法：代(最高、低)點(diǎn)法、

公式用=-紇

co

3?正弦型函數(shù))，=Asin(3x+o)的圖象變換

切記：y=Asin5------->y=Asin(^+(p)

注意圖象變換有時(shí)用向量表達(dá)?注意兩者之間的轉(zhuǎn)譯.

四、解三角形、

1?三個(gè)重要結(jié)論

(1)正弦定理：7T=\=2R(2R為三角形ABC的外接圓直徑)或

sinAsinBsinC

寫成:Z?:c=sinA:sinB:sinC

(2)余弦定理：a2=b2+c2-2abcosA,或?qū)懗蒫osA="+'...—

2ab

(3)二角形ABC面積公式：S=—absinC=-bcsinA=—easinB

222

2?在使用正弦定理時(shí)判斷一解或二解的方法：/ABC中,A>B?sinA>sinB

§5平面向量和空間向量

-、向量的基本概念

向量的定義、向量的模、零向量、單位向量、相反向量、共線向量、相等向

量.

二、加法與減法運(yùn)算

1?代數(shù)運(yùn)算

⑴4出+44+…=?

(2)若。=(x,,y,),1=(x2,y2)則?！?二(X,±x29yi±y2),

2?幾何表示：平行四邊形法則、三角形法則。

以向量而二Z、而=3為鄰邊作平行四邊形ABCD，則兩條對(duì)角線的向量

AC=a+1,

BD=b-a,DB=a-k且有%|-|3|W|"±B|4|3|+|B|?

3?運(yùn)算律

向量加法有如下規(guī)律：3+3=3+-交換律);

a+(g+c)=(a+1)+c(結(jié)合律)；a+0=aa+(-?)=0.

三、實(shí)數(shù)與向量的積

實(shí)數(shù)4與向量「的積是一個(gè)向量。1,|Z|=|4|?|5|；

(1)當(dāng)幾>0時(shí)7與［的方向相同；當(dāng)4<0時(shí)X3與［的方向相反；當(dāng)"0

時(shí)?2a=0-

(2)若。=(Xpjj)?則Q”=(孫，孫)?

2?兩個(gè)向量共線的充要條件：

(1)向量B與非零向量［共線的充要條件是：有且僅有一個(gè)實(shí)數(shù)2，使得

b=Za-

(2)若。二(%,以)，3二(九2，%)則〃II30再丫2一工2必二0?

四、平面向量基本定理

1?若I、砥是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量?則對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量

a?有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)4，丸2，使得白二力石+九最，

2?有用的結(jié)論：若冢、窈是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，若一對(duì)實(shí)數(shù)4，

%2,使得4I+，2I=。，則4二九二。-

五、向量的數(shù)量積；

1?向量的夾角：

已知兩個(gè)非零向量［與否，作蘇=zOB=則NA0B=6(0°<6^<180°)叫

做向量"與坂的夾角(兩個(gè)向量必須有相同的起點(diǎn))。

2?兩個(gè)向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量"與B，它們的夾角為。，

則〃?后二IaI?IBICOSO-其中|bICOS夕稱為向量B在々方向上的投影?

3?向量的數(shù)量積的性質(zhì)：若￡二(王，y),B=(x2,y2)

(1)e-a=a-e=\a\COSO("為單位向量)；

(2)ZJ_(oU=0o再再+%力=0(工',為非零向量)；

(3)IaI=\fa-a=舊+城；

(4)cose=需二,…產(chǎn).(可用于判定角是銳角還是鈍角)

I+H77^-77^7.........................

4?向量的數(shù)量積的運(yùn)算律：

六、點(diǎn)P分有向線段而所成的比

1?定義：設(shè)P1'「2是直線/上兩個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)P是/上不同于P1'「2的任意一點(diǎn)，

則存在一個(gè)實(shí)數(shù)4使和二4而，/I叫做點(diǎn)P分有向線段胭所成的比。

2?位置討論：

(1)當(dāng)點(diǎn)P在線段陋上時(shí)^>0;特別地：點(diǎn)P是線段P1P2的中點(diǎn)是2=1.

(2)當(dāng)點(diǎn)P在線段而或而的延長(zhǎng)線上時(shí)，義<0;

3?分點(diǎn)坐標(biāo)公式：若而=4而；R,P,g的坐標(biāo)分別為(西，弘)，(x,y)；

v1+42

(乂,為)；則］>="皿?(2/-1)*中點(diǎn)坐標(biāo)公式：

V=2L±Z2

11+4I2

4.三點(diǎn)共線定理：若3=工麗+必？貝I」A,B,C共線的充要條件是x+y=l

5.點(diǎn)的平移公式."一"o5?=而+而

y=y+k[^=y-k

(圖形F上的任意一點(diǎn)P(x-y)在平移后圖形F上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為P'(x,y)?且港的

坐標(biāo)為仇心).

七、空間向量

1.空間兩個(gè)向量的夾角公式

aQi+ab+/仇

cos(a?b)=22a-(4，出，生)’b=(々，4，4)).

Ja：+g+a；+匕；+b；

2.空間兩點(diǎn)間的距離公式若A(』，y,Z|)，B(x2,y2,z2)*則

§6不等式

一、不等式的基本性質(zhì)與定理

1?實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系:

2?不等式的性質(zhì):

(1)a>Z?=bva或avb=Z7>a(反對(duì)稱性)

(2)a>b^b>c=>a>c5^,a<b,b<c=>a<c(傳遞性)；

(3)a>b=>a+c>b+c

推論1:a+b>c=>a>c-b(移項(xiàng)法則)；推論2:a>b,c>d=a+c>b+d(同向

不等式相加)；(4)a>b,c>0=>ac>be?a>b,c<0=>ac<bc

推論1:a>b>0,c>d>0ac>bd；推論2:a>b>0-a">b"

(5)a>b>0=>yfa>y/b(neN,n>2)；(6)ab>Oa>b=>—<—(倒數(shù)法則)

yab

3?常用的基本不等式和重要的不等式

(1)ae/?,a2^0，H>0，當(dāng)且僅當(dāng)a=0取

(2)凡人￡氏，則(當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取〃=〃)

(3)a,bwR+，貝匕2而(當(dāng)且僅當(dāng)。=人時(shí)取〃=")

注：土也——算術(shù)平均數(shù)，瘋——幾何平均數(shù).

2

(4)(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取〃=〃)

4'最值定理：設(shè)尤,y>0,由%+、之2^^得

(1)如積孫=尸為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)x+y有最小值2戶；

(2)如和x+y=S為定值，則當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí).)，有最大值§)2.

即：積定和最小，和定積最大.

注：運(yùn)用最值定理求最值的三要素：一正二定三相等.

5-含絕對(duì)值的不等式性質(zhì)：向±|44〃±444+例(注意等號(hào)成立的情況).

二、解不等式

1?一兀一次不等式ax>b(a^Q))(1)a>0^xx>->；(2)a<0,x

2?(1)—兀一次不等式奴?+力x+c>()(或v0)(〃w0,△=/一4ac>0),如果a與

a^+bx+c同號(hào)?則其解集在兩根之外；如果〃與a^+^+c異號(hào)t則其解集在

兩根之間.簡(jiǎn)言之：同號(hào)兩根之外，異號(hào)兩根之間.

(2)重要結(jié)論：ar?+法+003。0)解集為R(即"?。對(duì)丫￡尺恒成立)，

則a>0,△<().(注：若二次函數(shù)系數(shù)含參數(shù)且未指明不為零時(shí)，需驗(yàn)證a=0).

3?絕對(duì)值不等式：

(1)零點(diǎn)分段討論一|司=["心°?

11[-aa<0

(2)轉(zhuǎn)化法：|/(x)|>g(x)=>/(%)>g(x)或f(x)v—g(x)；

|/(x)|<g(x)=>一g(%)</(x)<g(x)；

(3)數(shù)形結(jié)合

4.指數(shù)不等式與對(duì)數(shù)不等式

7a)>o

f(x)

(1)當(dāng)。>1B寸,a>浦⑴o/(x)>^(x)；log4J/(x)>log“g(x)=?g(x)>0.

/Og(x)

/a)>o

(2)當(dāng)0vav1時(shí),af(x)>aM=/(x)<g(x)；logJ(x)>log.g(x)o、g(x)>0

/W<g(x)

5?高次不等式、分式不等式——序軸標(biāo)根法(穿針引線法)

步驟：①形式：四Uo或P(x)Qa)>o(移項(xiàng)，一邊化為o，不要輕易去分母);

QM

②因式分解?化為積的形式(X系數(shù)符號(hào)>0——標(biāo)準(zhǔn)式)；③序軸標(biāo)根；④

寫出解集.

注意含參數(shù)的不等式的解的討論.

四、一個(gè)有用的結(jié)論

關(guān)于函數(shù))=%+e:

X

1,〃>0時(shí),當(dāng)x>0時(shí)工+4之2〃；當(dāng)xvO時(shí)工+。4-2行.在(0，G]'[-),0)

XX

上是減函數(shù)；在轉(zhuǎn))上是增函數(shù).

2,〃<o時(shí)，在（-oo,o）、（0,+8）上為增函數(shù).

§7直線與圓

-、直線的基本量

1?兩點(diǎn)間距離公式：若A（X|,y）B（X2，y2），貝=必產(chǎn)

特別地:AB〃x軸，則網(wǎng)=；AB〃y軸>則|陰=.

2?直線/:y=丘+。與圓錐曲線C：f（x,y）=0相交的弦AB長(zhǎng)公式

消去y得渥+法+c=0（務(wù)必注意A>0）,設(shè)A（X]，M）,B（X2，y2）則：

3?直線的傾斜角與斜率

（1）傾斜角ae[0,乃）；當(dāng)aw?^時(shí),直線的斜率左=tana.

（2）常見(jiàn)問(wèn)題：傾斜角范圍與斜率范圍的互化——右圖

4-直線在x軸和），軸上的截距：（1）截距非距離；（2）〃截距相等〃的含義.

二、直線的方程：

直線方程的五種形式：

（1）點(diǎn)斜式y(tǒng)-y=%（%-4）（直線/過(guò)點(diǎn)6（對(duì)K），且斜率為4）,

（2）斜截式y(tǒng)=kx+b[b為直線/在y軸上的截距）.

（3）兩點(diǎn)式'"6產(chǎn)%）（耳（知，1）'6（"2，、2）（石，%））?

y2f"不

（4）截距式4+2=1（°為分別為x軸y軸上的截距,且awO,bwO）

ab

（5）一般式Ar+By+C=0（其中A'B不同時(shí)為0）.

三、兩條直線的位置關(guān)系：

（1）右乙：y=4*+々，/2:y=k2）c+h2

⑵若4:Ax+gy+G=0J2：A2x+B2y+C2=0#

五、點(diǎn)到直線的距離

1?點(diǎn)P?,%）到直線Ax+By+C=0的距離：,尸+防+C|

2?平行線間距離：若Ax+B），+G=0、Ax+By+C2=o，則d=⑹一幺.

VA2+B2

注意點(diǎn)：x，y對(duì)應(yīng)項(xiàng)系數(shù)應(yīng)相等.且c產(chǎn)c?

六、圓：1?確定圓需三個(gè)獨(dú)立的條件

（1）標(biāo)準(zhǔn)方程：（x-a）2+（y-b）2=r2'其中圓心為（a,b），半徑為r.

（2）一般方程：/+V+以+七y+”=u（二+￡2一4”>o）其中圓心為（_/?,_￡），

22

半徑為〃=包工1-4尸.

2

2-直線4^+仍+。=0與圓(％-〃)2+(5-獷=/的位置關(guān)系：

設(shè)圓心C到直線I的距離為d,則相切=d=r，相交od<ro，相離od>r;

3?兩圓的位置關(guān)系：設(shè)兩圓的半徑分別為R和r，圓心距為d?則

外離=d>R+r?夕卜切od=R+r，相交<=>R-r<d<R+r*內(nèi)切od=R-r，內(nèi)

含=d<R-r;

§8圓錐曲線

一、橢圓,1?定義

(1)第一定義：若Fi，F(xiàn)2是兩定點(diǎn)，P為動(dòng)

點(diǎn)，且|「耳|+|「閭=勿>|耳聞(。為常數(shù))則P點(diǎn)

的軌跡是橢圓。

(2)第二定義：若Fi為定點(diǎn)，/為定直線,

動(dòng)點(diǎn)P到h的距離與到定直線/的距離之比為常

數(shù)e(0<e<l)，則P點(diǎn)的軌跡是橢圓。

2?標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)焦點(diǎn)在x軸上：鳥(niǎo)+馬=1(〃”>0);

ab

焦點(diǎn)在)，軸上：工+，=1(4>6>0)。

a-b-

(焦點(diǎn)的位置O標(biāo)準(zhǔn)方程形式)

3?幾何性質(zhì)(以焦點(diǎn)在X軸上為例)：

(1)范圍：-a<x<a-b<y<b

(2)對(duì)稱性：長(zhǎng)軸長(zhǎng)二2〃，短軸長(zhǎng)=2b，焦距=2c

2

(3)離心率e=￡，準(zhǔn)線方程］=±±

ac

(4)有用的結(jié)論：|產(chǎn)用=2々一歸周，a-c<\PF\<a+c*

頂點(diǎn)與準(zhǔn)線距離、焦點(diǎn)與準(zhǔn)線距離分別與〃也c有欠.

(5)”我心中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公式將有關(guān)線段|P周、|P片、

2c，有關(guān)角4P尸2結(jié)合起來(lái)，建立|P￡|十|P周、|P圖?|尸閭

等關(guān)系

二、雙曲線

1,定義：

(1)第一定義：若F「F2是兩定點(diǎn)，歸國(guó)-|尸國(guó)=2〃<山用(〃為常數(shù))?則動(dòng)

點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。(2)第二定義：若動(dòng)點(diǎn)P到定點(diǎn)F與定直線I的距離之

比是常數(shù)e(e>l)-則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是雙曲線。

2?標(biāo)準(zhǔn)方程

(1)焦點(diǎn)在/軸上：1(。>0,10);

a2b

焦點(diǎn)在y軸上：二---7=1(6?>0,Z?>0).

ab

(2)焦點(diǎn)的位置=標(biāo)準(zhǔn)方程形式

3?幾何性質(zhì)(以焦點(diǎn)在x軸上為例)

(1)范圍：x>a^x<-a'ye(^o,+oo)

(2)對(duì)稱性：實(shí)軸長(zhǎng)二2〃，虛軸長(zhǎng)=2b，焦距=2c.

(3)離心率e=￡，準(zhǔn)線方程工=±J

ac

(4)漸近線方程：4-4=0=>y=±^X,

ab~a

與此有關(guān)的結(jié)論：若漸近線方程為好±&n±±2=0n雙曲線可設(shè)為

aab

222222

5_彳=入；若雙曲線與.-馬=1有公共漸近線,可設(shè)為5一4=入(入>0，焦

ababab

點(diǎn)在x軸上；九<0，焦點(diǎn)在y軸上).

(5)當(dāng)時(shí)=離心率6=后=兩漸近線互相垂直，分別為y=±x?

此時(shí)雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為，一、2=九；

(6)注意APKK中結(jié)合定義|尸制-|尸磯=%與余弦定理

cosN"7",,將有關(guān)線段盧司、盧居|、|”勾和角結(jié)合|yf勺/CD

起來(lái)。Lf

三、拋物線—LL-t____>

1?定義：到定點(diǎn)F與定直線?的距離相等的點(diǎn)的軌

跡是拋物線。

即：到定點(diǎn)F的距離與到定直線I的距離之比是

常數(shù)e(e=l)。

2?標(biāo)準(zhǔn)方程(以焦點(diǎn)在x軸的正半軸為例)：y2=2px(p>0)(其中〃為焦點(diǎn)到

準(zhǔn)線的距離——焦參數(shù))；

3■幾何性質(zhì)

（1）焦點(diǎn)：（1,0）?通徑悶=2〃,準(zhǔn)線：x=-1；

（2）焦半徑：|cr|=與+]，過(guò)焦點(diǎn)弦長(zhǎng)|cq—Xj+1+X[+—=X]+匕+P?

（3）幾何特征：焦點(diǎn)到頂點(diǎn)的距離二^；焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離二p；通徑長(zhǎng)=2p

（通徑是最短的焦點(diǎn)弦）?頂點(diǎn)是焦點(diǎn)向準(zhǔn)線所作垂線段中點(diǎn)。

（4）拋物線V=2px上的動(dòng)點(diǎn)可設(shè)為P（正,乂）

2P

四、直線與圓錐曲線的關(guān)系判斷

1?直線與雙曲線：當(dāng)直線與雙曲線的漸進(jìn)線平行時(shí)■直線與雙曲線僅有一

個(gè)交點(diǎn).

2?直線與拋物線：當(dāng)直線與拋物線的對(duì)稱軸平行時(shí)?直線與拋物線僅有一

個(gè)交占

§9立體幾何

一、直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體：

1、學(xué)會(huì)三視圖的分析：

2、斜二測(cè)畫(huà)法應(yīng)注意的地方：

（1先E已知圖形中取互相垂直的軸OxOy畫(huà)直觀圖時(shí)把它畫(huà)成對(duì)應(yīng)軸。乂、

o'y'、使Nx'o'y'=45°（或135c）；（2）平行于x軸的線段長(zhǎng)不變，平行于

y軸的線段長(zhǎng)減半?（3）直觀圖中的45度原圖中就是90度，直觀圖中的9

0度原圖一定不是90度?

3、表（側(cè)）面積與體積公式：

⑴柱體：①表面積：S=S側(cè)+2S底；②側(cè)面積：S側(cè);③體積：V=S底h

⑵錐體：①表面積：S=S側(cè)+S底;②側(cè)面積：S側(cè)="/；③體積：V=：S底h:

（3）臺(tái)體①表面積:S=S惻+S上底S下底②側(cè)面積:S側(cè)=]（r+r）/

⑷球體：①表面積：S=4#；②體積：V=g或3

4、位置關(guān)系的證明（主要方法）：注意立體幾何證明的書(shū)寫

（1）直線與平面平行：①線線平行n線面平行；②面面平行n線面平行。

（2）平面與平面平行：①線面平行n面面平行。

（3）垂直問(wèn)題：線線垂直=線面垂直=面面垂直。核心是線面垂直：垂直

平面內(nèi)的兩條相交直線

5、求角：（步驟------1.找或作角；n.求角）

⑴異面直線所成角的求法：平移法：平移直線，構(gòu)造三角形；

⑵直線與平面所成的角：直線與射影所成的角

二、主要思想與方法

1-計(jì)算問(wèn)題：

（1）空間角的計(jì)算步驟：一作、二證、三算

異面直線所成的角范圍：0。</90。方法：①平移法；②補(bǔ)形法.

直線與平面所成的角范圍：0°<^<90°方法：關(guān)鍵是作垂線，找射影.

二面角方法：①定義法；②三垂線定理和其逆定理；③垂面法.

注：二面角的計(jì)算也可利用射影面積公式S二父。s分計(jì)算

（2）空間距離：兩點(diǎn)之間的距離、點(diǎn)到直線的距離、點(diǎn)到平面的距離、兩

條平行線間的距離、兩條異面直線間的距離、平面的平行直線與平面之間的距

離、兩個(gè)平行平面之間的距離.

七種距離都是指它們所在的兩個(gè)點(diǎn)集之間所含兩點(diǎn)的距離中最小的距離.七

種距離之間有密切聯(lián)系?有些可以相互轉(zhuǎn)化?如兩條平行線的距離可轉(zhuǎn)化為求

點(diǎn)到直線的距離，平行線面間的距離或平行平面間的距離都可轉(zhuǎn)化成點(diǎn)到平面

的距離.

在七種