2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第03講平面向量的數(shù)量積(含新定義解答題)(分層精練)(學生版+解析)

A． B．C．在方向上的投影向量為 D．與反向的單位向量是10．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知向量則下列說法正確的是（

）A．的相反向量是 B．若，則C．在上的投影數(shù)量為 D．若，則三、填空題11．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習）已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標為.12．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形中，已知，點滿足，且，則．四、解答題13．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知，.(1)若，求；(2)若與的夾角為，求；(3)若與垂直，求與的夾角．14．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）在四邊形中，已知，，.(1)若四邊形是矩形，求的值；(2)若四邊形是平行四邊形，且，求與夾角的余弦值.15．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，，分別是AD，DC的中點，為線段上一點（除端點外），且，設．(1)若，以為基底表示向量與；(2)求的取值范圍．B能力提升1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．3．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）設A，B，C，D為平面內四點，已知，，與的夾角為，M為AB的中點，，則的最大值為，此時．4．（23-24高一下·重慶·階段練習）已知正六邊形ABCDEF的邊長為1，若點H是正六邊形ABCDEF內或其邊界上的一點，則的最小值為；若點N為線段AE（含端點）上的動點，且滿足，則的最大值為.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（23-24高一下·福建三明·階段練習）利用平面向量的坐標表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標為復數(shù)的“復向量”，即可將有序復數(shù)對（其中）視為一個向量，記作，類比平面向量的相關運算法則，對于復向量，我們有如下運算法則：①②；③④(1)設，為虛數(shù)單位，求，，；(2)設是兩個復向量，①已知對于任意兩個平面向量，（其中），成立，證明：對于復向量，也成立；②當時，稱復向量與平行.若復向量與平行（其中為虛數(shù)單位，），求復數(shù).第03講平面向量的數(shù)量積(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·河南·階段練習）已知向量且，則（

）A．1 B．2 C．3 D．-1【答案】A【分析】根據(jù)向量垂直的坐標表示求解即可【詳解】由，得，解得，故選：A2．（23-24高一下·河南·階段練習）已知點，則（

）A． B．0 C．2 D．【答案】D【分析】先求出兩個向量的坐標，再根據(jù)數(shù)量積的坐標公式計算即可.【詳解】因為，所以，所以.故選：D.3．（23-24高一下·海南省直轄縣級單位·階段練習）已知向量滿足，且，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用向量夾角余弦公式求出，得到答案.【詳解】∵，且，，∵，∴.故選：B.4．（2024·河北·模擬預測）平面向量滿足，則在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用投影向量的定義求解即得.【詳解】依題意，在方向上的投影向量為.故選：D5．（23-24高三下·重慶·階段練習）已知，，若，則（

）A．1 B． C． D．【答案】A【分析】利用向量垂直的坐標表示即可求解.【詳解】，由得，解得.故選：A.6．（23-24高一下·甘肅金昌·階段練習）已知向量，若與垂直，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)與垂直，由求解.【詳解】解：，與垂直，，.故選：A.7．（23-24高一下·河南南陽·階段練習）已知向量的夾角為，且，則（

）A．6 B． C．3 D．【答案】A【分析】由平面向量減法的幾何意義，結合平面幾何的知識可解.【詳解】在邊長為6的等邊三角形中，設，則，故.故選：A8．（2024·全國·模擬預測）單位向量滿足，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】法一：將平方得，求出，再利用夾角公式求解；法二：設向量坐標化，確定，再利用向量夾角的坐標公式求解.【詳解】法一：因為，所以，所以.由是單位向量，得，故.所以，所以.因為，所以.法二：因為，所以.因為是單位向量，所以設，，，則，，，解得.取，則.因為，，所以.故選：B.二、多選題9．（2024·全國·模擬預測）已知向量．若，則（

）A． B．C．在方向上的投影向量為 D．與反向的單位向量是【答案】ABC【分析】利用平面向量的坐標運算及投影向量、單位向量的定義一一判定選項即可.【詳解】．．，即．，即，解得，則．對于A，，故A正確；對于B，因為，故B正確；對于C，在方向上的投影向量為，故正確；對于D，與反向的單位向量是，故D錯誤．故選:ABC．10．（23-24高一下·江西宜春·階段練習）已知向量則下列說法正確的是（

）A．的相反向量是 B．若，則C．在上的投影數(shù)量為 D．若，則【答案】AC【分析】由相反向量的定義判斷A；由向量垂直數(shù)量積為0判斷B；由投影數(shù)量的概念判斷C；由共線量的坐標運算判斷D.【詳解】對于A，由相反向量的定義，即可得到的相反向量是，故A正確；對于B，因為，所以，又，且，所以，解得，故B錯誤；對于C，因為，所以，，所以在上的投影數(shù)量為，故C正確；對于D，因為，又，且，所以，解得，故D錯誤.故選：AC.三、填空題11．（23-24高一下·湖北武漢·階段練習）已知，若向量滿足，則在方向上的投影向量的坐標為.【答案】【分析】根據(jù)數(shù)量積的運算律求得，根據(jù)投影向量的概念，即可求得答案.【詳解】由題意知，故，所以，而，則，故，則在方向上的投影向量為，即在方向上的投影向量的坐標為，故答案為：12．（2024·全國·模擬預測）在平行四邊形中，已知，點滿足，且，則．【答案】/【分析】根據(jù)平面向量的線性運算可得，，結合數(shù)量積的運算律和定義即可求解.【詳解】由題意得，，，，故，．故答案為：四、解答題13．（23-24高一下·廣東東莞·階段練習）已知，.(1)若，求；(2)若與的夾角為，求；(3)若與垂直，求與的夾角．【答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）由可得出的夾角為0或，再根據(jù),即可求出；（2）先求出,再利用模長公式求解；（3）根據(jù)與垂直，即可得出，從而可求出，進而得出與的夾角．【詳解】（1）∵，∴與的夾角為或，∴=;（2）；（3），∴∴，

，∴14．（23-24高一下·廣東惠州·階段練習）在四邊形中，已知，，.(1)若四邊形是矩形，求的值；(2)若四邊形是平行四邊形，且，求與夾角的余弦值.【答案】(1)(2)【分析】（1）以、作為一組基底表示出、，再根據(jù)數(shù)量積的運算律計算可得；（2）設與夾角為，結合（1）及數(shù)量積的定義計算可得.【詳解】（1）四邊形是矩形，，即，又，，，，，，，；（2）設與夾角為，由（1）得，，，即與夾角的余弦值．15．（23-24高一下·江蘇揚州·階段練習）如圖，在平面四邊形ABCD中，，分別是AD，DC的中點，為線段上一點（除端點外），且，設．(1)若，以為基底表示向量與；(2)求的取值范圍．【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由向量的線性運算可求得向量與.（2）先表示向量，再運用向量數(shù)量積的定義和運算律可求得，從而可求得取值范圍.【詳解】（1）依題意，，所以；由，得所以.（2）由（1）知，，依題意，，由，，得，因此，顯然，則，即，所以的取值范圍為.B能力提升1．（2024·內蒙古呼和浩特·一模）已知向量，則“”是“與的夾角為鈍角”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】B【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示以及夾角范圍計算，考慮向量反向的情況可得結論.【詳解】若“”可得，可得；當時，與的方向相反，其夾角為，即與的夾角為鈍角或平角，充分性不成立；若“與的夾角為鈍角”，即可知，解得，必要性成立；因此“”是“與的夾角為鈍角”的必要不充分條件.故選：B2．（23-24高一下·浙江·階段練習）已知，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】設向量，的夾角為，求得的表達式，利用平方的方法，結合余弦函數(shù)的值域等知識求得正確答案.【詳解】設向量，的夾角為，則，因為，所以，令，則，因為，所以，又，所以.故選：C上的動點，且滿足，則的最大值為.【答案】/-0.54【分析】從向量的數(shù)量積的定義入手理解，將數(shù)量積最小問題轉化為在上的投影數(shù)量最小問題，結合圖象易于找到，計算即得；根據(jù)題意，建立如圖坐標系，設動點，,表示出相關向量坐標代入題設條件，列出方程組，求出，計算的取值范圍即得.【詳解】

如圖，由向量數(shù)量積的幾何意義可知可理解為在上的投影數(shù)量與的乘積，要使最小，需使在上的投影數(shù)量最小，由圖知，當且僅當點與重合時，投影的數(shù)量最小，即，故；

如上圖，分別以所在直線為軸建立平面直角坐標系，則,不妨設，則，則，由代入坐標，即得，，解得：于是，因，故當且僅當時，的最大值為4.故答案為：C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（23-24高一下·福建三明·階段練習）利用平面向量的坐標表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標為復數(shù)的“復向量”，即可將有序復數(shù)對（其中）視為一個向量，記作，類比平面向量的相關運算法則，對于復向量，我們有如下運算法則：①②；③④(1)設，為虛數(shù)單位，求，，；(2)設是兩個復向量，①已知對于任意兩個平面向量，（其中），成立，證明：對于復向量，也成立；②當時，稱復向量與平行.若復向量與平行（其中為虛數(shù)單位，），求復數(shù).【答案】(1)，，(2)①證明見解析；②【分析】（1）根據(jù)①③④即可解題；（2）①設，由，得出，結合復數(shù)的三角不等式得即可證明；②由①中復數(shù)的三角不等式等號成立