2024-2025學(xué)年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義(新高考)第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用(知識(shí)+真題+5類高頻考點(diǎn))(精講)(學(xué)生版+解析)

第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：測(cè)量距離問(wèn)題 3高頻考點(diǎn)二：測(cè)量高度問(wèn)題 6高頻考點(diǎn)三：測(cè)量角度問(wèn)題 9高頻考點(diǎn)四：求平面幾何問(wèn)題 12高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問(wèn)題 14第四部分：新定義題 15第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、基線在測(cè)量過(guò)程中,我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線.為使測(cè)量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合的基線長(zhǎng)度.一般來(lái)說(shuō),基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.2、仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角3、方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.4、方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：5、坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即.第二部分：高考真題回顧1．（2021·全國(guó)·乙卷理）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：測(cè)量距離問(wèn)題典型例題例題1．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）第九屆中國(guó)國(guó)際“互聯(lián)網(wǎng)＋”大學(xué)生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機(jī)，加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)．如圖，某區(qū)域地面有四個(gè)5G基站，分別為A，B，C，D．已知C，D兩個(gè)基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測(cè)得，，，，則A，B兩個(gè)基站的距離為（

）A．km B．km C．15km D．km例題2．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是nmile，燈塔與處之間的距離是nmile．例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量得，．

(1)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(2)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）某次軍事演習(xí)中，炮臺(tái)向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺(tái)向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺(tái)均命中外的同一目標(biāo)，則兩炮臺(tái)在東西方向上的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，要測(cè)量河對(duì)岸C，D兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)A，B，并測(cè)得A，B間的距離為m，，，，，則C，D兩點(diǎn)間的距離為多少？3．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖是在沿海海面上相距海里的兩個(gè)哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1點(diǎn)發(fā)現(xiàn)其南偏東方向處有一艘走私船，同時(shí)，哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點(diǎn)南偏西的點(diǎn)，且與相距海里，試求：

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船與哨所的距離；(2)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？(3)若緝私艇得知走私船以海里/時(shí)的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/時(shí)的速度進(jìn)行追截，緝私艇至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能追上走私船？4．（23-24高一下·四川資陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，(1)若甲、乙都以每分鐘的速度同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達(dá)，乙出發(fā)1分鐘后到達(dá)，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn)．設(shè)，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請(qǐng)將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）海上某貨輪在處看燈塔在貨輪的北偏東，距離為海里；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為海里；貨輪向正北由處行駛到處時(shí)，若燈塔在南偏東的方向上，則燈塔與處之間的距離為多少海里？高頻考點(diǎn)二：測(cè)量高度問(wèn)題典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（

）A．64m B．74m C．52m D．91m例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達(dá)處，測(cè)得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫椋瑒t此山的高度.

例題3．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為米．

例題4．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如一朵盛開(kāi)的梅花，寓意花開(kāi)五福，福澤中原，它是美學(xué)與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場(chǎng)“大玉米”號(hào)稱中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學(xué)設(shè)計(jì)理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文化豐富的內(nèi)涵與深厚的底蘊(yùn).小米同學(xué)積極開(kāi)展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，用以下方法測(cè)量?jī)勺母叨?(1)為測(cè)量中原福塔高度，小米選擇視野開(kāi)闊的航海東路上一條水平基線，使共線，在三點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得的仰角分別為，其中測(cè)角儀的高度為米，為了測(cè)量距離，小米騎共享單車，速度為，從到耗時(shí)，從到耗時(shí)為原來(lái)的倍，求塔高.（參考數(shù)據(jù)：取，）

(2)為測(cè)量千璽廣場(chǎng)“大玉米”高度，小米選擇一條水平基線，使三點(diǎn)共線，在兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得的仰角分別為，，在處測(cè)得的仰角為，測(cè)角儀高度忽略不計(jì).小米使用智能手機(jī)運(yùn)動(dòng)測(cè)距功能，從河南藝術(shù)中心音樂(lè)廳入口臺(tái)階處運(yùn)動(dòng)到水景露天劇場(chǎng)的處，測(cè)得距離.

①試用，，，表示塔高；②若，，，米，求千璽廣場(chǎng)“大玉米”的實(shí)際高度.（參考數(shù)據(jù)：取，，）練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（

）A．米 B．米 C．50米 D．米2．（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽(yáng)樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度，他首先在處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡(jiǎn)稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國(guó)唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利的紀(jì)念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點(diǎn)處測(cè)得其頂點(diǎn)的仰角為?點(diǎn)處測(cè)得其頂點(diǎn)的仰角為，若米，且，則解放碑的高度米．4．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氦氣的密度低于氣球外的空氣密度以產(chǎn)生浮力飛行.熱氣球主要通過(guò)自帶的機(jī)載加熱器來(lái)調(diào)整氣囊中空氣的溫度，從而達(dá)到控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當(dāng)空氣受熱膨脹后，比重會(huì)變輕而向上升起.除娛樂(lè)作用外還可用于測(cè)量.如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，求山的高度.高頻考點(diǎn)三：測(cè)量角度問(wèn)題典型例題例題1．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點(diǎn)處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．例題2．（22-23高一下·河南商丘·階段練習(xí)）位于燈塔處正西方向相距海里的處有一艘甲船燃油耗盡，需要海上加油．位于燈塔處北偏東30°方向有一艘乙船（在處），乙船與甲船（在處）相距海里，乙船為了盡快給甲船進(jìn)行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（

）A．西偏南15° B．西偏南30°C．南偏西45° D．南偏西65°例題3．（22-23高三上·安徽·階段練習(xí)）某人從山的一側(cè)點(diǎn)看山頂?shù)难鼋菫椋缓笱貜牡缴巾數(shù)闹本€小道行走到達(dá)山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達(dá)另一側(cè)的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計(jì)），則其從點(diǎn)看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐?，的最大值為．例題4．（22-23高一下·浙江·期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)南偏東的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)正西方向且與B點(diǎn)相距100海里的D處的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為80海里/時(shí).(1)求B，C兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營(yíng)救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）練透核心考點(diǎn)1．（22-23高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時(shí)4海里的速度向正北航行，同時(shí)乙船自海島出發(fā)以每小時(shí)6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)航行一小時(shí)后，甲船在乙船的（

）A．北偏東30°方向 B．北偏東15°方向C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向2．（22-23高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫(huà)筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD，測(cè)得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．3．（21-22高一下·貴州黔東南·期中）如圖，某運(yùn)動(dòng)員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)的速度向東進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練，長(zhǎng)跑開(kāi)始時(shí)，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.

(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？(2)求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角.4．（20-21高二上·廣東東莞·期末）目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣表平原，處處都能見(jiàn)到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測(cè)對(duì)面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測(cè)得基站底部B的仰為37°，測(cè)得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測(cè)基站底部B的仰角為，觀測(cè)基站頂端A的仰角為β.試問(wèn)當(dāng)x多大時(shí)，觀測(cè)基站的視角∠ACB最大？參考數(shù)據(jù):.高頻考點(diǎn)四：求平面幾何問(wèn)題典型例題例題1．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，平面四邊形A?B?C?D，己知，，，，則A?B兩點(diǎn)的距離是（

）

A． B． C． D．例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形中，，，．(1)若該四邊形存在外接圓，且，求；(2)若，求．例題3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四邊形內(nèi)接于，若，，．(1)求線段的長(zhǎng)．(2)若，求的取值范圍．高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問(wèn)題典型例題例題1．（2024·江蘇鹽城·模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)．(1)若方程在上有2個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，求實(shí)數(shù)m的取值范圍；(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長(zhǎng)度．例題2．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）的內(nèi)角所對(duì)的邊分別為，且(1)若，求在上的投影向量；（用向量表示）(2)若，，為的平分線，為中線，求的值.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習(xí)）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，、、分別是角、、的對(duì)邊長(zhǎng)，若，，的面積為，求的值.2．（23-24高一下·陜西西安·階段練習(xí)）已知，且的圖象上相鄰兩條對(duì)稱軸之間的距離為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，求面積的最大值.第四部分：新定義題1．（23-24高一下·福建三明·階段練習(xí)）定義非零向量的（相伴函數(shù)）為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標(biāo)原點(diǎn)）(1)求的相伴向量；(2)求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；(3)已知點(diǎn)，其中為銳角中角的對(duì)邊．若角為，且向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值．求的取值范圍．2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標(biāo)原點(diǎn)．(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；(2)若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點(diǎn)恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；(3)在中，角的對(duì)邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．第05講正弦定理和余弦定理的應(yīng)用目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎(chǔ)知識(shí) 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò) 3高頻考點(diǎn)一：測(cè)量距離問(wèn)題 3高頻考點(diǎn)二：測(cè)量高度問(wèn)題 10高頻考點(diǎn)三：測(cè)量角度問(wèn)題 17高頻考點(diǎn)四：求平面幾何問(wèn)題 24高頻考點(diǎn)五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問(wèn)題 30第四部分：新定義題 34第一部分：基礎(chǔ)知識(shí)1、基線在測(cè)量過(guò)程中,我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線.為使測(cè)量具有較高的精確度,應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合的基線長(zhǎng)度.一般來(lái)說(shuō),基線越長(zhǎng),測(cè)量的精確度越高.2、仰角與俯角在目標(biāo)視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標(biāo)視線在水平視線上方的叫做仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方的叫做俯角3、方位角從某點(diǎn)的指北方向線起按順時(shí)針?lè)较虻侥繕?biāo)方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.4、方向角正北或正南方向線與目標(biāo)方向線所成的銳角，通常表達(dá)為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：5、坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長(zhǎng)度之比叫坡比(坡度)，即.第二部分：高考真題回顧1．（2021·全國(guó)·乙卷理）魏晉時(shí)劉徽撰寫(xiě)的《海島算經(jīng)》是有關(guān)測(cè)量的數(shù)學(xué)著作，其中第一題是測(cè)海島的高．如圖，點(diǎn)，，在水平線上，和是兩個(gè)垂直于水平面且等高的測(cè)量標(biāo)桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【分析】利用平面相似的有關(guān)知識(shí)以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【點(diǎn)睛】本題解題關(guān)鍵是通過(guò)相似建立比例式，圍繞所求目標(biāo)進(jìn)行轉(zhuǎn)化即可解出．第三部分：高頻考點(diǎn)一遍過(guò)高頻考點(diǎn)一：測(cè)量距離問(wèn)題典型例題例題1．（23-24高一下·山西運(yùn)城·階段練習(xí)）第九屆中國(guó)國(guó)際“互聯(lián)網(wǎng)＋”大學(xué)生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機(jī)，加快推進(jìn)“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設(shè)．如圖，某區(qū)域地面有四個(gè)5G基站，分別為A，B，C，D．已知C，D兩個(gè)基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測(cè)得，，，，則A，B兩個(gè)基站的距離為（

）A．km B．km C．15km D．km【答案】A【分析】首先求得，在中，運(yùn)用正弦定理求得，進(jìn)一步求得，由此在中利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，，由正弦定理得，，在中，易知，，所以，所以，由余弦定理得．故選：A.例題2．（23-24高一下·江蘇無(wú)錫·階段練習(xí)）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時(shí)，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是nmile，燈塔與處之間的距離是nmile．【答案】【分析】中，根據(jù)正弦定理，即可求解；中，根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】中，由已知得，，所以，由正弦定理得所以與之間的距離為；中，，由余弦定理，得，，所以燈塔與處之間的距離為.故答案為：24，例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習(xí)）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點(diǎn)A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設(shè)纜車勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度為，山路長(zhǎng)為，經(jīng)測(cè)量得，．

(1)問(wèn)乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(2)為使兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得，假設(shè)乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，利用余弦定理列方程，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.（2）根據(jù)“兩位游客在C處互相等待的時(shí)間不超過(guò)3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范圍.【詳解】（1）由題意，，且為鈍角、為銳角，所以，，在中，由正弦定理，可得，解得.所以索道的長(zhǎng)為，假設(shè)乙出發(fā)后（乙在纜車上），甲、乙兩游客距離為，此時(shí)甲行走了，乙距離處，由余弦定理得，因?yàn)椋?，又函?shù)的對(duì)稱軸為，開(kāi)口向上，所以當(dāng)時(shí)，甲、乙兩游客之間距離最短.（2）在中由正弦定理，解得，乙從出發(fā)時(shí)，甲已走了，還需要走才能到達(dá)，設(shè)乙步行的速度為，由題意得，解得，所以為了使兩位游客在處互相等待的時(shí)間不超過(guò)，乙步行的速度應(yīng)控制在（單位：）范圍之內(nèi).練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）某次軍事演習(xí)中，炮臺(tái)向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺(tái)向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺(tái)均命中外的同一目標(biāo)，則兩炮臺(tái)在東西方向上的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先求得之間在南北方向上的距離，繼而可求得兩炮臺(tái)在東西方向上的距離.【詳解】法一：由題意得，在北偏西方向上，之間在南北方向上的距離為，則在東西方向上的距離為，其中，

因此，法二：過(guò)炮臺(tái)點(diǎn)作東西方向的水平線交正北方向分別為點(diǎn)，則由圖知.故選：A.

2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，要測(cè)量河對(duì)岸C，D兩點(diǎn)間的距離，在河邊一側(cè)選定觀測(cè)點(diǎn)A，B，并測(cè)得A，B間的距離為m，，，，，則C，D兩點(diǎn)間的距離為多少？【答案】【分析】在中求出，在中求出，在中，利用余弦定理求解.【詳解】在中，，在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理可得：，解得.3．（23-24高一下·浙江·階段練習(xí)）如圖是在沿海海面上相距海里的兩個(gè)哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1點(diǎn)發(fā)現(xiàn)其南偏東方向處有一艘走私船，同時(shí)，哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點(diǎn)南偏西的點(diǎn)，且與相距海里，試求：

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船與哨所的距離；(2)剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？(3)若緝私艇得知走私船以海里/時(shí)的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/時(shí)的速度進(jìn)行追截，緝私艇至少需要多長(zhǎng)時(shí)間才能追上走私船？【答案】(1)(2)走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上(3)小時(shí)【分析】（1）在中根據(jù)正弦定理可得結(jié)果；（2）在中根據(jù)余弦定理可得結(jié)果；（3）在中由余弦定理可得結(jié)果.【詳解】（1）由在的南偏東，在的東北偏方向，在中，，由正弦定理得，，代入上式得：海里．答：走私船與觀測(cè)點(diǎn)的距離為海里；（2）在中，海里，海里，，．，，解得海里，又，且，所以，故剛發(fā)現(xiàn)走私船時(shí)，走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上．（3）設(shè)小時(shí)后緝私艇在處追上走私船，則，又，，在中，由余弦定理得，，化簡(jiǎn)得解得．故緝私艇至少需要小時(shí)追上走私船．

4．（23-24高一下·四川資陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，(1)若甲、乙都以每分鐘的速度同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達(dá)，乙出發(fā)1分鐘后到達(dá)，求此時(shí)甲、乙兩人之間的距離；(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點(diǎn)．設(shè)，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請(qǐng)將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）根據(jù)題意，得到和的長(zhǎng)，在中，利用余弦定理，即可求得甲乙兩人之間的距離；（2）再中，由正弦定理可得，可將甲乙之間的距離表示為的函數(shù)，進(jìn)而求得甲乙之間的最小距離．【詳解】（1）解：由題意，可得，在直角中，可得，因?yàn)?，所以，在中，由余弦定理?，所以，答：甲、乙兩人之間的距離為．（2）解：由題意，可得且，在直角中，可得在中，由正弦定理得，即，所以，所以當(dāng)時(shí)，有最小值答：甲、乙之間的最小距離為．5．（23-24高一下·上?！るA段練習(xí)）海上某貨輪在處看燈塔在貨輪的北偏東，距離為海里；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為海里；貨輪向正北由處行駛到處時(shí)，若燈塔在南偏東的方向上，則燈塔與處之間的距離為多少海里？【答案】.【分析】根據(jù)題意畫(huà)出圖形，利用正弦定理求出，再由余弦定理即可求得.【詳解】在中，，由正弦定理得，則，即，在中，，由余弦定理得，因此，解得，所以燈塔與處之間的距離為海里.高頻考點(diǎn)二：測(cè)量高度問(wèn)題典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）中國(guó)古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運(yùn)城市永濟(jì)市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩(shī)人王之渙的詩(shī)作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學(xué)為測(cè)量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點(diǎn)C處（B，C，N三點(diǎn)共線）測(cè)得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測(cè)得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（

）A．64m B．74m C．52m D．91m【答案】B【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解.【詳解】因?yàn)橹?，，，，所以，因?yàn)橹?，，，所以，由題意，，，則，在中，由正弦定理得，即，故，故.故選：B例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時(shí)測(cè)得公路北側(cè)一山底在西偏北的方向上；行駛后到達(dá)處，測(cè)得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度.

【答案】【分析】在中利用正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計(jì)算可得.【詳解】由題可得，，，則.則在中，由正弦定理，有.又在中，所以，則.故答案為：.例題3．（23-24高一下·湖南長(zhǎng)沙·階段練習(xí)）圣·索菲亞教堂坐落于中國(guó)黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風(fēng)格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標(biāo)志性建筑．其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對(duì)稱之美，可以讓游客從任何角度都能領(lǐng)略它的美．小明同學(xué)為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點(diǎn)M（B，M，D三點(diǎn)共線）處測(cè)得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測(cè)得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為米．

【答案】【分析】在中，利用正弦定理，得，再結(jié)合三角函數(shù)的定義，求得，，得解．【詳解】由題意知，，，所以，在中，，且在中，由正弦定理得，，所以，在中，米，所以小明估算索菲亞教堂的高度為米．故答案為：．例題4．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習(xí)）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如一朵盛開(kāi)的梅花，寓意花開(kāi)五福，福澤中原，它是美學(xué)與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場(chǎng)“大玉米”號(hào)稱中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學(xué)設(shè)計(jì)理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文化豐富的內(nèi)涵與深厚的底蘊(yùn).小米同學(xué)積極開(kāi)展數(shù)學(xué)研究性學(xué)習(xí)，用以下方法測(cè)量?jī)勺母叨?(1)為測(cè)量中原福塔高度，小米選擇視野開(kāi)闊的航海東路上一條水平基線，使共線，在三點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得的仰角分別為，其中測(cè)角儀的高度為米，為了測(cè)量距離，小米騎共享單車，速度為，從到耗時(shí)，從到耗時(shí)為原來(lái)的倍，求塔高.（參考數(shù)據(jù)：取，）

(2)為測(cè)量千璽廣場(chǎng)“大玉米”高度，小米選擇一條水平基線，使三點(diǎn)共線，在兩點(diǎn)用測(cè)角儀測(cè)得的仰角分別為，，在處測(cè)得的仰角為，測(cè)角儀高度忽略不計(jì).小米使用智能手機(jī)運(yùn)動(dòng)測(cè)距功能，從河南藝術(shù)中心音樂(lè)廳入口臺(tái)階處運(yùn)動(dòng)到水景露天劇場(chǎng)的處，測(cè)得距離.

①試用，，，表示塔高；②若，，，米，求千璽廣場(chǎng)“大玉米”的實(shí)際高度.（參考數(shù)據(jù)：取，，）【答案】(1)388米；(2)①；②280米【分析】（1）設(shè)，，分別用來(lái)表示，利用得與的關(guān)系，進(jìn)而用速度與時(shí)間關(guān)系求得，從而可得塔高；（2）①在中，，由正弦定理求得，在直角中，利用求解即可.②將，，，代入計(jì)算即可.【詳解】（1）設(shè)，，則由得，又到耗時(shí)為原來(lái)的倍，即，在中，，在中，,由由題，故所以（米）（2）①在中，，由正弦定理得：，在直角中，.②（米）【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：在解決測(cè)量相關(guān)應(yīng)用題時(shí)．需要注意的是，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件．這些條件往往隱含著相應(yīng)的解決方法，進(jìn)而利用這些條件應(yīng)用正弦定理和余弦定理計(jì)算即可.練透核心考點(diǎn)1．（23-24高一下·廣西·開(kāi)學(xué)考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學(xué)興趣小組成員為測(cè)量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點(diǎn)處進(jìn)行測(cè)量，如圖2.已知在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測(cè)得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（

）A．米 B．米 C．50米 D．米【答案】B【分析】利用仰角的定義及銳角三角函數(shù)，結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知，,,設(shè)米，則在中，米，在中，米.由余弦定理可得，即，解得.因?yàn)槊?，所以?故選：B.2．（2024·湖南岳陽(yáng)·二模）岳陽(yáng)樓地處岳陽(yáng)古城西門(mén)城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽(yáng)樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽(yáng)天下樓”之美譽(yù)．小明為了測(cè)量岳陽(yáng)樓的高度，他首先在處，測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．【答案】【分析】在中，用表示，在中，用表示，根據(jù)的長(zhǎng)，可求解.【詳解】中，，，，中，，，，因?yàn)槊?，所以，解得：故答案為?．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習(xí)）抗戰(zhàn)勝利紀(jì)功碑暨人民解放紀(jì)念碑，簡(jiǎn)稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國(guó)唯一一座紀(jì)念中華民族抗日戰(zhàn)爭(zhēng)勝利的紀(jì)念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點(diǎn)處測(cè)得其頂點(diǎn)的仰角為?點(diǎn)處測(cè)得其頂點(diǎn)的仰角為，若米，且，則解放碑的高度米．【答案】/【分析】設(shè)，由直角三角形三角函數(shù)定義可得，再在中利用余弦定理可解.【詳解】設(shè)，則，在中：，則得到米.故答案為：4．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習(xí)）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氦氣的密度低于氣球外的空氣密度以產(chǎn)生浮力飛行.熱氣球主要通過(guò)自帶的機(jī)載加熱器來(lái)調(diào)整氣囊中空氣的溫度，從而達(dá)到控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當(dāng)空氣受熱膨脹后，比重會(huì)變輕而向上升起.除娛樂(lè)作用外還可用于測(cè)量.如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測(cè)到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，求山的高度.【答案】【分析】先根據(jù)已知條件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根據(jù)的關(guān)系求解出.【詳解】因?yàn)?，，，所以，所以，又因?yàn)?，所以，又在中由正弦定理，即，所以，所?高頻考點(diǎn)三：測(cè)量角度問(wèn)題典型例題例題1．（23-24高三上·山東泰安·階段練習(xí)）公路北側(cè)有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點(diǎn)處測(cè)得樓頂?shù)难鼋菫椋诠飞献晕飨驏|行走，行走60米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為，沿該方向再行走60米到點(diǎn)處，測(cè)得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】畫(huà)出相應(yīng)圖形后計(jì)算出點(diǎn)到該樓的距離，結(jié)合勾股定理與正弦定義計(jì)算即可得.【詳解】如圖所示，由題意有，，則有，故，則，故，則.故選：A.例題2．（22-23高一下·河南商丘·階段練習(xí)）位于燈塔處正西方向相距海里的處有一艘甲船燃油耗盡，需要海上加油．位于燈塔處北偏東30°方向有一艘乙船（在處），乙船與甲船（在處）相距海里，乙船為了盡快給甲船進(jìn)行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（

）A．西偏南15° B．西偏南30°C．南偏西45° D．南偏西65°【答案】A【分析】運(yùn)用正弦定理求出即可.【詳解】如圖，

，由正弦定理得，解得．因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以乙船航行的最佳方向?yàn)槲髌?故選：A.例題3．（22-23高三上·安徽·階段練習(xí)）某人從山的一側(cè)點(diǎn)看山頂?shù)难鼋菫?，然后沿從到山頂?shù)闹本€小道行走到達(dá)山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達(dá)另一側(cè)的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計(jì)），則其從點(diǎn)看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐?，的最大值為．【答案?0.75【分析】由題意，作圖，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及圖形關(guān)系，可得答案.【詳解】由題意，設(shè)山頂為點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作垂直與所在的水平面，如下圖所示：則，，，在中，，；在中，，易知為從點(diǎn)看山頂?shù)难鼋?，即從點(diǎn)看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐?；在中，，由圖可知，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故的最大值為.故答案為：；.例題4．（22-23高一下·浙江·期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，現(xiàn)位于A點(diǎn)北偏東，B點(diǎn)南偏東的C處有一艘漁船遇險(xiǎn)后拋錨發(fā)出求救信號(hào)，位于B點(diǎn)正西方向且與B點(diǎn)相距100海里的D處的救援船立即前往營(yíng)救，其航行速度為80海里/時(shí).(1)求B，C兩點(diǎn)間的距離；(2)該救援船前往營(yíng)救漁船時(shí)應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達(dá)C處需要多長(zhǎng)時(shí)間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】(1)60海里(2)方向是南偏東，需要的時(shí)間為小時(shí).【分析】（1）求得度數(shù)，根據(jù)正弦定理即可求得答案；（2）確定的度數(shù)，由余弦定理即可求得的長(zhǎng)，即可求得救援時(shí)間，利用余弦定理求出的值，即可求得應(yīng)該沿南偏東多少度的方向航行.【詳解】（1）依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點(diǎn)間的距離為60海里.（2）依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達(dá)C處需要的時(shí)間為小時(shí)，在中，由余弦定理得,因?yàn)?，所以，所以該救援船前往營(yíng)救漁船時(shí)的方向是南偏東﹒練透核心考點(diǎn)1．（22-23高一下·湖北武漢·階段練習(xí)）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時(shí)4海里的速度向正北航行，同時(shí)乙船自海島出發(fā)以每小時(shí)6海里的速度向北偏東60°的方向駛?cè)ィ?dāng)航行一小時(shí)后，甲船在乙船的（

）A．北偏東30°方向 B．北偏東15°方向C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向【答案】C【分析】結(jié)合題意畫(huà)出相應(yīng)圖形，即可得答案.【詳解】由題，1小時(shí)后，甲船來(lái)到C處，則，則.又由題可知，此時(shí)，乙船來(lái)到D處，，結(jié)合BD是北偏東60°方向，則.又，則，即此時(shí)乙在甲的北偏東30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故選：C

2．（22-23高一下·云南曲靖·階段練習(xí)）冬奧會(huì)會(huì)徽以漢字“冬”為靈感來(lái)源，結(jié)合中國(guó)書(shū)法的藝術(shù)形態(tài)，將悠久的中國(guó)傳統(tǒng)文化底蘊(yùn)與國(guó)際化風(fēng)格融為一體，呈現(xiàn)出中國(guó)在新時(shí)代的新形象、新夢(mèng)想.某同學(xué)查閱資料得知，書(shū)法中的一些特殊畫(huà)筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書(shū)法中的美學(xué)要求，該同學(xué)取端點(diǎn)繪制了△ABD，測(cè)得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點(diǎn)C恰好在邊BD上，請(qǐng)幫忙計(jì)算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，由余弦定理得，進(jìn)而求出，再在中，利用正弦定理得解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；因?yàn)椋?，在中，由正弦定理所以，解?故選：D3．（21-22高一下·貴州黔東南·期中）如圖，某運(yùn)動(dòng)員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時(shí)的速度向東進(jìn)行長(zhǎng)跑訓(xùn)練，長(zhǎng)跑開(kāi)始時(shí)，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運(yùn)動(dòng)員同時(shí)出發(fā)，要追上這位運(yùn)動(dòng)員.

(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運(yùn)動(dòng)員？(2)求小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角.【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在處相遇，利用余弦定理求出關(guān)于的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識(shí)可求出的最小值；（2）由正弦定理可求出結(jié)果.【詳解】（1）如圖，設(shè)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時(shí)后與運(yùn)動(dòng)員在處相遇，

在中，，故由余弦定理求得，則，整理得，當(dāng)時(shí)，即時(shí)，，故.即小艇至少以每小時(shí)的速度從處出發(fā)才能追上運(yùn)動(dòng)員.（2）當(dāng)小艇以每小時(shí)的速度從處出發(fā)，經(jīng)過(guò)時(shí)間小時(shí)追上運(yùn)動(dòng)員，故，又，由正弦定理得，解得，故.即小艇以最小速度行駛時(shí)的行駛方向與的夾角為.4．（20-21高二上·廣東東莞·期末）目前，中國(guó)已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡(luò)，無(wú)論是大山深處還是廣表平原，處處都能見(jiàn)到5G基站的身影.如圖，某同學(xué)在一條水平公路上觀測(cè)對(duì)面山項(xiàng)上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學(xué)眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學(xué)在初始位置C處（眼睛所在位置）測(cè)得基站底部B的仰為37°，測(cè)得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結(jié)果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當(dāng)該同學(xué)面向基站AB前行時(shí)（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學(xué)所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測(cè)基站底部B的仰角為，觀測(cè)基站頂端A的仰角為β.試問(wèn)當(dāng)x多大時(shí)，觀測(cè)基站的視角∠ACB最大？參考數(shù)據(jù):.【答案】(1)(2)，∠ACB最大【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；（2）易得，分別在在和在中，求出，再根據(jù)兩角和的正切公式結(jié)合基本不等式求出取得最大值時(shí)，的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由題意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由題意知，且，則，在中，，在中，，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，所以取得最大值時(shí)，，又因?yàn)?，所以此時(shí)最大，所以當(dāng)時(shí)，最大.高頻考點(diǎn)四：求平面幾何問(wèn)題典型例題例題1．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習(xí)）如圖，平面四邊形A?B?C?D，己知，，，，則A?B兩點(diǎn)的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正余弦定理計(jì)算即可.【詳解】由題意可知在中，有，，，所以，由正弦定理可得，而，故，又，在中，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得.故選：B例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習(xí)）如圖，已知在平面四邊形中，，，．(1)若該四邊形存在外接圓，且，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)外接圓得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出；（2）設(shè)，則，由正弦定理得到方程組，求出，由正弦定理求出答案.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅未嬖谕饨訄A，則，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，解得；（2）設(shè)，則，分別在、中用正弦定理可得，則，，則，，則或（舍），故.例題3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四邊形內(nèi)接于，若，，．(1)求線段的長(zhǎng)．(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解，（2）根據(jù)余弦定理得，進(jìn)而根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】（1）由題知，，所以，根據(jù)余弦定理，，即，．所以，所以．所以．（2）因?yàn)樗?，所以（?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)）又,所以．練透核心考點(diǎn)1．（2023高三上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖，在平面四邊形中，．記的面積為，的面積為．，則S的最大值為．【答案】/【分析】利用余弦定理表示出，可得到，結(jié)合同角三角函數(shù)平方關(guān)系，代入三角形面積公式中，可得的表達(dá)式，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得最大值.【詳解】在和中，由余弦定理有，則，．，當(dāng)時(shí)，S取得最大值．故答案為：.2．（23-24高三上·廣東汕頭·期中）在凸四邊形中，對(duì)角線交于點(diǎn)，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求邊的長(zhǎng).【答案】(1)(2)【分析】（1）設(shè)，在與中，分別利用余弦定理建立方程求解，然后在中由余弦定理求解；（2）在中由正弦定理得，從而求得，進(jìn)一步利用直角三角形的性質(zhì)得，，在中由余弦定理求解即可.【詳解】（1）因?yàn)?，所以，設(shè)，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得；（2）在中，由正弦定理得，所以，又為三角形的內(nèi)角，所以，所以，，且，所以，又，在中，由余弦定理得，所以.3．（2023·河南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析【分析】（1）設(shè)，根據(jù)面積得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，進(jìn)而求出，從而求出的值；（2）在中，由正弦定理得，結(jié)合（1）中，由角的范圍得到.【詳解】（1）設(shè)，因?yàn)榈拿娣e為