2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第05講正弦定理和余弦定理的應用(知識+真題+5類高頻考點)(精講)(學生版+解析)

第05講正弦定理和余弦定理的應用目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：測量距離問題 3高頻考點二：測量高度問題 6高頻考點三：測量角度問題 9高頻考點四：求平面幾何問題 12高頻考點五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 14第四部分：新定義題 15第一部分：基礎知識1、基線在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應根據(jù)實際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.2、仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角3、方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.4、方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：5、坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即.第二部分：高考真題回顧1．（2021·全國·乙卷理）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：測量距離問題典型例題例題1．（23-24高一下·山西運城·階段練習）第九屆中國國際“互聯(lián)網(wǎng)＋”大學生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機，加快推進“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設．如圖，某區(qū)域地面有四個5G基站，分別為A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（

）A．km B．km C．15km D．km例題2．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是nmile，燈塔與處之間的距離是nmile．例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經(jīng)測量得，．

(1)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(2)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？練透核心考點1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）某次軍事演習中，炮臺向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺均命中外的同一目標，則兩炮臺在東西方向上的距離為（

）A． B． C． D．2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）如圖，要測量河對岸C，D兩點間的距離，在河邊一側選定觀測點A，B，并測得A，B間的距離為m，，，，，則C，D兩點間的距離為多少？3．（23-24高一下·浙江·階段練習）如圖是在沿海海面上相距海里的兩個哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1點發(fā)現(xiàn)其南偏東方向處有一艘走私船，同時，哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點南偏西的點，且與相距海里，試求：

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船與哨所的距離；(2)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？(3)若緝私艇得知走私船以海里/時的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/時的速度進行追截，緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？4．（23-24高一下·四川資陽·階段練習）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，(1)若甲、乙都以每分鐘的速度同時從點出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達，乙出發(fā)1分鐘后到達，求此時甲、乙兩人之間的距離；(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點．設，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．（23-24高一下·上?！るA段練習）海上某貨輪在處看燈塔在貨輪的北偏東，距離為海里；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為海里；貨輪向正北由處行駛到處時，若燈塔在南偏東的方向上，則燈塔與處之間的距離為多少海里？高頻考點二：測量高度問題典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（

）A．64m B．74m C．52m D．91m例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山底在西偏北的方向上；行駛后到達處，測得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度.

例題3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑．其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美．小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為米．

例題4．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如一朵盛開的梅花，寓意花開五福，福澤中原，它是美學與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場“大玉米”號稱中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學設計理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文化豐富的內(nèi)涵與深厚的底蘊.小米同學積極開展數(shù)學研究性學習，用以下方法測量兩座塔的高度.(1)為測量中原福塔高度，小米選擇視野開闊的航海東路上一條水平基線，使共線，在三點用測角儀測得的仰角分別為，其中測角儀的高度為米，為了測量距離，小米騎共享單車，速度為，從到耗時，從到耗時為原來的倍，求塔高.（參考數(shù)據(jù)：取，）

(2)為測量千璽廣場“大玉米”高度，小米選擇一條水平基線，使三點共線，在兩點用測角儀測得的仰角分別為，，在處測得的仰角為，測角儀高度忽略不計.小米使用智能手機運動測距功能，從河南藝術中心音樂廳入口臺階處運動到水景露天劇場的處，測得距離.

①試用，，，表示塔高；②若，，，米，求千璽廣場“大玉米”的實際高度.（參考數(shù)據(jù)：取，，）練透核心考點1．（23-24高一下·廣西·開學考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學興趣小組成員為測量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點處進行測量，如圖2.已知在處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（

）A．米 B．米 C．50米 D．米2．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）抗戰(zhàn)勝利紀功碑暨人民解放紀念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點處測得其頂點的仰角為?點處測得其頂點的仰角為，若米，且，則解放碑的高度米．4．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氦氣的密度低于氣球外的空氣密度以產(chǎn)生浮力飛行.熱氣球主要通過自帶的機載加熱器來調(diào)整氣囊中空氣的溫度，從而達到控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當空氣受熱膨脹后，比重會變輕而向上升起.除娛樂作用外還可用于測量.如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，求山的高度.高頻考點三：測量角度問題典型例題例題1．（23-24高三上·山東泰安·階段練習）公路北側有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點處測得樓頂?shù)难鼋菫椋诠飞献晕飨驏|行走，行走60米到點處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點處，測得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．例題2．（22-23高一下·河南商丘·階段練習）位于燈塔處正西方向相距海里的處有一艘甲船燃油耗盡，需要海上加油．位于燈塔處北偏東30°方向有一艘乙船（在處），乙船與甲船（在處）相距海里，乙船為了盡快給甲船進行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（

）A．西偏南15° B．西偏南30°C．南偏西45° D．南偏西65°例題3．（22-23高三上·安徽·階段練習）某人從山的一側點看山頂?shù)难鼋菫?，然后沿從到山頂?shù)闹本€小道行走到達山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達另一側的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計），則其從點看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐?，的最大值為．例題4．（22-23高一下·浙江·期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東，B點南偏東的C處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點正西方向且與B點相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.(1)求B，C兩點間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時應該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達C處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）練透核心考點1．（22-23高一下·湖北武漢·階段練習）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時4海里的速度向正北航行，同時乙船自海島出發(fā)以每小時6海里的速度向北偏東60°的方向駛去，當航行一小時后，甲船在乙船的（

）A．北偏東30°方向 B．北偏東15°方向C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向2．（22-23高一下·云南曲靖·階段練習）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結合中國書法的藝術形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學要求，該同學取端點繪制了△ABD，測得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．3．（21-22高一下·貴州黔東南·期中）如圖，某運動員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時的速度向東進行長跑訓練，長跑開始時，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運動員同時出發(fā)，要追上這位運動員.

(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？(2)求小艇以最小速度行駛時的行駛方向與的夾角.4．（20-21高二上·廣東東莞·期末）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當該同學面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當x多大時，觀測基站的視角∠ACB最大？參考數(shù)據(jù):.高頻考點四：求平面幾何問題典型例題例題1．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，平面四邊形A?B?C?D，己知，，，，則A?B兩點的距離是（

）

A． B． C． D．例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖，已知在平面四邊形中，，，．(1)若該四邊形存在外接圓，且，求；(2)若，求．例題3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四邊形內(nèi)接于，若，，．(1)求線段的長．(2)若，求的取值范圍．高頻考點五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題典型例題例題1．（2024·江蘇鹽城·模擬預測）已知函數(shù)．(1)若方程在上有2個不同的實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；(2)在中，若，內(nèi)角A的角平分線，，求AC的長度．例題2．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）的內(nèi)角所對的邊分別為，且(1)若，求在上的投影向量；（用向量表示）(2)若，，為的平分線，為中線，求的值.練透核心考點1．（23-24高一下·廣東湛江·階段練習）已知函數(shù).(1)求的最小正周期及單調(diào)遞增區(qū)間；(2)在中，、、分別是角、、的對邊長，若，，的面積為，求的值.2．（23-24高一下·陜西西安·階段練習）已知，且的圖象上相鄰兩條對稱軸之間的距離為.(1)求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若的內(nèi)角的對邊分別為，且，求面積的最大值.第四部分：新定義題1．（23-24高一下·福建三明·階段練習）定義非零向量的（相伴函數(shù)）為，向量稱為函數(shù)的“相伴向量”（其中為坐標原點）(1)求的相伴向量；(2)求（1）中函數(shù)的“相伴向量”模的取值范圍；(3)已知點，其中為銳角中角的對邊．若角為，且向量的“相伴函數(shù)”在處取得最大值．求的取值范圍．2．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）定義函數(shù)的“源向量”為，非零向量的“伴隨函數(shù)”為，其中為坐標原點．(1)若向量的“伴隨函數(shù)”為，求在的值域；(2)若函數(shù)的“源向量”為，且以為圓心，為半徑的圓內(nèi)切于正（頂點恰好在軸的正半軸上），求證：為定值；(3)在中，角的對邊分別為，若函數(shù)的“源向量”為，且已知，求的取值范圍．第05講正弦定理和余弦定理的應用目錄TOC\o"1-2"\h\u第一部分：基礎知識 1第二部分：高考真題回顧 2第三部分：高頻考點一遍過 3高頻考點一：測量距離問題 3高頻考點二：測量高度問題 10高頻考點三：測量角度問題 17高頻考點四：求平面幾何問題 24高頻考點五：三角函數(shù)與解三角形的交匯問題 30第四部分：新定義題 34第一部分：基礎知識1、基線在測量過程中,我們把根據(jù)測量的需要而確定的線段叫做基線.為使測量具有較高的精確度,應根據(jù)實際需要選取合的基線長度.一般來說,基線越長,測量的精確度越高.2、仰角與俯角在目標視線與水平視線(兩者在同一鉛垂平面內(nèi))所成的角中，目標視線在水平視線上方的叫做仰角，目標視線在水平視線下方的叫做俯角3、方位角從某點的指北方向線起按順時針方向到目標方向線之間的夾角叫做方位角．方位角的范圍是.4、方向角正北或正南方向線與目標方向線所成的銳角，通常表達為北(南)偏東(西)，例：(1)北偏東：(2)南偏西：5、坡角與坡比坡面與水平面所成的銳二面角叫坡角(為坡角)；坡面的垂直高度與水平長度之比叫坡比(坡度)，即.第二部分：高考真題回顧1．（2021·全國·乙卷理）魏晉時劉徽撰寫的《海島算經(jīng)》是有關測量的數(shù)學著作，其中第一題是測海島的高．如圖，點，，在水平線上，和是兩個垂直于水平面且等高的測量標桿的高度，稱為“表高”，稱為“表距”，和都稱為“表目距”，與的差稱為“表目距的差”則海島的高（

）A．表高 B．表高C．表距 D．表距【答案】A【分析】利用平面相似的有關知識以及合分比性質(zhì)即可解出．【詳解】如圖所示：由平面相似可知，，而，所以，而，即＝．故選：A.【點睛】本題解題關鍵是通過相似建立比例式，圍繞所求目標進行轉(zhuǎn)化即可解出．第三部分：高頻考點一遍過高頻考點一：測量距離問題典型例題例題1．（23-24高一下·山西運城·階段練習）第九屆中國國際“互聯(lián)網(wǎng)＋”大學生創(chuàng)業(yè)大賽于2023年10月16日至21日在天津舉辦，天津市以此為契機，加快推進“5G＋光網(wǎng)”雙千兆城市建設．如圖，某區(qū)域地面有四個5G基站，分別為A，B，C，D．已知C，D兩個基站建在河的南岸，距離為20km，基站A，B在河的北岸，測得，，，，則A，B兩個基站的距離為（

）A．km B．km C．15km D．km【答案】A【分析】首先求得，在中，運用正弦定理求得，進一步求得，由此在中利用余弦定理即可求解.【詳解】在中，，由正弦定理得，，在中，易知，，所以，所以，由余弦定理得．故選：A.例題2．（23-24高一下·江蘇無錫·階段練習）某貨輪在處看燈塔在貨輪北偏東方向上，距離為nmile；在處看燈塔在貨輪的北偏西方向上，距離．貨輪由處向正北航行到處時，再看燈塔在南偏東方向上，處與處之間的距離是nmile，燈塔與處之間的距離是nmile．【答案】【分析】中，根據(jù)正弦定理，即可求解；中，根據(jù)余弦定理，即可求解.【詳解】中，由已知得，，所以，由正弦定理得所以與之間的距離為；中，，由余弦定理，得，，所以燈塔與處之間的距離為.故答案為：24，例題3．（23-24高一下·廣東廣州·階段練習）如圖，游客從某旅游景區(qū)的景點A處下山至C處有兩種路徑．一種是從A沿直線步行到C，另一種是先從A沿索道乘纜車到B，然后從B沿直線步行到C，現(xiàn)有甲、乙兩位游客從A處下山，甲沿勻速步行，速度為，在甲出發(fā)后，乙從A乘纜車到B，在B處停留后，再勻速步行到C，假設纜車勻速直線運動的速度為，山路長為，經(jīng)測量得，．

(1)問乙出發(fā)多少分鐘后，乙在纜車上與甲的距離最短？(2)為使兩位游客在C處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在什么范圍內(nèi)？【答案】(1)(2)【分析】（1）先求得，然后由正弦定理求得，假設乙出發(fā)后，甲、乙兩游客距離為，利用余弦定理列方程，結合二次函數(shù)的性質(zhì)求得的最小值.（2）根據(jù)“兩位游客在C處互相等待的時間不超過3min”列不等式，由此求得乙步行的速度的范圍.【詳解】（1）由題意，，且為鈍角、為銳角，所以，，在中，由正弦定理，可得，解得.所以索道的長為，假設乙出發(fā)后（乙在纜車上），甲、乙兩游客距離為，此時甲行走了，乙距離處，由余弦定理得，因為，即，又函數(shù)的對稱軸為，開口向上，所以當時，甲、乙兩游客之間距離最短.（2）在中由正弦定理，解得，乙從出發(fā)時，甲已走了，還需要走才能到達，設乙步行的速度為，由題意得，解得，所以為了使兩位游客在處互相等待的時間不超過，乙步行的速度應控制在（單位：）范圍之內(nèi).練透核心考點1．（23-24高一下·湖南衡陽·階段練習）某次軍事演習中，炮臺向北偏東方向發(fā)射炮彈，炮臺向北偏西方向發(fā)射炮彈，兩炮臺均命中外的同一目標，則兩炮臺在東西方向上的距離為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)題意先求得之間在南北方向上的距離，繼而可求得兩炮臺在東西方向上的距離.【詳解】法一：由題意得，在北偏西方向上，之間在南北方向上的距離為，則在東西方向上的距離為，其中，

因此，法二：過炮臺點作東西方向的水平線交正北方向分別為點，則由圖知.故選：A.

2．（23-24高一下·福建泉州·階段練習）如圖，要測量河對岸C，D兩點間的距離，在河邊一側選定觀測點A，B，并測得A，B間的距離為m，，，，，則C，D兩點間的距離為多少？【答案】【分析】在中求出，在中求出，在中，利用余弦定理求解.【詳解】在中，，在中，，由正弦定理得，所以，在中，由余弦定理可得：，解得.3．（23-24高一下·浙江·階段練習）如圖是在沿海海面上相距海里的兩個哨所，位于的正南方向.哨所在凌晨1點發(fā)現(xiàn)其南偏東方向處有一艘走私船，同時，哨所也發(fā)現(xiàn)走私船在其東北方向上.兩哨所立即聯(lián)系緝私艇前往攔截，緝私艇位于點南偏西的點，且與相距海里，試求：

(1)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船與哨所的距離；(2)剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距離緝私艇多少海里？在緝私艇的北偏東多少度？(3)若緝私艇得知走私船以海里/時的速度從向北偏東方向逃竄，立即以30海里/時的速度進行追截，緝私艇至少需要多長時間才能追上走私船？【答案】(1)(2)走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上(3)小時【分析】（1）在中根據(jù)正弦定理可得結果；（2）在中根據(jù)余弦定理可得結果；（3）在中由余弦定理可得結果.【詳解】（1）由在的南偏東，在的東北偏方向，在中，，由正弦定理得，，代入上式得：海里．答：走私船與觀測點的距離為海里；（2）在中，海里，海里，，．，，解得海里，又，且，所以，故剛發(fā)現(xiàn)走私船時，走私船距緝私艇30海里，在緝私艇的北偏東方向上．（3）設小時后緝私艇在處追上走私船，則，又，，在中，由余弦定理得，，化簡得解得．故緝私艇至少需要小時追上走私船．

4．（23-24高一下·四川資陽·階段練習）如圖，某公園有三條觀光大道圍成直角三角形，其中直角邊，斜邊．現(xiàn)有甲、乙、丙三位小朋友分別在大道上嬉戲，(1)若甲、乙都以每分鐘的速度同時從點出發(fā)在各自的大道上奔走，甲出發(fā)3分鐘后到達，乙出發(fā)1分鐘后到達，求此時甲、乙兩人之間的距離；(2)甲、乙、丙所在位置分別記為點．設，乙、丙之間的距離是甲、乙之間距離的2倍，且，請將甲、乙之間的距離表示為的函數(shù)，并求甲、乙之間的最小距離．【答案】(1)；(2)；.【分析】（1）根據(jù)題意，得到和的長，在中，利用余弦定理，即可求得甲乙兩人之間的距離；（2）再中，由正弦定理可得，可將甲乙之間的距離表示為的函數(shù)，進而求得甲乙之間的最小距離．【詳解】（1）解：由題意，可得，在直角中，可得，因為，所以，在中，由余弦定理得=，所以，答：甲、乙兩人之間的距離為．（2）解：由題意，可得且，在直角中，可得在中，由正弦定理得，即，所以，所以當時，有最小值答：甲、乙之間的最小距離為．5．（23-24高一下·上?！るA段練習）海上某貨輪在處看燈塔在貨輪的北偏東，距離為海里；在處看燈塔在貨輪的北偏西，距離為海里；貨輪向正北由處行駛到處時，若燈塔在南偏東的方向上，則燈塔與處之間的距離為多少海里？【答案】.【分析】根據(jù)題意畫出圖形，利用正弦定理求出，再由余弦定理即可求得.【詳解】在中，，由正弦定理得，則，即，在中，，由余弦定理得，因此，解得，所以燈塔與處之間的距離為海里.高頻考點二：測量高度問題典型例題例題1．（23-24高一下·重慶·階段練習）中國古代四大名樓鸛雀樓，位于山西省運城市永濟市蒲州鎮(zhèn)，因唐代詩人王之渙的詩作《登鸛雀樓》而流芳后世.如圖，某同學為測量鸛雀樓的高度MN，在鸛雀樓的正東方向找到一座建筑物AB，高約為37m，在地面上點C處（B，C，N三點共線）測得建筑物頂部A，鸛雀樓頂部M的仰角分別為和，在A處測得樓頂部M的仰角為，則鸛雀樓的高度約為（

）A．64m B．74m C．52m D．91m【答案】B【分析】首先在中求，再在中，求角，并利用正弦定理求，最后中，即可求解.【詳解】因為中，，，，所以，因為中，，，所以，由題意，，，則，在中，由正弦定理得，即，故，故.故選：B例題2．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）如圖，一輛汽車在一條水平的公路上向正西行駛，到處時測得公路北側一山底在西偏北的方向上；行駛后到達處，測得此山底在西偏北的方向上，山頂?shù)难鼋菫?，則此山的高度.

【答案】【分析】在中利用正弦定理求出，再由銳角三角函數(shù)計算可得.【詳解】由題可得，，，則.則在中，由正弦定理，有.又在中，所以，則.故答案為：.例題3．（23-24高一下·湖南長沙·階段練習）圣·索菲亞教堂坐落于中國黑龍江省，是一座始建于1907年拜占庭風格的東正教教堂，距今已有114年的歷史，為哈爾濱的標志性建筑．其中央主體建筑集球，圓柱，棱柱于一體，極具對稱之美，可以讓游客從任何角度都能領略它的美．小明同學為了估算索菲亞教堂的高度，在索菲亞教堂的正東方向找到一座建筑物AB，高為，在它們之間的地面上的點M（B，M，D三點共線）處測得樓頂A，教堂頂C的仰角分別是和，在樓頂A處測得塔頂C的仰角為，則小明估算索菲亞教堂的高度為米．

【答案】【分析】在中，利用正弦定理，得，再結合三角函數(shù)的定義，求得，，得解．【詳解】由題意知，，，所以，在中，，且在中，由正弦定理得，，所以，在中，米，所以小明估算索菲亞教堂的高度為米．故答案為：．例題4．（23-24高一下·河南鄭州·階段練習）鄭州市中原福塔的塔座為鼎，寓意為鼎立中原，從上空俯瞰如一朵盛開的梅花，寓意花開五福，福澤中原，它是美學與建筑的完美融合.綠地中心千璽廣場“大玉米”號稱中原第一高樓，璀璨繁華的外表下包含濃郁的易學設計理念，流露出馥郁的古香.這兩座塔都彰顯了中華文化豐富的內(nèi)涵與深厚的底蘊.小米同學積極開展數(shù)學研究性學習，用以下方法測量兩座塔的高度.(1)為測量中原福塔高度，小米選擇視野開闊的航海東路上一條水平基線，使共線，在三點用測角儀測得的仰角分別為，其中測角儀的高度為米，為了測量距離，小米騎共享單車，速度為，從到耗時，從到耗時為原來的倍，求塔高.（參考數(shù)據(jù)：取，）

(2)為測量千璽廣場“大玉米”高度，小米選擇一條水平基線，使三點共線，在兩點用測角儀測得的仰角分別為，，在處測得的仰角為，測角儀高度忽略不計.小米使用智能手機運動測距功能，從河南藝術中心音樂廳入口臺階處運動到水景露天劇場的處，測得距離.

①試用，，，表示塔高；②若，，，米，求千璽廣場“大玉米”的實際高度.（參考數(shù)據(jù)：取，，）【答案】(1)388米；(2)①；②280米【分析】（1）設，，分別用來表示，利用得與的關系，進而用速度與時間關系求得，從而可得塔高；（2）①在中，，由正弦定理求得，在直角中，利用求解即可.②將，，，代入計算即可.【詳解】（1）設，，則由得，又到耗時為原來的倍，即，在中，，在中，,由由題，故所以（米）（2）①在中，，由正弦定理得：，在直角中，.②（米）【點睛】思路點睛：在解決測量相關應用題時．需要注意的是，題中為什么要給出這些已知條件，而不是其他的條件．這些條件往往隱含著相應的解決方法，進而利用這些條件應用正弦定理和余弦定理計算即可.練透核心考點1．（23-24高一下·廣西·開學考試）桂林日月塔又稱金塔銀塔?情侶塔，日塔別名叫金塔，月塔別名叫銀塔，所以也有金銀塔之稱.如圖1，這是金銀塔中的金塔，某數(shù)學興趣小組成員為測量該塔的高度，在塔底的同一水平面上的兩點處進行測量，如圖2.已知在處測得塔頂?shù)难鼋菫?0°，在處測得塔頂?shù)难鼋菫?5°，米，，則該塔的高度（

）A．米 B．米 C．50米 D．米【答案】B【分析】利用仰角的定義及銳角三角函數(shù)，結合余弦定理即可求解.【詳解】由題意可知，,,設米，則在中，米，在中，米.由余弦定理可得，即，解得.因為米，所以米.故選：B.2．（2024·湖南岳陽·二模）岳陽樓地處岳陽古城西門城墻之上，下瞰洞庭，前望君山．因范仲淹的《岳陽樓記》著稱于世，自古有“洞庭天下水，岳陽天下樓”之美譽．小明為了測量岳陽樓的高度，他首先在處，測得樓頂?shù)难鼋菫?，然后沿方向行?2.5米至處，又測得樓頂?shù)难鼋菫?，則樓高為米．【答案】【分析】在中，用表示，在中，用表示，根據(jù)的長，可求解.【詳解】中，，，，中，，，，因為米，所以，解得：故答案為：3．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）抗戰(zhàn)勝利紀功碑暨人民解放紀念碑，簡稱“解放碑”，位于重慶市渝中區(qū)解放碑商業(yè)步行街中心地帶，是抗戰(zhàn)勝利的精神象征，是中國唯一一座紀念中華民族抗日戰(zhàn)爭勝利的紀念碑．如圖：在解放碑的水平地面上的點處測得其頂點的仰角為?點處測得其頂點的仰角為，若米，且，則解放碑的高度米．【答案】/【分析】設，由直角三角形三角函數(shù)定義可得，再在中利用余弦定理可解.【詳解】設，則，在中：，則得到米.故答案為：4．（23-24高二下·山東菏澤·階段練習）熱氣球是利用加熱的空氣或某些氣體，比如氫氣或氦氣的密度低于氣球外的空氣密度以產(chǎn)生浮力飛行.熱氣球主要通過自帶的機載加熱器來調(diào)整氣囊中空氣的溫度，從而達到控制氣球升降的目的.其工作的基本原理是熱脹冷縮.當空氣受熱膨脹后，比重會變輕而向上升起.除娛樂作用外還可用于測量.如圖，在離地面高的熱氣球上，觀測到山頂處的仰角為，山腳處的俯角為，已知，求山的高度.【答案】【分析】先根據(jù)已知條件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根據(jù)的關系求解出.【詳解】因為，，，所以，所以，又因為，所以，又在中由正弦定理，即，所以，所以.高頻考點三：測量角度問題典型例題例題1．（23-24高三上·山東泰安·階段練習）公路北側有一幢樓，高為60米，公路與樓腳底面在同一水平面上.某人在點處測得樓頂?shù)难鼋菫?，他在公路上自西向東行走，行走60米到點處，測得仰角為，沿該方向再行走60米到點處，測得仰角為.則（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】畫出相應圖形后計算出點到該樓的距離，結合勾股定理與正弦定義計算即可得.【詳解】如圖所示，由題意有，，則有，故，則，故，則.故選：A.例題2．（22-23高一下·河南商丘·階段練習）位于燈塔處正西方向相距海里的處有一艘甲船燃油耗盡，需要海上加油．位于燈塔處北偏東30°方向有一艘乙船（在處），乙船與甲船（在處）相距海里，乙船為了盡快給甲船進行海上加油，則乙船航行的最佳方向是（

）A．西偏南15° B．西偏南30°C．南偏西45° D．南偏西65°【答案】A【分析】運用正弦定理求出即可.【詳解】如圖，

，由正弦定理得，解得．因為，所以，因為，所以乙船航行的最佳方向為西偏南.故選：A.例題3．（22-23高三上·安徽·階段練習）某人從山的一側點看山頂?shù)难鼋菫?，然后沿從到山頂?shù)闹本€小道行走到達山頂，然后從山頂沿下山的直線小道行走到達另一側的山腳處在同一水平面內(nèi)，山頂寬度忽略不計），則其從點看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐?，的最大值為．【答案?0.75【分析】由題意，作圖，根據(jù)三角函數(shù)的定義以及圖形關系，可得答案.【詳解】由題意，設山頂為點，過點作垂直與所在的水平面，如下圖所示：則，，，在中，，；在中，，易知為從點看山頂?shù)难鼋?，即從點看山頂?shù)难鼋堑恼抑禐?；在中，，由圖可知，，當且僅當時等號成立，故的最大值為.故答案為：；.例題4．（22-23高一下·浙江·期中）如圖，A，B是某海城位于南北方向相距海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東，B點南偏東的C處有一艘漁船遇險后拋錨發(fā)出求救信號，位于B點正西方向且與B點相距100海里的D處的救援船立即前往營救，其航行速度為80海里/時.(1)求B，C兩點間的距離；(2)該救援船前往營救漁船時應該沿南偏東多少度的方向航行？救援船到達C處需要多長時間？（參考數(shù)據(jù)：，角度精確到0.01）【答案】(1)60海里(2)方向是南偏東，需要的時間為小時.【分析】（1）求得度數(shù)，根據(jù)正弦定理即可求得答案；（2）確定的度數(shù)，由余弦定理即可求得的長，即可求得救援時間，利用余弦定理求出的值，即可求得應該沿南偏東多少度的方向航行.【詳解】（1）依題意得，，所以，在中，由正弦定理得,,故（海里），所以求兩點間的距離為60海里.（2）依題意得，在中，由余弦定理得，所以（海里），所以救搜船到達C處需要的時間為小時，在中，由余弦定理得,因為，所以，所以該救援船前往營救漁船時的方向是南偏東﹒練透核心考點1．（22-23高一下·湖北武漢·階段練習）已知甲船在海島的正南A處，海里，甲船以每小時4海里的速度向正北航行，同時乙船自海島出發(fā)以每小時6海里的速度向北偏東60°的方向駛去，當航行一小時后，甲船在乙船的（

）A．北偏東30°方向 B．北偏東15°方向C．南偏西30°方向 D．南偏西15°方向【答案】C【分析】結合題意畫出相應圖形，即可得答案.【詳解】由題，1小時后，甲船來到C處，則，則.又由題可知，此時，乙船來到D處，，結合BD是北偏東60°方向，則.又，則，即此時乙在甲的北偏東30°方向，甲在乙的南偏西30°方向.故選：C

2．（22-23高一下·云南曲靖·階段練習）冬奧會會徽以漢字“冬”為靈感來源，結合中國書法的藝術形態(tài)，將悠久的中國傳統(tǒng)文化底蘊與國際化風格融為一體，呈現(xiàn)出中國在新時代的新形象、新夢想.某同學查閱資料得知，書法中的一些特殊畫筆都有固定的角度，比如在彎折位置通常采用30°、45°、60°、90°、120°、150°等特殊角度下.為了判斷“冬”的彎折角度是否符合書法中的美學要求，該同學取端點繪制了△ABD，測得AB＝5，BD＝6，AC＝4，AD＝3，若點C恰好在邊BD上，請幫忙計算sin∠ACD的值（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在中，由余弦定理得，進而求出，再在中，利用正弦定理得解.【詳解】由題意，在中，由余弦定理得；因為，所以，在中，由正弦定理所以，解得.故選：D3．（21-22高一下·貴州黔東南·期中）如圖，某運動員從市出發(fā)沿海岸一條筆直的公路以每小時的速度向東進行長跑訓練，長跑開始時，在市南偏東方向距市的處有一艘小艇，小艇與海岸距離為，若小艇與運動員同時出發(fā)，要追上這位運動員.

(1)小艇至少以多大的速度行駛才能追上這位運動員？(2)求小艇以最小速度行駛時的行駛方向與的夾角.【答案】(1)(2)【分析】（1）設小艇以每小時的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與運動員在處相遇，利用余弦定理求出關于的函數(shù)，根據(jù)二次函數(shù)知識可求出的最小值；（2）由正弦定理可求出結果.【詳解】（1）如圖，設小艇以每小時的速度從處出發(fā)，沿方向行駛，小時后與運動員在處相遇，

在中，，故由余弦定理求得，則，整理得，當時，即時，，故.即小艇至少以每小時的速度從處出發(fā)才能追上運動員.（2）當小艇以每小時的速度從處出發(fā)，經(jīng)過時間小時追上運動員，故，又，由正弦定理得，解得，故.即小艇以最小速度行駛時的行駛方向與的夾角為.4．（20-21高二上·廣東東莞·期末）目前，中國已經(jīng)建成全球最大的5G網(wǎng)絡，無論是大山深處還是廣表平原，處處都能見到5G基站的身影.如圖，某同學在一條水平公路上觀測對面山項上的一座5G基站AB，已知基站高AB=50m，該同學眼高1.5m（眼睛到地面的距離），該同學在初始位置C處（眼睛所在位置）測得基站底部B的仰為37°，測得基站頂端A的仰角為45°.(1)求出山高BE（結果保留整數(shù)）；(2)如圖（第二幅），當該同學面向基站AB前行時（保持在同一鉛垂面內(nèi)），記該同學所在位置C處（眼睛所在位置）到基站AB所在直線的距離CD=xm，且記在C處觀測基站底部B的仰角為，觀測基站頂端A的仰角為β.試問當x多大時，觀測基站的視角∠ACB最大？參考數(shù)據(jù):.【答案】(1)(2)，∠ACB最大【分析】（1）在中，利用正弦定理求出，再在中，求出即可；（2）易得，分別在在和在中，求出，再根據(jù)兩角和的正切公式結合基本不等式求出取得最大值時，的值，再根據(jù)正切函數(shù)的單調(diào)性即可得解.【詳解】（1）由題意可知，，在中，，所以，在中，，所以出山高；（2）由題意知，且，則，在中，，在中，，則，當且僅當，即時，取等號，所以取得最大值時，，又因為，所以此時最大，所以當時，最大.高頻考點四：求平面幾何問題典型例題例題1．（22-23高一下·江蘇鎮(zhèn)江·階段練習）如圖，平面四邊形A?B?C?D，己知，，，，則A?B兩點的距離是（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】利用正余弦定理計算即可.【詳解】由題意可知在中，有，，，所以，由正弦定理可得，而，故，又，在中，，由正弦定理可得，在中，由余弦定理可得.故選：B例題2．（23-24高一下·重慶·階段練習）如圖，已知在平面四邊形中，，，．(1)若該四邊形存在外接圓，且，求；(2)若，求．【答案】(1)；(2)【分析】（1）根據(jù)外接圓得到，在中，有余弦定理得，在中，利用余弦定理求出；（2）設，則，由正弦定理得到方程組，求出，由正弦定理求出答案.【詳解】（1）因為四邊形存在外接圓，則，在中，由余弦定理可得，在中，由余弦定理可得，解得；（2）設，則，分別在、中用正弦定理可得，則，，則，，則或（舍），故.例題3．（23-24高三上·浙江杭州·期中）已知四邊形內(nèi)接于，若，，．(1)求線段的長．(2)若，求的取值范圍．【答案】(1)(2)．【分析】（1）根據(jù)余弦定理即可求解，（2）根據(jù)余弦定理得，進而根據(jù)基本不等式即可求解.【詳解】（1）由題知，，所以，根據(jù)余弦定理，，即，．所以，所以．所以．（2）因為所以，所以（當且僅當時取等號）又,所以．練透核心考點1．（2023高三上·全國·專題練習）如圖，在平面四邊形中，．記的面積為，的面積為．，則S的最大值為．【答案】/【分析】利用余弦定理表示出，可得到，結合同角三角函數(shù)平方關系，代入三角形面積公式中，可得的表達式，由二次函數(shù)性質(zhì)可求得最大值.【詳解】在和中，由余弦定理有，則，．，當時，S取得最大值．故答案為：.2．（23-24高三上·廣東汕頭·期中）在凸四邊形中，對角線交于點，且.(1)若，求的余弦值；(2)若，求邊的長.【答案】(1)(2)【分析】（1）設，在與中，分別利用余弦定理建立方程求解，然后在中由余弦定理求解；（2）在中由正弦定理得，從而求得，進一步利用直角三角形的性質(zhì)得，，在中由余弦定理求解即可.【詳解】（1）因為，所以，設，在中，由余弦定理得，在中，由余弦定理得，所以，解得，所以，在中，由余弦定理得；（2）在中，由正弦定理得，所以，又為三角形的內(nèi)角，所以，所以，，且，所以，又，在中，由余弦定理得，所以.3．（2023·河南·模擬預測）如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；(2)證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）設，根據(jù)面積得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，進而求出，從而求出的值；（2）在中，由正弦定理得，結合（1）中，由角的范圍得到.【詳解】（1）設，因為的面積為