2024-2025學年高考數(shù)學一輪復習講義(新高考)第02講平面向量基本定理及坐標表示(含新定義解答題)(分層精練)(學生版+解析)

第02講平面向量基本定理及坐標表示(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）若向量，則（

）A．1 B． C． D．42．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）已知，用，表示，則等于（

）A． B．C． D．3．（2024·四川廣安·二模）已知，分別為的邊，的中點，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．4．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習）若向量，則（

）A． B． C． D．5．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）在銳角中，為邊上的高，，，則的值為（

）A． B． C． D．6．（23-24高一下·山東·階段練習）在中，為的重心，滿足，則（

）A． B． C．0 D．7．（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（

）A． B． C． D．(1)用分別表示向量，;(2)求證:B，E，F(xiàn)三點共線.14．（23-24高一下·天津靜海·階段練習）已知向量，．(1)求的值；(2)求及向量在向量上的投影向量的坐標；(3)若，且、、三點共線，求的值．15．（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）在第六章平面向量初步中我們學習了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運算，以及由它們組合成的線性運算.那向量乘法該怎樣運算呢？數(shù)學中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的乘法運算：若，，則.請按這種運算，解答如下兩道題.(1)已知，，求.(2)已知，，求.B能力提升1．（2024·四川宜賓·二模）已知向量，向量滿足，，則（）A． B． C． D．2．（23-24高一下·重慶萬州·階段練習）在三角形中，點是在邊上且邊上存在點滿足，直線和直線交于點，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．53．（22-23高三上·全國·階段練習）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．84．（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，則的最小值為.5．（23-24高一下·遼寧撫順·階段練習）如圖，正方形中，分別為線段上的點，滿足，連接交于點．

(1)求證：；(2)設，求的最大值和的最大值.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（22-23高一下·北京·期中）對平面向量，定義.(1)設，求；(2)設，，，，，點是平面內(nèi)的動點，其中是整數(shù).（?。┯?，，，，的最大值為，直接寫出的最小值及當取最小值時，點的坐標.（ⅱ）記.求的最小值及相應的點的坐標.第02講平面向量基本定理及坐標表示(分層精練）A夯實基礎B能力提升C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）A夯實基礎一、單選題1．（23-24高一下·廣東深圳·階段練習）若向量，則（

）A．1 B． C． D．4【答案】C【分析】根據(jù)給定條件，利用共線向量的坐標表示求解即得.【詳解】向量，所以，即.故選：C2．（23-24高一下·安徽合肥·階段練習）已知，用，表示，則等于（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量減法，將用表示，然后整理可得.【詳解】因為，所以，整理得.故選：C3．（2024·四川廣安·二模）已知，分別為的邊，的中點，若，，則點的坐標為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘運算，向量坐標與終點、始點的關系可解.【詳解】因為，分別為，的中點，所以，設，又，所以即，解得.故選：A

4．（23-24高一下·山東棗莊·階段練習）若向量，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意，結(jié)合向量的運算法則，即可求解.【詳解】由向量，可得.故選：C.5．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）在銳角中，為邊上的高，，，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)銳角三角函數(shù)及得到，即可得到，再由平面向量線性運算法則及平面向量基本定理求出、，即可得解.【詳解】如圖在銳角中，為邊上的高，所以，，又，所以，所以，則，所以，又，所以，所以.故選：C

6．（23-24高一下·山東·階段練習）在中，為的重心，滿足，則（

）A． B． C．0 D．【答案】C【分析】由題意作圖，根據(jù)重心的幾何性質(zhì)，得到線段的比例關系，利用平面向量的運算，可得答案.【詳解】設相交于點，為的重心，

可得為中點，，，所以，所以.故選：C.7．（2024·福建漳州·模擬預測）在中，是邊上一點，且是的中點，記，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)平面向量的線性運算法則進行運算即可.【詳解】，故選：D．

8．（23-24高一下·重慶渝中·階段練習）鍵線式可以直觀地描述有機物的結(jié)構，在有機化學中廣泛使用．有機物“萘”可以用下左圖所示的鍵線式表示，其結(jié)構簡式可以抽象為下右圖所示的圖形．已知與為全等的正六邊形．若點為右邊正六邊形的邊界（包括頂點）上的動點，且向量，則實數(shù)的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由“等和線定理”結(jié)合圖形分析得解.【詳解】由平面向量共線定理可得，，，則三點共線的充要條件是.下面先證明“等和線定理”，如圖，設，，因為三點共線，所以存在，使得.，，，則.由“等和線定理”結(jié)合圖形可知：當點在上時，易得，當點在上時，易得，當點在上時，易得，當點在上時，易得，當點在上時，易得，當點在上時，易得，綜上，可得.故選：C．二、多選題9．（23-24高一下·江蘇南通·階段練習）已知向量，不共線，且，，，若，，三點共線，則實數(shù)的值為（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】AC【分析】首先表示出、，依題意可得，根據(jù)平面向量共線定理得到，從而得到關于、的方程組，解得即可.【詳解】因為，，，所以，，又向量，不共線，，，三點共線，所以，則，即，所以，解得或.故選：AC10．（23-24高二上·廣東東莞·階段練習）若三點共線，則m的值為（

）A．－2 B．－13 C．2 D．13【答案】CD【分析】利用平面向量共線的坐標表示計算即可.【詳解】由題意可知，因為三點共線，則共線，不妨設，則或13.故選：CD三、填空題11．（23-24高一下·福建莆田·階段練習）在三角形ABC中，D是BC上靠近點C的三等分點，E為AD中點，若則.【答案】【分析】根據(jù)向量基本定理得到答案.【詳解】因為E為AD中點，所以，因為D是BC上靠近點C的三等分點，所以，所以.故答案為：12．（23-24高一下·天津濱海新·階段練習）已知：點和向量，若，則點B的坐標是．【答案】【分析】設，利用向量共線的關系，列出方程求解即可.【詳解】設，則，所以，解得：.所以點B的坐標是.故答案為：.四、解答題13．（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）如圖，在中，D，F(xiàn)分別是BC，AC的中點，，，.(1)用分別表示向量，;(2)求證:B，E，F(xiàn)三點共線.【答案】(1)，；(2)證明見解析.【分析】（1）根據(jù)給定條件，結(jié)合幾何圖形用基底表示向量即得.（2）由（1）的信息，利用共線向量的定理推理即可.【詳解】（1）在中，由D是BC的中點，得，而，于是又F是AC的中點，所以.（2）由（1）知，，因此，即，而有公共點，所以B，E，F(xiàn)三點共線.14．（23-24高一下·天津靜海·階段練習）已知向量，．(1)求的值；(2)求及向量在向量上的投影向量的坐標；(3)若，且、、三點共線，求的值．【答案】(1)(2)，，(3)【分析】（1）首先求出的坐標，再由坐標法求出向量的模；（2）由坐標法求出、，再根據(jù)投影向量的定義計算可得；（3）首先求出、的坐標，依題意，根據(jù)平面向量共線的坐標表示得到方程，解得即可.【詳解】（1）∵，，∴，∴；（2），，∴，；向量在向量上的投影向量為.（3）、、三點共線，，，，.15．（23-24高一下·遼寧撫順·開學考試）在第六章平面向量初步中我們學習了向量的加法、減法和數(shù)乘向量三種運算，以及由它們組合成的線性運算.那向量乘法該怎樣運算呢？數(shù)學中向量的乘法有兩種：數(shù)量積和矢量積.這些我們還都沒學到.現(xiàn)在我們重新定義一種向量的乘法運算：若，，則.請按這種運算，解答如下兩道題.(1)已知，，求.(2)已知，，求.【答案】(1)(2)【分析】（1）直接利用新定義計算即可；（2）設，利用新定義計算，列方程組求解.【詳解】（1）因為，，，所以；（2）設，因為，，所以，因為，所以，解，得，即.B能力提升1．（2024·四川宜賓·二模）已知向量，向量滿足，，則（）A． B． C． D．【答案】C【分析】設出，根據(jù)題意利用向量的坐標運算列式運算求解.【詳解】設，則，由，得，又，得，即，聯(lián)立，解得..故選：C.2．（23-24高一下·重慶萬州·階段練習）在三角形中，點是在邊上且邊上存在點滿足，直線和直線交于點，若，則的值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【分析】將和都用和表示出來，然后利用列式計算即可.【詳解】由題意，，則，同理可得：，因為直線和直線交于點,所以存在使，即，兩式作商得解得.故選：C.3．（22-23高三上·全國·階段練習）在平行四邊形中，，，若，則（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】D【分析】根據(jù)向量的加減運算及數(shù)乘運算可得，從而得解.【詳解】，，，，，，，．故選：D．4．（2024·云南紅河·二模）如圖，在棱長均相等的斜三棱柱中，，，若存在，使成立，則的最小值為.【答案】(1)證明見解析(2)的最大值為1；的最大值為【分析】（1）建立平面直角坐標系，利用平面向量證明垂直關系；（2）根據(jù)三點共線可得，利用向量的坐標運算可得，進而結(jié)合基本不等式求最值.【詳解】（1）如圖，建立平面直角坐標系，

不妨設，則，可得，因為，可知，所以.（2）因為三點共線，且，可知，由（1）可知，則，又因為，則，可得，則，若，則；若，則，當且僅當，即時，等號成立；綜上所述：的最大值為1；又因為，當且僅當，即時，等號成立；所以的最大值為.C綜合素養(yǎng)（新定義解答題）1．（22-23高一下·北京·期中）對平面向量，定義.(1)設，求；(2)設，，，，，點是平面內(nèi)的動點，其中是整數(shù).（?。┯?，，，，的最大值為，直接寫出的最小值及當取最小值時，點的坐標.（ⅱ）記.求的最小值及相應的點的坐標.【答案】(1)5(2)（i）的最小值為，；（ii）的最小值為13，【分析】（1）根據(jù)題意直接求解即可；（2）（i）先證明充分性，設，其中，從而由絕對值不等式性質(zhì)得到，此時，點的坐標為，再說明必要性；（ii）設點的坐標為，表達出，，，分別求出和的最小值，進而得到的最小值及此時點的坐標.【詳解】（1）當時，；（2）（i）的最小值為，此時點的坐標為.一方面，